第一章 勾股定理-【同步冲刺】2025-2026学年八年级上册数学阶段测试适应性训练卷（北师大版·新教材）

11.(1)解：由②，得y=4x-5③. 把③代入方程①，得14x=14,解得x=1. 把x=1代入方程③，解得y=-1. 故方程组的解是：=1， Ly=-1. (2)解：①+②×5，得13x=26.解得x=2. 将x=2代入②，得4-y=3.解得y=1. 所以原方程组的解是厂x=2, Y=1. 12.解：设大和尚x人，小和尚y人、 x+y=100. 根据题意，得 3x+3y=10.解得x25, ly=75. 答：大和尚25人，小和尚75人 13.解：(1)将直线y=-3x沿y轴向上平移4个单位长度 1 可得直线y=-3x+4. 1 [=-3+4, 解方程组 1 得x3 ly=3. y=3x+2, 所以点A的坐标为(3,3) (2)因为直线1：y=3x+2与x轴交于点B. 令y=0,则x=-6;令x=0,则y=2. 所以点B的坐标为(-6,0)，直线1与y轴交于点(0,2). 因为点D(0.6,所以5a=了×6-2）×6+3)=18 14.解：(1)设该水果线上的销售单价是x元/kg,线下的销 售单价是y元/kg. 表据避意，符8+00解得1 y=15. 答：该水果线上的销售单价是12元/kg,线下的销售单价 是15元/kg (2)设该公司线下采购该水果mkg,则线上采购该水果 (1000-m)kg 设该公司采购1000kg该水果共花费0元，则o=15m+ 12(1000-m)=3m+12000. 因为3>0，所以心随m的增大而增大 因为100≤m≤1000，所以当m=100时，w取得最小值 答：当线下采购100kg该水果时最省钱 周末滚动练14 1.C2.D3.B4.B5.A6.47.x=1, y=-38.7 9.甲地10.4522x+b 11.解：设足球的单价为x元，篮球的单价为y元， 根指题意，得仁8n解得 答：足球的单价为80元，篮球的单价为60元 12.解：由题意得，这20个螺丝的直径平均值为(11.8+ 11.7+12.0+12.1+12.3+12.2+12.0+11.5+…+ 11.8+11.9）÷20=12(mm). 方差为[(11.8-12)2+(11.7-12)2+…+(11.9- 12)2]÷20=0.05. 所以标准差约为0.22mm. 因为0.22>0.2.所以可以退货 13.解：(1)1926.825 (2)根据统计量进行分析，可知A线路所用时间平均数 小于B线路所用时间平均数，A线路所用时间中位数也 小于B线路所用时间中位数，但A线路所用时间的方差 比较大，说明A线路比较短，但容易出现拥堵情况，B线 路比较长，但交通畅通，总体上来讲A线路优于B线路. 因此，我的建议是：根据上学到校剩余时间而定，如果上 学到校剩余时间比较短，比如剩余时间是21分钟，则选 择A线路，因为A线路的时间不大于21分钟的次数有 7次，而B线路的时间都大于21分钟；如果剩余时间不 短也不长，比如剩余时间是31分钟，则选择B线路，因 为B线路的时间都不大于31分钟，而A线路的时间大 于31分钟有3次，选择B线路可以确保不迟到；如果剩 余时间足够长，比如剩余时间是36分钟，则选择A线 路，在保证不迟到的情况下，选择平均时间更少，中位数 更小的线路 周末滚动练15 1.A2.D3.C4.D5.B6.6 7.∠D=∠AFE(答案不唯一) 8.如果一个点在角的内部且到角的两边的距离相等，那么 这个点在这个角的平分线上 9.75°10.丙 11.解：（1)假命题.反例：∠A=40°，∠B=60°，但∠A+ ∠B=100°>90°，是钝角， (2)真命题. 12.证明：.∠B=∠AGF,∴.BC∥EG.∴.∠BCA=∠EFD. AF CD...AF FC=CD+FC...AC DF. [AC=DF 在△ABC和△DEF中，{∠BCA=∠EFD, BC EF, ∴.△ABC≌△DEF(SAS).∴.∠A=∠D. 13.解：(1)45 (2)这组数据中，4出现的次数最多，所以众数是4. 20个数据按从小到大排列，第10个和第11个都是4， 所以中位数是4. 6+5+2 (3)700×1+2+4+6+5+2=455(名)： 答：该校参加志愿活动在4次及以上的学生约有455名. 14.解：正确. 验证：abc=100a+10b+c=(99a+9b)+a+b+c, 显然99a+9b能被3整除. 因此，若a+b+c可以被3整除，则abc可以被3整除. 15.(1)证明：四边形ABCD是长方形，∴.DF∥CE. .D'F∥CE..·.∠D'FA=∠CGA. ·.·∠CGH=∠D'FE .∠CGH-∠C'GA=∠D'FE-∠D'FA, .∴.∠AGH=∠AFE..∴.GH∥EF. (2)解：由(1)，得D'F∥C'E.∴.∠FGE=∠DFA=a. :AF∥BC,∴.∠AFE=∠FEC. 由折叠的性质，得∠FEC=∠FEG. ∠AE=∠FEG=(180-∠FcE)=1m38=90 2 2a. .·GH∥EF,·.∠HGE=∠FEG=90°- 2a. .∠HGE的度数为90°-)a 适应性训练卷参考答案 第一章勾股定理 1.A2.A3.B4.C5.A6.D7.B8.B9.C 10.D11.2512.313.5414.1515.100 16.解：因为AB=AC,AD是△ABC的角平分线 所以AD⊥BC,BD=CD. 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=13,AD=12, 由勾股定理，得BD2=AB-AD2=132-122=25. 所以BD=5cm.所以BC=2BD=10(cm). 17.解：△ABC是直角三角形.理由如下： 1 因为c+a=2b,c-a=2b, 所以(c+a)(c-a）=2b·b 所以c2-a2=2,即a2+6=c2 所以△ABC是以∠C为直角的直角三角形. 18.解：依题意，得AB=130,AC=50,∠ACB=90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 BC=AB2-AC=1302-502=14400=1202. 所以BC=120m. 小汽车速度为120÷4=30(m/s)=108(km/小h). 因为108>70，所以这辆小汽车超速了. 19.解：(1)设相邻两个结点的距离为x,则△ABC的三边长 分别为3x,4x,5x. 因为(3x)2+(4x)2=(5x)2, 所以以3x,4x,5x为边长的三角形是直角三角形，即 △ABC是直角三角形，其中∠A=90°，即在第4个结处. (2)因为6+8=10， E 所以如图所示，△DEF即为所求（答案不唯一，正确即可 得分). 20.解：(1)由题意，得DE=AB=1.6米 在Rt△CDB中，由勾股定理，得 CD2=BC2-BD2=252-152=400 所以CD=20米. 所以CE=CD+DE=20+1.6=21.6(米) 答：风筝的垂直高度CE为21.6米。 (2)如图，设风筝下降后的位置为点M, 连接BM,则CM=12米 所以DM=CD-CM=20-12=8(米). 所以BM=DM2+BD2=82+152=289. 所以BM=17米. B D 所以BC-BM=25-17=8(米) 答：他应该往回收线8米 21.(1)证明：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD,∠D= ∠B=∠C=90° 因为将△ADE沿AE对折至△AFE的位置， 所以AF=AD,FE=DE,∠AFE=∠D=90° 所以AB=AF,∠B=∠AFG=90. 又因为AG平分∠BAF,所以∠BAG=∠FAG 所以△ABG≌△AFG(ASA). (2)解：由(1)知△ABG≌△AFG 所以BG=FG. 设BG=FG=x,则GC=6-x 因为点E为CD的中点，所以CE=EF=DE=3. 所以EG=3+x. 所以在Rt△CEG中，32+(6-x)2=(3+x)2, 解得x=2.所以BG的长为2. 22.解：(1)海港C受台风影响.理由如下： 如图，过点C作CD⊥AB于点D. 因为AC=300,BC=400,AB=500 所以AC2+BC2=AB2 B 所以△ABC是直角三角形，∠ACB=90°. A 所以S=子AC·BC=号4B·CD,即 CD=AC.BC_300×400 AB 500 240(km) A 因为以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， 所以海港C受台风影响。 (2)当EC=250,FC=250时，正好影响C港口. 在Rt△CDE中，∠CDE=90°， 由勾股定理，得ED2=EC2-CD2=2502-2402=4900. 所以ED=70. 同理DF=70.所以EF=140 因为台风的速度为25km/h, 所以140÷25=5.6(h),即台风影响该海港持续的时间 为5.6h. 23.解：(1)由题意知，当AP=CP时，△APC是等腰三角形， 此时AP=CP=tcm,则BP=(8-t)cm. 在Rt△BPC中，由勾股定理，得BC2+BP2=CP2,即62+ (8-)2=.解得1= 4 所以当运动空。时，△APC是等腰三角形. (2)由△ABC是直角三角形，AB=8,BC=6,易得AC= 10.分三种情况： ①当CQ=BQ时，如图1，则∠C=∠CBQ. 因为∠ABC=90°， 所以∠CB0+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90° 所以∠A=∠ABQ.所以BQ=AQ. 所以c0=A0=之AC=5.所以BC+C0=1. 所以t=11÷2=5.5. 图1 AB 图2 AB 图3 ②当CQ=BC时，如图2，则BC+CQ=12. 所以t=12÷2=6. ③当BC=BQ时，如图3，过点B作BE⊥AC于点E. 因为Sc=24B:BC=2BE·AC, 所以EBC-80-48 AC 在Rt△CEB中，由勾股定理，得 CE2=BC2-BE2=62-4.82=3.62.所以CE=3.6. 因为BC=BQ,BE⊥CQ,所以CE=QE. 所以CQ=2CE=7.2.所以BC+CQ=13.2. 所以t=13.2÷2=6.6. 综上所述，当运动时间为5.5s或6s或6.6s时，△BCQ 为等腰三角形. 第二章实数 1.A2.D3.B4.A5.D6.A7.D8.A9.B 10.B11.6(答案不唯-）12.413.114. 24 15.3或5 16.解：原式=3-2√6+2+3-2=6-26. 17.解：原式=22-2+1-(2-1)=22-2+1-2+1 =√2. 18.解：当h=250m时，250=4.92. 所以1=9或1=9（会去。 答：物体从250m高的建筑物上自由落下，到达地面需要 50 78 19.解：(1)由题意，得(a+1)+(a-5)=0.所以a=2. 所以a+1=3,a-5=-3.所以x=(±3)2=9. (2)由(1)，得7x+1=7×9+1=64. 所以7x+1的立方根为64=4. 20.解：(1)根据题意，得a-√7=0，b-5=0,c-42=0. 所以a=7,b=5,c=4/2. (2)因为a2=(万)2=7,2=25，c2=(42)2=32, 7+25=32,所以a2+b2=c2. 所以以α，b,c为边长的三角形是直角三角形， 21.解：(1)因为一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2万个单位 长度后到达点B,点A表示-2， 所以m=-2+22. (2)当m=-2+22时，1m-221+(m-√2)2 =1-2+22-221+(-2+22-2)2 =2+(-2+2)2=2+4-42+2 =8-42. 22.解：(1)由勾股定理，得AC=BC=√0，BC=25. 所以△ABC为等腰三角形， 因为AB2+AC2=20=BC2 所以△ABC为直角三角形. 所以△ABC为等腰直角三角形. (2)S=2h=7B·AC=7×而×V而=52025秋·同步冲刺·数学·八年级上册 第一章 勾股定理 (本试卷满分120分，考试用时120分钟) 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.下列数据不是勾股数的是 ( A.7,14,16 B.5,12,13 C.3,4,5 D.9,40,41 2.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，正方形AEDC,正方形BCFG的面积分别为25， 144,则AB的长度为 ( ) in 前 A.13 B.169 C.119 D.无法确定 80 ←-150 第2题图 第3题图 3.一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸（单 位：mm),可得出两圆孔中心A,B之间的距离为 ( 如 A.110 mm B.170 mm C.200 mm D.240 mm 4.已知在Rt△ABC中，AB2=10,AC2=6,则BC2的值为 ( A.4 B.8 C.4或16 D.16或64 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC+AC=14cm,AB=10cm,则Rt△ABC的面积为 ( A.24 cm2 B.36 cm2 C.48 cm2 D.60 cm2 6.如图，一轮船以8海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以6海 里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 ( A.10海里 B.14海里 C.15海里 D.20海里 B 第6题图 第7题图 第8题图 7.如图，在单位长度为1的正方形网格图中有α，b,c,d四条线段，从中任取三条线段 所构成的三角形中恰好是直角三角形的有 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.如图是“赵爽弦图”，△ABH,△BCG,△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四 边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，如果AB=10,且A:AE=3:4,那么AH= A.2 B.6 C.8 D.9 骘 同步冲刺·数学·八年级上册·第一章第1页（共6页） 9.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二 步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索 长有几.”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度 AB为1尺，将它往前水平推送10尺，即当A'C=10尺时，秋千的踏板离地的垂直 高度A'D就和身高5尺的人一样高.若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳 索OA的长为 A.13.5尺 B.14尺 C.14.5尺 D.15尺 B 图1 图2 第9题图 第10题图 10.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一.如图1，以Rt△ABC的各边为边分别向 外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按如图2所示的方式放置在最大的正方 形内，三个阴影部分面积分别记为S1,S2,S3,若已知S1=2,S2=5,S3=8,则两个 较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG)的面积为 () A.7 B.10 C.13 D.15 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为7cm,24cm,则这个直角三角形的 斜边长为 cm. 12.若直角三角形的两直角边均扩大到原来的3倍，则斜边扩大到原来的 倍 13.若△ABC的三边a,b,c满足|a-91+(b-12)2+(c-15)2=0,则△ABC的面积 为 14.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张角为 ∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm,此时底部边缘A处与C处间 的距离AC为24cm,小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为 ∠DAF时(D是点B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm,则底 部边缘A处与E之间的距离AE为 cr. D B D 第14题图 第15题图 15.如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm,高AB=60cm,水深AE= 40cm.在水面EF上紧贴内壁的G处有一块面包屑，且EG=60cm.一只蚂蚁想 从鱼缸外的点A沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线 的长为 cm. 同步冲刺·数学·八年级上册·第一章第2页（共6页） 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16.如图，AD是△ABC的角平分线，AB=AC=13cm,AD=12cm,求BC的长 17.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足c+a=2b,c-a=2b,间 △ABC是什么特殊三角形？ 18.《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超 过70k/h.如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到 路对面车速检测仪的正前方50处，过了4s后，测得小汽车与车速检测仪间的 距离为130m.这辆小汽车超速了吗？ B、 小汽车 小汽车 A 观测点 同步冲刺·数学·八年级上册·第一章第3页（共6页） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19.古埃及人曾用下面的方法得到直角.如图1，他们用13个等距的结把一根绳子分 成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别 握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个 结处 (1)你能说说其中的道理吗？ (2)仿照上面的方法，你能否只用绳子，设计一种不同于(1)的直角三角形（在图 2中，只需画出示意图) 图1 图2 20.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”.又到了放风筝的最佳时节.某校八年级(1) 班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE,他们进 行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米：②根据手中剩余线的长度计算出 风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的手到地面的距离AB为1.6米 (1)求风筝的垂直高度CE; (2)若小明的位置不动，但是想让风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线 多少米？ B 同步冲刺·数学·八年级上册·第一章第4页（共6页） 21.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至 △AFE的位置，延长EF交BC于点G,连接AG,且AG平分∠BAF. (1)证明：△ABG≌△AFG; (2)求BG的长. ---------------D G 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分 22.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气 候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，已知，点C为 一海港，且点C与直线AB上A,B两点的距离分别为300km和400km,又AB= 500km,以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域. (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为25k/h,则台风影响该海港持续的时间有多长， 同步冲刺·数学·八年级上册·第一章第5页（共6页） 23.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm,BC=6cm,P,Q是△ABC边上的两个动 点，点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为1c/s,点Q从点B开始沿 B→C→A方向运动，且速度为2c/s,它们同时出发，设运动的时间为ts. (1)求运动几秒时，△APC是等腰三角形； (2)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间. 同步冲刺·数学·八年级上册·第一章第6页（共6页）