2.5.1　第1课时　直线与圆的位置关系课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“直线与圆的位置关系”，涵盖位置关系判断、相切及相交问题，通过自主学习的表格梳理（几何法、代数法）和练一练，搭建从基础概念到简单应用的学习支架，衔接互动探究中的重点难点。 其亮点是以“问题探究”为主线，结合几何法与代数法对比培养数学思维，如过圆外点引切线分斜率存在与不存在讨论体现推理严谨性，弦长计算的两种方法强化数学语言表达。课堂小结与分层作业帮助学生夯实基础，教师可直接用于教学提升效率。

第二章　直线和圆的方程 2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1　直线与圆的位置关系 第1课时　直线与圆的位置关系 【学习与目标】　 自主学习通道 目录 互动探究通道 巩固提升通道 高效课时作业 自主学习通道 自研教材 梳理必备知识 返回目录 自主学习通道 2 1 0 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 自主学习通道 自主学习通道 √ × √ √ 自主学习通道 B 自主学习通道 B 互动探究通道 师生共研 探究重点难点 返回目录 互动探究通道 A 互动探究通道 C 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 C 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 巩固提升通道 当堂巩固 验收关键能力 返回目录 巩固提升通道 巩固提升通道 D 巩固提升通道 CD 巩固提升通道 D 巩固提升通道 x＝2或y＝3 高效课时作业 返回目录 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y＝1或4x－3y－5＝0 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AB 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Thank you for watching. 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系． 填一填 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 eq \o(□,\s\up4(1)) 个 eq \o(□,\s\up4(2)) 个 eq \o(□,\s\up4(3)) 个 判 断 方 法 几何法：圆心到直线的距离d＝ eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2)) d eq \o(□,\s\up4(4)) r d eq \o(□,\s\up4(5)) r d eq \o(□,\s\up4(6)) r 代数法：由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,(x－a)2＋(y－b)2＝r2)) 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ eq \o(□,\s\up4(7)) 0 Δ eq \o(□,\s\up4(8)) 0 Δ eq \o(□,\s\up4(9)) 0 【提醒】　(1)利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径及圆心到直线的距离． (2)利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x(或y)的一元二次方程，由Δ与0的大小关系判断方程解的个数，进一步判断两者的位置关系． 练一练 1．判断正误 (1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　) (2)过不在圆内的一点一定能作圆的两条切线.(　　) (3)过圆内一点作一条直线，则该直线一定与圆相交．(　　) (4)如果一条直线与圆相交，所得的弦长是圆的弦中最长的，那么这条直线一定过圆心．(　　) 2．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 解析　圆心(0，0)到直线y＝x＋1的距离d＝ eq \f(1,\r(2))＝ eq \f(\r(2),2).因为0< eq \f(\r(2),2)<1，所以直线与圆相交但直线不过圆心，故选B. 解析　圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25，故圆心为(3，4)，半径r＝5.又直线方程为2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝ eq \f(|2×3－4＋3|,\r(4＋1))＝ eq \r(5)，所以弦长为2 eq \r(r2－d2)＝2× eq \r(25－5)＝2 eq \r(20)＝4 eq \r(5). 3．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为(　　) A．0或2 B．2 C． eq \r(2) D．无解 解析　由于直线与圆相切，故 eq \r(m)＝ eq \f(|m|,\r(12＋12))，解得m＝0(舍去)或m＝2. 4．直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于 ． 4 eq \r(5) 类型一　直线与圆位置关系的判断　　　　　　自主探究 1．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　) A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 解析　∵32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， ∴点P(3，0)在圆内，∴过点P的直线l必与圆C相交． 2．若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，2] B．(1，2] C．(0，2) D．(1，2) 解析　由题意得，圆心到直线的距离d＝ eq \f(|1＋1|,\r(12＋(－1)2))> eq \r(m)，∴m<2，∵m>0，∴0<m<2. 直线与圆的位置关系的判断方法 直线与圆的位置关系反映在三个方面： 一是点到直线的距离与半径大小的关系； 二是直线与圆的公共点的个数； 三是两方程组成的方程组解的个数． 因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法判断，几何法计算量小，代数法可一同求出交点．解题时可根据条件作出恰当的选择． 类型二　直线与圆的相切问题 【例1】　过点M(2，4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，求其切线方程． 解　由于(2－1)2＋(4＋3)2＝50>1，故点M在圆外． 当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k(x－2)， 即kx－y＋4－2k＝0， 由于直线与圆相切，圆心为(1，－3)，r＝1，故 eq \f(|k＋3＋4－2k|,\r(k2＋(－1)2))＝1，解得k＝ eq \f(24,7). 所以切线方程为24x－7y－20＝0. 又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切． 综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2. 变式探究 1．(变条件)若将本例中的点M的坐标改为(1，－2)，其他条件不变，又如何求其切线方程？ 解　由于(1－1)2＋(－2＋3)2＝1， 故点M在圆上， 设圆的圆心为C，则C(1，－3)，显然CM的斜率不存在． 因为圆的切线垂直于经过切点的半径， 所以所求切线的斜率k＝0， 所以所求切线方程为y＝－2. 2．(变设问)若本例中的条件不变，如何求其切线长？ 解　设切线长为d，则d＝ eq \r([\r((2－1)2＋(4＋3)2)]2－1)＝ eq \r(50－1)＝7. 1．过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－ eq \f(1,k)，由点斜式可得切线方程．如果切线斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. 2．过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条． 3．求切线长(最值)的两种方法 (1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； (2)几何法：把切线长(最值)问题转化成圆心到直线的距离(最值)问题． [跟踪训练1]　(1)圆x2＋y2＝4在点P( eq \r(3)，－1)处的切线方程为(　　) A． eq \r(3)x＋y－2＝0 B． eq \r(3)x＋y－4＝0 C． eq \r(3)x－y－4＝0 D． eq \r(3)x－y＋2＝0 (2)由直线y＝x＋1上的一点A向圆C：x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为 . eq \r(7) 解析　(1)∵( eq \r(3))2＋(－1)2＝4， ∴点P在圆上，∴P为切点． ∵切点与圆心连线的斜率为－ eq \f(\r(3),3)， ∴切线的斜率为 eq \r(3)， ∴切线方程为y＋1＝ eq \r(3)(x－ eq \r(3))，即 eq \r(3)x－y－4＝0. (2)由x2－6x＋y2＋8＝0，得(x－3)2＋y2＝1，故C(3，0)，r＝1.当AC与直线y＝x＋1垂直时，切线长取得最小值．又圆心(3，0)到直线的距离为d＝ eq \f(|3－0＋1|,\r(2))＝2 eq \r(2)，故切线长的最小值为 eq \r(d2－r2)＝ eq \r(8－1)＝ eq \r(7). 类型三　直线与圆的相交问题 【例2】　已知圆C与x轴相切，圆心在直线y＝3x上，且到直线y＝2x的距离为 eq \f(\r(5),5). (1)求圆C的方程； (2)若圆C的圆心在第一象限，过点(1，0)的直线l与C相交于A，B两点，且|AB|＝3 eq \r(2)，求直线l的方程． 解　(1)设圆心C的坐标为(a，3a)，则该圆的半径长为3|a|，因为圆心C到直线y＝2x的距离为 eq \f(|a|,\r(5))＝ eq \f(\r(5),5)，解得a＝±1， 所以圆心C的坐标为(1，3)或(－1，－3)，半径为3，因此圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9. (2)若圆C的圆心在第一象限，则圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9. 因为|AB|＝3 eq \r(2)，所以圆心到直线l的距离 d＝ eq \r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))\s\up42(2))＝ eq \r(\f(9,2))＝ eq \f(3\r(2),2). 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝1，此时圆心C到直线l的距离为0，不符合题意， 所以直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0， 由题意可得d＝ eq \f(3,\r(k2＋1))＝ eq \f(3\r(2),2)，解得k＝±1， 所以直线l的方程为y＝x－1或y＝1－x，即x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 直线与圆相交时弦长的两种求解方法 (1)几何法：如图，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2))) eq \s\up42(2)＋d2＝r2，即|AB|＝2 eq \r(r2－d2). (2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝ eq \r((x1－x2)2＋(y1－y2)2) ＝ eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)， 其中k为直线l的斜率． [跟踪训练2]　求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长． 解　解法一：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标为(0，1)，半径r＝ eq \r(5). 圆心(0，1)到直线l的距离为d＝ eq \f(|3×0＋1－6|,\r(32＋12))＝ eq \f(\r(10),2)，则弦长为2 eq \r(r2－d2)＝ eq \r(10)，所以截得的弦长为 eq \r(10). 解法二：设直线l与圆C交于A，B两点， 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋y－6＝0，,x2＋y2－2y－4＝0，)) 得交点A(1，3)，B(2，0)， 所以弦AB的长为 |AB|＝ eq \r((2－1)2＋(0－3)2)＝ eq \r(10). 1．知识清单 (1)直线与圆位置关系的判断． (2)直线与圆的相切问题． (3)直线与圆的相交问题． 2．方法归纳：几何法、代数法． 3．常见误区：求切线方程时忽略切线斜率不存在的情况． 1．直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是(　　) A．相交并且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 解析　圆心C(1，1)到直线的距离d＝ eq \f(|3×1＋4×1＋12|,\r(32＋42))＝ eq \f(19,5)，圆C的半径r＝3，则d>r，所以直线与圆相离． 2．(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值可以是(　　) A．－2　　 B．－12　　 C．2　　 D．12 解析　圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，由圆心(1，1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为 eq \f(|7－b|,5)＝1，得b＝2或12. 3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为(　　) A． eq \r(3) B．2 C． eq \r(6) D．2 eq \r(3) 解析　易知直线方程为 eq \r(3)x－y＝0，圆的圆心为(0，2)，半径为2，因为圆心到直线的距离d＝ eq \f(|－2|,2)＝1，所以所截弦长为2 eq \r(22－12)＝2 eq \r(3)，故选D. 4．过点P(2，3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线方程为 ． 解析　∵点P(2，3)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外，∴过点P(2，3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条．当斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，∴圆心到切线的距离d＝ eq \f(|k－2＋3－2k|,\r(k2＋1))＝1，∴k＝0，∴切线方程为y＝3.当斜率不存在时，切线方程为x＝2. 基础巩固 1．直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋2y－5＝0的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 解析　因为直线y＝kx＋1恒过定点A(0，1)，而02＋12＋2×1－5＝－2<0， 所以定点A(0，1)在圆x2＋y2＋2y－5＝0内， 所以直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋2y－5＝0相交． 2．若直线x－y＋2＝0与圆O：(x－a)2＋y2＝2相切，则a＝(　　) A．0 B．－4或2 C．2 D．0或－4 解析　由圆O：(x－a)2＋y2＝2可得圆心O(a，0)，半径r＝ eq \r(2)，因为直线x－y＋2＝0与圆O：(x－a)2＋y2＝2相切，所以圆心O(a，0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝ eq \f(|a＋2|,\r(12＋(－1)2))＝ eq \r(2)，整理可得|a＋2|＝2，所以a＝0或a＝－4，故选D. 3．“a＝2”是“圆(x－a)2＋(y－b)2＝4与y轴相切”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　当a＝2时，圆(x－2)2＋(y－b)2＝4的圆心坐标为(2，b)，半径为2，此时圆与y轴相切； 当圆(x－a)2＋(y－b)2＝4与y轴相切时，因为圆的半径为2，所以圆心到y轴的距离为|a|＝2，所以a＝±2， 所以“a＝2”是“圆(x－a)2＋(y－b)2＝4与y轴相切”的充分不必要条件． 4．若点P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为 (　　) A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0 C．2x－y－5＝0 D．x－y－3＝0 解析　圆心是点C(1，0)，由CP⊥AB，kCP＝－1，得kAB＝1，又直线AB过点P，所以直线AB的方程为x－y－3＝0，故选D. 5．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2 eq \r(3)，则直线的斜率为 (　　) A． eq \r(3) B．± eq \r(3) C． eq \f(\r(3),3) D．± eq \f(\r(3),3) 解析　因为直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2 eq \r(3)，所以圆心C(2，3)到直线的距离d＝ eq \r(4－(\r(3))2)＝1，所以 eq \f(|2k－3＋3|,\r(k2＋1))＝ eq \f(|2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝± eq \f(\r(3),3)，故选D. 6．在圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直线x＋y＋1＝0的距离为 eq \r(2) 的点共有 (　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析　由x2＋y2＋2x＋4y－3＝0，得(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，故圆心为(－1，－2)，半径r＝2 eq \r(2)，从而圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝ eq \f(|－1－2＋1|,\r(2))＝ eq \r(2)，故圆上有3个点满足题意． 7．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于 ． 4 eq \r(5) 解析　由已知得圆心C(3，1)，半径r＝5.又圆心C到直线的距离d＝ eq \f(|3＋2|,\r(5))＝ eq \r(5)，则弦长为2 eq \r(r2－d2)＝4 eq \r(5). 8．已知圆O：x2＋y2＝1，过点P(2，1)作圆O的切线，则切线方程为 ． 解析　由题设，22＋12＝5>1，故P在圆外， 根据圆O：x2＋y2＝1及P(2，1)，知过P作圆O的切线斜率一定存在， ∴可设切线方程为y＝k(x－2)＋1，联立圆的方程， 整理得(1＋k2)x2＋2k(1－2k)x＋4k(k－1)＝0， 令Δ＝4k2(1－2k)2－16k(k－1)(1＋k2)＝0，解得k＝0或k＝ eq \f(4,3).∴切线方程为y＝1或4x－3y－5＝0. 9．求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足： (1)相交；(2)相切；(3)相离． 解　圆的方程化为标准方程为(x－3)2＋y2＝4， 故圆心(3，0)到直线x－my＋3＝0的距离 d＝ eq \f(6,\r(m2＋1))，圆的半径r＝2. (1)若相交，则d<r，即 eq \f(6,\r(m2＋1))<2， 所以m∈(－∞，－2 eq \r(2))∪(2 eq \r(2)，＋∞). (2)若相切，则d＝r，即 eq \f(6,\r(m2＋1))＝2， 所以m＝±2 eq \r(2). (3)若相离，则d>r，即 eq \f(6,\r(m2＋1))>2， 所以m∈(－2 eq \r(2)，2 eq \r(2)). 10．圆C与直线2x＋y－5＝0相切于点(2，1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程． 解　设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r 2(r＞0). 因为两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，所以2r＝ eq \f(|15－(－5)|,\r(22＋12))＝4 eq \r(5)，所以r＝2 eq \r(5). 所以 eq \f(|2a＋b＋15|,\r(22＋12))＝r＝2 eq \r(5)，即|2a＋b＋15|＝10，① eq \f(|2a＋b－5|,\r(22＋12))＝r＝2 eq \r(5)， 即|2a＋b－5|＝10.② 又因为过圆心和切点的直线与切线垂直， 所以 eq \f(b－1,a－2)＝ eq \f(1,2).③ 联立①②③，解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1.)) 故所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20. 能力提升 11．(多选)(2023·辽宁鞍山一中期中)已知圆O：x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)，则下列说法正确的有(　 　) A．若点P在圆O上，则圆O在点P处的切线方程为x0x＋y0y＝r2 B．若点P在圆O外，则直线x0x＋y0y＝r2与圆O相交 C．若点P在圆O内，则直线x0x＋y0y＝r2与圆O相交 D．若点P在圆O外，则直线x0x＋y0y＝r2与圆O的位置关系不确定 解析　对于A，若点P在圆O上，则x eq \o\al(2,0)＋y eq \o\al(2,0)＝r2，因为点P的坐标满足x0x＋y0y＝r2，故直线x0x＋y0y＝r2过点P.又点O(0，0)到直线x0x＋y0y＝r2的距离d＝2,0) eq \f(r2,\r(x＋y eq \o\al(2,0))) ＝r，故直线x0x＋y0y＝r2与圆O相切．综上所述，若点P在圆O上，则圆O在点P处的切线方程为x0x＋y0y＝r2，A正确． 对于B、D，若点P在圆O外，则x eq \o\al(2,0)＋y eq \o\al(2,0)>r2，又点O到直线x0x＋y0y＝r2的距离 d＝2,0) eq \f(r2,\r(x＋y eq \o\al(2,0))) <r，故直线x0x＋y0y＝r2与圆O相交，所以B正确，D错误． 对于C，若点P在圆O内，则x eq \o\al(2,0)＋y eq \o\al(2,0)<r2，又点O到直线x0x＋y0y＝r2的距离d＝2,0) eq \f(r2,\r(x＋y eq \o\al(2,0))) >r，故直线x0x＋y0y＝r2与圆O相离，C错误．故选AB. 12．(2024·枣庄一中月考)由直线y＝x＋2上的点向圆(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　) A． eq \r(30) B． eq \r(31) C．4 eq \r(2) D． eq \r(33) 解析　过圆心作直线的垂线，由垂线与直线的交点向圆引切线，此时切线长最小．圆心坐标为(4，－2)，半径r＝1，圆心到直线的距离为 eq \f(|4＋2＋2|,\r(2))＝4 eq \r(2)，则切线长的最小值为 eq \r((4\r(2))2－12)＝ eq \r(31). 13．直线l：(2a－1)x＋(a－3)y＋4－3a＝0与圆C(x－2)2＋y2 ＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为 ，此时a＝ ． 2 eq \r(7) eq \f(4,3) 解析　∵直线l：(2a－1)x＋(a－3)y＋4－3a＝0恒过定点(1，1)，∴当圆心C与点(1，1)的连线与直线AB垂直时，弦长|AB|最小． ∵圆心C(2，0)与点(1，1)间的距离为 eq \r((2－1)2＋(0－1)2)＝ eq \r(2)，圆C的半径为3， ∴弦长|AB|的最小值为2 eq \r(9－2)＝2 eq \r(7). ∵圆心C(2，0)与点(1，1)连线的斜率为 eq \f(1－0,1－2)＝－1， ∴此时直线l的斜率为1， 由－ eq \f(2a－1,a－3)＝1，解得a＝ eq \f(4,3). 多元数学 14．(逻辑推理)已知圆C经过点A(0，3)，B(2，5)，且圆心C在直线2x＋y－7＝0上． (1)求圆C的标准方程； (2)过点P(4，6)向圆C引两条切线PD，PE，切点分别为D，E，求切线PD，PE的方程，并求弦DE的长． 解　(1)设圆心C(a，b)，因为圆心C在直线2x＋y－7＝0上，所以2a＋b－7＝0.① 因为A，B是圆上的两点，所以|CA|＝|CB|， 所以 eq \r(a2＋(b－3)2)＝ eq \r((a－2)2＋(b－5)2)，即a＋b－5＝0.② 联立①②，解得a＝2，b＝3. 所以圆C的半径r＝|AC|＝2，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4. (2)若过点P的切线斜率不存在，则切线方程为x＝4. 若过点P的切线斜率存在，设为k，则切线方程为y－6＝k(x－4)，即kx－y－4k＋6＝0. 由 eq \f(|－2k＋3|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝ eq \f(5,12)，所以切线方程为5x－12y＋52＝0. 综上，过点P的圆C的切线方程为x＝4或5x－12y＋52＝0. 设切线PD的方程为x＝4，PC与DE交于点F， 因为|PC|＝ eq \r(13)，CD⊥PD，PC垂直平分DE， 所以|PC|·|CF|＝|CD|2，所以|CF|＝ eq \f(|CD|2,|PC|)＝ eq \f(4\r(13),13)， 所以|DE|＝2 eq \r(|CD|2－|CF|2)＝2 eq \r(4－\f(16,13))＝ eq \f(12\r(13),13). $