专题02 基本不等式（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“一正二定三相等”为核心，通过10类题型系统构建从概念理解到技巧应用的方法体系，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本不等式理解|1典例+3变式|定义辨析、条件判断|从概念（算术/几何平均数）到形式变形，强调“一正二定三相等”前提| |和/积定求最值|2题型各1典例+3变式|直接应用、等号验证|由基本形式推导和定积最大、积定和最小的应用逻辑| |配凑/消元/换元法|3题型各1典例+3变式|式子变形、参数转化|针对非标准形式，通过配凑、消元、换元实现“二定”条件| |“1”代换/万能K法|2题型各1典例+3变式|乘“1”变形、方程有解|结合已知条件构造定值，或通过方程思想确定最值范围| |恒成立/实际应用|2题型各1典例+3变式|最值转化、模型构建|从数学问题到实际情境，体现数学语言的应用价值|

专题02 基本不等式 （题型突破·举一反三） 题型01 基本不等式的理解及其简单变形 题型02 和为定值求最值 题型03 积为定值求最值 题型04 配凑法求最值 题型05 消元法求最值 题型06 换元法求最值 题型07 “1”的代换求最值 题型08 万能“”法求最值 题型09 与基本不等式有关的恒（能）成立问题 题型10 基本不等式在实际生活的应用 ▌题型01 基本不等式的理解及其简单变形 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的 ，叫作的 ．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式形式1：若，则，当且仅当时取 ； 基本不等式形式2：若，则（或），当且仅当 时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 【典例1】（2026·陕西西安·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由基本不等式得，，当且仅当时，等号成立， 所以当时，，此时成立； 若，此时，而， 所以“”是“”的必要不充分条件． 【变式1-1】（2026·北京朝阳·模拟预测）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先根据基本不等式求的范围，再根据集合的包含关系判断充分，必要条件. 【详解】因为，所以，则， 因为，所以“”是“”的充分不必要条件. 【变式1-2】（2026·四川眉山·模拟预测）已知，，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分，必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当时，满足，此时； 由，且，，得，当且仅当时等号成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 【变式1-3】（25-26高三上·天津·开学考试）若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即得. 【详解】由，，得， 反之，满足，而，此时不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A ▌题型02 和为定值求最值 1、 和为定值用 2、 在解题中要注意对式子的观察，明确，所指。 【典例2】（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知，则的最大值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【详解】因为， 则，所以， 当且仅当时，即当，且，等号成立， 故的最大值为3． 故选：A． 【变式2-1】（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 故选：B 【变式2-2】（25-26高三上·上海·开学考试）已知且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．2 D．4 【答案】B 【详解】因为且， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：B 【变式2-3】（2026高二下·天津南开·学业考试）若实数满足，则的最大值为________． 【答案】/0.25 【详解】已知实数a，b满足，显然不能全为负数，也不能是一个负数和一个为0； 当是一正一负时，，则不可能取到最大值； 当是一个正数和一个为0时，，也不可能是最大值； 当均为正数时，由基本不等式得，当且仅当时取等号， 综上，可得的最大值为. ▌题型03 积为定值求最值 1 乘积为定值，指的是类似，等，其中要注意的是是否能够取到等号； 2 若取不到等号，要用到对勾函数单调性处理. 【典例3】（25-26高三上·上海·月考）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式（均值不等式）的使用条件“一正、二定、三相等”逐一分析即可． 【详解】对于A，函数（），当时，， 当且仅当时取等号；当时，， 又，当且仅当时取等号， 所以此时，因此，函数无最小值，故A错误； 对于B，函数，当时，，； 当时，，，因此，函数无最小值，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号， 此时，所以函数最小值为2，故C正确； 对于D，令，则，函数变为（）， 函数在时单调递增，故当时，y取得最小值，故D错误． 故选：C． 【变式3-1】（25-26高三上·江苏南京·月考）下列说法中正确的是（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为1 【答案】D 【分析】根据基本不等式满足的前提条件即可求解AB，根据基本不等式即可求解CD. 【详解】对于A,当时，，故A错误， 对于B,当时，，，则，故B错误， 对于C, ,由于，而对勾函数在单调递增，故，当且仅当时取到等号，故C错误， 对于D, ，当且仅当时取到等号，故D正确， 故选：D 【变式3-2】若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，，则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为12. 【变式3-3】（25-26高二下·重庆九龙坡·期末）已知正数 满足 ，则 的最小值为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据给定条件，用表示并代入目标式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由正数 满足 ，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以时， 取得最小值8 ▌题型04 配凑法求最值 部分情况会无法直接做到和或者积为定值，不满足“二定”的要求，比如中令，用基本不等式，做不到是定值，此时需要对和的确定作些调整，进行配凑，达到做到“一正，二定，三等”的要求。 【典例4-1】（2026·河南开封·模拟预测）若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【详解】由题意得：， ， 当，即时，等号成立. 【典例4-2】（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知，，，则的最大值为（   ） A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【详解】由基本不等式，得， 当且仅当，即，时取等号, 所以的最大值为8． 故选：B. 【变式4-1】（25-26高三上·黑龙江·开学考试）函数的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 由基本不等式有，当且仅当即时，等号成立， 所以函数的最大值为. 故选：B. 【变式4-2】（2026·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是_______．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】②③④ 【详解】对于①，取，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，当，要证，即证， 即，即证， 而恒成立， 当时，，所以，故③正确. 对于④，，所以，故④正确. 故答案为：②③④. 【变式4-3】（2026·广东湛江·二模）已知正数，满足，则的最大值为______. 【答案】12 【难度】0.73 【知识点】基本不等式求积的最大值 【详解】由，得， 所以，当且仅当，时等号成立. ▌题型05 消元法求最值 消元法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 【典例5】（24-25高三上·重庆·月考）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，即， 当且仅当，取到等号，故选：C. 【变式5-1】（24-25高三上·四川成都·期中）已知，，则的最小值是（    ） A． B． C． D．17 【答案】B 【解析】方法一：， 则， 当且仅当，即，时取等号. 方法二：， 则， 当且仅当，即，时取等号. 故选：B. 【变式5-2】（24-25高三上·海南·月考）已知，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【解析】因为，，所以， 因为，所以，所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：B. 【变式5-3】已知，，满足，则的最小值是______． 【答案】. 【解析】由，得， 所以. 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. ▌题型06 换元法求最值 1 遇到含根式或高次幂的式子(类似，)，常常用到换元法; 2 换元法的本质是整体思想，在对式子变形时，要注意看是否存在结构相同的式子； 3 在换元时，要注意新元的取值范围。 4.部分题型（例如典例6-2采用双换元，解法更简洁） 【典例6-1】（25-26高三上·河南·月考）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因，设，则，由可得， 则有， 当且仅当，即时，等号成立， 即得，解得，即的最小值为. 故选：D. 【典例6-2】（25-26高三下·云南临沧·月考）若、且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得， 令，，则且，， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为 ， 故选：A． 【变式6-1】（24-25高二下·山东济宁·月考）已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】由，可得， 因为，两边同除，可得，即， 又因为，可得，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 所以， 令，其中，则，即，解得或（舍去）， 所以，即的最小值为，此时，. 故选：A. 【变式6-2】（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 【变式6-3】（25-26高三上·河南·月考）已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 令， 因为都是正数， 所以即， 且，同时， 所以     当且仅当时等号成立，此时. 故选：A ▌题型07 “1“的代换求最值 “1”的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2、注意验证取得条件． 【典例7】（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵， ， 当且仅当，即，时等号成立. 的取值范围是. 【变式7-1】（25-26高三上·重庆·期中）已知，且，则的最小值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】已知，且，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为9． 故选：C． 【变式7-2】（25-26高三上·重庆南岸·期中）若，则的最小值为（   ） A． B．4 C．9 D． 【答案】C 【详解】由题意， 当且仅当，即等号成立，所以的最小值为9. 故选：C 【变式7-3】（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．9 D．4 【答案】C 【分析】先变形得到，再由基本不等式“1的妙用”求最小值即可. 【详解】由，可得，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，故的最小值为9. 故选：C. ▌题型08 万能“”法求最值 设K法的三个步骤： ⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K； ⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）； ⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值 【典例8】（25-26高一上·河北石家庄·阶段练习）已知正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】因为正实数满足， 等式两边同乘以可得，所以， 因为，解得，当且仅当 时，等号成立. 因此，的最小值为.故选：A. 【变式8-1】（25-26高一上·河北石家庄·阶段练习）已知正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】因为正实数满足， 等式两边同乘以可得，所以， 因为，解得，当且仅当 时，等号成立. 因此，的最小值为.故选：A. 【变式8-2】（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知正实数，，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为， 所以，即， 因为，则，解得，当且仅当，即或时，等号成立，所以的取值范围为，故选：C 【变式8-3】（2026·浙江嘉兴·模拟）已知，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．10 【答案】B 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立，令，则，解得（舍去）或， 则，当且仅当，时等号成立，即的最小值为9.故选：B. ▌题型09 与基本不等式有关的恒（能）成立问题 题目通过恒（能）成立的形式来确定参数的取值范围，通常采用“1”的代换来求解，注意找到等于1的式子，带入求最值。 【典例9】（2026·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 【变式9-1】（25-26高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式9-2】（2025·贵州黔东南·三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围__________. 【答案】 【详解】因为不等式恒成立，所以， 由，， 可得， 当且仅当时等号成立， 所以，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式9-3】（2025·山西大同·模拟预测）已知，若不等式恒成立，则的最大值为________． 【答案】 【详解】由得． 又，当且仅当，即当时等号成立， ∴，∴的最大值为． 故答案为： ▌题型10 基本不等式在实际生活的应用 1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2、注意定义域，验证取得条件． 3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 【典例10】（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 【变式10-1】（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【变式10-2】（25-26高一上·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 【答案】(1) (2)万元. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 【变式10-3】（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 (2) 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 基本不等式 （题型突破·举一反三） 题型01 基本不等式的理解及其简单变形 题型02 和为定值求最值 题型03 积为定值求最值 题型04 配凑法求最值 题型05 消元法求最值 题型06 换元法求最值 题型07 “1”的代换求最值 题型08 万能“”法求最值 题型09 与基本不等式有关的恒（能）成立问题 题型10 基本不等式在实际生活的应用 ▌题型01 基本不等式的理解及其简单变形 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式形式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式形式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 【典例1】（2026·陕西西安·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由基本不等式得，，当且仅当时，等号成立， 所以当时，，此时成立； 若，此时，而， 所以“”是“”的必要不充分条件． 【变式1-1】（2026·北京朝阳·模拟预测）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先根据基本不等式求的范围，再根据集合的包含关系判断充分，必要条件. 【详解】因为，所以，则， 因为，所以“”是“”的充分不必要条件. 【变式1-2】（2026·四川眉山·模拟预测）已知，，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分，必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当时，满足，此时； 由，且，，得，当且仅当时等号成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 【变式1-3】（25-26高三上·天津·开学考试）若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即得. 【详解】由，，得， 反之，满足，而，此时不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A ▌题型02 和为定值求最值 1、 和为定值用 2、 在解题中要注意对式子的观察，明确，所指。 【典例2】（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知，则的最大值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【详解】因为， 则，所以， 当且仅当时，即当，且，等号成立， 故的最大值为3． 故选：A． 【变式2-1】（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 故选：B 【变式2-2】（25-26高三上·上海·开学考试）已知且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．2 D．4 【答案】B 【详解】因为且， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：B 【变式2-3】（2026高二下·天津南开·学业考试）若实数满足，则的最大值为________． 【答案】/0.25 【详解】已知实数a，b满足，显然不能全为负数，也不能是一个负数和一个为0； 当是一正一负时，，则不可能取到最大值； 当是一个正数和一个为0时，，也不可能是最大值； 当均为正数时，由基本不等式得，当且仅当时取等号， 综上，可得的最大值为. ▌题型03 积为定值求最值 1 乘积为定值，指的是类似，等，其中要注意的是是否能够取到等号； 2 若取不到等号，要用到对勾函数单调性处理. 【典例3】（25-26高三上·上海·月考）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式（均值不等式）的使用条件“一正、二定、三相等”逐一分析即可． 【详解】对于A，函数（），当时，， 当且仅当时取等号；当时，， 又，当且仅当时取等号， 所以此时，因此，函数无最小值，故A错误； 对于B，函数，当时，，； 当时，，，因此，函数无最小值，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号， 此时，所以函数最小值为2，故C正确； 对于D，令，则，函数变为（）， 函数在时单调递增，故当时，y取得最小值，故D错误． 故选：C． 【变式3-1】（25-26高三上·江苏南京·月考）下列说法中正确的是（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为1 【答案】D 【分析】根据基本不等式满足的前提条件即可求解AB，根据基本不等式即可求解CD. 【详解】对于A,当时，，故A错误， 对于B,当时，，，则，故B错误， 对于C, ,由于，而对勾函数在单调递增，故，当且仅当时取到等号，故C错误， 对于D, ，当且仅当时取到等号，故D正确， 故选：D 【变式3-2】若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，，则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为12. 【变式3-3】（25-26高二下·重庆九龙坡·期末）已知正数 满足 ，则 的最小值为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据给定条件，用表示并代入目标式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由正数 满足 ，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以时， 取得最小值8 ▌题型04 配凑法求最值 部分情况会无法直接做到和或者积为定值，不满足“二定”的要求，比如中令，用基本不等式，做不到是定值，此时需要对和的确定作些调整，进行配凑，达到做到“一正，二定，三等”的要求。 【典例4-1】（2026·河南开封·模拟预测）若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【详解】由题意得：， ， 当，即时，等号成立. 【典例4-2】（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知，，，则的最大值为（   ） A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【详解】由基本不等式，得， 当且仅当，即，时取等号, 所以的最大值为8． 故选：B. 【变式4-1】（25-26高三上·黑龙江·开学考试）函数的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 由基本不等式有，当且仅当即时，等号成立， 所以函数的最大值为. 故选：B. 【变式4-2】（2026·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是_______．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】②③④ 【详解】对于①，取，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，当，要证，即证， 即，即证， 而恒成立， 当时，，所以，故③正确. 对于④，，所以，故④正确. 故答案为：②③④. 【变式4-3】（2026·广东湛江·二模）已知正数，满足，则的最大值为______. 【答案】12 【难度】0.73 【知识点】基本不等式求积的最大值 【详解】由，得， 所以，当且仅当，时等号成立. ▌题型05 消元法求最值 消元法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 【典例5】（24-25高三上·重庆·月考）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，即， 当且仅当，取到等号，故选：C. 【变式5-1】（24-25高三上·四川成都·期中）已知，，则的最小值是（    ） A． B． C． D．17 【答案】B 【解析】方法一：， 则， 当且仅当，即，时取等号. 方法二：， 则， 当且仅当，即，时取等号. 故选：B. 【变式5-2】（24-25高三上·海南·月考）已知，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【解析】因为，，所以， 因为，所以，所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：B. 【变式5-3】已知，，满足，则的最小值是______． 【答案】. 【解析】由，得， 所以. 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. ▌题型06 换元法求最值 1 遇到含根式或高次幂的式子(类似，)，常常用到换元法; 2 换元法的本质是整体思想，在对式子变形时，要注意看是否存在结构相同的式子； 3 在换元时，要注意新元的取值范围。 4.部分题型（例如典例6-2采用双换元，解法更简洁） 【典例6-1】（25-26高三上·河南·月考）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因，设，则，由可得， 则有， 当且仅当，即时，等号成立， 即得，解得，即的最小值为. 故选：D. 【典例6-2】（25-26高三下·云南临沧·月考）若、且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得， 令，，则且，， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为 ， 故选：A． 【变式6-1】（24-25高二下·山东济宁·月考）已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】由，可得， 因为，两边同除，可得，即， 又因为，可得，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 所以， 令，其中，则，即，解得或（舍去）， 所以，即的最小值为，此时，. 故选：A. 【变式6-2】（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 【变式6-3】（25-26高三上·河南·月考）已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 令， 因为都是正数， 所以即， 且，同时， 所以     当且仅当时等号成立，此时. 故选：A ▌题型07 “1“的代换求最值 “1”的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2、注意验证取得条件． 【典例7】（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵， ， 当且仅当，即，时等号成立. 的取值范围是. 【变式7-1】（25-26高三上·重庆·期中）已知，且，则的最小值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】已知，且，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为9． 故选：C． 【变式7-2】（25-26高三上·重庆南岸·期中）若，则的最小值为（   ） A． B．4 C．9 D． 【答案】C 【详解】由题意， 当且仅当，即等号成立，所以的最小值为9. 故选：C 【变式7-3】（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．9 D．4 【答案】C 【分析】先变形得到，再由基本不等式“1的妙用”求最小值即可. 【详解】由，可得，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，故的最小值为9. 故选：C. ▌题型08 万能“”法求最值 设K法的三个步骤： ⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K； ⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）； ⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值 【典例8】（25-26高一上·河北石家庄·阶段练习）已知正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】因为正实数满足， 等式两边同乘以可得，所以， 因为，解得，当且仅当 时，等号成立. 因此，的最小值为.故选：A. 【变式8-1】（25-26高一上·河北石家庄·阶段练习）已知正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】因为正实数满足， 等式两边同乘以可得，所以， 因为，解得，当且仅当 时，等号成立. 因此，的最小值为.故选：A. 【变式8-2】（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知正实数，，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为， 所以，即， 因为，则，解得，当且仅当，即或时，等号成立，所以的取值范围为，故选：C 【变式8-3】（2026·浙江嘉兴·模拟）已知，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．10 【答案】B 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立，令，则，解得（舍去）或， 则，当且仅当，时等号成立，即的最小值为9.故选：B. ▌题型09 与基本不等式有关的恒（能）成立问题 题目通过恒（能）成立的形式来确定参数的取值范围，通常采用“1”的代换来求解，注意找到等于1的式子，带入求最值。 【典例9】（2026·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 【变式9-1】（25-26高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式9-2】（2025·贵州黔东南·三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围__________. 【答案】 【详解】因为不等式恒成立，所以， 由，， 可得， 当且仅当时等号成立， 所以，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式9-3】（2025·山西大同·模拟预测）已知，若不等式恒成立，则的最大值为________． 【答案】 【详解】由得． 又，当且仅当，即当时等号成立， ∴，∴的最大值为． 故答案为： ▌题型10 基本不等式在实际生活的应用 1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2、注意定义域，验证取得条件． 3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 【典例10】（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 【变式10-1】（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【变式10-2】（25-26高一上·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 【答案】(1) (2)万元. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 【变式10-3】（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 (2) 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 基本不等式 （题型突破·举一反三） ▌题型01 基本不等式的理解及其简单变形 【典例1】B 【详解】由基本不等式得，，当且仅当时，等号成立， 所以当时，，此时成立； 若，此时，而， 所以“”是“”的必要不充分条件． 【变式1-1】A 【分析】首先根据基本不等式求的范围，再根据集合的包含关系判断充分，必要条件. 【详解】因为，所以，则， 因为，所以“”是“”的充分不必要条件. 【变式1-2】A 【分析】利用充分，必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当时，满足，此时； 由，且，，得，当且仅当时等号成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 【变式1-3】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即得. 【详解】由，，得， 反之，满足，而，此时不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A ▌题型02 和为定值求最值 【典例2】A 【详解】因为， 则，所以， 当且仅当时，即当，且，等号成立， 故的最大值为3． 故选：A． 【变式2-1】B 【详解】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 故选：B 【变式2-2】B 【详解】因为且， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：B 【变式2-3】 【答案】/0.25 【详解】已知实数a，b满足，显然不能全为负数，也不能是一个负数和一个为0； 当是一正一负时，，则不可能取到最大值； 当是一个正数和一个为0时，，也不可能是最大值； 当均为正数时，由基本不等式得，当且仅当时取等号， 综上，可得的最大值为. ▌题型03 积为定值求最值 【典例3】C 【分析】结合基本不等式（均值不等式）的使用条件“一正、二定、三相等”逐一分析即可． 【详解】对于A，函数（），当时，， 当且仅当时取等号；当时，， 又，当且仅当时取等号， 所以此时，因此，函数无最小值，故A错误； 对于B，函数，当时，，； 当时，，，因此，函数无最小值，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号， 此时，所以函数最小值为2，故C正确； 对于D，令，则，函数变为（）， 函数在时单调递增，故当时，y取得最小值，故D错误． 故选：C． 【变式3-1】D 【分析】根据基本不等式满足的前提条件即可求解AB，根据基本不等式即可求解CD. 【详解】对于A,当时，，故A错误， 对于B,当时，，，则，故B错误， 对于C, ,由于，而对勾函数在单调递增，故，当且仅当时取到等号，故C错误， 对于D, ，当且仅当时取到等号，故D正确， 故选：D 【变式3-2】B 【详解】若，，则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为12. 【变式3-3】C 【详解】由正数 满足 ，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以时， 取得最小值8 ▌题型04 配凑法求最值 【典例4-1】C 【详解】由题意得：， ， 当，即时，等号成立. 【典例4-2】B 【详解】由基本不等式，得， 当且仅当，即，时取等号, 所以的最大值为8． 故选：B. 【变式4-1】B 【详解】， 由基本不等式有，当且仅当即时，等号成立， 所以函数的最大值为. 故选：B. 【变式4-2】 【答案】②③④ 【详解】对于①，取，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，当，要证，即证， 即，即证， 而恒成立， 当时，，所以，故③正确. 对于④，，所以，故④正确. 故答案为：②③④. 【变式4-3】 【答案】12 【难度】0.73 【知识点】基本不等式求积的最大值 【详解】由，得， 所以，当且仅当，时等号成立. ▌题型05 消元法求最值 【典例5】C 【解析】由得，即， 当且仅当，取到等号，故选：C. 【变式5-1】B 【解析】方法一：， 则， 当且仅当，即，时取等号. 方法二：， 则， 当且仅当，即，时取等号. 故选：B. 【变式5-2】B 【解析】因为，，所以， 因为，所以，所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：B. 【变式5-3】 【答案】. 【解析】由，得， 所以. 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. ▌题型06 换元法求最值 【典例6-1】D 【详解】因，设，则，由可得， 则有， 当且仅当，即时，等号成立， 即得，解得，即的最小值为. 故选：D. 【典例6-2】A 【详解】由得， 令，，则且，， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为 ， 故选：A． 【变式6-1】A 【详解】由，可得， 因为，两边同除，可得，即， 又因为，可得，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 所以， 令，其中，则，即，解得或（舍去）， 所以，即的最小值为，此时，. 故选：A. 【变式6-2】D 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 【变式6-3】A 【详解】因为， 所以， 令， 因为都是正数， 所以即， 且，同时， 所以     当且仅当时等号成立，此时. 故选：A ▌题型07 “1“的代换求最值 【典例7】D 【详解】∵， ， 当且仅当，即，时等号成立. 的取值范围是. 【变式7-1】C 【详解】已知，且，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为9． 故选：C． 【变式7-2】C 【详解】由题意， 当且仅当，即等号成立，所以的最小值为9. 故选：C 【变式7-3】C 【分析】先变形得到，再由基本不等式“1的妙用”求最小值即可. 【详解】由，可得，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，故的最小值为9. 故选：C. ▌题型08 万能“”法求最值 【典例8】A 【详解】因为正实数满足， 等式两边同乘以可得，所以， 因为，解得，当且仅当 时，等号成立. 因此，的最小值为.故选：A. 【变式8-1】A 【详解】因为正实数满足， 等式两边同乘以可得，所以， 因为，解得，当且仅当 时，等号成立. 因此，的最小值为.故选：A. 【变式8-2】C 【详解】解：因为， 所以，即， 因为，则，解得，当且仅当，即或时，等号成立，所以的取值范围为，故选：C 【变式8-3】B 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立，令，则，解得（舍去）或， 则，当且仅当，时等号成立，即的最小值为9.故选：B. ▌题型09 与基本不等式有关的恒（能）成立问题 【详解】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 【变式9-1】A 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式9-2】 【答案】 【详解】因为不等式恒成立，所以， 由，， 可得， 当且仅当时等号成立， 所以，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式9-3】 【答案】 【详解】由得． 又，当且仅当，即当时等号成立， ∴，∴的最大值为． 故答案为： ▌题型10 基本不等式在实际生活的应用 【典例10】B 【详解】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 【变式10-1】 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【变式10-2】 【答案】(1) (2)万元. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 【变式10-3】 【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 (2) 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $