2.5.1 第1课时 直线与圆的位置关系 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“直线与圆的位置关系”，涵盖位置关系判断、切线问题及弦长问题。通过太阳落山实例衔接初中几何知识，引导学生从直观观察过渡到坐标系中几何法与代数法的应用，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以“探究-梳理-典例-练习”递进设计，结合实例抽象培养数学眼光，通过几何与代数方法推理发展数学思维，规范解题步骤提升数学语言表达。习题分层且附解题感悟，助力学生掌握核心方法，提升运算能力与应用意识。

2.5.1 直线与圆的位置关系 第1课时 直线与圆的位置关系 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ★学习目标　1.结合教材实例了解直线与圆的位置关系. 2.会解决关于直线与圆的位置关系的问题. 3.会解决直线与圆相切、弦长等相关的问题，能利用直线与圆的位置关系解决简单的应用性问题. 一、直线与圆的位置关系的判断 探究1　如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片，结合初中平面几何知识，思考：直线与圆有哪些位置关系？ 探究2　在平面直角坐标系中，如何利用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系？ ★梳理教材 直线与圆的三种位置关系 位置关系 公共点个数 图示 相交 有 公共点 相切 只有 公共点 相离 公共点 ★温馨提示　直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）与圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法： 由 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 （1）利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x（或y）的一元二次方程，由Δ与0的大小关系判断方程组解的个数，进一步判断两者的位置关系. （2）利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径及圆心到直线的距离. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切.（ 　） （2）过不在圆内的一点一定能作圆的两条切线.（ 　） （3）过圆内一点作一条直线，则该直线一定与圆相交.（ 　） （4）如果一条直线与圆相交，所得的弦长是圆的弦中最长的，那么这条直线一定过圆心.（ 　） 【典例1】　（1）若直线x－y＝0与圆（x－1）2＋（y＋1）2＝m相离，则实数m的取值范围是（ 　） A.（0，2] B.（1，2] C.（0，2） D.（1，2） （2）已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： ①有两个公共点；②只有一个公共点；③没有公共点. ★解题感悟 直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. （2）代数法：联立直线方程与圆的方程，根据方程组的解的个数来判断. （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系. 【练习1】　（1）直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是（ 　） A.相交 B.相离 C.相交或相切 D.相切 （2）已知点（a，b）在圆C：x2＋y2＝r2（r＞0）的外部，则直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是（ 　） A.相切 B.相离 C.相交 D.不确定 二、切线问题 探究3　从圆上一点引圆的切线有几条？从圆外呢？求切线方程的关键要素是什么？ 【典例2】　（1）经过点（－3，4）且与圆x2＋y2＝25相切的直线的方程是 . （2）经过点（2，4）且与圆x2＋y2＝4相切的直线的方程是 . （3）若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值是 . ★解题感悟 　　1.过圆上一点（x0，y0）的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程.如果切线的斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程：y＝y0或x＝x0. 2.过圆外一点（x0，y0）的切线方程的求法 设切线方程为y－y0＝k（x－x0），由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，即可得切线方程.当用此法只求出一个切线方程时，另一个方程应为x＝x0.因为在上面的解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解. 3.求切线长（最值）的两种方法 （1）（代数法）直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值. （2）（几何法）把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题. 【练习2】　（1）过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P（3，3）的切线方程为（ 　） A.2x－y＋9＝0 B.2x＋y－9＝0 C.2x＋y＋9＝0 D.2x－y－9＝0 （2）由直线y＝x＋1上任一点向圆（x－3）2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为（ 　） A.1 B.2 C. D.3 三、弦长问题 探究4　当直线与圆相交时，你能推导用半径r与弦心距d表示弦长的方法吗？ 探究5　当直线与圆相交时，你能推导用交点坐标表示弦长的方法吗？ 【典例3】　求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长． ★解题感悟 求圆的弦长的两种方法 （1）由半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理d2＋（）2＝r2求解，这是常用解法. （2）联立直线与圆的方程，消元得到关于x（或y）的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标（或纵坐标）之间的关系，代入两点间距离公式求解.此解法很烦琐，一般不用. [提醒]利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况. 【练习3】　（1）已知圆x2＋y2－6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ 　） A.1 B.2 C.3 D.4 （2）在平面直角坐标系Oxy中，直线x＋2y－3＝0被圆（x－2）2＋（y＋1）2＝4截得的弦长为 . ★课堂达标 1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为（ 　） A.相切 B.相交且直线不过圆心 C.相交且直线过圆心 D.相离 2.直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为（ 　） A.4 B.2 C. D. 3.（多选）若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是（ 　） A.－2 B.－12 C.2 D.12 4.若a2＋b2＝2c2（c≠0），则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为（ 　） A. B.1 C. D. 5.已知直线ax＋y－2＝0与圆C：（x－1）2＋（y－a）2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝ . 解析版 ★学习目标　1.结合教材实例了解直线与圆的位置关系. 2.会解决关于直线与圆的位置关系的问题. 3.会解决直线与圆相切、弦长等相关的问题，能利用直线与圆的位置关系解决简单的应用性问题. 一、直线与圆的位置关系的判断 探究1　如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片，结合初中平面几何知识，思考：直线与圆有哪些位置关系？ 提示：相交、相切与相离. 探究2　在平面直角坐标系中，如何利用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系？ 提示：可以看直线方程和圆的方程组成方程组解的个数或者看圆心到直线的距离与半径的关系. ★梳理教材 直线与圆的三种位置关系 位置关系 公共点个数 图示 相交 有　两个　公共点 相切 只有　一个　公共点 相离 　没有　公共点 ★温馨提示　直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）与圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法： 由 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 （1）利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x（或y）的一元二次方程，由Δ与0的大小关系判断方程组解的个数，进一步判断两者的位置关系. （2）利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径及圆心到直线的距离. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切.（　√　） （2）过不在圆内的一点一定能作圆的两条切线.（　✕　） （3）过圆内一点作一条直线，则该直线一定与圆相交.（　√　） （4）如果一条直线与圆相交，所得的弦长是圆的弦中最长的，那么这条直线一定过圆心.（　√　） 【典例1】　（1）若直线x－y＝0与圆（x－1）2＋（y＋1）2＝m相离，则实数m的取值范围是（　C　） A.（0，2] B.（1，2] C.（0，2） D.（1，2） 解析：由题意得，圆心坐标为（1，－1），半径r＝，圆心到直线的距离d＝＞，∴0＜m＜2. （2）已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： ①有两个公共点； ②只有一个公共点； ③没有公共点. 解：圆的方程可化为（x－2）2＋（y－1）2＝4，即圆心为（2，1），半径r＝2. 圆心（2，1）到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝. ①当d＜2，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点. ②当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点. ③当d＞2，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. ★解题感悟 直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. （2）代数法：联立直线方程与圆的方程，根据方程组的解的个数来判断. （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系. 【练习1】　（1）直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是（　C　） A.相交 B.相离 C.相交或相切 D.相切 （2）已知点（a，b）在圆C：x2＋y2＝r2（r＞0）的外部，则直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是（　C　） A.相切 B.相离 C.相交 D.不确定 解析：（1）圆x2＋y2＝1，表示以（0，0）为圆心，1为半径的圆，圆心到直线x－ky＋1＝0的距离d＝≤1，故直线和圆相交或相切. （2）由已知得a2＋b2＞r2，且圆心（0，0）到直线ax＋by＝r2的距离为d＝，则d＜r，故直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是相交. 二、切线问题 探究3　从圆上一点引圆的切线有几条？从圆外呢？求切线方程的关键要素是什么？ 提示：1条；2条；切线上的一点和切线斜率. 【典例2】　（1）经过点（－3，4）且与圆x2＋y2＝25相切的直线的方程是　3x－4y＋25＝0　. （2）经过点（2，4）且与圆x2＋y2＝4相切的直线的方程是　x＝2或3x－4y＋10＝0　. （3）若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值是　4　. 解析：（1）由题意，知圆x2＋y2＝25的圆心为O（0，0），半径r＝5，如图. 因为（－3）2＋42＝25，即点A（－3，4）在圆x2＋y2＝25上，且kOA＝－，可知过点A的切线的斜率k＝，所以切线的方程为y－4＝（x＋3），即 3x－4y＋25＝0. （2）由题意，知圆x2＋y2＝4的圆心为O（0，0），半径r＝2，因为22＋42＝20＞4，即点B（2，4）在圆x2＋y2＝4外.如图， 当直线斜率不存在时，则直线方程为x＝2，此时圆心O（0，0）到直线x＝2的距离d＝2＝r，即直线x＝2与圆x2＋y2＝4相切，符合题意；当直线斜率存在时，设为k，则直线方程为y－4＝k（x－2），即kx－y＋4－2k＝0，可得圆心O到直线的距离为＝2，解得k＝，所以直线方程为3x－4y＋10＝0.综上所述，切线方程为x＝2或3x－4y＋10＝0. （3）由题意，知圆心C（－1，2），半径r＝，因为圆C关于直线2ax＋by＋b＝0对称，所以圆心C在直线2ax＋by＋6＝0上，代入得b＝a－3，所以点（a，b）与圆心的距离d＝＝＝，所以当a＝2时，d取最小值3，此时切线长最小，所以切线长的最小值为＝＝4. ★解题感悟 　　1.过圆上一点（x0，y0）的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程.如果切线的斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程：y＝y0或x＝x0. 2.过圆外一点（x0，y0）的切线方程的求法 设切线方程为y－y0＝k（x－x0），由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，即可得切线方程.当用此法只求出一个切线方程时，另一个方程应为x＝x0.因为在上面的解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解. 3.求切线长（最值）的两种方法 （1）（代数法）直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值. （2）（几何法）把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题. 【练习2】　（1）过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P（3，3）的切线方程为（　B　） A.2x－y＋9＝0 B.2x＋y－9＝0 C.2x＋y＋9＝0 D.2x－y－9＝0 （2）由直线y＝x＋1上任一点向圆（x－3）2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为（　C　） A.1 B.2 C. D.3 解析：（1）∵x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C（1，2），kPC＝，∴切线的斜率是k＝－2， ∴切线方程为y－3＝－2（x－3），即2x＋y－9＝0. （2）因为圆心C（3，0）到直线y＝x＋1的距离d＝＝2. 所以切线长的最小值为＝. 三、弦长问题 探究4　当直线与圆相交时，你能推导用半径r与弦心距d表示弦长的方法吗？ 提示：几何法：如图，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为｜AB｜，则有（）2＋d2＝r2，即｜AB｜＝2. 探究5　当直线与圆相交时，你能推导用交点坐标表示弦长的方法吗？ 提示：代数法：设直线斜率为k， 方程为y＝kx＋b，直线与圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， 则｜AB｜＝ ＝＝｜x1－x2｜ ＝， 同理｜AB｜＝. 【典例3】　求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长． 解：方法一：直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是方程组的解． 解这个方程组，得 所以公共点的坐标为(－，1)，(0，2)， 所以直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为＝2. 方法二：如图，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB(O为坐标原点)， 又|OM|＝＝， 所以|AB|＝2|AM|＝2 ＝2＝2. ★解题感悟 求圆的弦长的两种方法 （1）由半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理d2＋（）2＝r2求解，这是常用解法. （2）联立直线与圆的方程，消元得到关于x（或y）的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标（或纵坐标）之间的关系，代入两点间距离公式求解.此解法很烦琐，一般不用. [提醒]利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况. 【练习3】　（1）已知圆x2＋y2－6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（　B　） A.1 B.2 C.3 D.4 （2）在平面直角坐标系Oxy中，直线x＋2y－3＝0被圆（x－2）2＋（y＋1）2＝4截得的弦长为　　. 解析：（1）如图，设直线与圆的两个交点为A，B，记点M（1，2），根据圆的几何性质，要使过点M（1，2）的直线被该圆所截得的弦长最小，则弦所在的直线与过圆心和该点的直线垂直.圆的标准方程为（x－3）2＋y2＝9，圆心为C（3，0），半径r＝3，连接CM，CA，此时圆心到直线的距离d＝｜CM｜＝＝2.根据垂径定理可得直线被圆截得的弦长的最小值为2＝2×＝2. （2）因为圆心（2，－1）到直线x＋2y－3＝0的距离d＝＝，所以直线x＋2y－3＝0被圆截得的弦长为2×＝. ★课堂达标 1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为（　B　） A.相切 B.相交且直线不过圆心 C.相交且直线过圆心 D.相离 解析：圆心（0，0）到直线y＝x＋1的距离d＝＝＜1，所以直线与圆相交且直线不过圆心. 2.直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为（　B　） A.4 B.2 C. D. 解析：∵x2＋y2－2x－4y＝0， ∴（x－1）2＋（y－2）2＝5， ∴圆M的圆心坐标为（1，2），半径为，又圆心（1，2）到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝， 故直线m被圆M截得的弦长等于2×＝2.故选B. 3.（多选）若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是（　CD　） A.－2 B.－12 C.2 D.12 解析：圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为（x－1）2＋（y－1）2＝1. 由圆心（1，1）到直线3x＋4y－b＝0的距离d＝＝1，得b＝2或b＝12. 4.若a2＋b2＝2c2（c≠0），则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为（　D　） A. B.1 C. D. 解析：∵a2＋b2＝2c2，∴圆心（0，0）到直线的距离d＝＝.设弦长为l，则l＝2＝. 5.已知直线ax＋y－2＝0与圆C：（x－1）2＋（y－a）2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝　4±　. 解析：由于△ABC为等边三角形，故弦长｜AB｜＝r＝2，作出草图，可知d＝｜AB｜＝·r＝， 圆心C（1，a）到直线ax＋y－2＝0的距离为d＝＝. 所以＝，解得a＝4±. 页 学科网（北京）股份有限公司 $