2.5.2 圆与圆的位置关系讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦圆与圆的位置关系核心知识点，系统梳理几何法（两圆半径r1、r2与连心线长d的关系）和代数法（方程组解的个数）判断位置关系，延伸公共弦方程及长度求法、圆系方程、公切线条数及两圆相离时的最值问题，构建解析几何中圆的位置关系知识体系，作为衔接直线与圆位置关系的学习支架。 资料特色在于融合几何直观与代数推理，通过表格对比外离、外切等位置关系的d与r关系及公共点个数，例题与跟踪训练结合培养学生推理能力，公共弦、圆系方程应用强化模型意识。课中助力教师清晰授课，课后练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

2.5.2 圆与圆的位置关系 知识点一、两圆位置关系的判断 1.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| 公共点 个数 0 1 2 1 0 2.代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D12＋E12－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)， 联立方程得， 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 知识点二、两圆的公共弦及圆系方程问题 1.圆与圆的公共弦 （1）定义：当两个圆相交时，连接两个交点所得的线段叫公共弦. （2）公共弦所在直线的方程：若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D12＋E12－4F1>0)， 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)相交，则两圆公共弦所在直线的方程为 （D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0. （3）两圆公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，得到公共弦所在直线的方程，将公共弦所在直线方程与其中一圆的方程联立消元，解出两个交点的坐标，再利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法：求出公共弦所在的直线方程，转化为该直线与其中一个圆相交时的弦长问题，在以圆的半径、半弦长、弦心距为边长的直角三角形，根据勾股定理求解. 2.圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫做圆系方程. 常见的圆系方程有： （1）同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0). （2）半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0). （3）过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R). （4）过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D12＋E12－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)的交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1). 当λ≠－1时，方程变为（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0，为两圆的交点的直线. 知识点三、两圆的公切线 1.两圆的公切线 （1）定义：与两圆都相切的直线称为两圆的公切线. （2）两圆的位置关系与公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4 3 2 1 0 2.公切线的方程 （1）当切线斜率存在时，首先设出直线方程，由于这条直线与两个圆都相切，因此可以利用直线与圆相切，得(为圆心到直线的距离，为半径)，进而得到两个关于的方程，然后联立求出参数的值即可. （2）当公切线的斜率不存在时，可运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程. 知识点四、两圆相离时的最值 设圆、圆的半径分别为(不妨设)，分别是圆、圆上的动点，则当两圆外离时，的最大值为，的最小值为.当两圆内含时，的最大值为，的最小值为. 题型一：圆与圆的位置关系 例1.当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？ 解：将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k， 圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝(k＜50)． 从而|C1C2|＝. 当1＋＝5，k＝34时，两圆外切． 当|－1|＝5，＝6，k＝14时，两圆内切． 当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1， 即14＜k＜34时，两圆相交． 当1＋＜5或|－1|＞5， 即34＜k＜50或k＜14时，两圆相离． 跟踪训练： 1.已知圆，圆，当为何值时，两圆 （1）外切；（2）相交；（3）外离. 解：圆的方程可化为，圆心为，半径. 圆的方程可化为，圆心为，半径. 两圆的圆心距. （1）当，即时，两圆外切，此时或. （2）当，即时，两圆相交，此时或. （3）当，即时，两圆外离，此时或. 2.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 解：两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3， 两圆的圆心距，则R－r<<R＋r，则两圆相交.故选：B. 3.到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有 条． 解：到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝＝5.半径之和为3＋1＝4，因为5>4， 所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条．故答案为：4. 题型二：两圆的公共弦问题 例1.已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度． 解：(1)将两圆方程配方化为标准方程，则 C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50， C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10， ∴圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r1＝5， 圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝. ∴|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，|r1－r2|＝|5－|， ∴|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交． (2)将两圆方程相减， 得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0. (3)方法一　由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离为 d＝，∴公共弦长为l＝. 方法二　设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组， 解得：或.∴|AB|＝.即公共弦长为. 跟踪训练： 1.两圆x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x＋2y－40＝0的公共弦的长为(　　) A．5 B．5 C．10 D．10 解：选D. 2.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长为 ． 解：由题意将两圆的方程相减， 可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0. 又圆C3的圆心坐标为(1,1)，其到直线l的距离为d＝， 设圆C3的半径为r，由条件知，r2－d2＝－＝，所以弦长为2×＝. 故答案为：. 3.已知圆，圆. （1）判断两圆的位置关系； （2）求两圆的公共弦所在直线的方程； （3）求两圆的公共弦的长度. 解：（1）将两圆方程化为标准方程，得 ，， 则圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径. 又因为，，， 所以，所以两圆相交. （2）将两圆方程相减，整理得公共弦所在直线的方程为. （3）方法1：圆的圆心到直线的距离. 所以公共弦长 方法2：设两圆相交于点，则两点的坐标满足方程组 ，解得：或，可设， 所以，即公共弦长为 题型三：两圆的公切线问题 例1.已知圆和圆，则两圆的公切线有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解：圆的标准方程是，圆心为，半径； 圆的标准方程是，圆心为，半径. 因为圆心距， 所以两圆外切，所以两圆有3条公切线. 例2.已知圆，圆，求两圆的公切线方程. 解：方法1：如图， 可得圆与圆相交，由圆的方程易得圆的圆心为，半径.设两圆的公切线与圆相切于点，则公切线方程为. 因为点到公切线的距离等于，所以. 联立，解得或. 所以公切线方程为或， 即或. 方法2：如图，易知两圆的公切线斜率存在，设公切线方程为，由方法1知，的半径，则由图知.因为公切线与和均相切，所以， 结合解得或，所以公切线方程为或， 即或. 例3.若直线与圆,圆都相切，切点分别为,则（ ） A. B. C. D. 解：如图所示， 设直线交轴于点，由于直线与圆,圆都相切，切点分别为，则，所以.因为，所以为的中点，为的中点，所以.由勾股定理可得.故选：C. 跟踪训练： 1.已知圆与圆关于直线对称，且点在圆上，则圆与圆的公切线的条数为 . 解：因为圆心关于直线的对称点的坐标为， 所以.因为， 所以圆与圆外离，所以圆与圆有4条公切线.故答案为：4. 2.(多选)若直线与圆和圆都相切，则直线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 解：方法1：由题知，连接，，则，故圆与外切，则两圆有三条公切线，如图. 线段的中点为两圆外切切点，直线过线段的中点，且与直线垂直. 因为，所以，所以直线的方程为， 即. 方法2：两圆方程相减并整理得.因为两圆的半径相等，所以直线与平行，到的距离为，设直线的方程为. 关键：两圆半径相等时，存在切线与圆心连线平行. 则，解得或，所以直线的方程为或.故选：BC. 3.已知圆，圆，则圆和圆的公切线的长为 . 解：圆，即，.圆，即，.，故两圆外离，共有4条公切线，2条长度相同的外公切线和2条长度相同的内公切线.外公切线长，内公切线长. 故答案为：或 1.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 解：化为标准方程：圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，则O1(1,0)，O2(0,2)，|O1O2|＝<r1＋r2，又r2－r1<，所以两圆相交．故选：B. 2.圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为(　　) A．2 B．－5 C．2或－5 D．不确定 解：圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3， 圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2. 依题意有，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5. 故选：C. 3.已知半径为1的动圆与圆有3条公切线，则动圆圆心的轨迹方程为（） A. B. C. D. 解：设动圆圆心为，由题意，动圆与已知圆外切，则，即.故选：A. 4.已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是 ． 解：设圆C的半径为r，圆心距为d＝＝5， 当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6， ∴圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36. 故答案为：(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36. 5.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为，则a＝ ． 解：将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝，圆心(0,0)到直线的距离为d＝＝＝1，所以a＝1.故答案为：1. 6.已知圆，圆，圆与圆的位置关系为 ． 解：方法1：圆的方程可化为，圆心是，半径. 圆的方程可化为，圆心是，半径. 两圆的圆心距. 又，，且，所以两圆相交. 方法2：将两圆的方程联立得到方程组 ，得，记为.由①③联立消去得. 思路1：解得.代入③，得，所以，，即两圆相交. 思路2：因为，所以两圆相交. 故答案为：相交. 7.若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是 ． 解：由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a，0)，和(0，b)，1. 因为两圆外离，所以>＋1，即a2＋b2>3＋2.故答案为：a2＋b2>3＋2. 8.过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是 ． 解：设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0， 则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.故答案为：x2＋y2－3x＋y－1＝0. 1.圆和圆的位置关系是（ ） A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 解：由题意可知圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为； 又，所以圆和圆的位置关系是相交.故选：B. 2.圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为(　　) A．(1,0)和(0,1) B．(－1,0)和(0,1) C．(1,0)和(0，－1) D．(－1,0)和(0，－1) 解：由，解得：或， 所以两圆的交点坐标为(－1,0)和(0，－1)．故选：D. 3.已知圆C1：x2＋y2－m＝0，圆C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0，若圆C1与圆C2有公共点，则实数m的取值范围是(　　) A．1＜m＜121 B．1≤m≤121 C．m＜1 D．m＞121 解：圆C1的方程可化为x2＋y2＝m(m>0)，则圆心为C1(0,0)，半径r1＝； 圆C2的方程可化为(x＋3)2＋(y－4)2＝36，则圆心为C2(－3,4)，半径r2＝6. ∵圆C1与圆C2有公共点，∴|r1－r2|≤|C1C2|≤r1＋r2， 即，所以，解得：1≤m≤121. 故答案为：1≤m≤121.故选：B. 4.(多选)设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是(　　) A．内切 B．相交 C．外离 D．外切 解：两圆的圆心距为d＝，两圆的半径之和为r＋4， 因为<r＋4，所以两圆不可能外切或外离.故选CD. 5.圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为(　　) A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 解：圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11， 圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8， ∴|O1O2|＝＝13，∴r－R＜|O1O2|＜R＋r， ∴两圆相交．∴公切线有2条．故选：C. 6.若半径为1的动圆与定圆相切，则动圆的圆心的轨迹方程是（ ） A. B.或 C. D.或 解：圆的圆心，半径，圆的半径. 当圆与圆内切时，圆心的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，则圆心的轨迹方程为； 当圆与圆外切时，圆心的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，则圆心的轨迹方程为. 综上所述，动圆的圆心的轨迹方程为或. 故选：D. 7.已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是 ． 解：圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.故答案为：x＋3y＝0. 8.经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为 ． 解：由已知可设所求圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝， 故所求圆的方程为=0.故答案为：=0. 9.已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ． 解：设动圆圆心为(x，y)， 动圆与已知圆外切，则＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25； 若动圆与已知圆内切，则＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9. 故答案为：(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9. 10.若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为 ． 解：连接OO1，记AB与OO1的交点为C，如图所示， 在Rt△OO1A中，|OA|＝，|O1A|＝，∴|OO1|＝5，∴|AC|＝，∴|AB|＝4. 故答案为：4. 11.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于 . 解：∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)， 则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2， 即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0， ∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32， ∴|C1C2|＝.故答案为：8. 12.如果圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是 . 解：∵圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2， ∴圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交． |OC|＝，由2－1<|OC|<2＋1，得1<<3， ∴0<|a|<，∴<a<0或0<a<.故答案为：. 13.已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0. (1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切？ (3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 解：两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m， 圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和. (1)当两圆外切时，.解得m＝25＋10. (2)当两圆内切时，解得m＝25－10. (3)两圆的公共弦所在直线方程为 (x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0， 即4x＋3y－23＝0，∴公共弦长为. 14.已知圆，直线.求与圆外切且与直线相切于点的圆的方程. 解：设所求圆的方程为， 圆的方程可化为，则① 又所求圆与直线相切于点，所以联立①②③组成方程组， 解得或， 故所求圆的方程为或. 15.圆与圆相交于两点. （1）求圆心在直线上，且经过两点的圆的方程； （2）求经过两点且面积最小的圆的方程. 解：（1）设经过两点的圆的方程为， 即，则圆心坐标为. 又圆心在直线上，故，解得，故所求圆的方程为. （2）圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径.直线的方程为，即. 由题意可知以线段为直径的圆的面积最小. 由两个圆的方程相减，可得直线的方程为. 联立，解得.则所求圆的圆心为. 圆心到直线的距离， 所以，所以所求圆的半径为. 故经过两点且面积最小的圆的方程为. 16.(1)求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程． (2)求过直线x＋y＋4＝0与圆x2＋y2＋4x－2y－4＝0的交点且与直线y＝x相切的圆的方程． 解：（1）方法一： 设经过两圆交点的圆系方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)， 即，所以圆心坐标为. 又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－4＝0，即λ＝. 所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0. 方法二：由，得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x. 由，解得或. 所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点坐标分别为A(－1，－1)，B(3,3)， 线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y－1＝－(x－1)． 由解得：.即所求圆的圆心坐标为(3，－1)， 半径为.所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. （2）设所求圆的方程为x2＋y2＋4x－2y－4＋λ(x＋y＋4)＝0. 联立，得x2＋(1＋λ)x＋2(λ－1)＝0. 因为所求圆与直线y＝x相切，所以Δ＝0，即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，解得λ＝3， 故所求圆的方程为x2＋y2＋7x＋y＋8＝0. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2 圆与圆的位置关系 知识点一、两圆位置关系的判断 1.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| 公共点 个数 0 1 2 1 0 2.代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D12＋E12－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)， 联立方程得， 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 知识点二、两圆的公共弦及圆系方程问题 1.圆与圆的公共弦 （1）定义：当两个圆相交时，连接两个交点所得的线段叫公共弦. （2）公共弦所在直线的方程：若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D12＋E12－4F1>0)， 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)相交，则两圆公共弦所在直线的方程为 （D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0. （3）两圆公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，得到公共弦所在直线的方程，将公共弦所在直线方程与其中一圆的方程联立消元，解出两个交点的坐标，再利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法：求出公共弦所在的直线方程，转化为该直线与其中一个圆相交时的弦长问题，在以圆的半径、半弦长、弦心距为边长的直角三角形，根据勾股定理求解. 2.圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫做圆系方程. 常见的圆系方程有： （1）同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0). （2）半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0). （3）过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R). （4）过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D12＋E12－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)的交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1). 当λ≠－1时，方程变为（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0，为两圆的交点的直线. 知识点三、两圆的公切线 1.两圆的公切线 （1）定义：与两圆都相切的直线称为两圆的公切线. （2）两圆的位置关系与公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4 3 2 1 0 2.公切线的方程 （1）当切线斜率存在时，首先设出直线方程，由于这条直线与两个圆都相切，因此可以利用直线与圆相切，得(为圆心到直线的距离，为半径)，进而得到两个关于的方程，然后联立求出参数的值即可. （2）当公切线的斜率不存在时，可运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程. 知识点四、两圆相离时的最值 设圆、圆的半径分别为(不妨设)，分别是圆、圆上的动点，则当两圆外离时，的最大值为，的最小值为.当两圆内含时，的最大值为，的最小值为. 题型一：圆与圆的位置关系 例1.当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14x＋k＝0相交、相切、相离？ 跟踪训练： 1.已知圆，圆，当为何值时，两圆 （1）外切；（2）相交；（3）外离. 2.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 3.到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有 条． 题型二：两圆的公共弦问题 例1.已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度． 跟踪训练： 1.两圆x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x＋2y－40＝0的公共弦的长为(　　) A．5 B．5 C．10 D．10 2.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长为 ． 3.已知圆，圆. （1）判断两圆的位置关系； （2）求两圆的公共弦所在直线的方程； （3）求两圆的公共弦的长度. 题型三：两圆的公切线问题 例1.已知圆和圆，则两圆的公切线有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 例2.已知圆，圆，求两圆的公切线方程. 例3.若直线与圆,圆都相切，切点分别为,则（ ） A. B. C. D. 跟踪训练： 1.已知圆与圆关于直线对称，且点在圆上，则圆与圆的公切线的条数为 . 2.(多选)若直线与圆和圆都相切，则直线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 3.已知圆，圆，则圆和圆的公切线的长为 . 1.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 2.圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为(　　) A．2 B．－5 C．2或－5 D．不确定 3.已知半径为1的动圆与圆有3条公切线，则动圆圆心的轨迹方程为（） A. B. C. D. 4.已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是 ． 5.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为，则a＝ ． 6.已知圆，圆，圆与圆的位置关系为 ． 7.若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是 ． 8.过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是 ． 1.圆和圆的位置关系是（ ） A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 2.圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为(　　) A．(1,0)和(0,1) B．(－1,0)和(0,1) C．(1,0)和(0，－1) D．(－1,0)和(0，－1) 3.已知圆C1：x2＋y2－m＝0，圆C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0，若圆C1与圆C2有公共点，则实数m的取值范围是(　　) A．1＜m＜121 B．1≤m≤121 C．m＜1 D．m＞121 4.(多选)设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是(　　) A．内切 B．相交 C．外离 D．外切 5.圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为(　　) A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 6.若半径为1的动圆与定圆相切，则动圆的圆心的轨迹方程是（ ） A. B.或 C. D.或 7.已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是 ． 8.经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为 ． 9.已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ． 10.若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为 ． 11.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于 . 12.如果圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是 . 13.已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0. (1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切？ (3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 14.已知圆，直线.求与圆外切且与直线相切于点的圆的方程. 15.圆与圆相交于两点. （1）求圆心在直线上，且经过两点的圆的方程； （2）求经过两点且面积最小的圆的方程. 16.(1)求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程． (2)求过直线x＋y＋4＝0与圆x2＋y2＋4x－2y－4＝0的交点且与直线y＝x相切的圆的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $