2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦两条直线平行与垂直的判定，通过AI思考辨析（如斜率不存在时的平行关系）和体验新知练习导入，衔接直线倾斜角与斜率概念，搭建从基础定义到应用的学习支架。 其亮点在于分层设计（基础落实-重难探究-学以致用），注重分类讨论与逻辑推理，如例3通过坐标求斜率判定四边形为矩形，培养数学思维与几何直观。帮助学生夯实基础提升能力，为教师提供系统教学资源。

第二章　直线和圆的方程 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 学 习 目 标 1.理解两条直线平行与垂直的条件. 2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 3.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识全过关 知识点1　两条直线平行与斜率之间的关系 若没有特别说明,说“两条直线”时,指两条不重合的直线 设两条不重合的直线l1,l2,斜率分别为k1,k2.则l1∥l2⇔　　　　　　. AI·思考辨析 当直线l1与直线l2的斜率均不存在时,两直线是什么位置关系?  k1=k2 提示 平行. 体验新知 1.(多选题)已知直线l1与l2为两条不重合的直线,则下列说法正确的是 (　 　) A.若l1∥l2,则斜率k1=k2 B.若斜率k1=k2,则l1∥l2 C.若倾斜角α1=α2,则l1∥l2 D.若l1∥l2,则倾斜角α1=α2 BCD 解析 根据直线的位置关系,当直线的斜率存在,且相等时,直线平行;当直线的倾斜角相等时,直线平行;当直线平行时,倾斜角必相等.故选BCD. 2.若直线l1∥l2,且直线l1的倾斜角为120°,则直线l2的斜率为　　　　　.  - 解析 由题得直线l1与l2的倾斜角相等,则直线l2的倾斜角为120°,故直线l2的斜率为tan 120°=-. 知识点2　两条直线垂直与斜率之间的关系 注意此条件,若斜率存在与否不明确,要注意分类讨论 对应 关系 l1与l2的斜率都存在,分别为k1,k2,则l1⊥l2⇔　　　　　　  l1与l2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示     k1k2=-1 AI·思考辨析 平面中,两条直线l1,l2的斜率分别为m,n,则两条直线的方向向量分别为a=(1,m),b=(1,n),当两条直线互相垂直时,m·n是确定的值吗? 提示 m·n=-1. 体验新知 1.直线x=0与直线y=0的位置关系是(　　)　　　　　　　　　　　 A.垂直 B.平行 C.重合 D.以上都不对 A 解析 直线x=0表示与y轴重合的直线,直线y=0表示与x轴重合的直线,故两条直线互相垂直.故选A. 2.已知直线l1经过A(3,7),B(2,8)两点,且直线l2⊥l1,则直线l2的倾斜角为(　　) A.30° B.45° C.135° D.150° B 解析 设直线l2的倾斜角为α.由题可得,直线l1的斜率k1==-1. 由l1⊥l2,得k1·k2=-1,即k2=1,即tan α=1.又0°≤α<180°,则α=45°, 所以直线l2的倾斜角为45°.故选B. 重难探究·能力素养速提升 能力提升点一　两直线平行 【例1】 判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行: (1)l1经过点A(-1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(-1,-1); (2)l1的斜率为1,l2经过点A(1,1),B(2,2); (3)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(-1,3),N(2,0); (4)l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5,-2),N(5,5). 例题探究 已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若AB∥MN,则m的值为 　　　　　.  0或1 解析 当m=-2时,直线AB的斜率不存在,而直线MN的斜率存在,MN与AB不平行,不合题意; 当m=-1时,直线MN的斜率不存在,而直线AB的斜率存在,MN与AB不平行,不合题意; 当m≠-2,且m≠-1时,kAB=,kMN=. 因为AB∥MN,所以kAB=kMN,即,解得m=0或m=1. 当m=0或1时,易知两直线不重合. 综上,m的值为0或1. 能力提升点二　两直线垂直 【例2】 (1)直线l1经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直. (2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值. 解 (1)直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l1⊥l2. (2)由题意,知直线l2的斜率k2一定存在,直线l1的斜率可能不存在. 当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k2=0,则l1⊥l2,满足题意. 变式训练1　(2026天津高二月考)已知点A(2,2)和B(-6,3),点P在y轴正半轴上,且∠APB为直角,则点P的坐标为　 .  (0,6) 解析 设点P(0,y),y>0, 由点A(2,2)和B(-6,3),可得kPA=,kPB=. 因为∠APB为直角,所以kPA·kPB=-1, 即=-1,解得y=-1,或y=6. 因为y>0,所以y=6,即点P(0,6). 能力提升点三　两直线平行与垂直的综合应用 【例3】 如图,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状. 思路分析 利用两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系. 所以kOP=kRQ,kOR=kPQ,从而OP∥RQ,OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形. 又kOP·kOR=-1,所以OP⊥OR, 故四边形OPQR为矩形. 变式训练2　(2026内蒙古高二期末)已知△ABC的顶点A(1,3),B(2,7),C(-3,4), F为BC的中点. (1)求直线AF的斜率; (2)判断△ABC的形状. 解 (1)因为B(2,7),C(-3,4),且F为BC的中点,设F(x0,y0), 由中点坐标公式得x0==-,y0=,即F. 又因为A(1,3),所以直线AF的斜率为kAF==-. (2)因为A(1,3),B(2,7),C(-3,4),且kAF=-, 则kAB==4,kAC==-,kBC=. 因为kAB·kAC=-1,所以AB⊥AC,即∠A=90°,所以△ABC为直角三角形. 又F为BC的中点,且kAF·kBC=-1,所以AF⊥BC,所以△ABC为等腰三角形, 所以△ABC为等腰直角三角形. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)两直线平行的判定; (2)两直线垂直的判定. 2.方法归纳:分类讨论、数形结合思想. 3.常见误区:研究两直线平行、垂直关系时容易忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 1.(2026天津高二期末)若直线l1经过A(4,2y+1),B(2,-3)两点,直线l2的倾斜角为,且l1∥l2,则y=(　　) A.-1 B.-3 C.0 D.2 B 解析 因为直线l1经过A(4,2y+1),B(2,-3)两点, 所以直线l1的斜率为k1==y+2. 因为直线l2的倾斜角为,所以直线l2的斜率为k2=tan=-1. 又l1∥l2,所以k1=k2,即y+2=-1,所以y=-3.故选B. 1 2 3 4 5 2.(2026贵州高二期中)若直线l1与直线l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根,且l1⊥l2,则b=　　　　　.  2 解析 已知l1⊥l2,可得k1k2=-1. 又k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根,可得k1k2==-1,解得b=2. 1 2 3 4 5 3.若直线l1与直线l2平行,直线l1的斜率为-,则直线l2的倾斜角为　　　　. 解析 因为直线l1与直线l2平行,直线l1的斜率为-, 所以直线l2的斜率为-. 设直线l2的倾斜角为α(0≤α<π),则tan α=-, 所以α=,即直线l2的倾斜角为. 1 2 3 4 5 4.[2024云南梁河校级月考]已知直线l1的斜率为3,直线l2经过点A(1,2), B(2,a),若直线l1∥l2,则a=　　　　　;若直线l1⊥l2,则a=　　　　　.  5 1 2 3 4 5.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,则实数m=　　　　　.  解析 设直线AD,BC的斜率分别为kAD,kBC, 由题意,得AD⊥BC,则有kAD·kBC=-1, 5 本 课 结 束 解 设k1为l1的斜率,k2为l2的斜率. (1)k1==1,k2=,k1≠k2,l1与l2不平行. (2)k1=1,k2==1,k1=k2,故l1∥l2或l1与l2重合. (3)k1==-1,k2==-1,则有k1=k2. 又kAM==-2≠-1,则A,B,M不共线.故l1∥l2. (4)由已知点的坐标,得l1与l2均与x轴垂直且不重合,故有l1∥l2. 当直线l1的斜率k1存在时,a≠5,由斜率公式,得k1=,k2=. 由l1⊥l2,知k1k2=-1,即×=-1,解得a=0. 综上所述,a的值为0或5. 解 由斜率公式得kOP==t, kRQ==t,kOR==-, kPQ==-. 解析 直线l2的斜率k==a-2. 若直线l1∥l2,则k=3,即a-2=3,解得a=5. 若直线l1⊥l2,则3k=-1,即3(a-2)=-1,解得a=. 所以有=-1,解得m=. $