第1章 勾股定理单元测试卷2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦勾股定理，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层次设计，融合《九章算术》文化与航行、梯子等生活情境，适配初中数学勾股定理单元复习，有效检测抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|直角三角形判定（第1题）、古代问题（第4题）|基础辨析与文化渗透| |填空题|8/24|勾股数规律（第1题）、方位距离（第3题）|规律探究与生活联系| |解答题|5/46|圆柱最短路径（第10题）、勾股数证明（第5题）|综合应用与创新思维|

第1章 勾股定理 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列各组数据中，能构成一个直角三角形三边的是（　　） A．2，4， B．2，3， C．5，7，9 D．，， 2．如图，正方形的面积是（　　） A．5 B．7 C．25 D．10 3．一个直角三角形的周长为48，一条直角边与斜边长度的比值是，则另一条直角边的长度为（　　） A．4 B．8 C．16 D．20 4．《九章算术》中：“今有竹高九尺，末折抵地，去木三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝9尺，BC＝3尺，求AC的长，则AC的长为（　　） A．5尺 B．4尺 C．3尺 D．3.6尺 5．已知a,b,c是三角形的三边长，且满足3（a-13）2+a|b-12|+c2-10c+25=0，则△ABC是（　　） A.以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形 C．以c为斜边的直角三角形 D．非直角三角形 6．下列三角形中，不一定是直角三角形的是（　　） A．三角形中有一边的中线等于这边的一半 B．三角形三内角度数之比是1：2：3 C．三角形有一内角是30°，且有一边是另一边的一半 D．三角形三边分别是m2﹣n2、2mn、m2+n2（m＞n＞0） 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝8cm，AC＝6cm，则BD的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 8．下列结论中，正确的有（　　） ①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5； ②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2＝AB2，则∠A＝90°； ③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 9．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（　　） A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2 10．如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为6cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，爬行的最短路程为（　　） A．2cm B．8cm C．7cm D．9cm 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．观察下列一类勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…请你根据规律写出第4组勾股数为　 　 ． 2．在△ABC中，a＝3，b＝7，c2＝58，则△ABC是　 　 ． 3．一艘轮船以20km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以30km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距　 　 km． 4．如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为　 　 ．（π不取近似值） 5．如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，AD＝12，AC＝13，BC＝14．则AB＝　 　 ． 6．在高5m，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要 　 　 m． 7．如图，在等腰直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，AB＝8，则AD2＝　 　 ． 8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 　 　 cm2． 三．解答题（共5小题，满分46分，第1题8分，第2题8分，第3题8分，第4题10分，第5题12分） 1．如图，一艘货轮在B处向正东方向航行，船速为25nmile/h，此时，一艘快艇在B的正南方向120nmile的A处，以65nmile/h的速度要将一批货物送到货轮上，问快艇最快需要多少时间？ 2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度为多少米？ 3．为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4米，AB＝13米，BC＝12米． （1）求出空地ABCD的面积． （2）若每种植1平方米草皮需要300元，问总共需投入多少元？ 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60，求BC的长． 5．据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”． （1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过， 当勾＝3时，股4（9﹣1），弦5（9+1）； 当勾＝5时，股12（25﹣1），弦13（25+1）； ﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 请你根据小明发现的规律用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾 　 　 、股 　 　 、弦 　 　 ，并猜想它们之间的相等关系（写二种）并对其中一种猜想加以证明； （2）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．请你直接用m（m为偶数且m≥4）的代数式来表示它们的股和弦． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．【解答】解：A、∵，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、∵，能构成直角三角形，故符合题意； C、∵52+72＝25+49＝74≠92，不能构成直角三角形，故不符合题意； D、∵，不能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：B． 2．【解答】解：由勾股定理可得：正方形的边长， 所以正方形的面积＝25， 故选：C． 3．【解答】解：设这个直角三角形两直角边与斜边长分别为a，b，c，依据题意可得：， 解得：， 故选：C． 4．【解答】解：设AC＝x尺，则AB＝（9﹣x）尺， 已知BC＝3尺，且∠ACB＝90°， 根据勾股定理：AC2+BC2＝AB2， x2+32＝（9﹣x）2， x2+9＝81﹣18x+x2， 18x＝81﹣9， 18x＝72， x＝4， ∴AC的长为4尺． 故选：B． 5．【解答】解：∵3（a-13）2+a|b-12|+c2-10c+25=0， ∴3（a-13）2+a|b-12|+（c-5）2=0， ∴a-13=0，a=0或b-12=0，c-5=0， 又∵a≠0， ∴a=13，b=12，c=5， ∴b2+c2=a2， 所以∠A=90°， 所以△ABC是a为斜边的直角三角形． 故选：A． 6．【解答】解：A、三角形中有一边的中线等于这边的一半，这个三角形是直角三角形． B、三角形三内角度数之比是1：2：3，这个三角形的三个内角分别为30°，60°，90°是直角三角形． C、三角形有一内角是30°，且有一边是另一边的一半，这个三角形不一定是直角三角形． D、三角形三边分别是m2﹣n2、2mn、m2+n2（m＞n＞0）， ∵（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：C． 7．【解答】解：过D作DE⊥AB于E， 在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm， ∴AB（cm）， ∵， ∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，∠ACB＝90°， ∴DE＝CD， ∴， ∴CD＝3（cm）， ∴BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝5（cm）， 故选：C． 8．【解答】解：①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三条边长为或， 故结论①错误，不符合题意； ②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2＝AB2，则∠C＝90°， 故结论②错误，不符合题意； ③△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，此时，则这个三角形是一个直角三角形， 故结论③正确，符合题意； 故选：C． 9．【解答】解：∵a+b＝14 ∴（a+b）2＝196 ∴2ab＝196﹣（a2+b2）＝96 ∴ab＝24． 故选：A． 10．【解答】解：底面周长为20cm，高AB为6cm， 画展开图形如下： 由题意得：AD＝10cm，CD＝6cm， 根据勾股定理得：AB2（cm）， 故选：A． 二．填空题 1．【解答】解：通过观察得： 第1组勾股数分别为：2×1+1，2×12+2×1，2×12+2×1+1； 第2组勾股数分别为：2×2+1，2×22+2×2，2×22+2×2+1； 第3组勾股数分别为：2×3+1，2×32+2×3，2×32+2×3+1； 所以第4组勾股数为：2×4＝1＝9，2×42+2×4＝40，2×42+2×4+1＝41． 故答案为：9，40，41． 2．【解答】解：∵32+72＝58， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 3．【解答】解：如图所示：因为东北和东南的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形． 在Rt△ABC中，AC＝20×0.5＝10（km）， BC＝30×0.5＝15（km）， 则AB5（km）． 故答案为：5． 4．【解答】解：如图所示： a24， 故阴影部分的面积π×122＝72π． 故答案为：72π． 5．【解答】解：∵AD⊥BC， 在Rt△ACD中，CD5， ∵BC＝14，∴BD＝BC﹣CD＝9， 在Rt△ABD中，AB15． 故答案为：15． 6．【解答】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形的长为 12（米）， ∴地毯的长度为12+5＝17（米）． 故答案为：17． 7．【解答】解：∵在等腰直角△ABC中，AD是斜边BC上的高， ∴AD为∠BAC的平分线， 又∠BAC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴△ABD为等腰直角三角形，即AD＝BD， 在Rt△ABD中，AB＝8， 根据勾股定理得：AD2+BD2＝AB2，即2AD2＝64， 解得：AD2＝32． 故答案为：32 8．【解答】解：如图所示， 根据勾股定理可知， S正方形2+S正方形3＝S正方形1， S正方形C+S正方形D＝S正方形3， S正方形A+S正方形B＝S正方形2， ∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝S正方形2+S正方形3＝S正方形1＝62＝36． 故答案为：36． 三．解答题 1．【解答】解：设快艇最快需要x小时，由题意得， （25x）2+1202＝（65x）2 解得：x＝2或x＝﹣2（舍去）． 答：快艇最快需要2小时． 2．【解答】解：在Rt△ACB中， ∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米， ∴AB2＝0.72+2.42＝6.25． 在Rt△A′BD中， ∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B′2， ∴BD2+22＝6.25， ∴BD2＝2.25． ∵BD＞0， ∴BD＝1.5米． ∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米）． 答：小巷的宽度CD为2.2米． 3．【解答】解：（1）连接AC， 在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝32+42＝52， 在△ABC中，AB2＝132，BC2＝122， 而52+122＝132， 即AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACDAC•BCAD•CD 5×124×3＝24（m2）． （2）需费用24×300＝7200（元）， 答：总共需投入7200元． 4．【解答】解：如图，∵在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60， ∴AB•ED＝60，即AB×12＝60， 解得AB＝10． 又∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8， ∴BC6． 答：线段BC的长度是6． 5．【解答】解：（1）∵（9﹣1）＝4，（9+1）＝5； （25﹣1）＝12，（25+1）＝13； ∴7，24，25的股的算式为 （49﹣1）（72﹣1） 弦的算式为 （49+1）（72+1）； 当n为奇数且n≥3，勾、股、弦的代数式分别为：n，（n2﹣1），（n2+1）． 例如关系式①：勾2＝股+弦；关系式②：勾2+股2＝弦2， 证明关系式①：弦+股（n2+1）（n2﹣1）＝n2， 或证明关系式②：勾2+股2＝n2+[（n2﹣1）]2n4n2（n2+1）2＝弦2， ∴猜想得证； （2）例如探索得，当m为偶数且m＞4时，股、弦的代数式分别为：，． 另加分问题， 例如：连接两组勾股数中，上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股． 即上一组为：n，（n2﹣1），（n2+1）（n为奇数且n≥3）， 分别记为：A1、B1、C1， 下一组为：n+2，[（n+2）2﹣1]，[（n+2）2+1]（n为奇数且n≥3）， 分别记为：A2、B2、C2， 则：A1+B1+A2＝n（n2﹣1）+（n+2）（n2+4n+3）[（n+2）2﹣1]＝B2． 或B1+C2＝B2+C1（证略）等等 学科网（北京）股份有限公司 $