2.1.2　两条直线平行和垂直的判定课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“两条直线平行和垂直的判定”，通过飞机拉烟情境导入，提问倾斜角与斜率关系，衔接倾斜角、斜率旧知与新知判定条件，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于“基础知识-典型例题-知能演练”模块设计，例题如平行四边形判定、直角梯形分析，结合通性通法总结步骤，培养逻辑推理和数学运算素养。自我诊断与随堂检测及时反馈，助力学生巩固，教师可提升教学效率。

2.1.2　两条直线平行 和垂直的判定 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 新课程标准解读 核心素养 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直 数学运算、 逻辑推理 2.能应用两条直线平行或垂直解决有关问题 数学运算、 逻辑推理 目录 数学·选择性必修第一册 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 如图所示是人们平常所说的飞机拉烟，每一道拉烟之间有怎样的位置关系？ 【问题】　（1）在平面直角坐标中，若 l1∥ l2，则它们的倾斜角α1与α2有什么关系？ （2）若 l1∥ l2，则 l1， l2的斜率相等吗？ 目录 数学·选择性必修第一册 知识点　两条直线平行与垂直 1. 对于两条不重合的直线 l1， l2，其斜率分别为 k1， k2，有 l1∥ l2⇔ ⁠. 2. 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等 于 ；反之，如果它们的斜率之积等于 ，那么它们互 相垂直，即 l1⊥ l2⇔ ⁠. k1＝ k2　 －1　 －1　 k1 k2＝－1　 目录 数学·选择性必修第一册 提醒　（1） l1∥ l2⇔ k1＝ k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率 都存在；② l1与 l2不重合.（2） l1⊥ l2⇔ k1 k2＝－1成立的前提条件 是：①两条直线的斜率都存在；② k1≠0且 k2≠0. 目录 数学·选择性必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若直线 l1与 l2倾斜角相等，则 l1∥ l2. （　×　） （2）若直线 l1⊥ l2，则 k1 k2＝－1. （　×　） （3）若直线 l1的斜率为 a ，且 l1⊥ l2，则 l2的斜率为－ . （　×　） （4）若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行. （　√　） × × × √ 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2024·中山月考）已知直线 l1经过 A （－3，2）， B （1，－2）两 点，直线 l2的倾斜角为45°，那么 l1与 l2（　　） A. 平行 B. 垂直 C. 重合 D. 相交但不垂直 解析： 　由题意可得直线 l1的斜率 k1＝ ＝－1，直线 l2的斜 率 k2＝tan 45°＝1.∵ k1 k2＝－1，则 l1与 l2垂直.故选B. 目录 数学·选择性必修第一册 3. 直线 l1过点 A （ m ，1）， B （－3，4），直线 l2过点 C （0，2）， D （1，1），且 l1∥ l2，则 m ＝ ⁠. 解析：∵ l1∥ l2，且 k2＝ ＝－1，∴ k1＝ ＝－1，∴ m ＝0. 0　 目录 数学·选择性必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 两条直线平行的判定及应用 【例1】　判断下列直线 l1与 l2是否平行： （1） l1经过点 A （－1，－2）， B （2，1）， l2经过点 M （3，4）， N （－1，－1）； 解： 设直线 l1， l2的斜率分别为 k1， k2，则 k1＝ ＝ 1， k2＝ ＝ ，因为 k1≠ k2，所以 l1与 l2不平行. 目录 数学·选择性必修第一册 （2） l1的斜率为1， l2经过点 A （1，1）， B （2，2）； 解： 设直线 l1， l2的斜率分别为 k1， k2，则 k1＝1， k2＝ ＝1，因为 k1＝ k2，所以 l1∥ l2或 l1与 l2重合. （3） l1经过点 A （－3，2）， B （－3，10）， l2经过点 M （5，－ 2）， N （5，5）. 解： 由各点的坐标，得 l1与 l2均与 x 轴垂直且 l1与 l2不重 合，故 l1∥ l2. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 判断两条不重合直线是否平行的步骤 目录 数学·选择性必修第一册 提醒　在证明（判断）两直线平行时，要区分平行与重合，必须 强调不共线才能确定平行，因为两直线重合也可以推出两条直线 的斜率相等. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. (2025·高二下·长沙期中) 已知直线与直线平行，则的值为 ( )⁠. 解析：因为直线与直线平行，所以，解得，或； 当时，两条直线为：两条直线重合，舍去；当时，两条直线为：两条直线平行. A. B.  C. 或 D. 或 目录 数学·选择性必修第一册 解：四边形 ABCD 是平行四边形，证明如下： AB 边所在直线的斜率 kAB ＝－ ， CD 边所在直线的斜率 kCD ＝－ ， BC 边所在直线的斜率 kBC ＝ ， DA 边所在直线的斜率 kDA ＝ . 因为 kAB ＝ kCD ， kBC ＝ kDA ，所以 AB ∥ CD ， BC ∥ DA . 因此四边形 ABCD 是平行四边形. 2. 已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A （0，0）， B （2，－1）， C （4，2）， D （2，3），试判断四边形 ABCD 是否为平行四边 形，并给出证明. 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 两直线垂直的判定及应用 【例2】　（多选）下列各对直线互相垂直的是（　　） A. l1过点 M （1，1）， N （1，2）， l2过点 P （1，5）， Q （3，5） D. l1过点 M （1，0）， N （4，－5）， l2过点 P （－6，0）， Q （－ 1，3） 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　A中， l1与 x 轴垂直， l2与 x 轴平行，故两直线垂直；B 中， l2过点 P （1，1）， Q ， kPQ ＝ ，故两条直线垂直；C 中， kPQ ＝ ，故 l1与 l2不垂直；D中， l1过点 M （1，0）， N （4， －5）， kMN ＝－ ， l2过点 P （－6，0）， Q （－1，3）， kPQ ＝ ， 故两条直线垂直. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 判断两直线是否垂直的策略 　　在这两条直线的斜率都存在的前提下，只需看它们的斜率之积是 否等于－1即可，但应注意有一条直线与 x 轴垂直，另一条直线与 x 轴 平行或重合时，这两条直线也垂直. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. （2024·洛阳月考）直线 l1， l2的斜率是方程 x2－3 x －1＝0的两根， 则 l1与 l2的位置关系是（　　） A. 平行 B. 重合 C. 相交但不垂直 D. 垂直 解析： 　设直线 l1， l2的斜率分别为 k1， k2.∵直线 l1， l2的斜率是 方程 x2－3 x －1＝0的两根，∴ k1 k2＝－1，∴ l1⊥ l2.故选D. 目录 数学·选择性必修第一册 2. 点 A （－1，1）， B （3，－1）， C （1，5）为直角三角形的三个 顶点，则直角顶点为 ⁠. 解析：因为 A （－1，1）， B （3，－1）， C （1，5），所以 kAB ＝ ＝－ ， kAC ＝ ＝2.所以 kAB · kAC ＝－1，所以 AB ⊥ AC ，所 以角 A 为直角. A 　 目录 数学·选择性必修第一册 题型三 两直线平行与垂直的综合应用 【例3】　（2024·济南质检）已知 A （－4，3）， B （2，5）， C （6，3）， D （－3，0）四点，若顺次连接 A ， B ， C ， D 四点，试 判断四边形 ABCD 的形状. 目录 数学·选择性必修第一册 解：由题意知 A ， B ， C ， D 四点在坐标平面内的 位置如图所示，由斜率公式可得 kAB ＝ ＝ ， kCD ＝ ＝ ， kAD ＝ ＝－3， kBC ＝ ＝－ . 所以 kAB ＝ kCD ，由图可知 AB 与 CD 不重合，所以 AB ∥ CD . 由 kAD ≠ kBC ，所以 AD 与 BC 不平行. 又因为 kAB · kAD ＝ ×（－3）＝－1，所以 AB ⊥ AD ，故四边形 ABCD 为直角梯形. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　（2024·福州月考）已知▱ ABCD 中， A （1，2）， B （5，0）， C （3，4）. （1）求点 D 的坐标； 解： 设 D 点坐标为（ a ， b ），因为四边形 ABCD 为平行 四边形，所以 kAB ＝ kCD ， kAD ＝ kBC ， 所以所以 D （－1，6）. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）试判断▱ ABCD 是否为菱形？ 解：因为 kAC ＝ ＝1， kBD ＝ ＝－1， 所以 kAC · kBD ＝－1， 所以 AC ⊥ BD ，所以▱ ABCD 为菱形. 目录 数学·选择性必修第一册 1. 已知直线 l1的倾斜角为60°，直线 l2经过点 A （1， ）， B （－2， －2 ），则直线 l1， l2的位置关系是（　　） A. 平行或重合 B. 平行 C. 垂直 D. 重合 解析： 　由题意可知直线 l1的斜率 k1＝tan 60°＝ ，直线 l2的斜 率 k2＝ ＝ .因为 k1＝ k2，所以 l1∥ l2或 l1， l2重合. 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2024·南通质检）已知直线 l1的斜率 k1＝ ，直线 l2经过点 A （1， 2）， B （ a －1，3）.若 l1∥ l2，则实数 a ＝（　　） A. －3 B. 1 解析： 　因为直线 l2经过点 A （1，2）， B （ a －1，3），所以直 线 l2的斜率 k2＝ .因为 l1∥ l2，所以 ＝ ，解得 a ＝ .故选C. 目录 数学·选择性必修第一册 3. （多选）已知直线 l1的斜率为 a ， l1⊥ l2，则 l2的斜率可以为 （　　） C. a D. 不存在 解析： 　当 a ≠0时，由 l1⊥ l2，可得直线 l2的斜率为－ ；当 a ＝0时，由 l1⊥ l2，可得直线 l2的斜率不存在. 目录 数学·选择性必修第一册 4. 若直线 l 经过点（ a －2，－1）和（－ a －2，1），且与斜率为－ 的直线垂直，则实数 a 的值为 ⁠. 解析：易知 a ＝0不符合题意.当 a ≠0时，直线 l 的斜率 k ＝ ＝－ ，由－ · ＝－1，得 a ＝－ . － 　 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. （2024·韶关月考）下列说法正确的是（　　） A. 若 l1∥ l2，则 k1＝ k2 B. 若直线 l1⊥ l2，则 k1 k2＝－1 C. 若 l1∥ l2，则倾斜角α1＝α2 D. 只有斜率相等的两条直线才平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　对于A，若直线 l1∥ l2，则直线的倾斜角相等，但斜率不 一定存在，所以A错误；对于B，当一条直线与 x 轴垂直时，斜率不 存在，所以B错误；对于C，由两直线平行得倾斜角一定相等，所 以C正确；对于D，斜率不存在的两直线也能够平行，所以D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 2. 已知直线 l1的倾斜角为30°，且直线 l1⊥ l2，则直线 l2的斜率为 （　　） 解析： 　由题意可得直线 l1的斜率为 .由直线 l1⊥ l2，得直线 l2的 斜率为－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 3. 过点 A （2，5）和点 B （－4，5）的直线与直线 y ＝3的位置关系是 （　　） A. 相交 B. 平行 C. 重合 D. 以上都不对 解析： 　易知两直线斜率都为0且不重合，所以两直线平行. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 4. 直线 l1的斜率为2， l1∥ l2，直线 l2过点（－1，1）且与 y 轴交于点 P ，则 P 点坐标为（　　） A. （3，0） B. （－3，0） C. （0，－3） D. （0，3） 解析： 　设 P （0， y ），因为 l1∥ l2，所以 ＝2，所以 y ＝3.即 P （0，3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5. （2024·梅州月考）已知直线 l 的倾斜角为10°，直线 l1∥ l ，直线 l2⊥ l ，则 l1与 l2的倾斜角分别为（　　） A. 10°，10° B. 80°，80° C. 10°，100° D. 100°，10° 解析： 　如图，∵ l ∥ l1，∴ l1的倾斜角为10°，∵ l2⊥ l ，∴ l2的倾斜角为90°＋10°＝100°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）以 A （－1，1）， B （2，－1）， C （1，4）为顶点的三 角形，下列结论正确的有（　　） C. △ ABC 是以 A 点为直角顶点的直角三角形 D. △ ABC 是以 B 点为直角顶点的直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　由题意， kBC ＝ ＝－5， kAB ＝ ＝－ ， kAC ＝ ＝ ，∵ kAB · kAC ＝－1，∴ AB ⊥ AC ，∴△ ABC 是以 A 点为直角顶点的直角三角形，故A、C正确，B、D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. 若不同两点 P ， Q 的坐标分别为（ a ， b ），（3－ b ，3－ a ），则 线段 PQ 的垂直平分线的斜率为 ⁠. 解析：若 a ＝3－ b ，则 P ， Q 两点重合，不合题意.故 PQ 斜率存在. 由 kPQ ＝ ＝1，得线段 PQ 的垂直平分线的斜率为－1. －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 8. （2024·许昌月考）直线 l1， l2的斜率 k1， k2是关于 k 的方程2 k2－4 k ＋ m ＝0的两根，若 l1⊥ l2，则 m ＝ .若 l1∥ l2，则 m ＝ ⁠. 解析：由一元二次方程根与系数的关系得 k1· k2＝ ，若 l1⊥ l2，则 ＝－1，∴ m ＝－2.若 l1∥ l2，则 k1＝ k2，即关于 k 的一元二次方程2 k2－4 k ＋ m ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝（－4）2－4×2× m ＝0， ∴ m ＝2. －2　 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册   解析：设 P （ y ， y ），由∠ BAP ＝90°知， kAB · kAP ＝ × ＝ ＝－1，解得 y ＝－ .所以点 P 的坐标是 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. 当 m 为何值时，过两点 A （1，1）， B （2 m2＋1， m －2）的 直线： （1）倾斜角为135°； 解： 由 kAB ＝ ＝tan 135°＝－1， 得2 m2＋ m －3＝0，解得 m ＝－ 或1. （2）与过两点（3，2），（0，－7）的直线垂直； 解： 由 ＝3及垂直关系，得 ＝－ ， 解得 m ＝ 或－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （3）与过两点（2，－3），（－4，9）的直线平行. 解： 由 ＝ ＝－2，解得 m ＝ 或－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. （2024·广州月考）已知 A （1，2）， B （－1，0）， C （2，－ 1），若平面 ABC 内一点 D 满足 CD ⊥ AB ，且 BC ∥ AD ，则点 D 的坐标为（　　） A. （－2，－3） B. （2，－3） C. （2，3） D. （－2，3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　设 D （ x ， y ）.由 CD ⊥ AB ，且 BC ∥ AD ，得 所以 D （－2，3）.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. （多选）如图所示，在平面直角坐标系中，以 O （0，0）， A （1，1）， B （3，0）为顶点构造平行四边形，下列各点中能作 为平行四边形顶点坐标的是（　　） A. （－3，1） B. （4，1） C. （－2，1） D. （2，－1） 解析： 　如图所示，因为经过三点可构造 三个平行四边形，即▱ AOBC1，▱ ABOC2， ▱ AOC3 B . 根据平行四边形的性质，可知选项B、 C、D中的点分别是点 C1， C2， C3的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 13. 已知△ ABC 的顶点 B （2，1）， C （－6，3），其垂心为 H （－ 3，2），则其顶点 A 的坐标为 ⁠. 解析：设 A （ x ， y ），由已知，得 AH ⊥ BC ， BH ⊥ AC ，且直线 AH ， BH 的斜率存在，所以 即 A （－19，－62）. （－19，－62）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. （2024·绍兴质检）已知 A （0，3）， B （－1，0）， C （3， 0），求 D 点的坐标，使四边形 ABCD 为直角梯形（ A ， B ， C ， D 按逆时针方向排列）. 解：设所求点 D 的坐标为（ x ， y ），如图，由于 kAB ＝3， kBC ＝0，∴ kAB · kBC ＝0≠－1，即 AB 与 BC 不垂直， 故 AB ， BC 都不可作为直角梯形的直角腰. 若 AD 是直角梯形的直角腰，则 AD ⊥ AB ， AD ⊥ CD . ∵ kAD ＝ ， kCD ＝ ， 由于 AD ⊥ AB ，∴ ·3＝－1. ① 又 AB ∥ CD ，∴ ＝3. ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解①②两式可得 此时 AD 与 BC 不平行. 若 DC 为直角梯形的直角腰，则 DC ⊥ BC ，且 AD ∥ BC . ∵ kBC ＝0，∴ DC 的斜率不存在.故 x ＝3，又 AD ∥ BC ，则 y ＝3. 故 D 点坐标为（3，3）. 综上可知，使四边形 ABCD 为直角梯形的点 D 的坐标可以为（3， 3）或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 15. 直线 l 的倾斜角为30°，点 P （2，1）在直线 l 上，直线 l 绕点 P （2，1）按逆时针方向旋转30°后到达直线 l1的位置，此时直线 l1 与 l2平行，且 l2是线段 AB 的垂直平分线，其中 A （1， m －1）， B （ m ，2），则 m ＝ ⁠. 解析：如图，直线 l1的倾斜角为30°＋30°＝60°， ∴直线 l1的斜率 k1＝tan 60°＝ .由 l1∥ l2知，直 线 l2的斜率 k2＝ k1＝ .∴直线 AB 的斜率存在， 且 kAB ＝－ ＝－ .∴ ＝ ＝－ ，解 得 m ＝4＋ . 4＋ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. 已知 M （1，－1）， N （2，2）， P （3，0）. （1）求点 Q 的坐标，满足 PQ ⊥ MN ， PN ∥ MQ ； 解： 设 Q （ x ， y ），由已知得 kMN ＝3， 由 PQ ⊥ MN ，可得 kPQ · kMN ＝－1， 即 ×3＝－1. ① 由已知得 kPN ＝－2， 由 PN ∥ MQ ，可得 kPN ＝ kMQ ， 即 ＝－2. ② 联立①②解得即 Q （0，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）若点 Q 在 x 轴上，且∠ NQP ＝∠ NPQ ，求直线 MQ 的倾斜角. 解： 设 Q （ x ，0），∵∠ NQP ＝∠ NPQ ， ∴ kNQ ＝－ kNP . 又∵ kNQ ＝ ， kNP ＝－2，∴ ＝2，即 x ＝1， ∴ Q （1，0）.又∵ M （1，－1）， ∴ MQ ⊥ x 轴， 故直线 MQ 的倾斜角为90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ $