2.3.3两条平行直线间的距离课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“点到直线的距离公式”“两条平行直线间的距离”，通过自主学习通道的填练结合梳理定义与公式，衔接直线方程一般式基础，为后续距离公式灵活应用搭建学习支架。 其亮点在于以互动探究中的例题变式（如特殊直线距离的数形结合）和分层课时作业，培养学生几何直观与推理能力。课堂小结明确知识清单与常见误区，助力学生深化公式应用，教师可依托此资料提升教学效率与针对性。

第二章　直线和圆的方程 2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 【学习与目标】　 自主学习通道 目录 互动探究通道 巩固提升通道 高效课时作业 自主学习通道 自研教材 梳理必备知识 返回目录 自主学习通道 自主学习通道 自主学习通道 × × √ √ 自主学习通道 D 自主学习通道 B 6或10 互动探究通道 师生共研 探究重点难点 返回目录 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 D D 互动探究通道 互动探究通道 C D 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 B 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 B x＋2y－3＝0 互动探究通道 巩固提升通道 当堂巩固 验收关键能力 返回目录 巩固提升通道 巩固提升通道 A 巩固提升通道 AB 巩固提升通道 B 巩固提升通道 高效课时作业 返回目录 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2x－y＋1＝0 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Thank you for watching. 1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用.3.理解两条平行线间的距离公式的推导，会求两条平行直线间的距离． 填一填 1．点到直线的距离 (1)定义：点到直线的垂线段的长度． (2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)的距离d＝ eq \o(□,\s\up4(1)) ． eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)) 【提醒】　给出的直线方程必须是一般式，不是一般式的，则应先化为一般式再利用公式求距离． 2．两条平行直线间的距离 (1)定义：夹在两条平行直线间的公垂线段的长． (2)两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不全为0，且C1≠C2)之间的距离d＝ eq \o(□,\s\up4(2)) ． eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)) 【提醒】　利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等． 练一练 1．判断正误 (1)当点P(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0上时，点到直线的距离公式不适用了．(　　) (2)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为 eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).(　　) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离．(　　) (4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．(　　) 2．点(2，5)到直线y＋1＝0的距离为(　　) A．1　　 B．3　　 C．4　　 D．6 解析　直线y＋1＝0即y＝－1，故点(2，5)到直线y＋1＝0的距离为6. 3．直线y＝x与直线y＝x＋1间的距离等于(　　) A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(2),2) C．1 D． eq \r(2) 解析　直线y＝x即为x－y＝0，直线y＝x＋1即为x－y＋1＝0，因为两直线平行，所以距离d＝ eq \f(|1－0|,\r(12＋(－1)2))＝ eq \f(\r(2),2). 4．已知点A(6，m)到直线x－y＋2＝0的距离为 eq \r(2)，则m＝ ． 解析　由题意 eq \f(|6－m＋2|,\r(2))＝ eq \r(2)，解得m＝6或10. 类型一　点到直线的距离 【例1】　(1)点P0(－1，2)到直线2x＋y－10＝0的距离为 ． (2)求过点A(－1，2)，且与原点间的距离等于 eq \f(\r(2),2)的直线方程． 2 eq \r(5) 解析　(1)由点到直线的距离公式知 d＝ eq \f(|2×(－1)＋2－10|,\r(22＋12))＝ eq \f(10,\r(5))＝2 eq \r(5). (2)由题意知，所求直线斜率存在．因为直线过点A(－1，2)，所以设直线方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0，又因为原点到直线的距离等于 eq \f(\r(2),2)，所以 eq \f(|k＋2|,\r(k2＋(－1)2))＝ eq \f(\r(2),2)，解得k＝－7或k＝－1.故直线方程为x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0. 变式探究 1．(变条件)本例(1)中的直线方程变为“x＝2”，距离如何？ 解　解法一：将直线方程化为一般式为x－2＝0. 由点到直线的距离公式得 d＝ eq \f(|－1＋0×2－2|,\r(12＋02))＝3. 解法二：因为直线x＝2与y轴平行， 所以由图知d＝|－1－2|＝3. 2．(变条件)本例(1)中的直线方程变为“y－1＝0”，距离如何？ 解　解法一：由点到直线的距离公式得 d＝ eq \f(|－1×0＋2－1|,\r(02＋12))＝1. 解法二：因为直线y－1＝0与x轴平行， 所以由图知d＝|2－1|＝1. 应用点到直线的距离公式时的注意点 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离．若点P在直线上，则点P到直线的距离为0，公式仍然适用． (3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． (4)若已知点到直线的距离求参数值，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可． [跟踪训练1]　(1)(2023·宁波质检)若点P(3，a)到直线x＋ eq \r(3)y－4＝0的距离为1，则a的值为(　　) A． eq \r(3) B．－ eq \f(\r(3),3) C． eq \f(\r(3),3)或－ eq \r(3) D． eq \r(3)或－ eq \f(\r(3),3) (2)(2023·长春质检)已知两点A(3，2)，B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为(　　) A．－6或1 B．－ eq \f(1,2)或1 C．－ eq \f(1,2)或 eq \f(1,2) D．－6或 eq \f(1,2) 解析　(1)由题意得 eq \f(|3＋\r(3)a－4|,\r(1＋3))＝ eq \f(|\r(3)a－1|,2)＝1，即| eq \r(3)a－1|＝2，解得a＝ eq \r(3)或a＝－ eq \f(\r(3),3). (2)∵两点A(3，2)，B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，∴ eq \f(|3m＋2＋3|,\r(m2＋1))＝ eq \f(|－m＋4＋3|,\r(m2＋1))，解得m＝ eq \f(1,2)或m＝－6. 类型二　两平行直线间的距离 【例2】　(1)两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0间的距离是(　　) A． eq \f(2,13) B． eq \f(1,13) C． eq \f(1,26) D． eq \f(5,26) (2)若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－11＝0和l2：x＋y－1＝0上移动，则AB的中点M所在直线的方程为(　　) A．x－y－6＝0 B．x＋y＋6＝0 C．x－y＋6＝0 D．x＋y－6＝0 解析　(1)因为5x＋12y＋3＝0即10x＋24y＋6＝0，所以两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0间的距离是 eq \f(|5－6|,\r(102＋242))＝ eq \f(1,26).故选C. (2)由题意得，点M所在的直线与直线l1，l2平行，所以设为x＋y＋n＝0(n≠－1且n≠－11)，此直线到直线l1和l2的距离相等，所以 eq \f(|n＋11|,\r(2))＝ eq \f(|n＋1|,\r(2))，解得n＝－6，所以所求直线的方程为x＋y－6＝0.故选D. 求两条平行直线间的距离的两种方法 (1)利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算． (2)利用两条平行直线间的距离公式求解，这是一种常用方法，但注意使用前提：两条平行直线的方程都是一般式，且x，y的系数分别对应相等． [跟踪训练2]　(2024·盐城一中月考)已知直线－2x＋4y＋2＝0与x－2y－c＝0间的距离为2 eq \r(5)，则c的值为(　　) A．9 B．11或－9 C．－11 D．9或－11 解析　直线－2x＋4y＋2＝0即x－2y－1＝0.因为它与直线x－2y－c＝0的距离为2 eq \r(5)，所以 eq \f(|－1＋c|,\r(5))＝2 eq \r(5)，解得c＝11或c＝－9. 类型三　距离公式的综合应用 【例3】　两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转(旋转过程中两条直线始终保持平行)，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的变化范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程． 解　(1)如图，显然有0<d≤|AB|. 而|AB|＝ eq \r((6＋3)2＋(2＋1)2)＝3 eq \r(10)， 故所求的d的变化范围为(0，3 eq \r(10)]. (2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．而kAB＝ eq \f(2－(－1),6－(－3))＝ eq \f(1,3)，所以所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 应用数形结合思想求最值 (1)解决此类问题的关键是要理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)数形结合的思想方法在解题中经常用到，当图形中的元素变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围． [跟踪训练3]　(1)已知点M(1，2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是(　　) A． eq \r(10) B． eq \f(3\r(5),5) C． eq \r(6) D．3 eq \r(5) (2)已知直线l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是 ． 解析　(1)点M到直线2x＋y－1＝0的距离即|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为 eq \f(|2＋2－1|,\r(22＋12))＝ eq \f(3\r(5),5). (2)当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大． 因为A(1，1)，B(0，－1)，所以kAB＝ eq \f(－1－1,0－1)＝2，所以直线l1，l2的斜率为－ eq \f(1,2)，所以直线l1的方程为y－1＝－ eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0. 1．知识清单 (1)点到直线的距离． (2)两条平行线间的距离． (3)距离公式的综合应用． 2．方法归纳：公式法、数形结合． 3．常见误区：运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于(　　) A．7 B．5 C．3 D．2 解析　点(5，－3)到直线x＋2＝0即x＝－2的距离为d＝5－(－2)＝7. 2．(多选)与直线l：3x－4y－1＝0平行且到直线l的距离为2的直线方程是(　　) A．3x－4y－11＝0 B．3x－4y＋9＝0 C．3x－4y＋11＝0 D．3x－4y－9＝0 解析　设所求直线方程为3x－4y＋m＝0(m≠－1)，由题意得 eq \f(|m－(－1)|,\r(32＋(－4)2))＝2，解得m＝9或－11，故所求直线方程为3x－4y＋9＝0或3x－4y－11＝0. 3．已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　) A． eq \r(2) B． eq \r(2)－1 C． eq \r(2)＋1 D．2－ eq \r(2) 解析　由点到直线的距离公式，得1＝ eq \f(|a－2＋3|,\r(1＋1))，即|a＋1|＝ eq \r(2).∵a>0，∴a＝ eq \r(2)－1，故选B. 4．倾斜角为60°，并且与原点的距离是5的直线方程为 ． eq \r(3)x－y＋10＝0或 eq \r(3)x－y－10＝0 解析　因为直线斜率为tan 60°＝ eq \r(3)，所以可设直线方程为y＝ eq \r(3)x＋b，化为一般式得 eq \r(3)x－y＋b＝0.由直线与原点的距离为5，得 eq \f(|0－0＋b|,\r((\r(3))2＋(－1)2))＝5⇒|b|＝10，所以b＝±10，所以所求直线方程为 eq \r(3)x－y＋10＝0或 eq \r(3)x－y－10＝0. 基础巩固 1．(2023·江西南昌联考)原点到直线y＝－ eq \f(1,2)x＋ eq \f(5,2)的距离为(　　) A．1　　 B． eq \r(5)　　 C．2　　 D．3 解析　直线y＝－ eq \f(1,2)x＋ eq \f(5,2)，即x＋2y－5＝0， 故原点到直线y＝－ eq \f(1,2)x＋ eq \f(5,2)的距离为 eq \f(5,\r(1＋4))＝ eq \r(5). 2．两平行直线l1：x－2y－ eq \r(10)＝0，l2：2x－4y＋3 eq \r(10)＝0之间的距离为(　　) A． eq \f(5\r(2),2) B．3 C． eq \r(5) D．2 eq \r(2) 解析　直线l1：x－2y－ eq \r(10)＝0，即l1：2x－4y－2 eq \r(10)＝0， ∴两平行直线之间的距离为 d＝ eq \f(|3\r(10)－(－2\r(10))|,\r(4＋16))＝ eq \f(5\r(2),2). 3．已知斜率为1的直线l过直线3x－y＋1＝0与2x＋y－6＝0的交点，则原点到直线l的距离为(　　) A． eq \f(3\r(2),2) B．2 eq \r(2) C．1 D．2 解析　联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－y＋1＝0，,2x＋y－6＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4，))即交点为(1，4)， 又直线l的斜率为1， ∴直线l的方程为y＝x＋3，即x－y＋3＝0， ∴原点到直线l的距离为 eq \f(|0－0＋3|,\r(2))＝ eq \f(3\r(2),2). 4．若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2 eq \r(5)，则m＋n＝(　　) A．3 B．－17 C．2 D．3或－17 解析　直线l1的方程可化为2x－4y＋2m＝0(m>0)，由于l1与l2：2x＋ny－6＝0平行，所以两条直线的斜率相等，即n＝－4，又两直线间的距离为2 eq \r(5)，即 eq \f(|2m＋6|,\r(4＋16))＝2 eq \r(5)，解得m＝7，所以m＋n＝3.故选A. 5．已知点A(1，0)，B(3，1)，C为直线l：x－2y＋4＝0上一动点，则△ABC的面积为(　　) A．5 B． eq \r(5) C． eq \f(\r(5),2) D． eq \f(5,2) 解析　因为A(1，0)，B(3，1)，故直线AB的斜率k＝ eq \f(1－0,3－1)＝ eq \f(1,2)，直线AB的方程为y＝ eq \f(1,2)(x－1)，即x－2y－1＝0，所以l∥AB，△ABC的边AB上的高也就是两平行线之间的距离，即d＝ eq \f(|4＋1|,\r(12＋(－2)2))＝ eq \r(5).因为|AB|＝ eq \r((1－3)2＋(0－1)2)＝ eq \r(5)，所以S△ABC＝ eq \f(1,2)|AB|×d＝ eq \f(5,2). 6．(2024·烟台一中月考)直线l垂直于直线y＝x＋1，原点O到l的距离为1，且l与y轴正半轴有交点，则直线l的方程是(　　) A．x＋y－ eq \r(2)＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋ eq \r(2)＝0 解析　因为直线l与直线y＝x＋1垂直，所以设直线l的方程为y＝－x＋b.又l与y轴正半轴有交点，所以b>0，即x＋y－b＝0(b>0).由原点O(0，0)到直线x＋y－b＝0(b>0)的距离为 eq \f(|0＋0－b|,\r(12＋12))＝1，解得b＝ eq \r(2)(b＝－ eq \r(2)舍去)，所以所求直线l的方程为x＋y－ eq \r(2)＝0. 7．点P(m，6)到直线3x－4y－2＝0的距离不大于4，则m的取值范围是 . eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(46,3))) 解析　依题意可知， eq \f(|3m－4×6－2|,\r(32＋(－4)2))≤4，解得2≤m≤ eq \f(46,3). 8．已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是 . 解析　设l的方程为2x－y＋m＝0，由题意知 eq \f(|m－3|,\r(5))＝ eq \f(|m＋1|,\r(5))，解得m＝1，故l的方程为2x－y＋1＝0. 9．已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－ eq \f(3,4). (1)求直线l的方程； (2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程． 解　(1)由直线方程的点斜式，得y－5＝－ eq \f(3,4)(x＋2)， 整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0. (2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0(C≠－14)， 由点到直线的距离公式得 eq \f(|3×(－2)＋4×5＋C|,\r(32＋42))＝3， 即 eq \f(|14＋C|,5)＝3，解得C＝1或C＝－29， 故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0. 10．已知△ABC三个顶点是A(－1，4)，B(－2，－1)，C(2，3). (1)求BC边上的中垂线所在直线的方程； (2)求点A到BC边所在直线的距离． 解　(1)因为B(－2，－1)，C(2，3)，所以kBC＝ eq \f(3＋1,2＋2)＝1， 即所求直线的斜率k＝－1， 又BC的中点D的坐标为(0，1)， 所以BC边上的中垂线所在直线的方程为x＋y－1＝0. (2)直线BC的方程为y＋1＝x＋2，即x－y＋1＝0， 则点A(－1，4)到直线BC：x－y＋1＝0的距离为d＝ eq \f(|－1－4＋1|,\r(2))＝2 eq \r(2). 能力提升 11．(2023·安徽六安期中)已知直线l：kx＋y＋2－k＝0过定点M，点P(x，y)在直线2x－y＋1＝0上，则|MP|的最小值是(　　) A．5 B． eq \r(5) C． eq \f(3\r(5),5) D． eq \f(\r(5),5) 解析　由kx＋y＋2－k＝0得y＋2＝k(1－x)，所以直线l过定点M(1，－2)，依题意可知|MP|的最小值就是点M到直线2x－y＋1＝0的距离， 由点到直线的距离公式可得|MP|min＝ eq \f(|2＋2＋1|,\r(4＋1))＝ eq \r(5). 12．若直线y＝2x，x－y＝1，mx＋ny＋3＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为(　　) A． eq \f(2\r(3),3) B． eq \r(5) C． eq \f(\r(5),3) D． eq \f(3\r(5),5) 解析　由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x－y＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，)) 所以直线的交点为(－1，－2)， 因为交点(－1，－2)在直线mx＋ny＋3＝0上， 所以m＋2n－3＝0， 所以点(m，n)到原点的距离的最小值即为原点到直线m＋2n－3＝0的距离，由点到直线的距离公式可得d＝ eq \f(|－3|,\r(12＋22))＝ eq \f(3\r(5),5). 13．已知直线l：y＝2ax＋a－2过第一、三、四象限，其中a∈Z，则点A(1，－3)到直线l的距离为 ． eq \f(4\r(5),5) 解析　因为直线l：y＝2ax＋a－2过第一、三、四象限，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a>0，,a－2<0，))所以0<a<2， 又a∈Z，所以a＝1， 所以直线l的方程为y＝2x－1，即2x－y－1＝0， 所以点A(1，－3)到直线l的距离为 eq \f(|2＋3－1|,\r(22＋(－1)2))＝ eq \f(4,\r(5))＝ eq \f(4\r(5),5). 多元数学 14．(逻辑推理)已知直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0)，直线l2：－4x＋2y＋1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是 eq \f(7\r(5),10). (1)求a的值； (2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件： ①P是第一象限的点； ②P点到l1的距离是P点到l2的距离的 eq \f(1,2)； ③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 eq \r(2)∶ eq \r(5). 若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由． 解　(1)由题可得l2：2x－y－ eq \f(1,2)＝0， ∴l1与l2的距离d＝ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))),\r(22＋(－1)2))＝ eq \f(7\r(5),10)， ∴ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2))),\r(5))＝ eq \f(7\r(5),10)，∴ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))＝ eq \f(7,2). ∵a＞0，∴a＝3. (2)能找到点P. 理由如下：设点P(x0，y0)，由(1)知l1：2x－y＋3＝0，l2：2x－y－ eq \f(1,2)＝0. 若P点满足条件②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋C＝0 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠3且C≠－\f(1,2)))上， 且 eq \f(|C－3|,\r(5))＝ eq \f(1,2)× eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(C＋\f(1,2))),\r(5))，即C＝ eq \f(13,2)或C＝ eq \f(11,6)， ∴2x0－y0＋ eq \f(13,2)＝0或2x0－y0＋ eq \f(11,6)＝0. 若P点满足条件③，则由点到直线的距离公式， 得 eq \f(|2x0－y0＋3|,\r(5))＝ eq \f(\r(2),\r(5))× eq \f(|x0＋y0－1|,\r(2))， 即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|， ∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0. ∵点P在第一象限， ∴3x0＋2＝0不满足题意，应舍去． 联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x0－y0＋\f(13,2)＝0，,x0－2y0＋4＝0)) 或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x0－y0＋\f(11,6)＝0，,x0－2y0＋4＝0，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝－3，,y0＝\f(1,2)))(舍去)或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝\f(1,9)，,y0＝\f(37,18)．)) ∴P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，\f(37,18)))即为同时满足三个条件的点． $