第3讲 韦达定理及其应用-【培优竞赛·超级课堂】2026-2027学年九年级全一册数学

第3讲 韦达定理及其应用 泉情境课堂 法国数学家韦达(F.Vieta,1540一1603)第一次有意识地使用系统的代数字母与符号，以辅音字母表示 已知量，元音字母表示未知量，推进了方程论的发展，使代数成为一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而 应用更为广泛，被称为“代数符号之父”，在研究一元二次方程的解法时，他发现了一元二次方程的根与系数 之间存在的特殊关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定 理.韦达定理的一种推导过程如下： 已知关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两个根分别为x1,x2,则有方程(x一x)(x-x2)= 0,所以有x-(函十)x十-0：又因为2十bx十（一0a≠0）可变形为+2十后-0a≠0)，可得结 a 论1十x2=一b =台，即为韦达定理 请类比以上方法推导出关于x的一元三次方程ax3十bx2十cx十d=0(a≠0)的韦达定理. 典例剖析 类型1 利用韦达定理求代数式的值 ,例1(2025，宿迁中考)方程x2一2024x一2025=0的两个根分别是m,n,则(m2一 2023m-2026)(n2-2023n-2026)= ⑤【学找切入点】先根据方程的解得到m2-2024m-2025=0,2-2024n-2025=0,代入原式化 简为mm-(m十n)十1，再由根与系数的关系得出m十n=2024,mn=-2025,即可求解. 变式1-1(2025，乐山中考)若方程x2一x一2=0的两个根是1和x2,则xx2十x1x号的值为 ( A.-1 B.1 C.-2 D.2 变式1-2(2025，广安中考)已知方程x2一5x一24=0的两根分别为a和b,则代数式a2一4a十b 的值为 拓展总结 对称式和非对称式的常用变形与解法 对称式一般通过变形用x1十x2,x1x2表示再求解，常见的对称式变形如下： (1)x+x3=(1+x2)2-2x1x2; (2)(x1+m)(x2+m)=x1x2十m(x1+x2)+m2; (3)1+1=十型 x12℃2x1x2 (4)x1-x2=√(x1十x2)2-41x2. 非对称式的求解常用下列方法：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式 ·12· 第3讲韦达定理及其应用 类型2)利用韦达定理求字母的值 例2已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2一4kx十k十1=0的两个实数根， (1)是否存在实数k,使(2-x2)(-2.x2)=一 成立？若存在，求出k的值：若不存在，请 说明理由， (2)求使9+2一2的值为整数的实数k的整数值. (3)若=一2，入=，试求入的值. ℃2 ⊙【学找切入点】（山凭根据根与系数的关系可得西十=1，-铝，再把a十，函题代入(2a一）· (红-2)=-多中，进而可求出k的值。 (2②)先根据一元二次方程的报与系装的关系可得受十要-2=，再根器+兰-2的值为整装以及及 X2 1 的范围即可确定的取值. (③)先由=一2，以-总十=1可得=中商=卉禹根据-结-日代入即可得到 结果 变式2-1了(2023，湖北五地联考中考)已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x十m2十m=0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a,b,若(2a十b)(a十2b)=20,求m的值. 类型3)韦达定理与根的判别式的综合运用 ,例3（经典，江苏竞赛）设c1,x2是方程2x2一4mx十2m2+3m一2=0的两个实数根，则当m为 何值时，x十x吃有最小值，并求出这个最小值 ⑤【学找切入点】由题意可知△>0，从而可求出m的取值范围.根据根与系数的关系表示出x十x,然后结 合m的取值范围确定x十x的最小值，从而确定m的值. 变式3-1若关于x的一元二次方程(m2一4)x2+(2m一1)x十1=0(m为实数)的两个实数根的 倒数和为S,则S的取值范围是 。13· 目培优竞赛超级课堂 9年级数学 类型4)构造一元二次方程求代数式的值 例4阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1+x2= a2=C」 a 材料2：已知一元二次方程x2一x一1=0的两个实数根分别为m,n,求mn十mm2的值. 解：.一元二次方程x2一x一1=0的两个实数根分别为m,n, ∴.m+n=1,mn=-1,则m2n+mn2=mn(m+n)=-1X1=-1. 根据上述材料，结合你所学的知识，解决下列问题： (1)材料理解：一元二次方程x2一3x一1=0的两个根为01,2，则x十2= ,01C2= (2)初步体验：已知一元二次方程2一3江一1=0的两根分别为m,,求器+的值： (3)类比应用：已知实数s,6满足2-3s一1-0,2-31-1-0，且≠4，求}的值： 27 (4)思维拓展：已知实数a,b,c满足a十6=c-10,ab=410-o且c<10,求c的最大值. ⑥【学找切入点】(1)根据根与系数的关系进行求解即可， (2)根据根与系数的关系可得：m十n=3,mn=一1，再利用分式化简求值的方法进行运算即可. (3)可把s与t看作方程x2一3x一1=0的两个实数根，则有s十t=3,st=一1，再利用分式化简求值的方法 进行运算即可. Q将a,b看作方程x2一(c-10)x士47=0的两实数根；利用判别式的意义得4=(c一10)2-4☒ 410-⊙≥0，根据c<10得到(10-c)3-27≥0，解得c≤7，从而得到c的最大值. 27 变式4-1已知实数m,n满足m2-m-1=0,n2一n一1=0，且m≠n,则m,n是方程x2一x一1=0 的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知m十n=1,mn=一1. 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数a,b满足a2-7a+1=0,b2-7b+1=0,且a≠b,则a+b= ab= +合 (2)拓展应用：已知实数m,”满足之十=7，n一n=7,且m十1≠0，求mn的值， m2 m m ·14· 第3讲韦达定理及其应用 变式42已知实数a,bc满足d+形十d+2b=1,a+-)=日，且e,P为方程(a十b)r- (2a十cx一(a十b)=0的两个实数根，试求+g的值. a十B 拓展总结 利用根与系数的关系构造一元二次方程的方法 (1)利用根的定义构造；(2)逆用根与系数的关系构造；(3)变换主元构造. 研讨乐园 3《经夷，车中师大一臂中网招>已知，8是方程-一5=0的两个根，则2十。g P的值为 【解】甲的探究从代数式的结构上来看，其形式不对称，能否构造对称呢？ 设A=十动+9，B十gd 由题意知a十=3，a3=-5. 则A+B=25(2a十2g)+13(。十2B+2a十B+a+ -25X 2a+》-2,+13X,3atm。+a+B2-2a8 4a8-2(a+B)+1 2(a+B)2+a3 =25×x2328+1+13×25+9-2x(-5) 2X3-2 =-4+9+9+10=24. A-B=25(云2g)+13(十29十+g-) =25×2× 4ag-2a+B+1+13X29 B-a 2(a十B)2+a n+(g+a)(3-a) =-2(3-a)+(a-)+3(β-a)=0. ÷A=[A+B)+A-B]×g-(24+o)x2=12,即2+。B+9=12 乙的探究甲的计算过程过于复杂，能否求简、求易且过程自然呢？ 由甲的探究易知(2a-1)(23-1)=-25,(a十28)(2a十β)=13， 故32-1-20，p2a+R又9=80+5a+g-8， ·15· 官)培优竞赛超级课堂 9年级数学 故原式=1-28+2a十B+33+5=2a+28+6=2×3+6=12. 丙的探究在考试时间有限的条件下，甲、乙的做法不够实用，可直接求出α，B的值. 由x2-3x-5=0,得x=3±√29 2 当。3+y,0-3四时，经计第可得27十。g+9=12: 2 2 当。-3y四，g=3计四计，计算可得251+。g+9=12 2 2 丁的反思我也曾做过一道类似的非对称的题， 设x1,x2是方程x2十x一3=0的两个根，那么x一4x号十19的值为 x1,x2是方程x2十x一3=0的两个根， .x1+x2=-1,x1x2=-3,x=3-x01,x2=3-x2 .x-4x+19=x1(3-x1)-4(3-x2)+19=-x+3x1-12+4x2+19=x1-3+3x1-12+4x2+19= 4(x1十x2)+4=4×(-1)+4=0. 此题变形时采用降次的方法，先化不对称为对称，然后转化为与两个根之和有关的问题.此题也可采用构 造对称式的方法求解。 变式5-1若1，x2是方程x2-x-1=0的两个根，则x十33十1=( A.4 B.5 C.6 D.7 变式5-2已知a,8是方程x2-7x十8=0的两个根，且。>月，则2+39 能力平台 ©培优训练 (建议用时30分钟) 4.若实数m,n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,且 m≠n,则m-n的值为(). 1.(2025,湖北中考)一元二次方程x2-4x十3=0的 两个实数根为，x2,下列结论正确的是( A.√5-1 B.-√5+1 ). A.x1+x2=-4 B.x1十x2=3 C.√5或-√5 D.1+5或5 2 2 C.x1x2=4 D.x1x2=3 5.(2025,泸州中考)若一元二次方程2x2-6x-1=0 2.(2023,泸州中考)若一个菱形的两条对角线的长分 的两根为a,B,则2a2一3a十33的值为 别是关于x的一元二次方程x2-10x十m=0的两 6.(2025,绥化中考)已知m,n是关于x的一元二次 个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为 方程x2-2025.x十1=0的两个根，则(m十1)(n+ (). 1)= A.5 B.23 C.√/14 D.2√14 7.已知x,x2是方程x2一x一2026=0的两个实数 3.已知方程x2一2026x十1=0的两个根分别为x1, 根，则代数式x3一2026.c1十x2的值是 2,则好-2026的值为( 8.已知a,b为方程x2-2x十t-3=0的两根，则(2a +5-t)(b2+2)的最小值为 A.1 B.2026 9.已知关于x的一元二次方程x2一3x一m2十m+ C.-1 D.-2026 1=0(m为常数). ·16 第3讲韦达定理及其应用 (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实 11.(经典，南京自主招生)已知a,b为方程x2十x 数根； 1=0的解，S1=a十b,S2=a2+b,S3=a3+b,…, (2)若该方程有两个实数根x1,x2,且(x十1)(x2十 Sx=a"+b". 1)=5,求m的值. (1)求证：Sm=Sm-2-Sm-1; 2求(12°+(1安53. ⑧竞赛训练 (建议用时20分钟) 10.(2024,常州市武进区校级自主招生)已知关于x 的方程ax2+(a十2)x十9a=0有两个不相等的实 12.(2024,嘉兴市南湖区校级自主招生)若方程(x2一 数根x1,x2,且x<1<x2,则实数a的取值范围 1)(x2-4)=k的4个非零实根为x1,x2,x3,x4 是(). (x1<x2<x3<x4),且满足2x2=1十x3,则k= Aa<-品 B号a<号 (). ca>号 D.-品<a<0 A子 B.2 c D.4 。17..c2≥0，∴.b-4ac>0, ∴.一元二次方程a.x2+bx十c=0(a,b,c为常数，且a≠ 0)一定有实数根，故③正确。 6①⑤.提示：，“凤凰”方程a.x2十bx十c=0有两个相 等的实数根，∴.b一4ac=0. ,a十b+c=0,.∴.(-a-c)2-4ac=0, ∴.(a一c)2=0,a=c,故①正确. ,b-4ac=-4a2=(b+2a)(b-2a)=0, ∴.b=-2a或b=2a, 当b=2a时，a十b十c=a+2a十a=4a=0,与a≠0矛 盾，∴.b=2a不成立， .a=c≠b,b=-2a,故②③④错误. ,a.x2+bx十c=ax2-2a.x十a=3, ∴.ax2-2ax十a-3=0, ∴.△=(-2a)2-4a(a-3)=4a2-4a2+12a=12a, a>0,.12a>0,即△>0， 故当a>0时，方程a.x2十bx十c=3有两个不相等的实 数根，故⑤正确. 7(1)[-4,3]￥[2，-6]=-4×2-3×(-6)=10. (2)根据题意得x(m.x+1)-m(2x-1)=0, 整理得m.x2+(1一2m)x十m=0. :关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个 实数根， ∴.△=(1-2m)2-4m·m≥0且m≠0， 解得m≤4且m≠0， 8(1)因为关于x的一元二次方程为mx2-4x+4-m= 0(m≠0)， 所以△=(-4)2-4m(4-m)=4(m-2)2≥0， 所以此方程总有实数根 (2)由mx2-4x+4-m=0,得=1，=-m-4, m 则-m二4=4-1. m m 因为方程有两个互不相等的非负整数根，且m为整 数，所以m=1或4. 9(1)△=(k+4)2-4X2×2k=(k-4)2, (k一4)2≥0，.无论k取何值，它总有实数根. (2)①当3是等腰三角形的底时， 则△=0，即(k一4)2=0，解得=4， 则方程为x2-4x十4=0，解得x1=x2=2, 则边长2,2,3能构成三角形，此时等腰三角形的周长 为7. ②当3是等腰三角形的腰时，则3是方程的一个根， ∴.将x=3代入2x2-(k+4)x十2k=0,得18-3(k十 参考答案与提示 4)十2k=0,解得k=6, 此时方程为x2-5x十6=0，解得x1=2,x2=3, 则边长3,3,2能构成三角形，此时等腰三角形的周长 为8. 综上所述，k=4或6，三角形的周长为7或8. 回c提示：“2+(a+2z+4=0, 4=a+2)2-4X1x号=4a+4 ,方程有两个不相等的实数根， .4a十4>0，解得a>一1.∴.a的值可以是0. 1C提示：：关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0 有一个根为m, .am2+om+c=0,..am2+om=-c, ∴.△=b+4a(am2+bm)=b+4a2m2+4abm= (2am+b)2. 回a<是或a>-1 提示：不妨假设三个方程都没 (4a)2-4×(-4a+3)<0, 有实数根，则有(a-1)2一4a2<0, (2a)2-4X(-2a)<0, 解得-<a<-1, 由于三个方程x2+4a.x-4a十3=0，x2+(a-1)x十 a2=0,x2十2a.x一2a=0中至少有一个方程有实数根， 因此实数a的取值范围是a<-号或a>-1, 13原等式可化为24x2十12x十6y2-12xy十2=0， 即12x2+6(1一y)x+3y2+1=0. xy为实数， .△=[6(1-y)]2-4×12(3y2+1)≥0， 即-9y2-6y-1≥0， .(3y+1)2≤0. 又，(3y十1)2≥0，.(3y+1)2=0, 3y+1=0=-3 将y=-号代人122+61-)x+3y2+1=0, 得9x2+6x+1=0,即(3x+1)2=0, 3x+1=0,x=-3 故x+y=}-号=号 第3讲韦达定理及其应用 例1-4048.提示：：方程x2-2024x-2025=0的 两个根分别是m,n, ,∴.m2-2024m-2025=0,n2-2024n-2025=0,m+ 目培优竞赛超级课堂 9年级数学 n=2024,mn=-2025, .m2=2024m+2025,n2=2024n+2025, .(m2-2023m-2026)(n2-2023m-2026) =(2024m+2025-2023m-2026)(2024n+2025- 2023n-2026) =(m-1)(n-1) =mn-(m+n)+1 =-2025-2024+1 =-4048, 例2(1)：，2是一元二次方程4kx2-4kx十k十1=0 的两个实数根，d十-1，=生 4k .(2x1-x2)(1-2x2)=2x7-4x1x2-1x2十2x号 =2(x十x2)2-91x2 -2X1-9×0抽 =2-9k+1) 4k 若2-9纯=一号成立，解得®=号 4k 经检验，一号是分式方程的解。 ,△=16k2-4X4k(k+1)=-16k>0,∴.k<0. 不存在这样的实数. (2)原式=近+垃-2 T1T2 =（十x)-21x2 C1C2 =（十22)2-4x12 x1T2 =片-4 =一k十1' k+1=1,-1,2,-2,4或-4， 解得=0，-2,1，-3,3或-5. k<0,.k=-2,-3或-5. (8)k=-2A-名十a=1, 2十z2=1,小x=中1西千1 λ=3士2√2. 例3：方程有两个实数根， 4=-2m+16≥0，m≤号 由根与系数的关系得十m=2m,=2+3m-2, 2 ∴x+x2=(x十x2)2-21x2 =(2m)2-2x2m+3m-2 2 =2(m)°+g m≤号，-m心-号>0， (保-m)”≥（号）》，放当m=号时+店有 最小值，最小值为2X(冬-号)+名-号。 例4(1)一元二次方程x2一3x一1=0的两个根为1， ,函十=-3=3,4=子=-1，放答案 为3，-1. (2)一元二次方程x2一3x一1=0的两个根分别为 m,n,心m十n=3,mn=-1,立+=+t= m n mn (m+0)2-2mm=32-2X(-1D=-11. mn (3)实数s,t满足s2一3s一1=0,2一3t-1=0,且s≠ t,s,t是一元二次方程x2一3x一1=0的两个实数 根，∴.s十t=3,st=-1. (t-s)2=(t+s)2-4s2=32-4×(-1)=13, ∴.t-s=士√/13， :1-1==±=士3 s t st (4):a+b=c-10,ab=410-0' 27 27 将a,b看作方程x2-(c-10)x+410-⊙=0的两 个实数根， 4=《c-102-4×47。≥0，即1062222≥ 27 10-c 0,而c<10,则10-c>0,.(10-c)3-27≥0， ∴.(10-c)3≥27，.10-c≥3，即c≤7， .c的最大值为7. 【变式题组】 1-1C提示：，方程x2一x一2=0的两个根是x和x2, .x十x2=1,x1x2=-2, .x1x2+x1x吃=x1x2(x1十x2)=-2X1=-2. 1-229.提示：，方程x2-5x-24=0中的两个根分别 为a,b,.a+b=5,a2-5a-24=0,∴.a2-5a=24, ∴.a2-4a+b=a2-5a+a+b=24+5=29. 2-1(1)△=[-(2m+1)]2-4(m2+m) =4m2+4m+1-4m2-4m=1>0, ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根. (2).该方程的两个实数根为a,b, a+b=--（2n+1）=2+1,ab=m+m=t+m, 1 1 .'(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2=2(a2+2ab+ B2)+ab=2(a+b)2+ab, .2(a+b)2+ab=20,.2(2m+1)2+m2+m=20, 整理得m2十m一2=0， 解得m=-2,m2=1, .m的值为-2或1. s≥-且S≠-3，S≠5.提示：“关于x的一元 二次方程(-4)x2+(2m-1)x十1=0有两个实数根， .m2-4≠0，且△=(2m-1)2-4(m2-4)×1≥0，解 得n≤，且m≠士2设方程的两个实数根为，， 则十x=-2m-1 1 一-4x=m—4 -_2m-1 S=1+1=4+=m4=1-2m, X1 T2 1.2 1 m2-4 1-2m≥-9且1-2m≠-3，l-2m≠5， ∴s29且s≠-35≠5 4-1(1)由条件可知a,b可以看作一元二次方程x2-7x十 1=0的两个不相等的实数根， a+b=6=1,日+合-s8- a (2:实数m,m满足品十=7，元-0=7，且m十 1≠0，“品一n可以看作一元二次方程x2十x一7= 0的两个实数根，÷品=一1 :m+1≠0，.mm1=n-=1. m m 42a+8+2+2ab=1o(c+8+e)=日， ∴a2++2,2ab为方程x2-x+号=0的两个根， a2++=2ab=合 由a2+b2+c2=2ab得(a-b)2+c2=0, 1 a=b=-2: c=0 c=0. 把两组值代入原方程(a十b)x2-(2a十c)x-(a十b)=0, 得到的方程相同，即x2一x一1=0， ∴.a+B=1,a3=-1, a2g-a2+g2-g=(a+02-3ag=4 a十B 参考答案与提示 5-1C提示：：，x是方程x2-x一1=0的两个根， 且易知x≠0，x十x=1,-x-1=0,-1- 1=0,--1=0,即=西+1，=0十1，= x1-1,则原式=(x+1)+3(x2+1)+1-1=2x1 +1+3x2+3+x01-1=3(0十x2)+3=6. 52403-85/厘. 8 提示：由韦达定理可得a十B=7, 9-8设A=吕+，B合+3， 则有A+B=2(日+日)+3G+) =2.+8+3a十B2-2ad 90 =2X号+3x(7-2X8) =100￥.① AB=2(日日)+3g-) _2g-a）+3(g叶a(g-a. R 由于a>B,(a十)2-4a8=17, 从而a-B=√17，B-a=-√17， A-B=-85y厘 4 .② 由0+@得A=名×(10号）-如g 8 【能力平台】 ①D提示：根据一元二次方程根与系数的关系，x2一4x十 3=0,a=1,b=-4,c=3, 十0=-名=4，函西=日=8 a 2C提示：设菱形的两条对角线的长分别为a,b,由题 a+b=10, 意得 ab=22, ∴菱形的边长-√（号）》'+(》-合后+- a+0-2ah=g-4-®-v 2 2 3C提示：：方程x2-2026x十1=0的两个根分别为 x,z2,.x1x2=1,x7-2026.m1十1=0， .x-2026x1=-1, -2026=-20264=-2026.01=-1. 2 C1T2 4C提示：实数m,n满足m2-m-1=0,-n-1= 0,.m,n是方程x2-一x一1=0的两个不相等的实数 根，.m十n=1,mm=-1, 目)培优竞赛超级课堂9年级数学 ∴.(m-n)2=m2+n2-2mm=(m+n)2-4mn=1+4= 5,.m-n=土√5. 510.提示：，将x=a代入原方程得2a2-6a-1=0, .2a2-6a=1. 一元二次方程2x2-6x一1=0的两个根为a,3, a+B=3,.2a2-3a+3B=(2a2-6a)+3(a+)= 1+3×3=10. 62027.提示：：m,n是关于x的一元二次方程x2 2025x+1=0的两个根， ∴.m+n=2025,mm=1, .∴.(m+1)(n+1)=mm+m+n+1 =1+2025+1 =2027. 74053.提示：由题知，因为x1,x2是方程x2-x- 2026=0的两个实数根， 所以十x2=1,xx2=-2026,x-x1-2026=0, 则x-2026=x1, 所以原式=(x号一2026)十x =x1·2x1十x =(x1十x2)2-2x1x2 =12-2×(-2026) =1+4052 =4053. 89.提示：由条件可知a十b=2,ab=t-3,-2b十t 3=0,.b=2b-t+3. ∴.(2a+5-t)(b+2)=(2a-t+5)(2b-t+5)=2+ 4ab-2t(a+b)+10(a+b)-10t+25, 把a+b=2,ab=t一3代人， 得原式=2+4(t-3)-2t×2+10×2-101十25=(t 5)2+8, 由条件可知(-2)2-4×1×(t-3)=4-4t十12= -4t+16≥0，∴.4， 当t=4时，(2a十5-t)(+2)有最小值，为(4-5)2+ 8=9. 9(1):△=(-3)2-4×1×(-t+m+1)=(2m-1)2+ 4>0, ,∴.无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根. (2)由条件可得1十x2=3,x1x2=-m2+m十1. (x1+1)(x2+1)=5, .x1x2+(x1+x2)+1=5, ∴.-m2+m+1+3+1=5,即m2-m=0, 解得m=0,2=1. 回D提示：，方程有两个不相等的实数根， .a≠0且△>0. 由(a+2)2-4a×9a=-35a2+4a+4>0, 解得-号<a<号 :1十=-a+2,x=9,且<1<m, a .x1-10,x2-1>0,∴.(x1-1)(x2-1)<0, ∴4-(m十2)+1<0，即9+a+2+1<0, 解得-品<a<0, a的取值范围为-品<a<0 11(1),a为方程x2+x一1=0的解， ∴.a2+a-1=0, 两边同时乘以a”-2得a”十a”-1一a”-2=0.① ,b为方程x2+x-1=0的解，.2+b-1=0, 两边同时乘以6-2得6十6-1一62=0.② ①十②得a十a"-1-a-2十b十b-1-b2=0, .(a"+)=(a-2+6-2)-(a-1+6-1). Sn=a十f,Sn-1=a-1+-1,Sa-2=a2+b-2, Sn=S2-S-1. (2),a,b是方程x2十x-1=0的解， ∴.a+b=-1,ab=-1. ∴.S=a+b=-1,S2=a2+=3. 由(1)可知Sn=Sn-2-Sn-1,.S3=S1-S2=-4, S4=S2-S3=7,S6=S3-S4=-11, (125)'+(1)°=。+6=s=-1. 2A提示：设t=x2,则原方程(x2-1)(x2一4)=k可化 简为(t一1)(t一4)=k,即一5t+4一k=0, 方程(x2一1)(x2一4)=k的4个非零实数根为x1, x2,x3,x4(x1<x2<x3x4), ∴.关于t的方程t2一5t十4一k=0有两个不相等的正 实数根，t2(<t2), 且(x1)2=t2,(x4)2=t2,(x2)2=,(x3)2=ti, x1,x4互为相反数，x2,x互为相反数， 则x=一√2，x4=√，x2=一√6，x3=√6， 已知2x2=01十x,即2(-√G)=一√2+√6， 解得t2=9, 对于一元二次方程一5t十4一k=0,根据韦达定理可 知1十t2=5,2=4-k,2=9h,代入解得=2， =号，代入上式解得=子