27.2反比例函数的图象和性质（第2课时 反比例函数的图和性质综合应用）（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数图象和性质的综合应用，涵盖对称性、函数值比较、k的几何意义及交点对称等核心知识点。课堂导入通过跨象限函数值比较、双曲线上点与坐标轴围成图形面积规律等问题，衔接已学的反比例函数基本性质，搭建新旧知识的学习支架。 其亮点在于采用探究式学习，通过“议一议”“分析问题”引导学生观察图象对称性、推导k的几何意义，结合几何直观和推理意识培养数学思维。设置分层练习，从基础巩固到真题感知，辅以易错点提醒和思想方法总结，帮助学生提升数形结合能力和综合解题能力，也为教师提供系统的教学资源和可操作的教学方法。

27.2反比例函数的图象和性质 第2课时 反比例函数的图象和性质的综合应用 第二十七章 反比例函数 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 掌握反比例函数图像的两种对称性；熟练掌握跨象限、同象限函数值大小比较方法；理解并掌握k的几何意义，能利用|k|求图形面积、由面积求k值；掌握正反比例函数交点关于原点对称的性质，能解决基础综合题型. 通过图像观察、推理推导、例题探究，经历性质综合应用的过程，提升数形结合能力、几何推理能力和综合解题能力. 体会反比例函数图像的对称美、数形结合的逻辑性，培养严谨、全面的数学思维，增强综合解题的信心. y x O k<0 反比例函数的图象和性质 1、反比例函数（k为常数，k≠0)的图象是双曲线 2、当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限， 在每个象限内y值随x值的增大而减小。 3、当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限， 在每个象限内y值随x值的增大而增大。 知识回顾 y x O k >0 函数的图象在第________象限, 在每一象限内，y 随x 的增大而_________. 函数的图象在第________象限, 在每一象限内，y 随x 的增大而_________. 若关于x，y的函数 图象位于第一、三象限， 则k的取值范围是_______________ 一、三 二、四 减小 增大 知识回顾 填一填 导入新课 本节课综合运用反比例函数图像性质，探究对称性、函数值比较、k几何意义综合应用. ① 若两个点不在同一个象限，还能用增减性比大小吗？ 例如：已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1＜0＜x2都在反比例函数反比例函数（k为常数，k＞0) 的图象上,则y1与y2的大小关系(从大到小)为 . ② 双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，围成的图形面积有什么规律？ 例如：如图，若D、E、F是此反比例函数在第三象限图像上的三个点，过D、E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N、K，连接OD、OE、OF，设△ ODM、△OEN、 △OFK 的面积分别为S1、S2、S3，你能比较S1、S2、S3的大小吗？ y x o D E F M N K A（2，4） 新知探究 探究点1 反比例函数图象性质应用 议一议 观察反比例函数图象，双曲线具有对称性吗？ 双曲线绕原点旋转180°与自身重合 y x O k >0 双曲线的双支关于原点中心对称； k<0 y x O 图象关于原点对称，即 若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; 反比例函数图象双支重合，双曲线关于直线y=x、y=-x成轴对称 议一议 观察反比例函数图象，双曲线具有对称性吗？ 新知探究 探究点1 反比例函数图象性质应用 y x O k >0 y x O k<0 有两条对称轴 沿直线y=x、y=-x折叠， y=x y=-x y=x y=-x 反比例函数图象是轴对称图形 y x O k >0 y x O k<0 议一议 观察反比例函数图象，双曲线具有对称性吗？ 新知探究 探究点1 反比例函数图象性质应用 y=kx A(xA,yA) B(xB,yB) y=kx A(xA,yA) B(xB,yB) ► 正比例函数与反比例函数若有两个交点，则两个交点关于原点对称. 新知探究 探究点1 反比例函数图象性质应用 议一议 已知反比例函数的图象经过点 A（–2，4）. （1）这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ （2）点 B（1，–8），C（，），D（2，4）是否在这个函数的图象上？ 1.已知反比例函数图象上的点，怎样求函数解析式？ 令函数解析式为y=，用待定系数法求出k. 2.反比例函数图象的位置由什么确定的，如何确定的？ 反比例函数y=图象的位置是由k确定了， 当k>0时，图象在一三象限， 当k<0时，图象在二四象限. 3.如何判断一点是否在反比例函数图象上？ 将点的坐标代入函数解析式，左右两边相等，点在函数的图象上. 分析问题 新知探究 探究点1 反比例函数图象性质应用 议一议 已知反比例函数的图象经过点 A（–2，4）. （1）这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ （2）点 B（1，–8），C（，），D（2，4）是否在这个函数的图象上？ 解：（1）反比例函数图象的位置只有两种可能： 双曲线两支分别位于第一、第三象限， 或 双曲线两支分别位于第二、第四象限. 因为点 A（–2，4）在第二象限 ， 所以这个函数的图象位于第二、第四象限. 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大. 新知探究 探究点1 反比例函数图象性质应用 议一议 已知反比例函数的图象经过点 A（–2，4）. （1）这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ （2）点 B（1，–8），C（，），D（2，4）是否在这个函数的图象上？ （2）设这个反比例函数的解析式为 . 因为点 A(– 2，4)在其图象上， 所以点 A 的坐标满足，即 解得 k = –8. 函数的解析式为 若点（a，b）在的图象上，则ab =. ∵1×（-8）=-8=k，∴点 B（1，–8）在这个函数图像上 ∵ ×（）=-8=k，∴ C（，）在这个函数图像上 ∵ ×4=8≠k，∴ D（2，4）不在这个函数图像上 新知探究 探究点2 函数值大小比较综合方法 议一议 （1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）. 如果x1＞x2，那么y1 和 y2 有怎样的大小关系？ 如图中的曲线是反比例函数y=的图象的一支，根据图象，回答下列问题： 分析问题 1.已知反比例函数图象的位置，怎样判断函数解析式中k的符号？ 反比例函数y = 图象在第一、三象限时，k>0； 反比例函数y = 图象在第二、四象限时，k<0. 2.反比例函数图象的增减性？ 当k>0时，在第一、三象限内，y随x的增大而增大； 当k<0时，在第二、四象限内，y随x的增大而减小. 新知探究 探究点2 函数值大小比较综合方法 议一议 （1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）. 如果x1＞x2，那么y1 和 y2 有怎样的大小关系？ 如图中的曲线是反比例函数y=的图象的一支，根据图象，回答下列问题： 解： （1）∵这个函数的图象的一支位于第一象限， ∴另一支必位于第三象限. ∵这个函数的图象位于第一、第三象限， ∴k=m – 5 ＞0 解得 m＞5. （2）∵ m – 5 ＞ 0，即k＞0， ∴在这个函数图象的任意一支上， y 都随 x 的增大而减小. ∴当 x1 ＞ x2 时，y1 ＜ y2. 新知探究 探究点3 比例系数k的几何意义 议一议 ∴围成直角三角形面积：S=|k|； ∴核心结论：无论点在双曲线上哪个位置，面积恒为定值. y x O P(x，y) 设点P(x，y)是双曲线y=(k≠0)上任意一点： A ∟ B ∟ 过P作PA⊥x轴于A、过P作PB⊥x轴于B ∴围成矩形面积：S= PA •PB =|k|； ∴PA= PB= ∵点P(x，y)是双曲线y=(k≠0)上任意一点 ∴ xy=k 新知探究 探究点3 比例系数k的几何意义 练一练 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到点B，点B恰好落在反比例函数的图象上． (1)求点B的坐标．(2)连接BO并延长，交反比例函数的图象于点C，求的面积． 解:（1）∵点A的坐标为（1，6）， ∵点B是由点A向右平移2个单位长度， 向下平移a个单位长度得到， ∴点B的横坐标为3， 将代入中，得， ∴点B的坐标为（3，2）； 新知探究 探究点3 比例系数k的几何意义 议一议 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到点B，点B恰好落在反比例函数的图象上． (1)求点B的坐标．(2)连接BO并延长，交反比例函数的图象于点C，求的面积． （2）过点B作轴交AC于点D，如图所示， 由题意，可知点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为（－3，－2）， 设直线AC解析式为y=kx+b， 将A、C代入得，， 解得， ∴直线AC的解析式为， D 由题意，易得点D的纵坐标为2， 将代入中，得， ∴点D的坐标为（－1，2）， ∴ ． 典例分析 例1.在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小． （1）函数经过哪些象限？ （2）求的取值范围． 解：（1）∵反比例函数的每一条曲线上，y随x的增大而减小 ∴函数经过第一、三象限， （ 2）∵函数经过第一、三象限， ∴5-﹥0，即﹤5 的正负 反比例函数的增减 函数图象经过的象限 典例分析 例2.双曲线过矩形ABCD的A、C两个顶点，轴，已知B点的坐标为，求点D的坐标． 解：∵双曲线过矩形ABCD的A、C两个顶点，轴，∴ A= B=2 把解析式得，， ∴A（2，6）． ∵轴，∴ C= B=1.5 把解析式得， ，∴， ∴C（8，1.5）． ∴点D的坐标为（8，6）． 新知巩固 1.已知一个反比例函数的图象经过点 A（2， 6）. （1）这个函数的图象位于哪些象限？在每一个象限内，y 随 x 的增大如何变化？ 解（1）设这个反比例函数的解析式为y=. 把A(2,6)代入，得 6=，解得 :k=12. ∴这个反比例函数的解析式为y=. ∴这个函数的图象位于第一、第三象限. 在每一个象限内，y随x的增大而减小. （2）点 B(3，4)，C(，)，D(2， 6)是否在这个函数的图象上？为什么？ （2）当x =3时，y = =4； 当x= 时，y= = ； 当 x=2时，y = = 6 ≠ -6. 所以点B（3，4），C（， ）在这个函数的图象上， 点D（2，-6）不在这个函数的图象上. 教材第71页 新知巩固 2. 反比例函数的图象的一支位于第二象限.图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ 解：图象的另一支位于第四象限， 则m+2<0，解得 m<-2. 教材第71页 新知巩固 3.已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上.如果 x1＜x2，且 x1，x2 同号，那么 y1，y2 有怎样的大小关系？为什么？ 解：y1＞y2. 因为k=1>0，在函数的图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小， ∴当x1＜x2且x1，x2同号时， y1＞y2. 教材第71页 拓展提升 1.综合运用 如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象． (1)求a的值及反比例函数的表达式； (2)点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标． (3)在x轴是否存在点Q，使得，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由． （1）解： 把代入得， ，， 把代入，得， 反比例函数的函数表达式为； （2）解：当时，， ，， ， ， 又 ， 解得：， ， 点P坐标为； 拓展提升 1.综合运用 如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象． (1)求a的值及反比例函数的表达式； (2)点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标． (3)在x轴是否存在点Q，使得，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由． （3）解：存在；理由如下： ①当点Q在x轴正半轴上时， 如图，过点A作轴交x轴于， 则，点； ②当点Q在x轴负半轴上时， 如上图，设与y轴交于点， ∵， ∴， 则， 解得：，∴， 设直线表达式为，则有，解得， 直线的表达式为， 当时，， 即点的坐标为， 综上所述，点Q的坐标为或 真题感知 1.（2025•扬州）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（﹣1，6），B（m，﹣2）． （1）求反比例函数、一次函数的表达式； （2）求△OAB的面积． 解：（1）由题意得：将点A（﹣1，6）代入， 得：k＝﹣1×6＝﹣6， 所以反比例函数的表达式为， 将点B（m，﹣2）代入 可得：， ∴B（3，﹣2）， 将点A（﹣1，6），B（3，﹣2）代入y＝ax+b 得： ，解得， 所以一次函数的表达式为y＝﹣2x+4； 真题感知 1.（2025•扬州）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（﹣1，6），B（m，﹣2）． （1）求反比例函数、一次函数的表达式； （2）求△OAB的面积． （2）如图，设一次函数的图象与x轴的交点为点C， 将y＝0代入一次函数y＝﹣2x+4得： ﹣2x+4＝0，解得：x＝2， ∴C（2，0），∴OC＝2， 由（1）已得：A（﹣1，6），B（3，﹣2）， ∴△AOC的OC边上的高为|6|＝6， △BOC的OC边上的高为|﹣2|＝2， ∴△OAB 的面积为：S△OAB ． C 真题感知 2．（2025•山西）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C．已知点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积． 解：（1）∵点C的坐标为（1，6）， 且在反比例函数的图象上， ∴，即k＝6， ∴反比例函数的解析式为； 设直线AC的解析式为y＝ax+b（a≠0）， 把A、C两点坐标分别代入得： ， 解得：， 即直线AC的解析式为y＝2x+4； 上式中，令x＝0，y＝4， ∴点B的坐标为（0，4）； 真题感知 2．（2025•山西）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C．已知点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积． （2）∵点D在反比例函数的图象上，纵坐标为2， ∴， 解得：x＝3； 由题意知，OA＝2，OB＝4， ∴S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD ＝10． 真题感知 3．(2026年甘肃省武威市)如图，一次函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点，与轴交于点 ．在反比例函数图象上有一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ． (1)求一次函数 与反比例函数（ ）的表达式； (2)求四边形 的面积． （1）解：∵点在一次函数 的图象上， ∴ ， ∴ ， ∴一次函数的表达式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴反比例函数的表达式为； 真题感知 3．(2026年甘肃省武威市)如图，一次函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点，与轴交于点 ．在反比例函数图象上有一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ． (1)求一次函数 与反比例函数（ ）的表达式； (2)求四边形 的面积． （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ，∴点， ∵ 轴于点 ，∴ ， ． ∵一次函数与轴交于点 ， 令，解得， ∴点，∴ ， ∴ ， ∴ ． 过点 作 轴于点 则 ， E ∟ ∴ ， ∴ ． 课堂小结 本节课掌握了反比例函数图像的中心对称、轴对称性质； 掌握正反比例函数交点关于原点对称的结论； 熟练掌握同象限看增减、跨象限看正负的函数值比较方法； 理解并熟记k的几何意义，能快速求解双曲线对应矩形、三角形面积，能解决参数、面积、函数值综合基础题型. 知识与技能 课堂小结 （1）数形结合思想： 依托图像判断象限、正负、面积，以形助数； （2）分类讨论思想： 对比大小时分同象限、跨象限分类讨论； （3）模型思想： 建立k与面积的固定模型，实现快速解题； （4）对称转化思想： 利用函数对称性简化交点问题计算. 思想与方法 课堂小结 （1）跨象限两点乱用增减性比较大小，必须先看正负； （2）求面积忘记加绝对值，出现负数面积；已知面积求k忘记分类正负； （3）忽略“任意一点面积恒为|k|”，误以为只有特殊点成立； （4）多个点比大小不分类，思维不全面导致结果错误. 易错点提醒 课后练习 5.正比例函数y=x的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2. (1)当x=3时，求反比例函数的值； (2)当 3 <x <1时，求反比例函数的取值范围. 习题 27.2 课本p73页 解:根据题意，设正比例函数y=x的图象与反比例函数的图象的交点为A(m，2). 则解得 所以反比例函数的解析式为. 把x=3代入 ，. ∴当x=3时，反比例函数值为. 课后练习 5.正比例函数y=x的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2. (1)当x=3时，求反比例函数的值； (2)当 3 <x <1时，求反比例函数的取值范围. 解：由(1)知，当x=3时，y= =. 当x=1时， y= =. ∵k=4<0， ∴在函数y=的图象的每一支上，y随x的增大而减小． ∴当3<x<1时，反比例函数y=的取值范围是<y<4. 习题 27.2 课本p73页 课后练习 6.在同一平面直角坐标系中，函数y=kx与y=(k≠0)的图象大致是( ). (A)(1)(2) (B)(1)(3) (C)(2)(4) (D)(3)(4) C 习题 27.2 课本p73页 课后练习 7. 已知反比例函数y=的图象的一支位于第一象限. (1)图象的另一支位于哪个象限?常数a的取值范围是什么? (2)在该函数图象上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2)．如果y1>y2，那么x1与x2有怎样的大小关系? 解:(1)∵函数y=的图象的一支位于第一象限， ∴图象的另一支位于第三象限， ∴>0，所以a>. 习题 27.2 课本p73页 (2)∵>0 ， ∴在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小. ①当点A与点B在同一分支上时，如果y1>y2，那么x1<x2； ②当点A与点B在不同分支上时，如果y1>y2，那么y1>0>y2，则x1>x2. 谢谢聆听 $