第2讲 一元二次方程根的判别式-【培优竞赛·超级课堂】2026-2027学年九年级全一册数学

第2讲 一元二次方程根的判别式 泉情境课堂 刘洪，字元卓，东汉泰山郡蒙阴（今山东省蒙阴县）人，是我国古代杰出的天文学家和 数学家.《后汉书》中说：“洪善算，当世无偶.”其著有《乾象历》火七曜术《九章算术》（对同 名经典数学名著进行注释并融入研究心得的数学著作).东汉徐岳在其所著的《数术记遗》 中说：“刘会稽，博学多闻，偏于数学…隶首注术，仍有多种，其一珠算.”徐岳所说的刘会 稽就是刘洪.有人说，蒙阴是珠算的故乡，刘洪是珠算之父，被尊为“算圣” 高次方程的韦达定理 刘洪 人类在很久以前就解决了一元二次方程的求解问题，然而一元三次方程的求解问题却使众多数学家陷 入困境，许多人的努力都以失败告终，甚至在1494年，意大利数学家帕西奥利在经历艰辛努力仍未果之后， 得出悲观的结论一求解三次方程根本是不可能的.直到1541年，数学家塔塔利亚才最终完全解决三次方 程的求解问题.塔塔利亚将这一成果告诉了长期寻求三次方程求根公式而无果的卡尔达诺，然而卡尔达诺却 背弃了向塔塔利亚作出的保密承诺，于1545年在自已的专著《大术》中公开发表了这一成果.结果这一公式 至今仍被称为“卡尔达诺公式”，塔塔利亚反而湮没无闻了.不久，卡尔达诺的学生费拉里成功地发现了四次 方程的求根公式.然而，此后几百年里，几代数学家致力于五次或更高次的方程求解均告失败.1824年，阿贝 尔证明了五次及五次以上的代数方程是没有一般化的求根公式的，但高次方程的韦达定理仍然成立.有兴趣 的同学可以上网查一查， 。典例剖析 类型1) 利用根的判别式判断实数根的情况 例1(2025，扬州中考)关于一元二次方程x2一3x十1=0的根的情况，下列结论正确的是 ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 ⑤【学找切入点】先计算一元二次方程根的判别式△，然后根据判别式的意义判断方程根的情况. 变式1-1(2025，安徽中考)下列方程中，有两个不相等的实数根的是( A.x2+1=0 B.x2-2x+1=0 C.x2+x+1=0 D.x2+x-1=0 。7· 目)培优竞赛超级课堂 9年级数学 变式1-23若点(m,n)在第四象限，则关于x的一元二次方程x2一mx+n=0的根的情况是 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法判定 拓展总结 一元二次方程的根与△之间的关系 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2一4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的 实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根 类型2 利用根的判别式确定字母的值 例2(2025，广元中考)若关于x的一元二次方程(a-1)x2十(a-1)x- -0有两个相等的实 数根，则a= ⑥【学找切入点】利用一元二次方程根的判别式△=0，结合一元二次方程的定义和解法即可求出α的值. 变式2-1(2025，西宁中考)若关于x的一元二次方程kx2一2x十1=0有两个不相等的实数根， 请写出一个满足条件的k的值 类型3根据根的判别式确定字母的取值范围 例3若关于x的一元二次方程(a一1)x2十2x一3=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围 是( A>号 Ra<最 Ca>号且a≠1 Da<是且a≠l ⑤【学找切入点】方程有两个不相等的实数根，则△>0，再结合一元二次方程的二次项系数不为0，由此建立关 于a的不等式，然后就可以求出a的取值范围. 变式3-1已知关于x的一元二次方程(a十1)x2一4x十1=0有两个不相等的实数根，则a的取 值范围是( ) A.a<3 B.a>3 C.a<3且a≠-1 D.a<-3 变式3-2若关于x的方程(-1)x2+(十1)x十}-0无实根，则k的取值范围是 ·8 第2讲一元二次方程根的判别式 类型4)利用判别式求最值 例4在满足方程(x一2)2十y=3的所有实数对(x,y)中，义的最大值是多少？ ⑥【学找切入点】令y=k,将原方程看作关于某一未知数的一元二次方程，利用判别式仔-4c≥0得到关于 r k的不等式，求出其最值. 变式4-1设实数x,y满足x2-2x|y十y2一6.x一4|y十27=0，则y的取值范围是 变式42求分式十6江士的最小值 2x2+x+1 拓展总结 1.利用判别式求最值，可通过引入参数转化为一元二次方程，然后根据解的存在性确定判别式的符号， 将问题转化为求关于参数的不等式的解. 2.当问题中含有多个变元（字母）时，常把某个变元作为主要变元（不妨称为主元），其他变元作为辅助元 (不妨称为辅元)进行处理， 《研讨乐园 例5已知方程|x2一4|一a一1=0有4个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( A.a=0 B.-1<a≤0 C.-1<a<3 D.a≥3 【解】甲的探究方程变形，然后去掉绝对值符号，从方程有实数根入手探究α的取值范围. 方程变形为x2-4=a十1， ,方程x2一4=a十1有4个不相等的实数根， a十1>0，即a>-1..x2-4=±(a十1). 当x2-4=a十1，即x2=a十5时，a>-1, 1y=x2-4 此方程有两个不相等的实数根； 当x2-4=-(a十1)，即x2=-a十3时， -y=a+1 此方程要有两个不相等的实数根， ∴.-a十3>0，解得a<3. 23 ,方程|x2一4|-a-1=0有4个不相等的实数根， .实数a的取值范围为-l<a<3. 。9。 培优竞赛超级课堂 9年级数学 乙的探究方程变形后从函数角度解题 方程变形为x2-4|=a十1， 如图，分别作出函数y=|x2一4|和y=a十1的图象，当两个函数的图象有4个交点时，原方程就有4个不 相等的实数根，即可求出a的取值范围，观察图象可得0<a十1<4，即一1<a<3. 变式5-1方程|x2-1|=(4-2√3)(x十2)的獬的个数为(). A.1 B.2 C.3 D.4 变式5-2（经典，全国初中数学竞赛）设方程|x2十ax|=4只有三个不相等的实数根，求a的值 和相应的三个根， 能力平台 ©培优训练 (建议用时30分钟) 4.(2024,黑龙江中考)关于x的一元二次方程(m 1.(2025,北京中考)若关于x的一元二次方程ax2十 2)x2十4x十2=0有两个实数根，则m的取值范围 2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a的值为 是( A.m≤4 B.m≥4 (). C.m≥-4且m≠2 D.m≤4且m≠2 A.-4 B.-1 C.1 D.4 5.对于一元二次方程a.x2十bx十c=0(a,b,c为常数， 2.(2025,广州中考)关于x的方程x2一x十2十2=0 且a≠0)，下列条件：①ac<0;②abc>0;③2a 根的情况为(). b十c=0.若只添加一个条件就可以判定方程有实 A.有两个相等的实数根 数根，则所有正确条件的序号是(). B.有两个不相等的实数根 A.①② B.①③ C.无实数根 C.②③ D.①②③ D.只有一个实数根 6.定义：如果一元二次方程ax2十bx十c=0满足a十 3.(2025,内江中考)若关于x的一元二次方程(a一1)· b十c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知 x2+2x+1=0有实数根，则实数a的取值范围是 “凤凰”方程ax2十bx十c=0有两个相等的实数根， (). 则下列结论：①a=c,②a=b,③b=c,④a=b=c, Aa≤2 B.a<2 ⑤当a>0时，方程a.x2+bx十c=3有两个不相等 C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠1 的实数根.正确的有 .(填序号) ·10… 第2讲一元二次方程根的判别式 7.(2023,遂宁中考)我们规定：对于任意实数a,b,c, 9.已知关于x的方程2x2一(k十4)x十 d,有[a,b]*[c,d]=ac一bd,其中等式右边是通常 2k=0. 的乘法和减法运算.例如[3,2]*[5,1]=3×5 (1)求证：无论k取何值，方程总有实 2×1=13 数根； (1)求[一4,3]*[2，-6]的值； (2)若等腰三角形的一边长为3，另外两边的长为方 (2)已知关于x的方程[x,2x一1]￥[mx+1,m]=0 程的根，求的值及三角形的周长. 有两个实数根，求m的取值范围. ⑧竞赛训练 （建议用时20分钟) 10.(经典，河南自主招生)已知关于x的一元二次方 程x2+a十2)x十=0有两个不相等的实数根， 8.已知关于x的一元二次方程mx2-4x+4-m= 则a的值可以是(). 0(m≠0). A.-3B.-2 C.0 D.-1 (1)求证：此方程总有实数根； 11.(经典，芜湖市南陵县自主招生)已知关于x的一 (2)若m为整数，且此方程有两个互不相等的非负 元二次方程ax2十bx十c=0有一个根为m,记△= 整数根，求m的值. b一4ac,则下列说法正确的是(). A.△=(am+b)2 B.△=(am-b)2 C.△=(2am+b)2 D.△=(2am-b)2 12.设下列三个一元二次方程：x2十4ax-4a十3=0， x2+(a-1)x+a2=0,x2+2a.x-2a=0中，至少 有一个方程有实数根，则实数a的取值范围 是 13.已知实数x,y满足(2x+1)2+y2+(y一2x)2= 子，求x十y的值 。11·0原方程整理可得x2-3x=891, 4 r-3x+(2)-+号，(x)-0, x号=15，x-=-15， 222=-27 “原方程的解是1=9，z 2 11(1)设x2=a,则原方程可化为a2-10a十9=0， 即(a-1)(a-9)=0,解得a=1或a=9. 当a=1时，x2=1,.x=±1； 当a=9时，x2=9,x=士3. ∴原方程的解为x1=一1，x2=1,x3=一3，x4=3. (2)设士1=m,则原方程可化为m-2=1, T2 m 即m2-m-2=0, .∴.(m+1)(m-2)=0, 解得m=-1或m=2. 当m=-1时，安=-1，即2+z+1=0, 由△=1-4×1×1=一3<0可知方程无解； 当m=2时，+1=2，即2x2-x-1=0, r2 解得x=1或x=-之 经检验，x=1和x=一}都是原分式方程的解。 (3)设x+是=y,则原方程可化为y-2-3y=2, 即y2-3y-4=0, ∴.(y十1)(y-4)=0,解得y=-1或y=4, 即x十子=一-1（方程无解，舍去）或x十是=4 x 故x十1=4. x 2C提示：x2-2mx十m2=4, ∴.(x-m十2)(x-m-2)=0, ∴.x-m十2=0或x-m-2=0, x1>x2,.0=m十2,2=m2, .x1=2x2+3,.m+2=2(m-2)+3, 解得m=3. 13D提示：x≥0,2[x]=x2,x≥0， ①当0≤x<1时，x2=0,解得x=0; ②当1≤2时，x2=2,解得x=√2或x=一√2（舍去）； ③当2≤x<3时，2=4，解得x=2或x=-2(舍去)； ④当x≥3时，方程无解. 综上，方程的解为x=0或x=2或x=√2. (参考答案与提示 ☑x=1+6或x=一3。提示：当x>-号时，原方程 可化为x2-2x-5=0, 解得x1=1十√6，x2=1-√6（舍去）； 当x≤-合时，原方程可化为2+2红-3=0， 即(x十3)(x-1)=0,解得x3=一3，x4=1(舍去). ∴.x=1十√6或x=-3. 152028.提示：(2027x)2-2026×2028x-1=0, ∴.20272x2+(-20272+1)x-1=0, ∴.(x-1)(20272x+1)=0, 解得=1，x=一2027： 1 .x2十2026.x-2027=0 .(x-1)(x+2027)=0, 解得01=1，x2=-2027. ∴.a=1,b=-2027.则a-b=1-(-2027)=2028. 第2讲一元二次方程根的判别式 例1A提示：，△=(-3)2-4×1×1=5>0， .方程x2一3x十1=0有两个不相等的实数根.故选A 例2一1.提示：因为关于x的一元二次方程(a-1)x2+ (a-1)z-2=0有两个相等的实数根， 所以△=(a-1)2-4X(a-1)×(-2）=0, 解得a1=1,a2=-1, 又因为a-1≠0，所以a≠1， 所以a=-1. 例3C提示：：关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x 3=0有两个不相等的实数根，∴.△=2-4×(a一1)× （-3》>0,且a-1≠0，解得a>号且≠1. 例A设义=，则y=x,代入等式得(x一2)2+2=3， 即(1+k2)x2-4x+1=0. x为实数， ∴.方程的判别式△=(-4)2-4(1十2)≥0，即2≤3. ∴.-√3≤k√3. 兰的最大值是，这时-宁一 【变式题组】 1-1D提示：对于A,:△=02-4X1X1<0, .方程无实数根，A不符合题意； 对于B,.△=(-2)2-4×1×1=0， ∴方程有两个相等的实数根，B不符合题意； 目培优竞赛超级课堂9年级数学 对于C,△=12-4×1×1<0， .方程无实数根，C不符合题意； 对于D,:△=12-4×1×(-1)=5>0， ∴方程有两个不相等的实数根，D符合题意. 1-2B提示：方程x2-mx十n=0的判别式△=(-m)2 -4n, 点P(m,n)在第四象限，.m>0n<0, ∴.-4n>0,∴.△=(-m)2-4n>0, .方程mx2十x十n=0有两个不相等的实数根. 2-1一1（答案不唯一）.提示：·关于x的一元二次方 程k.x2一2x十1=0有两个不相等的实数根， .△=4-4k>0,.k<1且k≠0，则不妨令k=-1. 3-1C提示：根据题意得a十1≠0且△=(-4)2一4(a十 1)>0,解得a<3且a≠-1. 3☑<-1。提示：当=1时，方程的解是x=一日， 不符合题意； 当k=一1时，方程无解，符合题意； 当≠士1时，△=（便+1）2-4(-1)×子<0，所以 k<-1. 综上所述，k的取值范围是≤一1. ≥号或≤号.提示：当≥0时，方程可化为 x2-2(y+3)x+y-4y+27=0,:△=4(y+3)2 40-4y+27)=85y-9)≥0，∴y≥号.当y<0 时，方程可化为x2+2(y-3)x十y2+4y十27=0. ,△=4(y-3)2-4(y+4y+27)=8(-5y-9)≥0， ∴人-号y的取值范固是≥号或人号。 42令y=3r2+6z+5 2x+z+1 则y(22+x+1)=3x2+6x+5, 即(y-6)x2+(2y-12)x+2y-10=0. 依题意知此方程必有实数解. 当y一6=0，即y=6时，方程无解， 故y≠6，从而方程为一元二次方程且有实数解， 因此△=(2y-12)2-4(y-6)(2y-10)≥0， 即(y-6)(y-4)≤0. ,y≠6，.4≤y<6. 当y=4时，方程为x2+2x十1=0， 解得==-1，且使得22+x十1≠0， 故3心2+6x+5的最小值为4. 22+x+1 5-1C提示：当|x≥1时，方程为x2-1=(4-2W3)(x+ 2),即x2一(4一2√3)x-9+4√3=0， 解得x1=√3，x2=4一3√3，均满足x≥1. 当|x<1时，方程为1-x2=(4-2√3)(x+2), 即x2+(4-2√3)x+7-4√3=0， 解得x=x4=√3-2，满足x<1. 综上可知，原方程有3个不相等的解. 5-2原方程等价于如下两个方程：x2+ax一4=0，① x2十ax十4=0.②设是方程①的根，则十a0 -4=0.又：'x6十ax0+4=x6+ao-4+8=8≠0， ∴.x一定不是方程②的根，则方程①和②无相同的 根.由于只有3个不相等的实根，故方程①或②必有重 根.△1=a2+16>0,△2=a2-16≥0，由于△1>0，故只 可能△2=0，即a=士4.当a=4时，三个根分别为一2， -2十2√2，-2-2√2；当a=-4时，三个根分别为2， 2+2√2,2-2√2. 【能力平台】 ①C提示：，关于x的一元二次方程ax2十2x十1=0 有两个相等的实数根， .A=0且a≠0..22-4a=0且a≠0..a=1. 2C提示：由题知△=(-1)2-4(k2+2)=-4k2-7< 0,所以方程无实数根. 3C提示：关于x的一元二次方程(a-1)x2十2x十 1=0有实数根， 1a-1≠0， 解得a≤2且a≠1， 4=22-4×(a-1)×1≥0， '.实数a的取值范围是a≤2且a≠1. ,16-4(m-2)×2≥0， 4D提示：根据题意得 （m-2≠0， 解得m≤4且m≠2. 5B提示：.ac<0,∴.-4ac>0, b≥0，.b-4ac>0, ∴.一元二次方程ax2+bx十c=0(a,b,c为常数，且a≠ 0)一定有实数根，故①正确； abc>0只能说明a,b,c都是正数或者一个为正数、两 个为负数，不能保证ac一定为负数， ∴.b一4ac不一定大于等于0，故②错误； .2a-b+c=0,∴.b=2a+c,.b-4ac=(2a+ c)2-4ac=4a2+4ac+c2-4ac=4a2+c2, .a≠0，∴.4a2>0, .c2≥0，∴.b-4ac>0, ∴.一元二次方程a.x2+bx十c=0(a,b,c为常数，且a≠ 0)一定有实数根，故③正确。 6①⑤.提示：，“凤凰”方程a.x2十bx十c=0有两个相 等的实数根，∴.b一4ac=0. ,a十b+c=0,.∴.(-a-c)2-4ac=0, ∴.(a一c)2=0,a=c,故①正确. ,b-4ac=-4a2=(b+2a)(b-2a)=0, ∴.b=-2a或b=2a, 当b=2a时，a十b十c=a+2a十a=4a=0,与a≠0矛 盾，∴.b=2a不成立， .a=c≠b,b=-2a,故②③④错误. ,a.x2+bx十c=ax2-2a.x十a=3, ∴.ax2-2ax十a-3=0, ∴.△=(-2a)2-4a(a-3)=4a2-4a2+12a=12a, a>0,.12a>0,即△>0， 故当a>0时，方程a.x2十bx十c=3有两个不相等的实 数根，故⑤正确. 7(1)[-4,3]￥[2，-6]=-4×2-3×(-6)=10. (2)根据题意得x(m.x+1)-m(2x-1)=0, 整理得m.x2+(1一2m)x十m=0. :关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个 实数根， ∴.△=(1-2m)2-4m·m≥0且m≠0， 解得m≤4且m≠0， 8(1)因为关于x的一元二次方程为mx2-4x+4-m= 0(m≠0)， 所以△=(-4)2-4m(4-m)=4(m-2)2≥0， 所以此方程总有实数根 (2)由mx2-4x+4-m=0,得=1，=-m-4, m 则-m二4=4-1. m m 因为方程有两个互不相等的非负整数根，且m为整 数，所以m=1或4. 9(1)△=(k+4)2-4X2×2k=(k-4)2, (k一4)2≥0，.无论k取何值，它总有实数根. (2)①当3是等腰三角形的底时， 则△=0，即(k一4)2=0，解得=4， 则方程为x2-4x十4=0，解得x1=x2=2, 则边长2,2,3能构成三角形，此时等腰三角形的周长 为7. ②当3是等腰三角形的腰时，则3是方程的一个根， ∴.将x=3代入2x2-(k+4)x十2k=0,得18-3(k十 参考答案与提示 4)十2k=0,解得k=6, 此时方程为x2-5x十6=0，解得x1=2,x2=3, 则边长3,3,2能构成三角形，此时等腰三角形的周长 为8. 综上所述，k=4或6，三角形的周长为7或8. 回c提示：“2+(a+2z+4=0, 4=a+2)2-4X1x号=4a+4 ,方程有两个不相等的实数根， .4a十4>0，解得a>一1.∴.a的值可以是0. 1C提示：：关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0 有一个根为m, .am2+om+c=0,..am2+om=-c, ∴.△=b+4a(am2+bm)=b+4a2m2+4abm= (2am+b)2. 回a<是或a>-1 提示：不妨假设三个方程都没 (4a)2-4×(-4a+3)<0, 有实数根，则有(a-1)2一4a2<0, (2a)2-4X(-2a)<0, 解得-<a<-1, 由于三个方程x2+4a.x-4a十3=0，x2+(a-1)x十 a2=0,x2十2a.x一2a=0中至少有一个方程有实数根， 因此实数a的取值范围是a<-号或a>-1, 13原等式可化为24x2十12x十6y2-12xy十2=0， 即12x2+6(1一y)x+3y2+1=0. xy为实数， .△=[6(1-y)]2-4×12(3y2+1)≥0， 即-9y2-6y-1≥0， .(3y+1)2≤0. 又，(3y十1)2≥0，.(3y+1)2=0, 3y+1=0=-3 将y=-号代人122+61-)x+3y2+1=0, 得9x2+6x+1=0,即(3x+1)2=0, 3x+1=0,x=-3 故x+y=}-号=号 第3讲韦达定理及其应用 例1-4048.提示：：方程x2-2024x-2025=0的 两个根分别是m,n, ,∴.m2-2024m-2025=0,n2-2024n-2025=0,m+