重难点04 二次函数：应用题专项（7大知识点+8大题型培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

重难点04 二次函数：应用题专项 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 二次函数应用题通用建模步骤（必考规范） 知识点二 销售利润类模型（中考最高频） 知识点三 几何面积最值模型（分班测/期末压轴高频） 知识点四 抛物线轨迹模型（运动类应用题） 知识点五 增长率与产量动态模型 知识点六 二次函数应用题区间最值核心法则（重难点） 知识点七 含限定条件的方程求解 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 图形问题 题型2 图形运动问题 题型3 拱桥问题 题型4 销售利润问题 题型5 投球问题 题型6 喷水问题 题型7 增长率问题 题型8 其他问题 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 1. 标准化建模流程：熟练掌握二次函数应用题审、设、列、定、求、答完整解题步骤，重点掌握自变量实际取值范围的判定方法，是所有应用题的基础必考考点。 2. 销售利润核心建模：掌握售价、进价、销量、单件利润、总利润的数量关系，能根据价量联动规律构建二次函数解析式，求解最大利润、对应定价等核心问题。 3. 几何面积最值应用：依托矩形围栏、图形裁剪、动点几何等场景，利用边长关系建立面积二次函数，求解图形最大/最小面积，明确边长正数约束条件。 4. 抛物线轨迹建模：针对拱桥、隧道、投篮、喷水等运动场景，掌握平面直角坐标系搭建方法，熟练运用顶点式求抛物线解析式，求解高度、距离、通行判定等实际问题。 5. 区间最值判定：核心重难点，掌握二次函数顶点最值与实际自变量区间的适配规则，能区分数学最值与实际最值的差异，精准求解受限区间内的最值。 6. 限定条件求解：根据固定利润、固定面积、固定高度等已知条件，反向列方程求解变量，并结合实际场景验根取舍。 7. 动态产量与产值模型：掌握产量、销量、单价双变量联动规律，构建二次函数求解最优产值、最优产量。 1. 基础命题：以单一简单场景设问为主，侧重基础建模和直接最值计算，题干条件直白、变量关系清晰，多作为解答题基础大题，考查学生基本建模能力和计算功底，难度偏低。 2. 中档命题：聚焦利润、几何面积两大核心题型，增加涨价/降价变式、边长受限、销量整数限制等约束条件，重点考查区间最值判断、自变量范围取舍，是期中、期末统考的核心主打题型。 3. 拔高命题：以抛物线轨迹、动点几何面积、方案择优为载体，融合图像分析、方程求解、区间讨论综合设问，多设置多问梯度，从基础建模到最值探究层层递进，作为期末压轴大题、分班测拉分题。 4. 素养命题：贴合生活真实情境，弱化机械套公式解题，侧重考查数学建模、数形结合、分类讨论核心素养，部分题目增设整数最优解、方案对比选择等开放性设问，贴合中考命题趋势。 5. 本地考情风向：广州地区考试极少出现偏题怪题，重点卡死“自变量取值范围、区间最值取舍、实际意义验根”三大细节，侧重考查解题规范性与思维严谨性。 考情解码： 1. 模块地位：本专题是九年级核心应用大题模块，是一元二次方程应用的进阶升级，也是二次函数数形结合思想的落地载体，属于初中代数“计算+建模+应用”的综合收官模块，在初高中衔接中至关重要。 2. 考频与分值：月考、期中、期末、中考必考大题，固定占据解答题核心位置，单题分值8–12分，是稳定得分、拉开差距的关键题型。 3. 高频考法：利润最值问题、围栏面积最值问题、抛物线轨迹问题为三大绝对高频母题；区间受限最值、整数最优解、固定值反向求参是高频拔高考法。 4. 核心失分规律：忘记标注自变量取值范围、顶点最值不验证实际区间、价量关系颠倒、未舍去不合理的根、忽略边长/销量为正的隐藏条件，是学生最普遍的五大失分点；多数学生能列对函数，但因细节不规范丢分。 5. 备考核心：摒弃纯计算思维，建立“先定范围、再找最值、最后验证实际意义”的标准化解题逻辑，熟练掌握各类题型建模模板，重点突破区间取舍与细节规范，实现大题满分。 知识点一 二次函数应用题通用建模步骤（必考规范） 1. 审：读懂实际情境，梳理已知常量、变化量，找准题目隐藏等量关系与限制条件。 2. 设：合理设自变量 x（通常设变化量、单价变动、边长、时间等），明确函数 y 的实际意义。 3. 列：根据题目数量关系，列出二次函数解析式 或顶点式 4. 定：核心易错点 根据实际场景确定自变量取值范围（边长>0、销量为正、价格合理、整数限制等）。 5. 求：利用顶点公式、配方法求最值，或结合区间判断最值。 6. 答：结合实际意义作答，舍去不合理解，保证答案贴合生活情境。 知识点二 销售利润类模型（中考最高频） 1. 核心基础公式（所有利润题通用） 单件利润 = 实际售价 − 进价（成本） 总利润 = 单件利润 × 销售数量 销售额 = 售价 × 销售数量 2. 价量联动规律 售价上涨，销量下降；售价下降，销量上升，价格与销量呈一次线性关系，最终总利润构成二次函数。 3. 标准建模模板 设涨价/降价 x元，构建：单件利润、实际销量两个含 x 的代数式，再相乘得到总利润二次函数。 4. 最值判定关键：必须验证顶点横坐标是否在自变量允许区间内，不在区间内则取区间端点最值。 知识点三 几何面积最值模型（分班测/期末压轴高频） 1. 核心逻辑：图形边长随变量变化，面积是边长的二次函数，求面积最大值或最小值。 2. 常见题型模板 （1）靠墙围栏问题：设垂直墙边长为 x，利用围栏总长表示另一边长度，面积 S=长×宽，构造二次函数求最值。 （2）矩形裁剪、边框、通道问题：利用平移思想表示有效长宽，建立面积函数。 （3）动点几何面积：动点运动时间 t作为自变量，用速度×时间表示动态边长，求解三角形、矩形、梯形面积最值。 3. 硬性约束：所有边长必须大于0，据此锁定自变量取值范围。 知识点四 抛物线轨迹模型（运动类应用题） 1. 适用场景：抛球、投篮、喷水、隧道、拱桥、飞行轨迹，轨迹为标准抛物线。 2. 解题核心方法：建系求解 以顶点、地面中点、出发点为原点建立平面直角坐标系，优先使用顶点式求解解析式，计算简便。 3. 常规设问：求最大高度、求水平距离、判断能否通过隧道、判断是否命中目标。 4. 解题逻辑：已知横坐标求高度、已知高度求距离，结合解析式代入计算。 知识点五 增长率与产量动态模型 1. 单变量变动模型：产量、销量、产值随月份、次数变化，形成二次增长/衰减关系。 2. 双变量联动：单价变动同时影响销量，最终产值、总产量形成二次函数，求最优产值。 知识点六 二次函数应用题区间最值核心法则（重难点） 1. 顶点在取值范围内：顶点处取得最值（a>0最小，a<0 最大）。 2. 顶点在取值范围左侧：函数单调增减，右端点取最值。 3. 顶点在取值范围右侧：函数单调增减，左端点取最值。 4. 必考陷阱：二次函数顶点是数学最值，不一定是实际问题最值，必须服从实际自变量范围。 知识点七 含限定条件的方程求解 1. 已知固定利润、固定面积、固定高度，反向列方程求自变量取值。 2. 求解后必须双检验：方程解正确 + 符合实际情境，舍去负数、超范围值、不合理数值。 题型1 图形问题 【例1】如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】如图，正方形边长为分别为各边上的点且不与顶点重合，，设小正方形的面积为为x，则S关于x的函数图象大致是（   ） A．B．C．D． 【变式训练1-3】国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为． (1)求y与x的函数表达式； (2)若改造后观花道的面积为，求x的值； (3)若要求，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值． 题型2 图形运动问题 【例2】如图所示，在中，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为S，则下列能大致反映S与m函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式训练2-2】如图，水平放置的边长为的正方形，边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，现将正方形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，正方形与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 题型3 拱桥问题 【例3】某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，如图2所示，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】．赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（        ）米． A．7 B．8 C．9 D．10 【变式训练3-3】根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点距离地面．       素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）    问题解决： (1)确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算确定机动车道一的限高高度． 题型4 销售利润问题 【例4】某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 【变式训练4-1】软件的经营，主要是服务器租用和软件销售．服务器的月租金支出固定为a元，软件销售按份按年收费（即：服务器租金按月支付，软件按年收费）．经过一段时间的试运营后，发现：某款软件年销售的份数n（份）与售价x（元/份）的关系为：．设该款软件经营的年销售收入为v（元）．当元时，年收入记为元；当元时，年收入记为元，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个a，使得 B．无论a为多少，都有 C．可以找到一个a，使得 D．无论a为多少，都有 【变式训练4-2】某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵． (1)基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元，每年的销售总收入为万元． ①求y关于t的函数关系式； ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求的值． (2)该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育．设改良培育后的价格为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵时，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 【变式训练4-3】某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件）与时间（第天）满足关系式：； ②该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t（第t天） 1 2 10 20 …… 日销售量y（件） 119 118 110 100 …… (1)直接写出y与t之间的函数解析式； (2)设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ (3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果． 题型5 投球问题 【例5】如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练5-2】如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数（）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 … y 0 6 8 n … 有下列结论： ①； ②当小球飞行的水平距离为2米时，小球距离斜坡的高度为6米； ③小球的落点A距离斜坡起点O的水平距离为7米； ④小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为米． 其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练5-3】中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练．如图，在某次训练中，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），划出一条漂亮的抛物线，足球在距点4米的处达到最高点，最高点距地面的高度为米，球在点落地后又一次弹起落在点处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)当时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求足球第二次落地点到点的距离（结果保留根号）； (3)在第一次落球点的左右分别取点，且，若第一次球落在区域内（包括点），求的取值范围． 题型6 喷水问题 【例6】某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【变式训练6-1】如图，这是一个简易桶装水的取水装置和其出水示意图，从出水口处喷出的水流可抽象为抛物线，点是水流与水杯底部的接触点．若水流运动的高度（单位：厘米）与水平距离（单位：厘米）近似满足函数关系式，则该抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式训练6-3】政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 题型7 增长率问题 【例7】某新能源汽车配件公司四月份生产配件万个，经过连续两个月的增长，到六月份生产配件达到了万个，设每个月增长的百分率都是，则与的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-1】为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】某企业的销售利润原来是m万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y 与x的函数关系式是（    ） A．y=x+m B．y=m（x-1） C．y=m（1+x） D．y=m（1-x） 【变式训练7-3】16．某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（万件）将随计划所定的x的值而确定，那么y与x之间的关系式应表示为________． 题型8 其他问题 【例8】水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 【变式训练8-1】电暖气（如图1）可以通过旋钮开关调节电路的总电阻来控制电流的变化，从而实现功率的改变．在额定功率范围内，电暖气电路的电流I（单位：A）与实际功率P（单位：W）的二次函数图象如图2所示，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．P与I的函数关系式是 C．在额定功率范围内，P随I的增大而增大 D．I每增加，P的增加量相同 【变式训练8-2】某经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度与时间满足二次函数，其图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（     ） A．该图象的对称轴是直线 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为 C．当时，该无人机飞行的高度为 D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是 【变式训练8-3】无人机融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援等，成为贴近日常的实用科技伙伴．数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程，如图，以无人机的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．无人机在起飞后沿直线上升，到达点后，此时距离地面0.1千米，保持高度不变，以20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点，此时，发现前方距离起点水平距离2千米处出现一障碍物高度为0.275千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行轨迹呈抛物线形状，越过障碍物后降落到地面点处．已知直线的表达式为，抛物线的表达式为． (1)点的坐标为_________，点的坐标为_________； (2)求抛物线的表达式； (3)如图，若无人机在点发现障碍物后，可沿原水平方向继续飞行千米后再开启紧急避障模式，开启后飞行轨迹的形状不变，且飞行轨迹最高点的高度不变．为确保无人机飞行高度不低于障碍物高度，求的最大值． 1．如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是；③当时，；④当时，．其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 3．如图，在正方形中，是的中点，动点从点出发沿边匀速运动，到达点时停止运动，过点作，交于点，设，的面积为，的面积为，则与，与的函数关系分别是（    ） A．均为一次函数 B．均为二次函数 C．一次函数，二次函数 D．二次函数，一次函数 4．为筹备校园“正方形主题文化角”，工作人员用两个边长相同的正方形展板布置：如图1，固定展板（顶点、在直线展台上）与移动展板（顶点、在直线展台上），移动展板可沿平移．设固定展板顶点与移动展板顶点的距离为（单位：），两个展板重叠部分的面积为（单位：），关于的函数图象如图2所示．下列选项不正确的是（    ） A．正方形的边长为 B．当时，重叠面积 C．函数图象的最高点的坐标为 D．当时，重叠面积 5．小华用黑、白两个小球开展模拟实验．如图①所示，在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同时向右运动，黑球在A处开始减速，黑球的运动速度与运动时间满足，白球在B处开始以的速度匀速运动．设运动时间为x（单位：），黑白两球之间的距离为y（单位：）．如图②所示，y关于x的函数图象（已包含此函数图象的全部信息）成二次函数关系，与y轴交于点C，最低点，且经过点．下列说法正确的是（    ） A． B．点在二次函数图象上 C．A，B两点相距 D．两个小球会发生碰撞 6．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线（a为常数，）运动，其中x（单位：m）是铅球离初始位置的水平距离，y（单位：m）是铅球离地面的高度．若铅球在抛出时离地面的高度为，有下列结论： ①铅球运动的高度可以是； ②铅球掷出的水平距离为； ③当铅球离地面的高度为时，它离初始位置的水平距离为． 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．如图1，在中，，，，动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动，当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示，则下列结论错误的是（   ） A． B．时， C． D．时，面积最大 8．在中，，，，点从出发沿方向运动，从出发，沿方向运动，同时开始运动，速度都为1，运动时间为，的面积为．在运动过程中与大致的函数图象为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，P，Q分别是边上的动点，，设，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 10．如图①，在四边形中，，，，，点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C，点Q同时从点C出发沿以的速度匀速运动至点B，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，的面积为，图②是点P，Q运动时，y随时间x变化的函数图象，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 11．近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数（辆）与每辆车每天的租金（元）满足关系式（，且为的整数倍），公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共元，设租车公司每天的利润为元． (1)求与的函数关系式．（利润租金支出） (2)公司在“十一黄金周”的前天每天都获得了最大利润，但是后天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过元．请确定这天公司获得的总利润最多为多少元？ 12．某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 13．某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计： (3)若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 14．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一 ．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据 ： x/m 0 10 20 30 40 50 60 y/m 54.0 57.8 57.6 53.4 45.2 33.0 16.8 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)为观察y与x之间的关系，建立坐标系，以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们； (2)观察发现，（1）中的曲线可以看作是 的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为 m（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点； (3)乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点 （填写“高”或“低”）约 m （结果保留小数点后一位）． 15．在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 16．某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） (1)已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标； (2)若水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁； (3)在的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围． 17．如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 18．为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为1.8米，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4米，距水平地面的高度是3米，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10米为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分． 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点04 二次函数：应用题专项 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 二次函数应用题通用建模步骤（必考规范） 知识点二 销售利润类模型（中考最高频） 知识点三 几何面积最值模型（分班测/期末压轴高频） 知识点四 抛物线轨迹模型（运动类应用题） 知识点五 增长率与产量动态模型 知识点六 二次函数应用题区间最值核心法则（重难点） 知识点七 含限定条件的方程求解 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 图形问题 题型2 图形运动问题 题型3 拱桥问题 题型4 销售利润问题 题型5 投球问题 题型6 喷水问题 题型7 增长率问题 题型8 其他问题 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 1. 标准化建模流程：熟练掌握二次函数应用题审、设、列、定、求、答完整解题步骤，重点掌握自变量实际取值范围的判定方法，是所有应用题的基础必考考点。 2. 销售利润核心建模：掌握售价、进价、销量、单件利润、总利润的数量关系，能根据价量联动规律构建二次函数解析式，求解最大利润、对应定价等核心问题。 3. 几何面积最值应用：依托矩形围栏、图形裁剪、动点几何等场景，利用边长关系建立面积二次函数，求解图形最大/最小面积，明确边长正数约束条件。 4. 抛物线轨迹建模：针对拱桥、隧道、投篮、喷水等运动场景，掌握平面直角坐标系搭建方法，熟练运用顶点式求抛物线解析式，求解高度、距离、通行判定等实际问题。 5. 区间最值判定：核心重难点，掌握二次函数顶点最值与实际自变量区间的适配规则，能区分数学最值与实际最值的差异，精准求解受限区间内的最值。 6. 限定条件求解：根据固定利润、固定面积、固定高度等已知条件，反向列方程求解变量，并结合实际场景验根取舍。 7. 动态产量与产值模型：掌握产量、销量、单价双变量联动规律，构建二次函数求解最优产值、最优产量。 1. 基础命题：以单一简单场景设问为主，侧重基础建模和直接最值计算，题干条件直白、变量关系清晰，多作为解答题基础大题，考查学生基本建模能力和计算功底，难度偏低。 2. 中档命题：聚焦利润、几何面积两大核心题型，增加涨价/降价变式、边长受限、销量整数限制等约束条件，重点考查区间最值判断、自变量范围取舍，是期中、期末统考的核心主打题型。 3. 拔高命题：以抛物线轨迹、动点几何面积、方案择优为载体，融合图像分析、方程求解、区间讨论综合设问，多设置多问梯度，从基础建模到最值探究层层递进，作为期末压轴大题、分班测拉分题。 4. 素养命题：贴合生活真实情境，弱化机械套公式解题，侧重考查数学建模、数形结合、分类讨论核心素养，部分题目增设整数最优解、方案对比选择等开放性设问，贴合中考命题趋势。 5. 本地考情风向：广州地区考试极少出现偏题怪题，重点卡死“自变量取值范围、区间最值取舍、实际意义验根”三大细节，侧重考查解题规范性与思维严谨性。 考情解码： 1. 模块地位：本专题是九年级核心应用大题模块，是一元二次方程应用的进阶升级，也是二次函数数形结合思想的落地载体，属于初中代数“计算+建模+应用”的综合收官模块，在初高中衔接中至关重要。 2. 考频与分值：月考、期中、期末、中考必考大题，固定占据解答题核心位置，单题分值8–12分，是稳定得分、拉开差距的关键题型。 3. 高频考法：利润最值问题、围栏面积最值问题、抛物线轨迹问题为三大绝对高频母题；区间受限最值、整数最优解、固定值反向求参是高频拔高考法。 4. 核心失分规律：忘记标注自变量取值范围、顶点最值不验证实际区间、价量关系颠倒、未舍去不合理的根、忽略边长/销量为正的隐藏条件，是学生最普遍的五大失分点；多数学生能列对函数，但因细节不规范丢分。 5. 备考核心：摒弃纯计算思维，建立“先定范围、再找最值、最后验证实际意义”的标准化解题逻辑，熟练掌握各类题型建模模板，重点突破区间取舍与细节规范，实现大题满分。 知识点一 二次函数应用题通用建模步骤（必考规范） 1. 审：读懂实际情境，梳理已知常量、变化量，找准题目隐藏等量关系与限制条件。 2. 设：合理设自变量 x（通常设变化量、单价变动、边长、时间等），明确函数 y 的实际意义。 3. 列：根据题目数量关系，列出二次函数解析式 或顶点式 4. 定：核心易错点 根据实际场景确定自变量取值范围（边长>0、销量为正、价格合理、整数限制等）。 5. 求：利用顶点公式、配方法求最值，或结合区间判断最值。 6. 答：结合实际意义作答，舍去不合理解，保证答案贴合生活情境。 知识点二 销售利润类模型（中考最高频） 1. 核心基础公式（所有利润题通用） 单件利润 = 实际售价 − 进价（成本） 总利润 = 单件利润 × 销售数量 销售额 = 售价 × 销售数量 2. 价量联动规律 售价上涨，销量下降；售价下降，销量上升，价格与销量呈一次线性关系，最终总利润构成二次函数。 3. 标准建模模板 设涨价/降价 x元，构建：单件利润、实际销量两个含 x 的代数式，再相乘得到总利润二次函数。 4. 最值判定关键：必须验证顶点横坐标是否在自变量允许区间内，不在区间内则取区间端点最值。 知识点三 几何面积最值模型（分班测/期末压轴高频） 1. 核心逻辑：图形边长随变量变化，面积是边长的二次函数，求面积最大值或最小值。 2. 常见题型模板 （1）靠墙围栏问题：设垂直墙边长为 x，利用围栏总长表示另一边长度，面积 S=长×宽，构造二次函数求最值。 （2）矩形裁剪、边框、通道问题：利用平移思想表示有效长宽，建立面积函数。 （3）动点几何面积：动点运动时间 t作为自变量，用速度×时间表示动态边长，求解三角形、矩形、梯形面积最值。 3. 硬性约束：所有边长必须大于0，据此锁定自变量取值范围。 知识点四 抛物线轨迹模型（运动类应用题） 1. 适用场景：抛球、投篮、喷水、隧道、拱桥、飞行轨迹，轨迹为标准抛物线。 2. 解题核心方法：建系求解 以顶点、地面中点、出发点为原点建立平面直角坐标系，优先使用顶点式求解解析式，计算简便。 3. 常规设问：求最大高度、求水平距离、判断能否通过隧道、判断是否命中目标。 4. 解题逻辑：已知横坐标求高度、已知高度求距离，结合解析式代入计算。 知识点五 增长率与产量动态模型 1. 单变量变动模型：产量、销量、产值随月份、次数变化，形成二次增长/衰减关系。 2. 双变量联动：单价变动同时影响销量，最终产值、总产量形成二次函数，求最优产值。 知识点六 二次函数应用题区间最值核心法则（重难点） 1. 顶点在取值范围内：顶点处取得最值（a>0最小，a<0 最大）。 2. 顶点在取值范围左侧：函数单调增减，右端点取最值。 3. 顶点在取值范围右侧：函数单调增减，左端点取最值。 4. 必考陷阱：二次函数顶点是数学最值，不一定是实际问题最值，必须服从实际自变量范围。 知识点七 含限定条件的方程求解 1. 已知固定利润、固定面积、固定高度，反向列方程求自变量取值。 2. 求解后必须双检验：方程解正确 + 符合实际情境，舍去负数、超范围值、不合理数值。 题型1 图形问题 【例1】如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，求得的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：设，则， 墙长，， ，， 解得， 花园的面积， ∴当时，花园面积最大，最大面积为． 【变式训练1-1】如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． 设米，则米，表示出矩形场地的面积，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：如图，设米，则米， ，墙长为25米， ， 解得， 令矩形场地的面积为， ， 所以当时，有最大值， 即围成矩形场地的最大面积是， 故选：B． 【变式训练1-2】如图，正方形边长为分别为各边上的点且不与顶点重合，，设小正方形的面积为为x，则S关于x的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键，设为x，则，根据得出二次函数表达式，根据二次函数性质得出结论． 【详解】解：∵正方形的四边相等，四个角都是直角，且， ， ∴． 设为x，则， 根据勾股定理，得 即（）， ∴所求函数是一个开口向上，对称轴是直线的抛物线， 故选：B． 【变式训练1-3】国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为． (1)求y与x的函数表达式； (2)若改造后观花道的面积为，求x的值； (3)若要求，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值． 【答案】(1) (2)x的值为1 (3)改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为 【分析】（1）利用长方形的面积计算公式得出y与x的函数关系式； （2）将代入函数解析式求出x的值； （3）利用配方法将函数配成顶点式，然后根据函数的增减性得出最值． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：由题意可得：， 则， 即， 解得：，， 经检验得：不合题意，舍去， 答：x的值为1； （3）解： ， 当时，y随x的增大而减小， 故当时，y最大，， 即改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为． 题型2 图形运动问题 【例2】如图所示，在中，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为S，则下列能大致反映S与m函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况分类讨论：当时，利用等腰直角三角形的性质得出与的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当时，利用三角形面积公式得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， 过点C作与点H， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， 故选项B符合题意． 【变式训练2-1】矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①利用三角形面积公式计算即可判断；②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式，再利用二次函数的性质即可判断；③同②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可判断． 【详解】解：①当时，如图2， ，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形，①正确； ②当点在上，点在上，此时时，如图1， ，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图3， ，，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图4， ，，，， ∴ ， ∵，当时，随的增大而减少， ∴不存在最大值， 综上，的最大面积为，②正确； ③当点在上，点在上，此时时， 又②可知：，， 由题意得， ∴（负值已舍）； 当点在上，点在上，此时时， 由②可知：， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）； 当点在上，点在上，此时时， ， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）或； 综上，当的面积为时，或，③正确． 【变式训练2-2】如图，水平放置的边长为的正方形，边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，现将正方形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，正方形与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、交于点，正方形的边与正方形交于点、，交于点，分四种情况讨论，分别求出重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系表达式，进而得到对应的函数图象，即可得解． 【详解】解：如图，连接、交于点，正方形的边与正方形交于点、，交于点， 边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合， ，，，垂直平分， ， ①当时，叠部分的面积为，此时， ， ， ， ， ； ②当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ， 即当时，有最大值为2； ③当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ； ④当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ， 综上可知，当时，图象为开口向上的抛物线；当时，图象为开口向下的抛物线，且有最大值为2；当时，图象为开口向下的抛物线；当时，图象为开口向上的抛物线， 只有B选项符合题意． 【变式训练2-3】如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)；； (2)1秒后 (3)解：不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理，得， ∴， ∴方程没有实数根， 故的面积不能等于； (4)当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果； （4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：∵，，， ∴的面积， 解得或， 当时，（不符合题意，舍去）； ∴， 答：1秒后，的面积等于； （3）略 （4）解：当点运动到点时，秒； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大为； 故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 题型3 拱桥问题 【例3】某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，如图2所示，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再由题意得出点的横坐标为2，代入抛物线计算即可得解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为， 故设抛物线的解析式为， 将点的坐标代入上式，得， 解得：， 抛物线的解析式为． 点的横坐标为2， 点的纵坐标为， 点到的距离为． 【变式训练3-1】．赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出的值，可判断①正确，把解析式化为顶点式，可判定②正确，令，求出的值，可得水面的安全距离为，可得设计龙舟赛道数为，即可判定③正确；综上即可得答案． 【详解】解：∵竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系， ∴当时，， 解得：，， ∴水面宽度，故①正确； ∵， ∴拱桥的最大高度是，故②正确； ∵龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少， ∴通过拱桥时龙舟最高处到水面至少， 当时，， 解得：，， ∴水面的安全距离为， ∵每条龙舟赛道宽度为， ∴可设计龙舟赛道数为(个)， ∴最多可设计龙舟赛道条，故③正确． 综上所述：正确结论的个数有个． 【变式训练3-2】如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（        ）米． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，求出抛物线当时的值即可得解． 【详解】解：根据题意，当时，得：， 解得：或． ∴水面宽度为：（米）． 故选：B． 【变式训练3-3】根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点距离地面．       素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）    问题解决： (1)确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算确定机动车道一的限高高度． 【答案】(1)， (2)机动车道一的限高高度为 【分析】（1）根据对称性建立坐标系，利用待定系数法求函数解析式； （2）根据函数解析式求出函数值即可． 【详解】（1）解：如图，以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意得，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为， 由图可得，， ， 代入到， 得， 解得：， 抛物线的函数表达式为（答案不唯一）； （2）解：如图， 由题意得，， ， 点在（1）中所在坐标系的横坐标为， 当时，， ， 答：机动车道一的限高高度为． 题型4 销售利润问题 【例4】某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出衣服进价，再通过设未知数得到总利润的二次函数表达式，利用二次函数的性质求出利润最大时的售价． 【详解】解：设衣服的进价为元， ∵售价为280元时，利润是进价的， ∴， 解得，即进价为200元． 设降价个5元，每天总利润为元， 则每件利润为元，每天销量为件， ∴， 整理得， ∵，二次函数开口向下，当时，取最大值， ∴， ∴总降价金额为元， ∴售价为元． 【变式训练4-1】软件的经营，主要是服务器租用和软件销售．服务器的月租金支出固定为a元，软件销售按份按年收费（即：服务器租金按月支付，软件按年收费）．经过一段时间的试运营后，发现：某款软件年销售的份数n（份）与售价x（元/份）的关系为：．设该款软件经营的年销售收入为v（元）．当元时，年收入记为元；当元时，年收入记为元，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个a，使得 B．无论a为多少，都有 C．可以找到一个a，使得 D．无论a为多少，都有 【答案】A 【分析】先根据题意得到年收入的表达式，再分别计算出和，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：由题意得，软件年收入，且，（租金为正数）． 当时， ， ， 判断选项A：令，即， ， ， ， ，存在满足条件的（如），使得 所以A正确，B错误， 当时， ， ， 判断选项C：解不等式， 解得：，这与相矛盾 则不存在使得， 所以C错误，D错误． 【变式训练4-2】某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵． (1)基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元，每年的销售总收入为万元． ①求y关于t的函数关系式； ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求的值． (2)该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育．设改良培育后的价格为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵时，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 【答案】(1)①；② (2)年销售量a至少应达到万棵时，才能使销售收入不低于培育前的年收入与培育费用之和 【分析】（1）①根据题意列出关系式即可； ②根据总收入列一元二次方程计算； （2）根据题意列出不等式，结合换元法、二次函数的性质解题． 【详解】（1）解：①由题意得，销售量为（万棵）， ∴每年的销售总收入； ②由题意得， 整理得， 解得， ， ∵， ∴； （2）解：由题意，需满足成立， 即成立， 令， 设，则， ∵， ∴， 即时，有最大值， ∴， 即年销售量a至少应达到万棵时，才能使销售收入不低于培育前的年收入与培育费用之和． 【变式训练4-3】某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件）与时间（第天）满足关系式：； ②该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t（第t天） 1 2 10 20 …… 日销售量y（件） 119 118 110 100 …… (1)直接写出y与t之间的函数解析式； (2)设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ (3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果． 【答案】(1)（，为整数）； (2)；第50天的日利润最大，最大日利润为4900元； (3)51天． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）依据题意销售利润=销售量×（售价-进价）易得出销售利润为W（元）与t（天）之间的函数关系式， （3）根据销售利润为W（元）与t（天）之间的函数关系式，求出利润超过4000元的天数即可． 【详解】（1）解：∵销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系， ∴设y与的一次函数关系式为：， 将，代入得， ， 解得，， ∴； （2）解：根据题意得，， 当时， ， 当时， ， ∴， 当时， ， ∵， ∴当时，W随t的增大而增大，当时，W随t的增大而减小， 时，． 当时， ， ∵， ∴W随t的增大而减小， 时，． ∵， ∴第50天日利润最大，且最大日利润为4900元； （3）解：当时，， 令， ∴， ∴，， ∴符合题意； 当时，， 令， ∴， ∴时，符合题意， ∴当时，日利润不低于4000元， ∴共有：（天）． 题型5 投球问题 【例5】如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，得到 ，把代入解析式，确定值即可． 【详解】根据题意得 ， 抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为． 【变式训练5-1】从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，分别通过解方程求落地时间，配方求最大高度，代入计算函数值比较大小，逐一验证三个结论即可． 【详解】解：①：小球落地时高度，令， 得， 因式分解得， 解得或， 为抛出时刻，因此小球从抛出到落地需要，①正确． ②：， ， 的最大值为，， 因此小球高度不可能达到，②错误． ③：当时，， 当时，， ， 因此小球运动时的高度大于运动时的高度，③错误． 综上，正确结论的个数是，故选B． 【变式训练5-2】如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数（）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 … y 0 6 8 n … 有下列结论： ①； ②当小球飞行的水平距离为2米时，小球距离斜坡的高度为6米； ③小球的落点A距离斜坡起点O的水平距离为7米； ④小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为米． 其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用待定系数法可求出二次函数解析式为，可判断①；②分别求出当时，两函数对应函数值，可判断②；联立得两函数解析式，求出x的值，可判断③；求出小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差与x的函数关系，再利用二次函数的性质，可判断④． 【详解】解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线过点， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 当时，，故①正确； ②对于，当时，， 对于，当时，， ∴当小球飞行的水平距离为2米时，小球距离斜坡的高度为米，故②错误； 联立得：， 解得：， ∴小球的落点A距离斜坡起点O的水平距离为7米，故③正确； 小球在飞行的过程中与斜坡的高度差， ∵， ∴当时，h的值最大，最大值为， 即小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为米，故④错误； 综上所述，正确的有①③． 【变式训练5-3】中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练．如图，在某次训练中，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），划出一条漂亮的抛物线，足球在距点4米的处达到最高点，最高点距地面的高度为米，球在点落地后又一次弹起落在点处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)当时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求足球第二次落地点到点的距离（结果保留根号）； (3)在第一次落球点的左右分别取点，且，若第一次球落在区域内（包括点），求的取值范围． 【答案】(1) (2)足球第二次落地点到点的距离为米 (3) 【分析】（1）当时，依题意得，设抛物线解析式为，代入，即可求解； （2），得出足球第一次落地点距点的距离为米，过点所在抛物线的顶点作的垂直平分线，交抛物线于点，则，令，进而求得，进而求得的长； （3）设球从点飞出到落到点的抛物线的解析式为，代入，得出，根据题意可得点，点，分别代入解析式，求得的范围，即可求解． 【详解】（1）解：当时，依题意得， 设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）令，则， 解得（舍去）， ∴足球第一次落地点距点的距离为米， 如图， ∵弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半， ∴过点所在抛物线的顶点作的垂直平分线，交抛物线于点， ， ∴令，则， 解得， 则， ， ∴足球第二次落地点到点的距离为米； （3）设球从点飞出到落到点的抛物线的解析式为， ∵抛物线过， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 又∵抛物线开口向下， ，即， ． 若球落在区域内（含点）， ，， 点，点， 当时，，解得， 当时，，解得， ． 题型6 喷水问题 【例6】某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 【变式训练6-1】如图，这是一个简易桶装水的取水装置和其出水示意图，从出水口处喷出的水流可抽象为抛物线，点是水流与水杯底部的接触点．若水流运动的高度（单位：厘米）与水平距离（单位：厘米）近似满足函数关系式，则该抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的应用，把点、代入已知函数关系式，运用待定系数法求解，再化为顶点式即可 【详解】解：把点、代入， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为； ∴顶点坐标为， 故选A． 【变式训练6-2】如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，选图中第一象限的抛物线，由题意得抛物线顶点坐标为，过点，则设抛物线解析式为，然后代入求出抛物线解析式为，然后令即可求解，正确求出二次函数解析式解题的关键． 【详解】解：选图中第一象限的抛物线， 由题意得，抛物线顶点坐标为，过点， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点， ∴， 故选：． 【变式训练6-3】政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 【答案】(1)， (2)米 【分析】（1）抛物线经过，对称轴为直线，再由待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令，求出，即可求解半径． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴ 解得； ∴，； （2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为， 配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，， 解得，（舍去）， ∴（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少米． 题型7 增长率问题 【例7】某新能源汽车配件公司四月份生产配件万个，经过连续两个月的增长，到六月份生产配件达到了万个，设每个月增长的百分率都是，则与的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的应用，设每个月增长的百分率都是，根据题意列出函数表达式即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：设每个月增长的百分率都是，依题意得：， 故选：． 【变式训练7-1】为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案． 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 【变式训练7-2】某企业的销售利润原来是m万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y 与x的函数关系式是（    ） A．y=x+m B．y=m（x-1） C．y=m（1+x） D．y=m（1-x） 【答案】C 【分析】根据题意列出函数关系式即可，先求得第一年的利润m（1+x），再求得第二年的利润为m（1+x） 【详解】根据题意，某企业的销售利润原来是m万元，经过连续两年的增长达到了y万元，每年增长的百分数都是x，则, 故选C 【点睛】本题考查了二次函数的应用，明确题意、掌握增长率问题是解题的关键． 【变式训练7-3】某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（万件）将随计划所定的x的值而确定，那么y与x之间的关系式应表示为________． 【答案】或 【分析】根据平均增长问题，可得答案． 【详解】解：y与x之间的关系应表示为y＝2（x+1）2． 故答案为：y＝2（x+1）2． 【点睛】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍． 题型8 其他问题 【例8】水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线的解析式为：，然后把代入抛物线解析式，求出结果即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴． 【变式训练8-1】电暖气（如图1）可以通过旋钮开关调节电路的总电阻来控制电流的变化，从而实现功率的改变．在额定功率范围内，电暖气电路的电流I（单位：A）与实际功率P（单位：W）的二次函数图象如图2所示，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．P与I的函数关系式是 C．在额定功率范围内，P随I的增大而增大 D．I每增加，P的增加量相同 【答案】D 【分析】根据图像中提供的信息可以判断A；待定系数法求出函数解析式即可判断B；根据函数性质进行求解，即可判断C；根据函数性质进行求解． 【详解】解：由题图2可知，当时，，故选项A中结论正确，不符合题意； 根据题意，设P与I的函数关系式为（，），把点代入，得， ， ∴P与I的函数关系式是，故选项B中结论正确，不符合题意； 由题图2可知，在额定功率范围内，P随I的增大而增大，故选项C中结论正确，不符合题意； I每增加，P的增加量不相同，故选项D中结论错误，符合题意． 【变式训练8-2】某经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度与时间满足二次函数，其图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（     ） A．该图象的对称轴是直线 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为 C．当时，该无人机飞行的高度为 D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是 【答案】B 【分析】先根据图象可得，和时，，即可求解对称轴，即可判断A；再将点代入求解抛物线表达式，继而进行判断B、C、D． 【详解】解：由图象可得，和时，， ∴对称轴为直线，故A错误，不符合题意； 将点代入，则 解得 ∴抛物线表达式为， ∵， ∴当时，，故B正确，符合题意； 当时，，故C错误，不符合题意； 当时，则，解得或 ∴该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是，故D错误，不符合题意． 【变式训练8-3】无人机融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援等，成为贴近日常的实用科技伙伴．数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程，如图，以无人机的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．无人机在起飞后沿直线上升，到达点后，此时距离地面0.1千米，保持高度不变，以20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点，此时，发现前方距离起点水平距离2千米处出现一障碍物高度为0.275千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行轨迹呈抛物线形状，越过障碍物后降落到地面点处．已知直线的表达式为，抛物线的表达式为． (1)点的坐标为_________，点的坐标为_________； (2)求抛物线的表达式； (3)如图，若无人机在点发现障碍物后，可沿原水平方向继续飞行千米后再开启紧急避障模式，开启后飞行轨迹的形状不变，且飞行轨迹最高点的高度不变．为确保无人机飞行高度不低于障碍物高度，求的最大值． 【答案】(1); (2) (3) 【分析】（1）根据直线的表达式可知点的坐标，根据无人机的水平距离可知点的坐标； （2）将点的坐标代入即可求解； （3）根据平移的性质可知平移后的函数解析式，代入点的坐标即可求解范围． 【详解】（1）解：∵直线的表达式为，A的高度为：千米， 则得， 解得：， ∴ 无人机的速度为20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点， 则水平距离为：（千米） 则点的横坐标为：， 则点； （2）解：∵抛物线经过点, 则将点代入抛物线的表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （3）解：由题可知点, 由（2）可知抛物线的顶点坐标为：, 则平移后得顶点坐标为， 点平移后的坐标为： 则新抛物线的表达式为：， ∴抛物线的轨迹在点的上方， 将点的坐标代入可得， 解得： 则的最大值为：． 1．如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先理解题意，算出以及点在，，线段上的时间，然后分别讨论点在上运动的情况，然后根据面积公式列式，即可求解． 【详解】解：∵矩形中，， ∴， ∵动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止 ∴ ∵设点P的运动时间是时，的面积是， ∴①当点在上运动时，即： ， 这是开口方向向上的二次函数； ∴②当点在上运动时，即： ； 这是一次函数； ∴③当点在上运动时，即： ， 这是开口方向向下的二次函数； 综上分析可知，选项A中的函数图象符合题意． 2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是；③当时，；④当时，．其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】由图象得，抛物线顶点坐标为，即可判断①②，然后利用待定系数法求出函数解析式，然后分别将和代入即可判断③④． 【详解】解：①由图象得，抛物线顶点坐标为 ∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确； ②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故，故②正确； ③设函数解析式为：， 把代入得，解得， 函数解析式为， 当时，，故③错误； ④当时，， 解得：，故④错误． 综上所述，其中正确的有①②． 3．如图，在正方形中，是的中点，动点从点出发沿边匀速运动，到达点时停止运动，过点作，交于点，设，的面积为，的面积为，则与，与的函数关系分别是（    ） A．均为一次函数 B．均为二次函数 C．一次函数，二次函数 D．二次函数，一次函数 【答案】D 【分析】设正方形的边长为a，如图，延长交于点G，可得四边形为矩形，再由，可得，，再利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：设正方形的边长为a， 如图，延长交于点G， 在正方形中，， ∵， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴， ， ∵a为定值， ∴与，与的函数关系分别是二次函数，一次函数． 4．为筹备校园“正方形主题文化角”，工作人员用两个边长相同的正方形展板布置：如图1，固定展板（顶点、在直线展台上）与移动展板（顶点、在直线展台上），移动展板可沿平移．设固定展板顶点与移动展板顶点的距离为（单位：），两个展板重叠部分的面积为（单位：），关于的函数图象如图2所示．下列选项不正确的是（    ） A．正方形的边长为 B．当时，重叠面积 C．函数图象的最高点的坐标为 D．当时，重叠面积 【答案】D 【分析】由正方形的性质，结合函数图象，分析正方形平移过程中，两个正方形重叠部分的变化，用对角线表示正方形的面积，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解： 由图可知，当及时，， ∴两个正方形对角线长之和， ∵两个正方形边长相同， ∴， 设正方形边长为，则， 解得， ∴正方形的边长为， ∴选项A正确，不符合题意； 当时，重叠部分是对角线长为的正方形， ∴， 当时，， ∴选项B正确，不符合题意； 当时，取得最大值，此时两正方形重合， ∴， ∴函数图象的最高点坐标为， ∴选项C正确，不符合题意； 当时，重叠部分是对角线长为的正方形， ∴， 当时，， ∴选项D不正确，符合题意． 5．小华用黑、白两个小球开展模拟实验．如图①所示，在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同时向右运动，黑球在A处开始减速，黑球的运动速度与运动时间满足，白球在B处开始以的速度匀速运动．设运动时间为x（单位：），黑白两球之间的距离为y（单位：）．如图②所示，y关于x的函数图象（已包含此函数图象的全部信息）成二次函数关系，与y轴交于点C，最低点，且经过点．下列说法正确的是（    ） A． B．点在二次函数图象上 C．A，B两点相距 D．两个小球会发生碰撞 【答案】C 【分析】首先判断出当两球的速度相等时，两球距离最小，然后将代入求出，得到，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式为，然后逐项分析判断即可． 【详解】解：根据题意得，当两球的速度相等时，两球距离最小， ∴此时A球的速度为 ∴将代入得， 解得， ∵y关于x的函数图象成二次函数关系，最低点， ∴ ∴设二次函数的解析式为 将代入得， 解得 ∴二次函数的解析式为 当时， 解得，即，故A错误； 将代入，故B错误； 当时， ∴A，B两点相距，故C正确； 当时， ∴ ∴二次函数与x轴没有交点， ∴两个小球不会发生碰撞，故D错误． 6．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线（a为常数，）运动，其中x（单位：m）是铅球离初始位置的水平距离，y（单位：m）是铅球离地面的高度．若铅球在抛出时离地面的高度为，有下列结论： ①铅球运动的高度可以是； ②铅球掷出的水平距离为； ③当铅球离地面的高度为时，它离初始位置的水平距离为． 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先将点代入，并求出关系式，再根据最高点判断①；然后将代入关系式，求出解判断②；接下来将代入关系式，求出解判断③即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为， 当时，， ∴铅球运动的高度可以是； 当时，， 解得， ∴铅球掷出的水平距离为； 当时，， 解得， ∴它离初始位置的水平距离是或． 所以正确的有①②共2个． 7．如图1，在中，，，，动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动，当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示，则下列结论错误的是（   ） A． B．时， C． D．时，面积最大 【答案】D 【分析】观察图像可知，当时，点与点B重合，得到，利用直角三角形的面积公式进行计算，求出m的值为8，即可判断A选项；根据图像当时，此时，，过P点作于D点，根据面积公式求得，证明，列出比例式求得，进而可得 ，即可判断C选项；求出S与t的关系式为，根据二次函数的性质即可判断D选项，令，求解后，根据，当时，， 即可判断B选项正确． 【详解】解：观察函数图像可知，当时，点P与点重合， ∵动点均以的速度从点同时出发， ∴， ∵， ∴， 故A选项正确，不合题意； 由函数图像可知，当时，此时，， 过点作于点，如图，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， ∴， 故C选项正确，不合题意； 由函数图像可得：当点在上时，的面积有最大值． ∵， ∴， 当时，由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴当时，的面积最大， 故D选项错误，符合题意． 当时，， 解得：或， ∵， ∴当时，， ∴不符合题意； 故B选项正确，不符合题意． 故选：D． 8．在中，，，，点从出发沿方向运动，从出发，沿方向运动，同时开始运动，速度都为1，运动时间为，的面积为．在运动过程中与大致的函数图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点、的运动速度和运动路径，分三段确定自变量的取值范围，在每个取值范围内结合几何知识推导出的面积关于的函数表达式，再根据表达式判断对应函数的类型及图象特征，进而排除不符合的选项得到正确答案． 【详解】解：在中，，，， ∴， 的面积为． 点、的速度均为，运动时间为， ①当在上，在上时，，，． 过作于，由，得，即， ∴，为开口向上经过原点的二次函数．排除B选项． ②当在上，在上时，，，，则． 过作于，∵， ∴， ∴，为常数，图象是水平线段． ③当在上，在上时，，，， 过作于，由，得，即， ∴，为开口向上的二次函数．排除A、D选项． 综上，选：C． 9．如图，在矩形中，，P，Q分别是边上的动点，，设，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作的垂线，根据矩形的性质以及勾股定理，写出关于的表达式从而可以得到图象的形状． 【详解】解：过作于， 四边形为矩形， ， ， ∴， 四边形也是矩形， ，， ， ， 在上，在上， ，， ， 关于的函数图象是开口向上，对称轴为的抛物线． 10．如图①，在四边形中，，，，，点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C，点Q同时从点C出发沿以的速度匀速运动至点B，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，的面积为，图②是点P，Q运动时，y随时间x变化的函数图象，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，二次函数的动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，观察图①和图②，当点P运动到点A时，运动时间为2秒，则，结合观察图①和图②，当点P运动到点D时，运动时间为秒，得，根据点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C，则，在秒时，则，，最后求出当时，或，即可作答． 【详解】解：理解题意，观察图①和图②，当点P运动到点A时，运动时间为2秒， ∵点Q同时从点C出发沿以的速度匀速运动至点B， ∴， ∵的面积为， ∴， 故C选项不符合题意； 观察图①和图②，当点P运动到点D时，运动时间为秒， ∵点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C， 则， 故A选项不符合题意； 观察图①和图②，当点P运动到点D时，运动时间为秒， ∵点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C， 则， 故B选项符合题意； 当时， 则 ∴， 在秒时，则， ∴， 令，则， 整理得， 解得，（舍去） 综上：当时，或， 故D选项不符合题意， 故选：B． 11．近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数（辆）与每辆车每天的租金（元）满足关系式（，且为的整数倍），公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共元，设租车公司每天的利润为元． (1)求与的函数关系式．（利润租金支出） (2)公司在“十一黄金周”的前天每天都获得了最大利润，但是后天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过元．请确定这天公司获得的总利润最多为多少元？ 【答案】(1)（，且为的整数倍） (2)这天公司获得的总利润最多为元 【分析】（1）根据利润等于每辆车的利润乘以租出的车辆数，列式计算即可； （2）根据二次函数的性质分别求出前天和后天的利润最大值，然后相加即可得出获得的总利润最大值． 【详解】（1）解：根据题意得 （，且为的整数倍）； （2）解：， ， 前天：当时，取得最大值，最大值为， 当时，随着的增大而增大，后天每辆车每天的租金不超过元， 后天：当时，的最大值为， （元）． 答：这天公司获得的总利润最多为元． 12．某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)当销售单价为34元时.厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元． 【分析】（1）单件利润为元，销售量为万件，总利润单件利润销售量，代入整理即可得到二次函数关系式． （2）是开口向下的二次函数（二次项系数），顶点处取得最大值；用顶点公式求单价，再代入求最大利润． 【详解】（1）解：由题意，单件利润：元，销售量， ， 结合实际意义，销售量， 即，； 单价高于成本，自变量取值范围：． 函数关系式：． （2）解：对于二次函数，，，， 对称轴：， 在取值范围内，将代入利润函数： ， 当销售单价为元时，每月获得最大利润，最大利润为万元． 13．某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计： (3)若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元 (2) (3)制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大 【分析】（1）设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元，根据“用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等”列出分式方程并求解即可； （2）根据“当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件”求出A品的销量，再根据总销量300件求出B品的销量，从而利用利润公式求出w关于的函数解析式； （3）先利用不等式求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元， 由题意可知：， 解得：， 经检验：是原方程的根，符合题意， 故， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）解：∵当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件， ∴A品的销量为：(件)， ∴B品的销量为：(件)， ∴， 答：w关于的函数解析式为：； （3）解：∵制作A品和B品的总成本不超过元， ∴， 解得：， 又∵且，即， ∴， ∵，， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，． 此时，，总成本等于1400元， 答：制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大． 14．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一 ．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据 ： x/m 0 10 20 30 40 50 60 y/m 54.0 57.8 57.6 53.4 45.2 33.0 16.8 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)为观察y与x之间的关系，建立坐标系，以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们； (2)观察发现，（1）中的曲线可以看作是 的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为 m（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点； (3)乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点 （填写“高”或“低”）约 m （结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)平滑的曲线连接作图如下： (2)抛物线；14.5 (3)高； 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）根据图表求解即可； （3）求出抛物线解析式即可求解． 【详解】（1）解：略； （2）解：根据所学函数，（1）中的曲线可以看作是抛物线的一部分； 设该抛物线的解析式为， 将代入解析式中，得， 解得， 即， 开口向下，当时，y最大， （3）解：当时，y最大， 且最大为， ∴； ∵乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到，甲运动员的最高点的竖直高度大约为， ∴乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点高，高． 15．在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 【答案】(1)； (2)大棚最高处到地面的距离为米； (3)共需要（根）竹竿． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将（1）中函数解析式化为顶点式，然后求解即可； （3）根据题意得出，然后结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意知点坐标为，点B坐标为 将、坐标代入得： 解得：； （2）解： 当时，有最大值，即大棚最高处到地面的距离为米； （3）解：当时， 解得， ∵， ∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米）， 又∵大棚的长为160米， ∴需要搭建支架部分的土地面积为（平方米） ∴共需要（根）竹竿． 16．某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） (1)已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标； (2)若水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁； (3)在的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围． 【答案】(1)，； (2)能避开障碍物和暗礁； (3)． 【分析】将，代入，求得的坐标，将，代入，即可求得的坐标； 先根据对称轴为得出，代入求得，得出，分别计算和的函数值，结合题意，即可求解； 设，根据已知得出，将代入，得出，将代入，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：∵飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，直线的表达式为， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， 当时，， 解得：，， ∴； （2）解：∵，抛物线在时距水面最高， ∴， 解得：， ∴， ∵过点， ∴当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：，， ∴， ∵水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开障碍物， ∵暗礁的一个截面宽，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开暗礁， 综上所述，跳弹沿路径运动时能避开障碍物和暗礁； （3）解：∵点的坐标， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵要避开暗礁， ∴， ∴，即， ∵过点， 当时，，即， ∴当时，， ， 即， ∵， ∴， 解得：． 17．如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 【答案】(1)方案一，；方案二，；方案三， (2)方案一，；方案二；方案三， (3) 【分析】（1）根据水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是，求出点坐标； （2）三种方案中抛物线开口都向下，故抛物线解析式二次项系数为负，根据题意先求出顶点坐标，设解析式为顶点式，再代入（1）中点B坐标，即可求出抛物线解析式； （3）任意选择三种方案中的一种，根据暴雨水位上升代入对应抛物线解析式，求解即可． 【详解】（1）解：分情况讨论： 选择方案一： 由题意得，; 选择方案二： 由题意得，; 选择方案三： 由对称性可知点与点关于轴对称，，， 又桥洞与水面的最大距离是，， ． （2）解：分情况讨论： 选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为． （3）解：选择方案三中的解析式， ， 暴雨水位上升后，代入，得， 解得或， 水面宽为． 18．为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为1.8米，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4米，距水平地面的高度是3米，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10米为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分． 【答案】(1)； (2)小明此次练习能得满分． 理由：由（1）知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离， 当时，， 解得，， 点坐标为或， ∵点在轴正半轴， ∴（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， 小明此次练习能得满分． 【分析】（1）根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式； （2）根据（1）中的抛物线表达式求出轴交点坐标，对比交点到原点的距离和大小关系即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点为，点坐标为， 设抛物线的顶点式为：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：； （2）略． 学科网（北京）股份有限公司 $