2.2.1直线的点斜式方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

该高中数学课件聚焦直线的点斜式与斜截式方程，通过射击手托枪位置与瞄准方向的情境导入，抽象出直线的定点和斜率要素，再以表格对比方程条件与形式，结合“想一想”“自我诊断”构建从情境到概念的学习支架。 其亮点在于以数学抽象提炼几何要素，通过典型例题（如三角形边所在直线方程）强化数学运算，结合平行垂直判定培养逻辑推理。通性通法总结助力学生掌握解题思路，丰富的跟踪训练与分层练习既提升学生核心素养，又为教师提供系统教学资源。

2.2.1　 直线的点斜式方程 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 新课程标准解读 核心素养 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线 的点斜式方程与斜截式方程 数学抽象、 数学运算 2.会用直线的斜截式方程解决直线的平行与垂直问 题 数学运算、 逻辑推理 目录 数学·选择性必修第一册 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手 要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一条 直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求. 【问题】　（1）托枪的手的位置相当于直线中哪个几何要素？ （2）试从数学角度分析子弹是否会命中目标？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点　直线的点斜式与斜截式方程 名称 条件 方程 图形 点斜式 直线 l 过定点 P0（ x0， y0），斜率为 k y － y0＝ ⁠ ⁠ k （ x － x0）　 目录 数学·选择性必修第一册 名称 条件 方程 图形 斜截 式 直线 l 的斜率为 k ，且与 y 轴的交点为（0， b ）（直 线 l 与 y 轴的交点（0， b ） 的纵坐标 b 叫做直线 l 在 y 轴上的截距） y ＝ ⁠ kx ＋ b 　 目录 数学·选择性必修第一册 1. 若直线的倾斜角为0°，且经过点 P0（ x0， y0），能用点斜式表 示吗？ 提示：能. 2. 直线与 y 轴的交点到原点的距离和直线在 y 轴上的截距是同一概 念吗？ 提示：不是同一概念，距离非负，而截距可正，可负，可为0. 3. 直线的斜截式方程等同于一次函数的解析式吗？ 提示：不一定.当 k ≠0时， y ＝ kx ＋ b 即为一次函数，当 k ＝0时， y ＝ b 不是一次函数. 【想一想】 目录 数学·选择性必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任何一条直线的方程都可以写成点斜式 y － y0＝ k （ x － x0）. （　×　） （2） x 轴所在的直线方程为 x ＝0. （　×　） （3）直线在 y 轴上的截距不能等于0. （　×　） （4）直线的点斜式方程也可写成 ＝ k . （　×　） × × × × 目录 数学·选择性必修第一册 2. 直线 l 的点斜式方程是 y －1＝3（ x ＋2），则直线 l 的斜率是（　　） A. 2 B. －1 C. 3 D. －3 3. 已知过点 A （ ，2）的直线 l 的倾斜角为60°，则直线 l 的方程为 （　　） A. y －2＝ x － B. y －2＝ （ x － ） C. y ＋2＝ （ x ＋ ） D. y ＋2＝ （ x － ） 目录 数学·选择性必修第一册 4. （2024·徐州质检）直线 y ＝－3 x －6的斜率为 k ，在 y 轴上的截距为 b ，则（　　） A. k ＝3， b ＝6 B. k ＝－3， b ＝－6 C. k ＝－3， b ＝6 D. k ＝3， b ＝－6 目录 数学·选择性必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 直线的点斜式方程 【例1】　（2024·无锡月考）已知在第一象限的△ ABC 中， A （1， 1）， B （5，1）， A ＝60°， B ＝45°，求： （1） AB 边所在直线的方程； 解： 如图所示，因为 A （1，1）， B （5，1），所以 AB ∥ x 轴， 所以 AB 边所在直线的方程为 y ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册 （2） AC 边与 BC 边所在直线的点斜式方程. 解： 因为 A ＝60°，所以 kAC ＝tan 60°＝ ， 所以直线 AC 的点斜式方程为 y －1＝ （ x －1）. 因为 B ＝45°，所以 kBC ＝tan 135°＝－1， 所以直线 BC 的点斜式方程为 y －1＝－（ x －5）. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 求直线的点斜式方程的思路 提醒　只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. 已知直线的方程为 y ＋2＝－ x －1，则（　　） A. 该直线过点（－1，2），斜率为－1 B. 该直线过点（－1，2），斜率为1 C. 该直线过点（－1，－2），斜率为－1 D. 该直线过点（－1，－2），斜率为1 解析： 　直线的方程可化为点斜式 y －（－2）＝－[ x －（－ 1）]，故直线过点（－1，－2），斜率为－1. 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2025高二上·宁波期中) 过点(1,2)且垂直于直线x - 2y + 1 = 0的直线方程为（ ） ⁠. 解析：因为直线x - 2y + 1 = 0的斜率为，所以与其垂直的直线的斜率，又因为直线过点(1,2)，所以直线方程为y - 2 = -2(x - 1)，即2x + y - 4 = 0. A. 2x + y - 4 = 0 B. 2x - y + 4 = 0 C. 2x + y - 8 = 0 D. x - 2y + 4 = 0 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 直线的斜截式方程 【例2】　（2024·金华月考）已知直线 l1的方程为 y ＝－2 x ＋3， l2的 方程为 y ＝4 x －2，直线 l 与 l1平行且与 l2在 y 轴上的截距相同，求直线 l 的方程. 目录 数学·选择性必修第一册 解：由斜截式方程知，直线 l1的斜率 k1＝－2， 又因为 l ∥ l1，所以 kl ＝－2. 由题意知， l2在 y 轴上的截距为－2， 所以直线 l 在 y 轴上的截距为－2. 由斜截式可得直线 l 的方程为 y ＝－2 x －2. 目录 数学·选择性必修第一册 【母题探究】 （变条件）本例中若将“直线 l 与 l1平行且与 l2在 y 轴上的截距相等” 改为“直线 l 与 l1垂直且与 l2在 y 轴上的截距互为相反数”，求直线 l 的 方程. 解：∵ l1⊥ l ，直线 l1： y ＝－2 x ＋3，∴ l 的斜率为 . ∵ l 与 l2在 y 轴上的截距互为相反数， 直线 l2： y ＝4 x －2，∴ l 在 y 轴上的截距为2. ∴直线 l 的方程为 y ＝ x ＋2. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 求直线的斜截式方程应具备的条件 （1）斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在； （2）直线的斜截式方程 y ＝ kx ＋ b 中只有两个参数，因此要确定直线 方程只需两个独立条件即可. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　根据条件写出下列直线的斜截式方程： （1）倾斜角为60°，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为3； 解： 因为直线的倾斜角为60°，所以斜率 k ＝tan 60°＝ . 因为直线与 y 轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在 y 轴 上的截距 b ＝3或 b ＝－3，故所求直线的斜截式方程为 y ＝ x ＋3或 y ＝ x －3. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）在 y 轴上的截距为－6，且与 y 轴夹角为60°. 解： 与 y 轴夹角为60°的直线的倾斜角为30°或150°，所以 斜率 k 为tan 30°或tan 150°，即 k ＝± ，故所求直线的斜截式方 程为 y ＝± x －6. 目录 数学·选择性必修第一册 题型三 直线斜截式方程的应用 【例3】　已知直线 l1： y ＝－ x ＋2 a 与直线 l2： y ＝（ a2－2） x ＋2. （1）当 a 为何值时， l1∥ l2？ （1）当 l1∥ l2时，有解得 a ＝－1. 解：设直线 l1， l2的斜率分别为 k1， k2， 则 k1＝－1， k2＝ a2－2， （2）当 a 为何值时， l1⊥ l2？ 解：当 l1⊥ l2时， k1 k2＝－1，即 a2－2＝1， 所以 a2＝3，所以 a ＝± . 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 两条直线平行和垂直的判定 （1）平行的判定 目录 数学·选择性必修第一册 （2）垂直的判定 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. 若直线 y ＝ kx －2与直线 y ＝3 x 垂直，则 k ＝（　　） A. 3 B. C. －3 D. － 解析： 　由两直线相互垂直，其斜率分别为 k1， k2，则 k1· k2＝－ 1，可得3· k ＝－1，解得 k ＝－ ，故选D. 目录 数学·选择性必修第一册 2. 已知直线 l ： y ＝－ x ＋ 与直线l'： y ＝ x － 平行，且直线 l 与 y 轴的交点为（0，1），则 a ＝ ， b ＝ ⁠. 解析：由直线 l ： y ＝－ x ＋ 与直线l'： y ＝ x － 平行，且直线 l 与 y 轴的交点为（0，1），得 － 　 2　 目录 数学·选择性必修第一册 1. 若直线 l 的倾斜角为45°，且经过点（2，0），则直线 l 的方程是 （　　） A. y ＝ x ＋2 B. y ＝ x －2 C. y ＝ x － D. y ＝ x －2 解析： 　由题得直线 l 的斜率为1，由点斜式求得直线 l 的方程为 y －0＝ x －2，即 y ＝ x －2.故选B. 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2024·厦门月考）方程 y ＝ k （ x －2）表示（　　） A. 经过点（－2，0）的所有直线 B. 经过点（2，0）的所有直线 C. 经过点（2，0）且不垂直于 x 轴的所有直线 D. 经过点（2，0）且除去 x 轴的所有直线 解析： 　易验证直线经过点（2，0），又直线斜率存在，故直线 不垂直于 x 轴. 目录 数学·选择性必修第一册 3. 直线 y ＝ kx ＋ b 经过第一、三、四象限，则有（　　） A. k ＞0， b ＞0 B. k ＞0， b ＜0 C. k ＜0， b ＞0 D. k ＜0， b ＜0 解析： 　∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如 图所示，由图知， k ＞0， b ＜0. 目录 数学·选择性必修第一册 4. （2024·淮安月考）已知直线 l 的倾斜角为60°. （1）若直线 l 过点 P （ ，－2），求直线 l 的方程； 解： ∵直线 l 的倾斜角为60°，∴直线 l 的斜率为tan 60° ＝ ，又直线 l 过点 P （ ，－2），∴由直线的点斜式方 程得，直线 l 的方程为 y －（－2）＝ （ x － ），即 y ＝ x －5. （2）若直线 l 在 y 轴上的截距为4，求直线 l 的方程. 解： ∵直线 l 在 y 轴上的截距为4，∴由直线的斜截式方 程得，直线 l 的方程为 y ＝ x ＋4. 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知某直线的倾斜角为30°，在 y 轴上的截距为2，则此直线的方程 为（　　） A. y ＝ x ＋2 B. y ＝－ x ＋2 C. y ＝－ x －2 D. y ＝ x －2 解析： 　由题意得，直线的斜率 k ＝tan 30°＝ ，又直线在 y 轴上 的截距为2，故直线的方程为 y ＝ x ＋2.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 2. 直线 y －2＝－ （ x ＋1）的倾斜角及在 y 轴上的截距分别为 （　　） A. 60°，2 B. 120°，2－ C. 60°，2－ D. 120°，2 解析： 　该直线的斜率为－ ，当 x ＝0时， y ＝2－ ，∴其倾 斜角为120°，在 y 轴上的截距为2－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 3. （2024·商丘月考）经过点（－1，1），斜率是直线 y ＝ x －2的斜 率的2倍的直线方程是（　　） A. x ＝－1 B. y ＝1 C. y －1＝ （ x ＋1） D. y －1＝2 （ x ＋1） 解析： 　由方程知，已知直线的斜率为 ，由直线的点斜式方程可得方程为 y －1＝ （ x ＋1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 4. 过点（1，0）且与直线 y ＝ x －1平行的直线的方程是（　　） A. y ＝ x － B. y ＝ x ＋ C. y ＝－2 x ＋2 D. y ＝－ x ＋ 解析： 　与直线 y ＝ x －1平行的直线的方程可设为 y ＝ x ＋ c （ c ≠－1）.将点（1，0）代入，得0＝ ＋ c ，解得 c ＝－ ，故所 求直线的方程为 y ＝ x － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5. （2024·苏州月考）若直线 y ＝ ax ＋ b 经过第一、二、三象限，则点 （－ a ，－ b ）位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： 　因为直线 y ＝ ax ＋ b 经过第一、二、三象限，所以 a ＞ 0， b ＞0，所以（－ a ，－ b ）位于第三象限，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）给出下列四个结论，正确的是（　　） A. 方程 k ＝ 与方程 y －2＝ k （ x ＋1）可表示同一直线 B. 直线 l 过点 P （ x1， y1），倾斜角为90°，则其方程是 x ＝ x1 C. 直线 l 过点 P （ x1， y1），斜率为0，则其方程是 y ＝ y1 D. 所有的直线都有点斜式和斜截式方程 解析： 　A不正确，方程 k ＝ 不含点（－1，2）；B正确；C 正确；D只有 k 存在时成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. 已知直线 y ＝ ax －2和 y ＝（ a ＋2） x ＋1互相垂直，则 a ＝ ⁠. 解析：由题意可知 a ·（ a ＋2）＝－1，解得 a ＝－1. －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 8. （2024·宁德质检）在 y 轴上的截距为－6，且与 y 轴相交成30°角的 直线的斜截式方程是 ⁠. 解析：因为直线与 y 轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或 120°，所以直线的斜率为 或－ ，又因为在 y 轴上的截距为－ 6，所以直线的斜截式方程为 y ＝ x －6或 y ＝－ x －6. y ＝ x －6或 y ＝－ x －6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 9. 直线 y ＝ kx ＋2（ k ∈R）不过第三象限，则斜率 k 的取值范围 是 ⁠. 解析：当 k ＝0时，直线 y ＝2不过第三象限；当 k ＞0时，直线过第 三象限；当 k ＜0时，直线不过第三象限. （－∞，0]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. 求倾斜角是直线 y ＝－ x ＋1的倾斜角的 ，且分别满足下列条 件的直线方程： （1）经过点（ ，－1）； （1）∵所求直线经过点（ ，－1），斜率为 ， ∴所求直线方程是 y ＋1＝ （ x － ）. 解：∵直线 y ＝－ x ＋1的斜率 k ＝－ ， ∴其倾斜角α＝120°， 由题意，得所求直线的倾斜角α1＝ α＝30°， 故所求直线的斜率 k1＝tan 30°＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）在 y 轴上的截距是－5. 解： ∵所求直线的斜率是 ，在 y 轴上的截距为－5， ∴所求直线的方程为 y ＝ x －5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. （2024·常州月考）直线 l1： y ＝ ax ＋ b 与直线 l2： y ＝ bx ＋ a （ ab ≠0， a ≠ b ）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　） 解析： 　对于A，由 l1得 a ＞0， b ＜0，而由 l2得 a ＞0， b ＞0， 矛盾；对于B，由 l1得 a ＜0， b ＞0，而由 l2得 a ＞0， b ＞0，矛 盾；对于C，由 l1得 a ＞0， b ＜0，而由 l2得 a ＜0， b ＞0，矛盾； 对于D，由 l1得 a ＞0， b ＞0，而由 l2得 a ＞0， b ＞0.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. （多选）下列说法正确的有（　　） A. 若直线 y ＝ kx ＋ b 经过第一、二、四象限，则点（ k ， b ）在第二象限 B. 直线 y ＝ ax －3 a ＋2过定点（3，2） C. 过点（2，－1）且斜率为－ 的直线的点斜式方程为 y ＋1＝－ （ x －2） D. 斜率为－2，在 y 轴截距为3的直线方程为 y ＝－2 x ±3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　对于A，由直线 y ＝ kx ＋ b 经过第一、二、四象限， 知直线的斜率 k ＜0，纵截距 b ＞0，故点（ k ， b ）在第二象限， 故A正确；对于B，直线方程 y ＝ ax －3 a ＋2，整理得 y －2＝ a （ x －3），可得此直线过定点（3，2），故B正确；对于C，由点斜 式方程，知过点（2，－1）且斜率为－ 的直线的点斜式方程为 y ＋1＝－ （ x －2），故C正确；由直线的斜截式方程，得斜率 为－2，在 y 轴上的截距为3的直线方程为 y ＝－2 x ＋3，故D错误. 故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 13. （2024·云浮质检）已知直线 l 的斜率为 ，且与坐标轴所围成的 三角形的周长是30，则直线 l 的方程为 ⁠. 解析：由直线 l 的斜率为 ，可设直线 l 的方程为 y ＝ x ＋ b .令 x ＝0，得 y ＝ b ；令 y ＝0，得 x ＝－ b .由题意得｜ b ｜＋ ＋ ＝30.∴｜ b ｜＋ ｜ b ｜＋ ｜ b ｜＝30，∴ b ＝±5.∴所求直线 l 的方程为 y ＝ x ±5. y ＝ x ±5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. 已知在平面直角坐标系中的两点 A （8，－6）， B （2，2）. （1）求线段 AB 的中垂线的方程； 解： 易知线段 AB 的中点的坐标为（5，－2）， ∵ kAB ＝ ＝－ ， ∴线段 AB 的中垂线的斜率为 ， ∴由直线的点斜式方程可得线段 AB 的中垂线的方程为 y ＋2 ＝ （ x －5），即 y ＝ x － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）求以向量 为方向向量且过点 P （2，－3）的直线 l 的方程. 解： 由已知得 ＝（－6，8），则直线 l 的斜率为－ ， 由直线的点斜式方程得直线 l 的方程为 y ＋3＝－ （ x － 2），即 y ＝－ x － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 15. 在同一平面直角坐标系中，直线 y ＝ kx ＋ b 总是在直线 y ＝2 x －3 的上方，则实数 k ， b 的取值应该满足的条件是（　　） A. k ＞2， b ＞－3 B. k ＞2， b ＝－3 C. k ＝2， b ＞－3 D. k ＝2， b ＝－3 解析： 　若两直线相交，则一定不满足题意，所以两直线平行， 则 k ＝2.因为直线 y ＝ kx ＋ b 总是在直线 y ＝2 x －3的上方，所以直 线 y ＝ kx ＋ b 在 y 轴上的截距必大于直线 y ＝2 x －3在 y 轴上的截 距，即 b ＞－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. （2024·惠州质检）已知直线 l 过点（1，2）且在 x ， y 轴上的截距 相等. （1）求直线 l 的方程； 解： ①当截距为0时， l ： y ＝2 x ； ②当截距不为0时， k ＝－1， l ： y －2＝－（ x －1）， ∴ y ＝－ x ＋3. 综上， l 的方程为2 x － y ＝0或 x ＋ y －3＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）若直线 l 在 x ， y 轴上的截距不为0，点 P （ a ， b ）在直线 l 上，求3 a ＋3 b 的最小值. 解： 由题意得 l ： x ＋ y －3＝0，∴ a ＋ b ＝3， ∴3 a ＋3 b ≥2 ＝2 ＝6 ， 当且仅当 a ＝ b ＝ 时，等号成立， ∴3 a ＋3 b 的最小值为6 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ $