第1讲 一元二次方程的解法-【培优竞赛·超级课堂】2026-2027学年九年级全一册数学

第1讲 一元二次方程的解法 泉情境课堂 杨辉是南宋末期的杰出数学家，他非常重视数学教育的普及和发展，其工作不仅在当时具有重要意义， 也对后世产生了深远影响.他的成就主要体现在对古代数学的整理、创新以及数学教育思想上，其影响远及 海外. 杨辉解一元二次方程 中国古代数学家杨辉很早就会利用数形结合思想来解决生活中的一些问题， 有一次，杨辉画了一张“弦图”，解决了如下问题：一块长方形田地的面积是864平方步，已知它的宽比长 少12步，问长与宽是多少？（注：“步”是长度单位，“平方步”是面积单位，1步=5尺） 解：设宽为x步，则长为(x十12)步，得方程x(x十12)=864. 如图，杨辉将题目中所说长方形的田地安排成“弦图”中四个相同的 x+12 长方形，并组成了一个大正方形，由题目条件可知小正方形的面积是144平 S=864 方步，大正方形面积是3600平方步，于是矩形的长与宽的和是60步，得 x+12 到宽（即x的一个正数解）为24步. x+12 S小正方形 请你仿照杨辉的画图方法，解方程x2十6x一616=0（求出一个正数解 即可).（注意：画出示意图，所画图上要有必要的数据标记） x+12 典例剖析 类型1一元二次方程的定义 例1B关于x的方程(m十1)x+1+(m-3)x-1=0. (1)m取何值时，它是一元二次方程？ (2)m取何值时，它是一元一次方程？ ⑤【学找切入点】(1)根据方程中含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程是一元二次方程，可得 出答案 (2)根据方程中含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次可得出答案。 ·1· 目培优竞赛超级课堂 9年级数学 变式1-1已知关于x的方程(k2-1)x2-(k十1)x-2=0. (1)当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根 (2)当取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次 项系数、常数项. 拓展总结 解一元二次方程的注意事项 (1)一元二次方程的一般形式是a.x2十bx十c=0(a,b,c是常数且a≠0)，特别要注意a≠0这一条件； (2)在说明二次项系数、一次项系数、常数项时，一定要带上前面的符号； (3)判断一个方程是否为一元二次方程，首先要看该方程是否是整式方程，然后看化简后该方程是否只 含有一个未知数且未知数的最高次数是2. 类型2)一元二次方程的解法一配方法 2解方程：-3x2十4十号0 ⑤【学找切入点】先将常数项移到右边，再将二次项系数化为1，两边同时加上一次项系数一半的平方，将左 边配成完全平方公式，再直接开平方求解即可， 变式2-1用配方法解一元二次方程x2一2x一2026=0，将它转化为(x十a)2=b的形式，则a的 值为( A.-2026 B.2026 C.-1 D.1 变式2-23用适当的方法解方程： (1)3x2+6.x+2=0; (2)x2-4x-1=0. 类型3)一元二次方程的解法一公式法 例3用公式法解方程：2x(x十2)=3一x. ⑤【学找切入点】先把方程化成一般形式，找出a,b,c,然后计算出b2一4ac的值并判定根的情况，最后运用公 式求解即可 ·2 第1讲一元二次方程的解法 变式3-1用公式法解方程：4x2+4x+10=1一8.x. 拓展总结 用公式法解一元二次方程的步骤 (1)化方程为一般形式： (2)找出a,b,c; (3)求b-4ac; (4)代入公式x=-b士62-4ac 2a 类型4)一元二次方程的解法—因式分解法 例4对于实数a,b,定义运算“◎”如下：a◎b=(a+b)2一(a一b)2.若(m+2)◎ (m一3)=24，则m= ⑤【学找切入点】利用新定义得到[(m十2)+(m-3)]-[(m十2)-(m-3)]=24,整理得到(2m-1)2- 49=0,然后利用因式分解法解方程。 变式4-1（经典，雅安中考）若直角三角形的两边长分别是方程x2一7x+12=0的两个根，则该 直角三角形的面积是(). A.6 B.12 c12或 n6或y7 类型5) 用换元法解一元二次方程 例5请阅读下面解方程x4一7x2十12=0的过程. 解：设x2=y,则x4=y2,.原方程可化为y2-7y十12=0，解得y=3,y2=4. 当y=3时，x2=3,解得x=土√3；当y=4时，x2=4,解得x=士2. ∴.原方程有四个根，分别是x1=√3，x2=一√3，x3=2,x4=一2. 以上方法叫换元法，换元法可达到降次的目的，体现了数学的转化思想，请运用上述方法解 答下列问题 (1)解方程：(x2+x-2)(x2十x-3)=2; (2)已知a,b,c是Rt△ABC的三边(c为斜边)，S△Bc=6,且a,b满足(a2+b)2-21(a2+ b)一100=0，试求Rt△ABC的周长. ⑤【学找切入点】(1)类比题目给出的解方程的过程，设y=x2十x一2，转化为求y2一y一2=0的解，可得y 的值，即可得x2十x一2的值，再进一步解关于x的方程即可得.(2)利用换元法设y=a2十b2,可得y2一21y 100=0,解之可得a2十b2的值，再根据勾股定理知c的值，结合三角形的面积得ab=12,最后由(a十b)2-2ab= 25可得a十b,进而可求解. 。3· 目)培优竞赛超级课堂 9年级数学 变式5-1请阅读下面解方程(x2+1)2一2(x2+1)一3=0的过程 解：设x2+1=y,则原方程可变形为y2一2y一3=0， 解得y1=3,y=一1. 当y=3时，x2+1=3,解得x=±√2； 当y=一1时，x2+1=一1，即x2=一2，此方程无实数解. ∴原方程的解为x=√2,2=一√2. 请用换元法解方程：（乙）°-2（乙）-15=0. 拓展总结 例5主要考查用换元法解方程和勾股定理，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量 代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题 简单化，使问题变得容易处理. 类型6与一元二次方程的根有关的求值问题 例6(2025，武汉外国语学校月考)已知实数a是一元二次方程x2一2026x十1=0的一个根， 则代数式a2-2025a- 的值为 ⑤【学找切入点】由方程根的定义可得a2-2026a=一1，a2+1=2026a,然后整体代入所求的代数式求值 即可. 变式6-1若m是方程x2-x一1=0的根，则2m2-2m+2025的值为(). A.2027 B.2026 C.2025 D.2024 变式6-2若关于x的方程ax2十bx十c=0(a≠0)满足a一b十c=0,称此方程为“贺岁”方程.已知方 a 程a2-2026a+1=0(a≠0)是“贺岁”方程，则a+2027a2026a+的值为( A.-2026 B.2026 C.-2027 D.2027 拓展总结 若xo是一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)的根，则有ax十bx十c=0.特别地，当x=1时，a十b十 c=0;当x0=一1时，a-b十c=0;当x0=0时，c=0. 有关一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)根的代数式的化简、求值问题，常常需要对方程进行适当的变 形，常见的变形方法有： (1)a.x2=-bx-c;(2)ax2+bx=-c;(3)a.x2+c=-bx;(4)ax+￡=-b(x≠0). x 其中(1)(2)(3)体现了“降次”代换的思想，(4)则体现了构造倒数关系作等值代换的思想. 4· 第1讲一元二次方程的解法 研讨乐园 例7解方程：9(3x十1)2=4(x一1)2. 【解】甲的探究（直接开平方法） 由原方程，得3(3x十1)=土2(x-1), .3(3x+1)=2(x-1)或3(3x+1)=-2(x-1), 解得西=一哥=一品 乙的探究（因式分解法）】 由原方程，得9(3x十1)2-4(x一1)2=0， .(9x+3-2x+2)(9x+3+2x-2)=0, ∴.(7x+5)(11x+1)=0,则7x+5=0或11x+1=0, 解得=一号。=一 丙的探究（公式法） 将方程化为一般形式，得77x2+62x十5=0，则可得a=77,b=62,c=5, .△=b2-4ac=622-4X77X5=2304>0, -62装治0-，解得=-号a=一品 2×77 变式7-1解方程：(x-1)2=4(2x-5)2. 能力平台 ©培优训练 (建议用时30分钟) 3.关于x的一元二次方程(k一2)x2十x十一4=0 1.用配方法解一元二次方程x2一6x十8=0配方后得 的一个根为0，则飞的值是(). A.2 B.-2 C.±2 D.土4 到的方程是(）. 4.若方程a.x2十bx十c=0(a≠0)中，a,b,c满足a A.(x-6)2=44 B.(x-6)2=28 b+c=0和16a十4b十c=0,则方程的根是(). C.(x-3)2=17 D.(x-3)2=1 A.0,4 B.0,-4 2.在用求根公式x=一b士4c求一元二次方程 2a C.-1,4 D.1,4 的根时，小珺正确地代入了a,b,c得到x 5.若Rt△ABC的两边长是方程x2-10x+24=0的 两个根，则Rt△ABC的斜边长为(). 3±√(-3)2-4X2×(-1) 2×2 ,则她求解的一元二次 A.6 B.25或2√13 方程是(). C.6或2√13 D.6或25 A.2x2-3x-1=0 B.2x2+4x-1=0 6.关于x的方程(a+1)x2+1-3x-1=0是一元二次 C.-x2-3x+2=0 D.3x2-2x+1=0 方程，则a的值是 5· 目培优竞赛超级课堂 9年级数学 7.已知a是方程x2十2x=3的一个根，则代数式 (1)解方程：x一10x2+9=0; 2a2+4a+2026的值为 (2)解方程：士12x 8.若一个三角形的两条边分别是5和7，另一条边是 x2x十1-1； 一元二次方程x2一10x十16=0的根，则这个三角 (3)若实数x满是x+-3x一2-2，求x+日 形的周长为 的值， 9.若实数x,y满足(x2+y)2-6(x2+y2)-16-0, 则x2+y2的值为 10.用合适的方法解方程：4x2一12x一891=0. 11.阅读材料： ⑧竞赛训练 (建议用时20分钟) 在学习了解一元二次方程以后，对于某些不是 12.关于x的方程x2一2mx十m2=4的两个根x1,x2 元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为 满足x1=2x2十3，且x1>x2,则m的值为(）. 一元二次方程来解。 A.-3 B.1 C.3 D.9 解方程：x2一3x十+2=0. 13.定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4幻 解：设x=y, =1,[-1.2]=-2,[-3]=-3,则方程2[x]= 则原方程可化为y2一3y十2=0， x2的解为(). 解得y=1,y2=2. A0或2 B.0或2 当y=1时，|x=1,.x=士1； C.2或√2 D.0或√2或2 当y=2时，|x=2,∴.x=士2. 14.方程x2-一4=|2x+1的解是 .原方程的解为x1=1,x2=-1,x3=2,x4=一2. 15.已知方程(2027x)2一2026×2028x-1=0的较 上述解方程的方法叫作换元法.请用换元法解决 大根为a,方程x2+2026x一2027=0的较小根 下列问题： 为b,则a一b= ·6参考答案与提示 第1讲一元二次方程的解法 综上，原方程的解为4=52,4=25， 2,= 例1(1)：(m十1)x+1十(m-3)x-1=0是一元二次方 程，∴.m十1≠0，m2+1=2,解得m=1, 7-1,x4=-1,应 2 2 当m=1时，方程(m+1)x+1+(m-3)x-1=0是一 (2)设y=a2+2,则y2-21y-100=0, 元二次方程。 整理得(y-25)(y十4)=0， (2),(m十1)xm+1+(m-3)x-1=0是一元一次方 解得y1=25,2=-4(舍去)， 程，.①m+1=0,解得m=-1;②m十1≠0，m2+ 故a2+6=25. 1=1,解得m=0;③m2+1=0且m-3≠0，此时无解. .c=5. 故当m=0或m=-1时，方程(m十1).x+1十(m-3)x-1 S△ABc=6, =0是一元一次方程. 2-32+4x+号-0，移项得-32+4红=-号， ∴7a6=6，ab-12 又.a2+b=25,即(a+b)2-2ab=25, 方程两边同除以一3，得2-专x=号， .(a十b)2=49, 两边同时加号，得2一专x号-号， a+b=7, ∴.a十b+c=12, 配方，得(x一号)=号， 即△ABC的周长为12. 例6-1.提示：：实数a是一元二次方程x2一2026.x 两边同时开方，得x一号=士， 3 +1=0的一个根， 3,=26 解得=2+6，」 .a2-2026a+1=0. 3 .a2-2026a=-1,a2+1=2026a. 例3原方程变形为2x2+5x-3=0, .a=2,b=5,c=-3,.△=25十4×2X3=49, d-2025a-号品=d-200a+a-20 2026 -1+a-a=-1. x=5厘，a=号w=-3 4 【变式题组】 例4-3或4.提示：依题意得[(m十2)十(m-3)]2一 11(1)原方程为一元一次方程， [(m+2)-(m-3)]2=24, /-1=0, 解得=1. ,∴.(2m-1)2-49=0, k+1≠0， .∴.(2m-1+7)(2m-1-7)=0, (2)原方程为一元二次方程， ∴.2m-1+7=0或2m-1-7=0, ∴-1≠0，解得≠士1， ∴.m1=-3,m2=4. 故该方程的二次项系数为k2一1，一次项系数为一(k十 例5(1)设y=x2+x-2,则y2-y-2=0, 1),常数项为一2. 解得1=-1，y2=2. 2-1C提示：由题意知x2-2x-2026=0,x2-2x= 当x2十x-2=-1即x2十x-1=0时， 2026,x2-2x+1=2026+1,(x-1)2=2027, 解得x=一1±⑤ 所以a=-1,b=2027,所以a=(-1)202m=-1, 2； 当x2十x-2=2即x2十x一4=0时， B21①)3x+6x+2=0,2+2x=-号，d+2x+1- 解得x=一1±7 2 -号+1，+12=3，则x+1=±√写， 目)培优竞赛超级课堂9年级数学 所以a=一1-号4=-1+号 31 则5x-1=0或-3x十9=0，所以a=号a=3 (2)x2-4x-1=0,x2-4x+4=1+4,(x-2)2=5, 【能力平台】 则x-2=士5，所以=2-√5，x2=2十√5. 1D提示：原方程移项得x2-6x=一8， 3-14x2+4x+10=1-8x,4x2+12x+9=0, .(x-3)2=1. 4=122-4×4×9=0,则x=-13±0 2A提示：由题意得a=2,b=-3,c=-1. 2X4 3B提示：把x=0代人(k-2)x2十x+k2-4=0, 所以=8=一多 得k2-4=0,∴k=士2. 41D提示：x2-7x+12=0,.x=3或x=4. k-2≠0，.k≠2， ,k=-2 当长为4的边是直角边时，该直角三角形的面积是 4C提示：由条件可得a一b十c=0, 合X3×4=6:当长为4的边是斜边时，第三边是 ∴方程的一个解是x=一1， √4-3=7，该直角三角形的面积是号×3×7 ,把x=4代入得16a+46十c=0, ∴方程的一个解是x=4. =37 2 5C提示：x2-10x十24=0，(x-4)(x-6)=0, ∴.x1=4,x2=6, 5设，号1=a,则d2-2a-15=0,解得a=-3或a=5. Rt△ABC的两直角边的长都是方程x2一10x+ 当a=-3时2马=-3，解得x=是， 24=0的根， 有两种情况：①两条直角边是4,6，由勾股定理得斜 经检验，x一是是分式方程的解， 边为√42+6=2√13；②一条直角边是4，斜边是6. 当a=5时，z÷=5,解得x= 4 故选C. 61.提示：，关于x的方程(a十1)x2+1-3x-1=0是 经检验，x一寻是分式方程的解。 一元二次方程， ∴原分式方程的解是0= 425 .a2+1=2, 4 a=±1. 6-1A提示：由条件可得m2-m=1, :a+1≠0， .原式=2(m2-m)+2025=2X1+2025=2027. a=1. 62C提示：根据题意得“贺岁”方程的一个解为x=一1， 72032.提示：由条件可知a2十2a=3, 方程a2x2-2026ax十1=0(a≠0)是“贺岁”方程， .2a2+4a+2026=2(a2+2a)+2026=2×3+2026 .a2+2026a+1=0, =2032. 即a2+2026a=-1,2026a+1=-a2, 820.提示：x2-10x+16=0,(x-2)(x-8)=0, 原式=(a2+2026a)+a-2026a+1 01=2,x2=8, =c+202so)+2,02202a a ①三角形的三边是5,7,2，因为5十2=7， 不符合三角形的三边关系，故舍去： 2026a2 =(a+2026a)+2026a+1 ②三角形的三边是5,7,8，此时符合三角形的三边关系. .三角形的周长是5+7+8=20. =-1+2026a2 -a2 98.提示：令x2+y2=m>0, =-1-2026 则原方程可转化为m-6m一16=0， =-2027. .∴.(m+2)(m-8)=0, 7-1(.x-1)2=4(2x-5)2,(x-1)2-(4x-10)2=0, ∴.m十2=0，m-8=0, (x-1+4x-10)(x-1-4x+10)=0, .∴.m=一2（舍去），m=8, (5x-11)(-3x+9)=0, x2+y2的值为8. 2 参考答案与提示 四原方程整理可得2-3x-, 囚x=1+6或x=-3,提示：当>-2时，原方程 ∴r-3z+(是)-驷+9，(x-）‘-09, 可化为x2-2x-5=0, 解得x=1十√6，x2=1-√6（舍去）： x-3=15,x-=-15， 当x≤-2时，原方程可化为2+2x-3=0, 小原方程的解是4-受。=一受 即(x十3)(x-1)=0,解得x3=一3，x4=1(舍去). 11(1)设x2=a,则原方程可化为a2-10a十9=0， ∴.x=1十√6或x=-3. 即(a-1)(a-9)=0,解得a=1或a=9. 152028.提示：(2027x)2-2026×2028x-1=0, 当a=1时，x2=1,x=士1； ∴.2027x2+(-20272+1)x-1=0, 当a=9时，x2=9,∴x=±3. ∴.(x-1)(20272x+1)=0, ∴.原方程的解为x1=一1，x2=1,x3=一3，x4=3. 解得x1=1,x2=一 1 (2②)设尘=，则原方程可化为m2=, 20272: m ,x2+2026.x-2027=0, 即m2-m-2=0, .(x-1)(x+2027)=0, ∴.(m+1)(m-2)=0, 解得x1=1,x2=-2027. 解得m=一1或m=2. .a=1,b=-2027.则a-b=1-(-2027)=2028. 当m=-1时，1=-1，即x+x+1=0, 第2讲一元二次方程根的判别式 例1A提示：4=(-3)2-4X1×1=5>0, 由△=1一4×1×1=一3<0可知方程无解； ,.方程x一3x十1=0有两个不相等的实数根.故选A 当m=2时，+1=2，即2x2-x-1=0, 例2一1.提示：因为关于x的一元二次方程(a一1)x2+ 解得x=1或x=一之 (a一1)x一号=0有两个相等的实数根， 经检验，x一1和x=一都是原分式方程的解， 所以△=a-1D-4×(a-1D×(-号)=0， (3)设x+士=，则原方程可化为-2-3y=2, 解得a1=1,a2=-1, 又因为a-1≠0，所以a≠1， 即y2-3y-4=0, 所以a=-1. ∴.(y十1)(y-4)=0,解得y=-1或y=4, 例3C提示：：关于x的一元二次方程(a一1)x2+2x 即x+是=-1（方程无解，合去）或x十=4 3=0有两个不相等的实数根，.△=22-4X(a一1)× x 故x叶是- (-3)>0,且a-1≠0，解得a>号且a≠1. 2C提示：x2-2mx十m2=4, 例4设义=，则y=x,代入等式得(x一2)+2=3， .(x-m十2)(x-m-2)=0, 即(1+k)x2-4x+1=0. ∴.x-m+2=0或x-m-2=0, :x为实数， x1>x2,.0=m+2,x2=m-2, .方程的判别式△=(-4)2-4(1+k2)≥0，即2≤3. x1=2x2+3,∴.m+2=2(m-2)+3, .-√3≤≤5 解得m=3. 13D提示：，x≥0,2[x]=x2,.x≥0， “之的最大值是区，这时x=合号 ①当0≤x<1时，x2=0,解得x=0; 【变式题组】 ②当1≤x2时，x2=2,解得x=√2或x=一√2（舍去）； 1-1D提示：对于A,,△=02-4×1×1<0， ③当2≤x<3时，x2=4,解得x=2或x=-2(舍去)； .方程无实数根，A不符合题意； ④当x≥3时，方程无解. 对于B,.△=(-2)2-4×1×1=0， 综上，方程的解为x=0或x=2或x=√2. ∴方程有两个相等的实数根，B不符合题意；