1.3.2空间向量运算的坐标表示（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量运算的坐标表示，涵盖线性运算、数量积、模长、夹角、平行垂直的坐标表示及空间两点间距离公式。通过类比平面向量运算，结合前情回顾的空间直角坐标系与向量坐标知识，搭建新旧知识支架引导探究。 其亮点在于以问题驱动类比推理，通过表格对比平面与空间向量运算培养数学思维，结合证明推导（如数量积坐标表示）强化逻辑推理。题型涵盖运算、平行垂直及几何应用（如正方体中证明垂直），小结用表格梳理知识，助力学生形成结构，提升空间观念与应用能力，也为教师提供系统教学资源。

第一章 空间向量与立体几何 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 前情回顾 空间直角坐标系，其中为单位正交基底，为原点，坐标轴为轴、轴、轴，坐标平面为平面， 平面，平面. 如图，过点分别作垂直于轴、轴和轴的平面，依次交轴 轴和轴于点和.可以证明在轴、轴和轴上的投影向量分别为 ，且， 设点在轴、轴和轴上的坐标分别是和 前情回顾 空间向量的坐标表示： 在空间直角坐标系 中，给定向量，作(如图)；由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使. 有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，可简记作. 也就是说以O为起点的有向线段 (向量)的坐标可以和终点的坐标建立起一一对应的关系，从而互相转化. 注意： 数组既可以表示向量坐标，也可以表示点坐标； 表示向量坐标有“=”, 表示点坐标直接跟在字母后面。 向量终点的坐标 A(x,y,z) 向量的坐标OA=(x,y,z) 一一对应 学 习 目 标 1 2 3 理解空间向量的线性运算和数量积运算的坐标表示. 掌握空间向量的长度、夹角公式和空间两点间的距离公式. 能借助空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题. 读教材 阅读课本P19-P21，5分钟后完成下列问题： 1. 空间向量的运算有哪些？坐标表示是什么？ 我们一起来探究“空间向量运算的坐标表示”吧！ 2. 空间向量平行和垂直的充要条件？ 新课引入 前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来. 那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？ 加法，减法，数乘，数量积， 夹角，距离，平行，垂直等运算 你还记得平面向量的运算有哪些吗？ 学习过程 01 03 02 目录 1 空间向量运算的坐标表示 2 题型训练 新知探究1 问题1 你还记得平面向量线性运算的坐标表示吗？ 设， 设 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 你能得出上述空间向量坐标运算并给出证明吗？ 新知探究1 问题2 类比平面向量数量积，证明空间向量数量积的坐标表示吗？ 设 设则 所以 因为： 新知探究1 问题3 类比平面向量写出空间向量模长和夹角的坐标表示？ 设， 设 运算 坐标表示 模长 夹角 运算 坐标表示 模长 夹角 新知探究1 问题4 类比平面向量写出空间向量平行和垂直的充要条件？ 设， 设 位置 坐标表示 平行 = () 垂直 位置 坐标表示 平行 (= () 垂直 新知探究1 问题5 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 如图建立空间直角坐标系， 设，是空间中任意两点， 则. 于是. 所以. 这就是空间两点间的距离公式. 概念 空间向量运算的坐标表示 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 模长 夹角 平行 当时 垂直 练习巩固 练习1 已知，求： (1) ＋，－，· (2)(2)·(－) (3)(＋)·(－)． 解:; ; . (2) (2)(－) ； (3) (＋)(－). 练习巩固 练习2 已知空间三点.设， 若与互相平行，求 解:∵， ， ∴ ∵与平行，所以， 即，所以则 或. 练习巩固 练习3 已知空间三点. 求：(1)向量，的模；(2)向量，夹角的余弦值？ 解: (1)∵ ∴ (2) ∵ ∴. 学习过程 01 03 02 目录 1 空间向量运算的坐标表示 2 题型训练 空间向量运算的坐标表示 题型1 题型探究 例1 已知，，，，，且//，求的值？ 解：因为//，所以，则， 解得. 例2 若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，求你m+n的值？ 解:由已知得 <m></m> ， <m></m> . <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 三点共线，∴存在实数 <m></m> ，使得 <m></m> ， 即 <m></m> ， ∴ <m></m> 解得 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，∴</m> . 空间向量运算的坐标表示 题型1 题型探究 例3 已知向量 ， 则向量 ( ) 解由题意得 故选A. A. B. C. D. A 空间向量运算的坐标表示 题型1 题型探究 例4 已知,分别在以下情形下求实数的值. (1)； (2). 解: (1)， ，所以，解得 (2) ， 即，解得 空间向量在几何中的应用 题型2 题型探究 例5 如图，在正方体中，分别是，的中点. 求证：. A D C B A1 D1 C1 B1 E F 证明：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则所以. 又，，所以. 所以. 所以，即. 建系 点的坐标 向量的坐标 向量的 坐标运算 几何 关系 翻译 空间向量在几何中的应用 题型2 题型探究 例6 如图，,原点是的中点，点的坐标为，点在平面 上，且, 求 (1)向量的坐标；(2)向量，夹角的余弦值. 解: (1)过作于，则, 所以点坐标为又因为 ， 所以. 空间向量在几何中的应用 题型2 题型探究 例6 如图，,原点是的中点，点的坐标为，点在平面 上，且, 求 (1)向量的坐标；(2)向量，夹角的余弦值. 解: (2)因为， ， , ， 所以， ，则 ， ， 所以. 空间向量在几何中的应用 题型2 题型探究 例7 如图，在棱长为1的正方体中，为的中点， 分别在棱，上，，. (1)求的长； (2)求与所成角的余弦值？ 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则点. 于是. 空间向量在几何中的应用 题型2 题型探究 例7 如图，在棱长为1的正方体中，为的中点， 分别在棱，上，，. (1)求的长； (2)求与所成角的余弦值？ 解：(2)由已知得， ，， 所以， 所以 所以 与所成角的余弦值是. 课堂小结 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 模长 夹角 平行 当时 垂直 感谢聆听! $