2.4.2 圆的一般方程讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦圆的一般方程核心知识点，先通过定义及配方与圆的标准方程建立联系，明确方程表示圆的条件，再系统梳理待定系数法求方程的步骤，最后延伸至圆的轨迹问题，构建从概念到方法再到应用的学习支架。 资料通过表格对比方程表示不同图形的条件培养几何直观，例题与跟踪训练层层递进提升推理能力，轨迹问题中坐标法步骤引导学生用数学语言描述几何关系。课中助力教师落实概念辨析，课后练习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

2.4.2 圆的一般方程 知识点一、圆的一般方程 1.（1）定义：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）称为圆的一般方程． （2）圆的一般方程配方可得：.圆心为，半径为 . 2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 知识点二、待定系数法求圆的方程 待定系数法求圆的方程的大致步骤： （1）根据题意，选择圆的标准方程或一般方程. （2）根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组. （3）解出待定系数得到圆的方程. 知识点三、圆的轨迹问题 1.轨迹：指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常把图形看作点的轨迹，比如直线、圆等. 2.轨迹方程：点M的轨迹方程是指点M的坐标（x，y）满足的关系式. 3.坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系. （2）设点：用（x，y）表示轨迹（曲线）上任意一点M的坐标. （3）列式：列出关于x，y的方程. （4）化简：把方程化为最简形式. （5）证明：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 4.相关点法求轨迹方程的步骤 （1）设C上的动点P坐标为（x，y），已知曲线C1上的动点P0坐标为（x0，y0）. （2）根据P（x，y）和P0（x0，y0）两者间的关系求出对应的坐标关系式. （3）把P0（x0，y0）的坐标按对应关系式代入C1的方程. （4）化简整理得曲线C的方程. 题型一：一元二次方程表示圆的条件 例1.下列方程中表示圆的是（ ） A. B. C. D. 例2.若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆． (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径． 跟踪训练： 1.圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半径和圆心坐标分别为(　　) A．r＝1，(－2,1) B．r＝2，(－2,1) C．r＝2，(2，－1) D．r＝1，(2，－1) 2.若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是(　　) A．m< B．m> C．m<0 D．m≤ 3.已知方程表示一个圆. (1)求实数的取值范围； (2)求圆的周长的最大值. 题型二：求圆的一般方程 例1.已知圆经过点和. （1）求圆的一般方程； （2）求圆与两坐标轴的四个截距之和. 跟踪训练： 1.圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程是 ． 2.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，则△ABC的外接圆的方程是 ． 3.已知圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程． 题型三：与圆有关的轨迹问题 例1.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，点B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． 跟踪训练： 1.已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程． 2.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程． 1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为(　　) A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4 C．(－2,3)，4 D．(2，－3)，16 2.已知圆C：x2＋y2－2x－2y＝0，则点P(3,1)在(　　) A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法确定 3.方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是(　　) A．m<1 B．m>1 C．m< D.<m<1 4.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(　　) A．以(a，b)为圆心的圆 B．以(－a，－b)为圆心的圆 C．点(a，b) D．点(－a，－b) 5.“”是“方程表示圆”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是 ． 7.若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是 ． 8.若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不包括边界)，则a的取值范围是 ． 1.圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. B. C. D. 2.圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为(　　) A. B. C.(－1,2) D. 3.圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为(　　) A. B. C.2 D.1 4.如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)关于直线y＝x对称，则有(　　) A．D＋E＝0 B．D＝E C．D＝F D．E＝F 5.圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是（ ） A. B. C. D. 6.方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7.若为圆上任意一点，点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8.已知圆x2＋y2＋4x－6y＋a＝0关于直线y＝x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是 ． 9.若坐标原点在方程所表示的圆的外部，则的取值范围为 . 10.圆关于直线对称的圆的方程是 . 11.如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为 . 12.若的斜边的两端点的坐标分别为和，则直角顶点的轨迹方程为 . 13.已知定点P1(－1,0)，P2(1,0)，动点M满足|MP1|＝|MP2|，则构成△MP1P2面积的最大值是(　　) A. B. C. D． 14.已知三角形的三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(－6,3)，C(3,0)，求这个三角形外接圆的一般方程． 15.设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹． 16.已知曲线. （1）当取何值时，方程表示圆？ （2）求证：不论为何值，曲线必过两定点. （3）当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4.2 圆的一般方程 知识点一、圆的一般方程 1.（1）定义：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）称为圆的一般方程． （2）圆的一般方程配方可得：.圆心为，半径为 . 2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 知识点二、待定系数法求圆的方程 待定系数法求圆的方程的大致步骤： （1）根据题意，选择圆的标准方程或一般方程. （2）根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组. （3）解出待定系数得到圆的方程. 知识点三、圆的轨迹问题 1.轨迹：指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常把图形看作点的轨迹，比如直线、圆等. 2.轨迹方程：点M的轨迹方程是指点M的坐标（x，y）满足的关系式. 3.坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系. （2）设点：用（x，y）表示轨迹（曲线）上任意一点M的坐标. （3）列式：列出关于x，y的方程. （4）化简：把方程化为最简形式. （5）证明：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 4.相关点法求轨迹方程的步骤 （1）设C上的动点P坐标为（x，y），已知曲线C1上的动点P0坐标为（x0，y0）. （2）根据P（x，y）和P0（x0，y0）两者间的关系求出对应的坐标关系式. （3）把P0（x0，y0）的坐标按对应关系式代入C1的方程. （4）化简整理得曲线C的方程. 题型一：一元二次方程表示圆的条件 例1.下列方程中表示圆的是（ ） A. B. C. D. 解：A的方程中的系数不相等，所以A的方程不表示圆；B的方程中含有项，所以B的方程不表示圆；C的方程可化为，它表示一个点，不表示圆；对于D，D中方程可化为，因为，所以表示圆. 故选：D. 例2.若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆． (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径． 解：(1)由表示圆的条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 解得m<，即实数m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝. 跟踪训练： 1.圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半径和圆心坐标分别为(　　) A．r＝1，(－2,1) B．r＝2，(－2,1) C．r＝2，(2，－1) D．r＝1，(2，－1) 解：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，所以半径和圆心分别为r＝1，(2，－1)．故选：D. 2.若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是(　　) A．m< B．m> C．m<0 D．m≤ 解：因为x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则1＋1－4m>0，所以m<.故选：A. 3.已知方程表示一个圆. (1)求实数的取值范围； (2)求圆的周长的最大值. 解：(1)原方程可化为，若该方程表示一个圆，则，解得，即实数的取值范围是. （2）圆的半径，当且仅当时，半径取得最大值，最大值为，所以圆的周长的最大值为. 题型二：求圆的一般方程 例1.已知圆经过点和. （1）求圆的一般方程； （2）求圆与两坐标轴的四个截距之和. 解：(1)方法1：设圆的方程为, 将的坐标代入，， 解得.所以圆的一般方程为. 方法2：线段的中点坐标为,, 所以的垂直平分线的方程为,即. 同理可得的垂直平分线的方程为. 联立解得，故圆心坐标为, 圆的半径, 所以圆的方程为,即. （2）令,则,由根与系数的关系得； 令,则,由根与系数的关系得. 故圆与两坐标轴的四个截距之和为. 跟踪训练： 1.圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程是 ． 解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心是， 由题意知：.解得D＝E＝－4，F＝－2， 即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0.故答案为：x2＋y2－4x－4y－2＝0. 2.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，则△ABC的外接圆的方程是 ． 解：设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得,解得D=－8，E=－2，F=12. 即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.故答案为：x2＋y2－8x－2y＋12＝0. 3.已知圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程． 解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将P，Q的坐标分别代入上式，得, 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0 ③，由已知得|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程③的根， ∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④ 联立①②④解得或. 故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 题型三：与圆有关的轨迹问题 例1.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，点B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． 解：(1)设线段AP的中点M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)， ∵，∴.又P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，∴(x－1)2＋y2＝1. (2)设PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|， 设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 跟踪训练： 1.已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程． 解：以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)， 则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)．∴①， ∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y02＝9.②将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36. ∵点C不能在x轴上，∴y≠0. 综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点． 轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)． 2.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程． 解：设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，所以4＝，3＝， 于是有x0＝8－x ，y0＝6－y.① 因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动， 所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4， 即(x0＋1)2＋y02＝4，② 把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4， 整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4. 所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4. 1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为(　　) A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4 C．(－2,3)，4 D．(2，－3)，16 解：由题可知：圆心坐标为：(－2,3)，半径为4.故选：C. 2.已知圆C：x2＋y2－2x－2y＝0，则点P(3,1)在(　　) A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法确定 解：∵32＋12－2×3－2×1=2>0，故点P(3,1)在圆外.故选：C. 3.方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是(　　) A．m<1 B．m>1 C．m< D.<m<1 解：方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0，表示圆的条件是42＋(－2)2－4×5m>0，解得m<1. 故选：A. 4.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(　　) A．以(a，b)为圆心的圆 B．以(－a，－b)为圆心的圆 C．点(a，b) D．点(－a，－b) 解：原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，∴，即. ∴方程表示点(－a，－b)． 故选：D. 5.“”是“方程表示圆”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：若方程表示圆，则，解得或，因此由可以推出方程表示圆，满足充分性，但由方程表示圆，不一定推出，不满足必要性，所以“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.故选：A. 6.已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是 ． 解：方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k<－1时才能表示圆． 故答案为：(－∞，－1)。 7.若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是 ． 解：圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圆心坐标为(4,2)，则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长． 由k＝，得直线方程为y＝2(x－3)，即2x－y－6＝0.故答案为：2x－y－6＝0. 8.若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不包括边界)，则a的取值范围是 ． 解：点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部且不包括边界，则(a＋1)2＋(a－1)2－2a(a－1)－4<0，解得a<1.故答案为：(－∞，1). 1.圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. B. C. D. 解：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，半径为. 故选：D. 2.圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为(　　) A. B. C.(－1,2) D. 解：将圆的方程化为标准方程，得，所以圆心为. 故选：B. 3.圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为(　　) A. B. C.2 D.1 解：因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x－y＝1的距离为d＝＝.故选：A. 4.如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)关于直线y＝x对称，则有(　　) A．D＋E＝0 B．D＝E C．D＝F D．E＝F 解：由圆的对称性知，圆心在直线y＝x上，故有，即D＝E.故选：B. 5.圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是（ ） A. B. C. D. 解：设圆心坐标为，因为圆心在轴上且圆与轴相切，所以为半径，根据题意得，解得，所以圆心坐标为，半径为，则该圆的方程为，化为圆的一般方程得.故选：C. 6.方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，又方程可化为＋(y－a)2＝a2－3a，故圆心坐标为，r2＝a2－3a.又r2>0，即a2－3a>0，解得－4<a<0， 故该圆的圆心在第四象限．故选：D. 7.若为圆上任意一点，点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 解：将圆化为标准方程，得，故圆的圆心为，半径. 因为，所以点在圆的内部， 且. 如图所示，知的取值范围为. 故答案为：. 8.已知圆x2＋y2＋4x－6y＋a＝0关于直线y＝x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是 ． 解：由题意知，直线y＝x＋b过圆心，而圆心坐标为(－2,3)，代入直线方程，得b＝5， 所以圆的方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝13－a，所以a<13，由此得a－b<8. 故答案为：(－∞，8). 9.若坐标原点在方程所表示的圆的外部，则的取值范围为 . 解：因为点在圆的外部，所以，即. 又，即，解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 10.圆关于直线对称的圆的方程是 . 解：圆的方程可化为，所以圆心. 设圆心关于直线的对称点为，则，解得， 故，所以圆关于直线对称的圆的方程为. 故答案为：. 11.如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为 . 解：∵r＝，∴当k＝0时，r最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．故答案为：(0，－1)． 12.若的斜边的两端点的坐标分别为和，则直角顶点的轨迹方程为 . 解：线段的中点坐标为，因为为直角三角形，为直角顶点，所以点到点的距离为，所以点满足，即.故答案为：. 13.已知定点P1(－1,0)，P2(1,0)，动点M满足|MP1|＝|MP2|，则构成△MP1P2面积的最大值是(　　) A. B. C. D． 解：设M(x，y)，由|MP1|＝|MP2|，可得：, 化简得(x－3)2＋y2＝8，即M在以(3,0)为圆心，为半径的圆上运动， 又S△MP1P2＝·|P1P2|·|yM|＝|yM|≤.故选B. 14.已知三角形的三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(－6,3)，C(3,0)，求这个三角形外接圆的一般方程． 解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C三点都在圆上，∴A，B，C三点的坐标都满足所设方程， 把A(4,1)，B(－6,3)，C(3,0)的坐标依次代入所设方程， 得，解得. ∴所求圆的方程为x2＋y2＋x－9y－12＝0. 15.设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹． 解：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为， 线段MN的中点坐标为. 由于平行四边形的对角线互相平分，故，，从而， 又点N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 当点P在直线OM上时，有x＝，y＝或x＝，y＝. 因此所求轨迹为以(－3,4)为圆心，半径为2的圆，除去点和点. 16.已知曲线. （1）当取何值时，方程表示圆？ （2）求证：不论为何值，曲线必过两定点. （3）当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值. 解：（1）当时，方程为，表示一条直线； 当时，，表示圆. （2）证明：方程可变形为.由取任何值上式都成立， 则有，解得或，所以曲线过定点，. （3）由（2）知曲线过定点，在这些圆中，以为直径的圆的面积最小，从而以为直径的圆的方程为，圆心，半径. 所以，解得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $