第一章《勾股定理》单元测试 2026～2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册《勾股定理》单元卷，融合传统文化（《周髀算经》）、生活情境（手机屏幕尺寸）及探究性问题（k股三角形），覆盖定理应用、勾股数等核心知识，适配单元复习，提升数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|直角三角形判定（如第1题《周髀算经》素材）、勾股定理应用（如第5题手机屏幕）|文化传承与生活情境结合| |填空题|5|几何体表面最短路径（第12题）、勾股树规律（第14题）|空间观念与规律探究| |解答题|8|赵爽弦图证明（第21题）、k股三角形定义（第22题）|推理能力与创新应用|

2026~2027学年北师大版八年级上册数学第一章《勾股定理》单元测试 一．选择题（共10小题） 1．《周髀算经》记载“勾三股四弦五”，奠定了直角三角形判定基础．已知△ABC的三边为a，b，c，可以判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．a＝5，b＝12，c＝13 B．a＝7，b＝8，c＝9 C．∠A＝∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 2．如图每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 3．《算法统宗》记载“昨日丈量田地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘？”译文：“昨天量了田地回到家里，记得长方形田的长为30步，宽及其对角线之和为50步，不知该田有几亩？”请运用所学知识求解这块地有（　　）亩（1亩＝240平方步） A．2 B．3 C．4 D．5 4．一个直角三角形的三条边分别是a，b，c，则下列说法正确的是（　　） A．a2+b2＝c2 B．a2+c2＝b2 C．b2+c2＝a2 D．不能确定 5．手机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸（1英寸＝2.54cm）为单位．某5.8英寸的手机，有可能用以下哪种尺寸的长方形口袋完全装下（　　） A．宽3cm，长4cm的口袋 B．宽5cm，长12cm的口袋 C．宽6cm，长8cm的口袋 D．宽9cm，长12cm的口袋 6．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2m，向前荡起到最高点B处时距地面高度1.5m，摆动水平距离BD为1.6m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是（　　） A．0.9m B．1m C．1.1m D．2m 7．若m，n是正整数且m＞n，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2，则下列勾股数不能由m，n确定的是（　　） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AC，AB为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积S①，S②，S③之间的关系为（　　） A．S①+S②＝S③ B．S①+S③＝S② C． D． 9．如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（　　） A．AM⊥PQ B．BM⊥PQ C．CM⊥PQ D．DM⊥PQ 10．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，动点M从点O出发，沿OC→CD匀速运动至点D时停止．设点M的运动路程为x，AM的长度为y，y与x的函数图象如图2所示，在点M的运动过程中，当AM⊥CD时，AM的长度是（　　） A． B．6 C． D． 二．填空题（共5小题） 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，以AB为边向外作△ABD，使∠D＝∠BAC．当△ABD为等腰三角形时，边BD的长为　 　 ． 12．如图是由若干个棱长为1cm的小正方体所搭建的几何体，一只电子蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，这只电子蚂蚁爬行的最短路程为　 　 cm． 13．如图所示的网格是正方形网格，则∠ABC﹣∠ACB＝　 　 °（点A，B，C是网格线交点）． 14．“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第6个图形里的正方形比第4个图形多　 　 个． 15．清代数学家罗士琳（1789﹣1853）提出了推算勾股数的公式，被称为罗士琳法则．具体如下： Ⅰ．若n是大于1的奇数，则是一组勾股数． Ⅱ．若n是大于2的偶数，则是一组勾股数． 经研究，在Ⅰ中，最小的数是n，最大的数是；在Ⅱ中，若n＞4，则最小的数是n，最大的数是． 若一组勾股数中，最小的数是m，最大数是25；另一组勾股数中，最小的数是m+1，则最大数是　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC，垂足为D，AB＝20，AC＝15，CD＝9．试判断△ABC的形状，并说明理由． 17．如图，一棵18米高的大树在一次强台风中在距地面5m处折断，倒下后树顶端落在点A处，离这棵大树底端B点14米远有一辆小轿车，试判断树枝落地时否会砸着小轿车，并说明理由． 18．操作与探究 （1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形； （2）如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c．请你利用图拼成的大正方形证明勾股定理． 19．今年春天学校对全校小菜园重新划分，其中八年1班和八年2班分到的两块小菜地如图所示，经测量AD＝12m，CD＝9m，AB＝17m，BC＝8m，∠ADC＝90°． （1）求两班的“边界线”AC的长； （2）主任说两块地的其他条件基本相同，由于八年1班的人数比八年2班多，所以把△ABC分给了八年1班，请你从数学的角度分析这种做法的合理性． 20．根据如表所示的素材，探索完成任务． 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（A、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 绳子的总长度为18dm，如图1，当物体C静止在轨道上，物体C和滑块B的水平距离为6dm，物体C到滑轮A的垂直距离为hdm． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务：（1）求在图1状态下，物体C到滑轮A的垂直距离； （2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离． 21．操作与探究 问题情境：数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”，通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 定理探究：（1）如图1，在网格中有一个直角三角形ABC，请你把它补成一个完整的“赵爽弦图”； （2）若直角三角形ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理． 实践应用：（3）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）． 22．我们定义一种三角形——k股三角形：如果一个三角形的三边分别为a，b，c，满足a2+b2＝kc2（k为正整数），那么称此三角形为k股三角形． 例如：△ABC三边分别为a，b，c，且a＝3，b＝4，，a2+b2＝5c2，所以△ABC为5股三角形． 【新知理解】（1）下列三角形中一定是k股三角形的是　 　 （填序号）； ①锐角三角形，②直角三角形，③钝角三角形； （2）若三角形的三边分别为2，4，，这个三角形是否为k股三角形；若是，求出k的值；若不是，请说明理由． 【知识探究】（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，，若此三角形为k股三角形，求k的所有可能值． 23．《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”．如表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，　 　 ，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 （1）请补全如表中的勾股数． （2）根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 2026~2027学年北师大版八年级上册数学第一章《勾股定理》单元测试 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：选项A：a＝5，b＝12，c＝13， 验证：52+122＝25+144＝169＝132，满足勾股定理逆定理， 若三角形三边满足a2+b2＝c2，则该三角形为直角三角形，且C为斜边．可以判定为直角三角形；选项B：a＝7，b＝8，c＝9， 验证：72+82＝49+64＝113，而92＝81，再验证其他组合：72+92＝49+81＝130，82+92＝64+81＝145，三边不满足勾股定理逆定理．不能判定为直角三角形； 选项C：∠A＝∠B＝∠C， 三角形内角和为180°，若三个角相等，则每个角为180°÷3＝60°， 三个角都是60°，说明是等边三角形，不是直角三角形．不能判定为直角三角形． 选项D：∠A：∠B：∠C＝3：4：5， 设三个角分别为3x，4x，5x，则3x+4x+5x＝12x＝180°→x＝15°，所以三个角为：45°，60°，75°，没有90°角，不是直角三角形．不能判定为直角三角形． 故选：A． 2．【解答】解：连接AC， 根据题意，可知：BC2＝12+22＝5，AC2＝12+22＝5，AB2＝12+32＝10． ∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°． 故选：B． 3．【解答】解：设长方形田的宽为x步， 根据题意得x2+302＝（50﹣x）2， 解得x＝16， ∴长方形田的宽为16步， ∴长方形田的面积为16×30÷240＝2亩， 故选：A． 4．【解答】解：∵本题未说明a，b，c哪条边是该直角三角形的斜边， ∴无法确定A、B、C中哪一个等式成立， 故选：D． 5．【解答】解：手机对角线长度为5.8×2.54＝14.732cm， A．口袋对角线长，小于14.732cm，不符合； B．口袋对角线长，小于14.732cm，不符合； C．口袋对角线长，小于14.732cm，不符合； D选项，口袋对角线长，大于14.732cm，符合． 故选：D． 6．【解答】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，摆绳OA与地面的垂足为F， 由题意可知，DF＝1.3m，BD＝1.6m，OA＝OB＝OC＝2m， ∴OD＝＝1.2（m）， ∴OF＝OD+DF＝1.2+1.5＝2.7m， ∵OB与OC成90°角， ∴∠BOD+∠COE＝90°， ∵∠BOD+∠OBD＝90°， ∴∠OBD＝∠COE， 在△BOD和△OCE中，， ∴△BOD≌△OCE（AAS）， ∴OE＝BD＝1.6m， ∴EF＝OF﹣OE＝1.1m， 即小丽在C处时距离地面的高度是1.1m， 故选：C． 7．【解答】解：A、∵a＝13，b＝12，c＝5，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2， ∴， 解得：，故选项A不符合题意； B、∵a＝15，b＝12，c＝9，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2， ∴， 解得：m2＝3或m2＝12， ∵m、n都是正整数， ∴m2＝3或m2＝12不符合勾股数的条件，故选项B符合题意； C、∵a＝17，b＝8，c＝15，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2， ∴， 解得：， 故选项C不符合题意； D、∵a＝25，b＝24，c＝7，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2， ∴， 解得：，故选项D不符合题意； 故选：B． 8．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， ∴AB2+BC2＝AC2， ∵分别以BC，AC，AB为直径向外构造半圆，三个半圆的面积S①，S②，S③， ∴， ∴S①+S③＝S②， 故选：B． 9．【解答】解：由勾股定理可得，AM＝，CM＝PQ＝DM＝，BM＝3， 由图可知，DM∥PQ， 过P作PH∥MC， 在△PHQ中，PH＝PQ＝CM＝，QH＝， ∴PH2+PQ2＝HQ2， ∴PH⊥PQ， ∴CM⊥PQ， 故选：C． 10．【解答】解：由图2可知，当x＝0时，y＝3，对应点M在O点，此时AM＝AO＝3． ∵菱形对角线互相平分， ∴AC＝2AO＝6． 点M运动总路程为9，即OC+CD＝9，而OC＝AO＝3， ∴CD＝6，即菱形边长为6． 在Rt△COD中，OC＝3，CD＝6， 由勾股定理：， 当AM⊥CD时，利用菱形面积公式：菱形面积＝×AC×BD＝CD×AM， ∵BD＝2OD＝6， ∴×6×6＝6AM， ∴AM＝3． 故选：D． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：∵在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴由勾股定理得， ∵∠D＝∠BAC， ∴， ， 分三种情况讨论： 当AB＝BD时，可得BD＝AB＝5，符合题意； 当AD＝BD时，过点A作AE⊥BD，交直线BD于点E，设BD＝AD＝x， 在Rt△ADE中，， ， 可得， 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2+BE2＝AB2， 即， 整理得， 解得（∵x＞0，∴负根舍去），符合题意． 当AB＝AD时，则AD＝AB＝5， 过点A作AE⊥BD，交直线BD于点E， 在Rt△ADE中，， ， Rt△ABE中，， ∵等腰三角形三线合一， ∴BD＝DE+BE＝4+4＝8，符合题意； 综上，BD的长为5或8或． 故答案为：5或8或． 12．【解答】解：∵16个棱长为1cm的小正方体所搭建的几何体， ∴这个几何体的长是4cm，宽是2cm，高是2cm． 电子蚂蚁爬行的路线有三种情况： ①经过前面和右面时，， ②经过前面和上面时，， ③经过左面和上面时，， ∵， ∴这只电子蚂蚁爬行的最短路程为． 13．【解答】解：如图所示，连接AD，AE，EF， 设小网格的边长为1， ∴AE2＝AB2＝5，EF2＝5，AF2＝10， ∴AE2+EF2＝AF2， ∴∠AEF＝90°，∠FAE＝45°， ∵AD⊥BE，AD＝AE， ∴∠BAD＝∠EAD， ∴∠ABC﹣∠ACB＝90°﹣∠BAD﹣（90°﹣∠CAD）＝∠CAD﹣∠BAD＝∠CAD﹣∠EAD＝∠CAE＝45°． 故答案为：45． 14．【解答】解：由题意可知：第1个图形中正方形有1＝（2﹣1）个， 第2个图形中正方形有3＝（22﹣1）个， 第3个图形中正方形有7＝（23﹣1）个， 第4个图形中正方形有15＝（24﹣1）个， …， 由此推出第n个图形中正方形有（2n﹣1）个， ∴第6个图形中正方形有（26﹣1）个， ∴第6个图形里的正方形比第4个图形多（26﹣1）﹣（24﹣1）＝48个， 故答案为：48． 15．【解答】解：根据题意分三类讨论如下： ①当m为大于1的奇数时，根据题意第一组勾股数中，最大的数为， ∴， 解得m＝7（负值舍去）， ∵m+1＝8＞4， ∴在第二组勾股数中，最大的数为； ②当m＝4时，第一组勾股数为4，3，5， 最大的数为5，与题干最大的数为25矛盾，故舍去； ③当m为大于4的偶数时，根据题意最大的数为， ∴， 解得，与题设矛盾，故舍去； 综上所述，第二组勾股数中最大的数为17． 故答案为：17． 三．解答题（共8小题） 16．【解答】解：△ABC是直角三角形，理由： ∵AD⊥BC于点D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AB＝20，AC＝15，CD＝9． ∴AD＝＝＝12， ∴BD＝＝＝16， ∴BC＝BD+CD＝16+9＝25， ∵202+152＝252， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形． 17．【解答】解：树枝落地时不会砸着小轿车，理由如下： 根据题意可知：BC＝5m，AC＝18﹣5＝13m，∠CBA＝90°， ∴， ∵12m＜14m， ∴树枝落地时不会砸着小轿车． 18．【解答】解：（1）如图所示即为拼接成的大正方形； （2）S大正方形＝4×ab+（b﹣a）2 ＝2ab+b2﹣2ab+a2 ＝a2+b2， 而S大正方形＝c2， ∴a2+b2＝c2． 19．【解答】解：（1）∵AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°， ∴， ∴两班的“边界线”AC的长为15m； （2）由（1）知AC＝15m， ∵AB＝17m，BC＝8m， ∴AB2＝172＝289， AC2+BC2＝152+82＝289， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∵，， ∴S△ADC＜S△ABC， ∴把△ABC分给了八年1班这种做法合理． 20．【解答】解：（1）∵绳子的总长度为18dm，物体C到滑轮A的垂直距离为hdm， ∴AB＝（18﹣h）dm， 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2， ∴h2+62＝（18﹣h）2， 36＝324﹣36h， 36h＝288， 解得h＝8， ∴物体C到滑轮A的垂直距离为8dm； （2）如图， 依题意得：AB＝18﹣8+7＝17（dm）， 在Rt△ABD中，， ∴BE＝BD﹣ED＝15﹣6＝9（dm）， 答：滑块B向左滑动的距离为9dm． 21．【解答】解：（1）根据“赵爽弦图”画出一个完整的“赵爽弦图”，如图1即为所求； （2）由图可知：中间小正方形的边长为（b﹣a）， ∴， ∵， ∴S大正方形＝S小正方形+4S△ABC ＝ ＝a2+b2， ∴a2+b2＝c2； （3）通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，如图2，即为所求． 22．【解答】解：（1）在直角三角形中，三边分别为a，b，c（斜边）， 根据勾股定理有：a2+b2＝c2＝1×c2，此时k值为1， 即直角三角形为1股三角形； 举反例即可判定锐角三角形、钝角三角形不一定为k股三角形， 故答案为：②； （2）该三角形是k股三角形，理由如下： ∵三角形的三边分别为2，4，， 即22+42＝20，， ∴，即k＝2， ∴该三角形是2股三角形； （3）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，，， ∴，， 即：， 当AC2+AB2＝4BC2时，即Rt△ABC是4股三角形，此时k＝4， 当BC2+AC2＝AB2＝1×AB2时，即Rt△ABC是1股三角形，此时k＝1， 当时，k值不为整数，故舍去， 即：k的值为1或4． 23．【解答】解：（1）由表中勾股数的规律可知，令a＝10，b，c＝26， 则由勾股数定义可知a2+b2＝c2，即102+b2＝262， ∴b2＝262﹣102＝（26+10）（26﹣10）＝36×16， 解得b＝24或b＝﹣24（舍去）； 故答案为：24； （2）由题意，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2（m＞n＞0，m，n互质且一奇一偶）； 非本原勾股数：a＝k（m2﹣n2），b＝k（2mn），c＝k（m2+n2）（k为正整数）， 证明：对于本原勾股数，计算a2+b2： （m2﹣n2）2+（2mn）2 ＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2 ＝m4+2m2n2+n4 ＝（m2+n2）2 ＝c2， 非本原勾股数为k倍的本原勾股数， 故a2+b2＝k2[（m2﹣n2）2+（2mn）2] ＝k2（m2+n2）2 ＝c2． 同理，a＝2kmn，b＝k（m2﹣n2），c＝k（m2+n2）成立； （3）根据题意，当最短边种21株花时，最短边的长为（21﹣1）1＝20（m）， 由表格知可能的一种三边长为20，21，29． 下面说明这是符合种最少要求的三角形三边长，设符合要求的三边长为20，p，q，则20≤p，且20≤q，当p或q＝20时，不符合勾股数的要求，：p，q至少是21，不妨设p＜q，则有q2＝p2+202，即q＝.由q的解析式可知p越大，q越大，反之则有p越小，q越小， 又∵当p＝21时，恰有q＝29， ∴20，21，29是符合种最少要求的三角形三边长，此时一个三角形边上种20+21+29＝70（株）， 故4个三角形最少需种4×70＝280（株）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $