专题18 分式方程及其应用（重难点讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦分式方程及其应用核心知识点，系统梳理从定义（区分分式与整式方程）、解法步骤（去分母、解整式方程、检验增根）到增根/无解的参数问题，再到五大应用模型（工程、行程、利润等）及综合题型的递进学习支架。 资料以题型分类（判断、解法、参数、应用）为主线，典例与变式结合，强化训练含中考模拟题。通过实际应用题培养模型意识，参数问题训练推理能力，定义辨析提升抽象能力，课中辅助分层教学，课后助力巩固基础、突破难点。

专题 18 分式方程及其应用 1.掌握分式方程定义，能区分分式方程与整式方程； 2.熟练掌握分式方程的解法，会检验增根，理解增根产生原因； 3.已知分式方程有增根 / 无解，求参数的值； 4.掌握分式方程实际应用题（行程、工程、利润、浓度、数字问题）解题步骤； 5.结合不等式、整数解综合题型求解参数范围。 一、分式方程基础概念 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 要点：整式方程分母不含未知数；分式方程分母含未知数。 增根：（1）原因：去分母时方程两边同乘最简公分母，若最简公分母为 0，会产生使原分式分母为 0 的根，即增根； （2）性质：增根是去分母后整式方程的解，但不是原分式方程的解； （3）解方程必须检验根，检验方法：将解代入最简公分母，公分母≠0 则是原方程解，公分母 = 0 则为增根，原方程无解。 分式方程无解两种情况：① 整式方程有解，但解是增根；② 去分母得到的整式方程本身无解。 二、分式方程标准解法步骤 去分母：方程两边同乘所有分母的最简公分母，化为整式方程； 解整式方程：去括号、移项、合并同类项、系数化为 1； 检验（必写步骤） 方法 1：代入最简公分母，判断是否为 0； 方法 2：代入原分式方程左右两边验证相等； 写结论：有符合条件的根则写出解；出现增根则原方程无解。 三、分式方程的应用 分式方程实际应用（五大常考模型） 1.通用解题步骤： 审题，设未知数； 找等量关系，列分式方程； 解分式方程； 双重检验：①检验是否增根；②检验是否符合实际意义（长度、人数、速度为正数）； 作答。 2.模型 总结 1 工程问题 核心等量：工作效率 × 工作时间 = 工作总量，常设总量为 1 模型 2 行程问题 核心等量：路程 = 速度 × 时间，分顺水逆水、走路骑车、两车行驶 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度；逆水速度 = 静水速度 - 水流速度 模型 3 销售利润问题 单价、数量、总价关系：总价 ÷ 单价 = 数量；利润 = 售价 - 进价 模型 4 浓度问题 浓度 = 溶质 ÷ 溶液，稀释 / 加浓前后溶质不变 模型 5 数字问题 设未知数表示两位数、三位数，根据数位关系列方程 题型 01 判断分式方程 【典例1】下列各式中，是分式方程的是（　　） A． B． C． D． D【解析】A．该方程是一元一次方程，不符合题意； B．是代数式，不符合题意； C．该方程是一元一次方程，不符合题意； D．该方程是分式方程，符合题意． 故选：D． 【变式】在方程5＝0，6，3＝0，1，2中，分式方程的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 B【解析】方程6，3＝0，1的分母中含有分式，是分式方程． 故选：B． 题型 02解分式方程 【典例2】将关于x的方程去分母后可得（　　） A．x+1＝2﹣1 B．x+1＝2﹣x﹣3 C．x+1＝﹣2﹣1 D．x+1＝﹣2﹣x+3 D【解析】原方程两边同乘（x﹣3），去分母得：x+1＝﹣2﹣（x﹣3）， 即x+1＝﹣2﹣x+3， 故选：D． 【变式】若代数式和的值相等，则x的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 A【解析】若代数式和的值相等， 则， 去分母得：2x﹣2＝3x， 解得：x＝﹣2， 经检验，x＝﹣2是分式方程的解， 故选：A． 题型 03 分式方程的增根(无解)求参数问题 【典例3】已知关于x的分式方程有增根，则m＝　　 ． ﹣5【解析】， 去分母得3x﹣2﹣2（x+1）＝m， 去括号得3x﹣2﹣2x﹣2＝m， 解得x＝m+4， ∵原方程有增根， ∴x+1＝0， ∴m+4+1＝0， ∴m＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【变式】若关于x的分式方程无解，那么实数m的值是　　 ． ﹣1【解析】将分式方程变形为：， 方程两边同时乘（x﹣4），得3﹣（x+m）＝x﹣4， 去括号，得3﹣x﹣m＝x﹣4， 移项、合并同类项，得﹣2x＝﹣7+m， 解得：． ∵分式方程无解，∴x﹣4＝0， ∴x＝4， ∴， ∴7﹣m＝8， 解得：m＝﹣1．故答案为：﹣1． 题型 04 分式方程的应用 【典例4】某同学计划在母亲生日当天购买一束鲜花送给她，花店推出A，B两种生日系列花束．已知A种花束每束的价格比B种花束每束的价格少8元，用480元购买A种花束的数量与用560元购买B种花束的数量相同．求每束A种花束的价格． 解：设每束A种花束的价格是x元，则每束B种花束的价格是（x+8）元， 根据题意得：， 解得：x＝48， 经检验，x＝48是所列方程的解，且符合题意． 答：每束A种花束的价格是48元． 【变式】我国自主研发的HGCZ﹣2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里， 根据题意得：， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意， 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里． 【巩固训练】 1. 在下列方程中，分式方程是（　　） A． B． C． D． C【解析】A、是整式方程，故此选项不符合题意； B、是整式方程，故此选项不符合题意； C、是分式方程，故此选项符合题意； D、不是分式方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 已知关于x的分式方程的解是x＝1，则常数a的值是（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣7 D．﹣3 A【解析】根据题意可知，将x＝1代入原方程，得， 移项得， 两边同乘2（a﹣1）（a≠1）， 得6＝﹣（a﹣1）， 整理得a＝1﹣6， ∴a＝﹣5． 故选：A． 3. 若关于x的分式方程无解，则实数a的值为（　　） A．7 B．3 C．3或7 D．±7 C【解析】去分母得：7﹣ax＝﹣3（x﹣1）， 整理为：（a﹣3）x＝4， 当a﹣3＝0，即a＝3时，此方程无解，原分式方程也无解， 当a﹣3≠0时， 由x﹣1＝0得x＝1，代入（a﹣3）x＝4得： （a﹣3）×1＝4， 解得：a＝7， ∴a＝3或7， 故选：C． 4. 已知关于x的分式方程的增根是﹣3，则m的值为（　　） A．﹣5 B．﹣2 C．16 D．18 D【解析】原方程去分母得：x2﹣3x﹣2x2+18＝m， 整理得：﹣x2﹣3x+18＝m， ∵该方程的增根是﹣3， ∴﹣9+9+18＝m， 解得：m＝18， 故选：D． 5. 小明去距离家12km的图书馆看书，他从家骑自行车先出发，过了20min后，妈妈从家乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车速度的2倍，则汽车的速度是（　　） A．18km/h B．24km/h C．36km/h D．72km/h C【解析】设汽车的速度是xkm/h，则自行车的速度是xkm/h， 根据题意得：， 解得：x＝36， 经检验，x＝36是所列方程的解，且符合题意， ∴汽车的速度是36km/h． 故选：C． 6. 若分式与的值互为相反数，则x的值为　　 ． 0【解析】根据题意可知，， 方程两边同乘（x﹣1）（x+1），得5（x+1）+5（x﹣1）＝0， 解得：x＝0， 检验：当x＝0时，（x﹣1）（x+1）≠0， ∴分式方程的解为x＝0， 即当x的值为0时，分式与的值互为相反数． 故答案为：0． 7. 若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是　 ． m≤6且m≠2【解析】，解得：x＝6﹣m， ∵x﹣4≠0， ∴6﹣m≠4，即m≠2， ∵关于x的分式方程的解为非负数，即x≥0， ∴6﹣m≥0， 解得：m≤6， ∴m的取值范围是m≤6且m≠2．故答案为：m≤6且m≠2． 8. 在今年的全国两会上，国家卫生健康委表示将持续推进“体重管理年”行动，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式．为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考查，有A、B两种型号的健身器材可供选择．已知每套B型健身器材的价格比每套A型健身器材的价格多0.6万元，用7万元购买A型健身器材的数量与用10万元购买B型健身器材的数量相等，求每套B型健身器材的价格． 解:设每套A型健身器材的价格为x万元，则每套B型健身器材的价格为（x+0.6）万元． 依题意得：． 解得x＝1.4． 经检验，x＝1.4是原分式方程的解，且符合题意． ∴每套B型健身器材的价格为1.4+0.6＝2（万元）． 答：每套B型健身器材的价格是2万元． 9. 已知关于x的分式方程． （1）若方程的增根为x＝3，求a的值； （2）若方程的解为非负数，求a的取值范围． 解（1）去分母得：4x﹣3（x﹣3）＝a， 4x﹣3x+9＝a， x＝a﹣9， ∵x＝3是原方程的增根，∴3＝a﹣9，解得a＝12． （2）去分母并整理得x＝a﹣9， ∵方程的解为非负数， ∴x≥0，即a﹣9≥0， ∴a≥9， 又∵x＝3或x＝0时，该分式方程无解， ∴a﹣9≠3且a﹣9≠0， ∴a≠12且a≠9，综上所述，a的取值范围为a＞9且a≠12． 【强化训练】 1. （2026•东西湖区模拟）关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（　　） A．a＞﹣4 B．a＞﹣4且a≠3 C．a＜8 D．a＜8且a≠2 D【解析】方程两边同乘x﹣3（x≠3）去分母得，1+3（x﹣3）＝x﹣a， 展开整理得，2x＝8﹣a， 解得， ∵方程的解为正数，且分式分母不为0，∴， 解第一个不等式得 8﹣a＞0，即a＜8， 解第二个不等式得 8﹣a≠6，即a≠2，∴a的取值范围是a＜8且a≠2．故选：D． 2. （2026•齐齐哈尔三模）若关于x的方程1无解，则m的值为（　　） A． B．或 C． D．或 D【解析】去分母得：x（2m+x）﹣x（x﹣3）＝2（x﹣3）， 整理得：2mx+x2﹣x2+3x＝2x﹣6，即（2m+1）x＝﹣6， 当2m+1＝0，即m时，整式方程无解，满足题意； 当2m+1≠0，即m时，x， 此时分式方程的增根为x＝0或x＝3， 代入得：0或3， 解得：m， 综上所述，m的值为或． 故选：D． 3. （2026•东昌府区一模）DeepSeek掀起了“人工智能+”的热测，某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据，已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．若R2单独处理需要（　　）小时完成． A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 A【解析】设R2单独处理需要x小时， ∴R1单独处理需要（x+2）小时， 将总工作量看作1，则R2的工作效率为，R1的工作效率为， ∵两模型合作处理需要小时完成， ∴根据题意列分式方程得，，解得x＝2或， ∵时间为正数，舍去负根，得x＝2， 经检验：当x＝2时，x（x+2）≠0， ∴x＝2是原分式方程的解， 因此R2单独处理需要2小时完成， 故选：A． 4. （2026春•东明县期末）现定义一种新的运算：a※b，例如：3※4，若关于x的方程m※x＝﹣2的解为非负数，则m的取值范围为　 ． m≤2且m≠0【解析】根据已知得，2， 解得x， ∵关于x的方程m※x＝﹣2的解为非负数， ∴0且， 解得m≤2且m≠0， ∴m的取值范围为m≤2且m≠0．故答案为：m≤2且m≠0． 5. （2025秋•南部县期末）春运期间，两列火车匀速行驶．一列200m长的客运火车完全通过一条长3800m的山体隧道和一列250m长的货运火车完全通过一座长1750m的跨河大桥所用时间恰好相等．当这列货运火车完全通过该山体隧道时，同一时间内客运火车行驶的路程为　 ． 8100m．【解析】设客运火车速度为v1 m/s，货运火车速度为 v2 m/s， ∴3800+200＝4000（m），时间， 1750+250＝2000（m），时间， ∵时间相等，即t1＝t2， ∴根据题意列分式方程得，，∴v1＝2v2， ∵v1≠0，v2≠0， ∴原方程有意义， 当货运火车完全通过山体隧道的路程为3800+250＝4050（m），时间为， ∴同一时间内，客运火车行驶的路程 ，故答案为：8100m． 6. （2026春•郸城县期中）已知关于x的分式方程． （1）若该分式方程的解是x＝1，求b的值； （2）若该分式方程的解是非负数，求b的取值范围． 解:（1）将x＝1代入方程得， 解得：b＝﹣2． （2）原方程去分母可得3x+b＝2﹣x， 3x+x＝2﹣b， 4x＝2﹣b， ． ∵分式方程的解是非负数，∴，且，解得b≤2且b≠﹣6． 7. （2026春•兰州期末）已知关于x的分式方程． （1）若方程有增根，求m的值； （2）若方程无解，求m的值． 解:（1）． 方程两边同时乘以（x﹣1）（x+2），得 2（x+2）+mx＝x﹣1， 整理得（m+1）x＝﹣5， ∵原分式方程有增根， ∴（x﹣1）（x+2）＝0，解得：x＝1或x＝﹣2， 当x＝1时，m＝﹣6； 当x＝﹣2时，m＝1.5； 综上，m的值为﹣6或1.5． （2）当m+1＝0时，该整式方程无解，则原分式方程也无解，此时m＝﹣1； 当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m＝1.5， 综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5． 8. （2026•竞秀区模拟）如图，老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分： （1）求被污染的部分； （2）若被污染的部分是常数1，求x的值． 解:（1）由题意可知，， ∴被污染部分为； （2）∵被污染的部分是常数1， ∴， 解得x＝7.5， 经检验，x＝7.5是原分式方程的根，∴x的值为7.5． 9. （2026春•大东区期末）社区开展便民“图书驿站”建设活动，原计划投资8000元建设若干便民“图书驿站”，为提升配套设施，实际每间便民“图书驿站”建设费用增加了20%，实际总投资为11520元，并且实际建设间数比原计划多2间便民“图书驿站”，求原计划每间便民“图书驿站”的建设费用是多少元？ 解:设原计划每间便民“图书驿站”的建设费用为x元．根据题意可得： ， 整理得， x＝800； 检验：当x＝800时，（1+20%）x≠0， 故x＝800是原方程的解，且符合实际意义． 答：原计划每间便民“图书驿站”的建设费用是800元． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 18 分式方程及其应用 1.掌握分式方程定义，能区分分式方程与整式方程； 2.熟练掌握分式方程的解法，会检验增根，理解增根产生原因； 3.已知分式方程有增根 / 无解，求参数的值； 4.掌握分式方程实际应用题（行程、工程、利润、浓度、数字问题）解题步骤； 5.结合不等式、整数解综合题型求解参数范围。 一、分式方程基础概念 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 要点：整式方程分母不含未知数；分式方程分母含未知数。 增根：（1）原因：去分母时方程两边同乘最简公分母，若最简公分母为 0，会产生使原分式分母为 0 的根，即增根； （2）性质：增根是去分母后整式方程的解，但不是原分式方程的解； （3）解方程必须检验根，检验方法：将解代入最简公分母，公分母≠0 则是原方程解，公分母 = 0 则为增根，原方程无解。 分式方程无解两种情况：① 整式方程有解，但解是增根；② 去分母得到的整式方程本身无解。 二、分式方程标准解法步骤 去分母：方程两边同乘所有分母的最简公分母，化为整式方程； 解整式方程：去括号、移项、合并同类项、系数化为 1； 检验（必写步骤） 方法 1：代入最简公分母，判断是否为 0； 方法 2：代入原分式方程左右两边验证相等； 写结论：有符合条件的根则写出解；出现增根则原方程无解。 三、分式方程的应用 分式方程实际应用（五大常考模型） 1.通用解题步骤： 审题，设未知数； 找等量关系，列分式方程； 解分式方程； 双重检验：①检验是否增根；②检验是否符合实际意义（长度、人数、速度为正数）； 作答。 2.模型 总结 1 工程问题 核心等量：工作效率 × 工作时间 = 工作总量，常设总量为 1 模型 2 行程问题 核心等量：路程 = 速度 × 时间，分顺水逆水、走路骑车、两车行驶 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度；逆水速度 = 静水速度 - 水流速度 模型 3 销售利润问题 单价、数量、总价关系：总价 ÷ 单价 = 数量；利润 = 售价 - 进价 模型 4 浓度问题 浓度 = 溶质 ÷ 溶液，稀释 / 加浓前后溶质不变 模型 5 数字问题 设未知数表示两位数、三位数，根据数位关系列方程 题型 01 判断分式方程 【典例1】下列各式中，是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式】在方程5＝0，6，3＝0，1，2中，分式方程的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型 02解分式方程 【典例2】将关于x的方程去分母后可得（　　） A．x+1＝2﹣1 B．x+1＝2﹣x﹣3 C．x+1＝﹣2﹣1 D．x+1＝﹣2﹣x+3 【变式】若代数式和的值相等，则x的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 题型 03 分式方程的增根(无解)求参数问题 【典例3】已知关于x的分式方程有增根，则m＝　　 ． 【变式】若关于x的分式方程无解，那么实数m的值是　　 ． 题型 04 分式方程的应用 【典例4】某同学计划在母亲生日当天购买一束鲜花送给她，花店推出A，B两种生日系列花束．已知A种花束每束的价格比B种花束每束的价格少8元，用480元购买A种花束的数量与用560元购买B种花束的数量相同．求每束A种花束的价格． 【变式】我国自主研发的HGCZ﹣2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 【巩固训练】 1. 在下列方程中，分式方程是（　　） A． B． C． D． 2. 已知关于x的分式方程的解是x＝1，则常数a的值是（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣7 D．﹣3 3. 若关于x的分式方程无解，则实数a的值为（　　） A．7 B．3 C．3或7 D．±7 4. 已知关于x的分式方程的增根是﹣3，则m的值为（　　） A．﹣5 B．﹣2 C．16 D．18 5. 小明去距离家12km的图书馆看书，他从家骑自行车先出发，过了20min后，妈妈从家乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车速度的2倍，则汽车的速度是（　　） A．18km/h B．24km/h C．36km/h D．72km/h 6. 若分式与的值互为相反数，则x的值为　　 ． 7. 若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是　 ． 8. 在今年的全国两会上，国家卫生健康委表示将持续推进“体重管理年”行动，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式．为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考查，有A、B两种型号的健身器材可供选择．已知每套B型健身器材的价格比每套A型健身器材的价格多0.6万元，用7万元购买A型健身器材的数量与用10万元购买B型健身器材的数量相等，求每套B型健身器材的价格． 9. 已知关于x的分式方程． （1）若方程的增根为x＝3，求a的值； （2）若方程的解为非负数，求a的取值范围． 【强化训练】 1. （2026•东西湖区模拟）关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（　　） A．a＞﹣4 B．a＞﹣4且a≠3 C．a＜8 D．a＜8且a≠2 2. （2026•齐齐哈尔三模）若关于x的方程1无解，则m的值为（　　） A． B．或 C． D．或 3. （2026•东昌府区一模）DeepSeek掀起了“人工智能+”的热测，某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据，已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．若R2单独处理需要（　　）小时完成． A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 4. （2026春•东明县期末）现定义一种新的运算：a※b，例如：3※4，若关于x的方程m※x＝﹣2的解为非负数，则m的取值范围为　 ． 5. （2025秋•南部县期末）春运期间，两列火车匀速行驶．一列200m长的客运火车完全通过一条长3800m的山体隧道和一列250m长的货运火车完全通过一座长1750m的跨河大桥所用时间恰好相等．当这列货运火车完全通过该山体隧道时，同一时间内客运火车行驶的路程为　 ． 6. （2026春•郸城县期中）已知关于x的分式方程． （1）若该分式方程的解是x＝1，求b的值； （2）若该分式方程的解是非负数，求b的取值范围． 7. （2026春•兰州期末）已知关于x的分式方程． （1）若方程有增根，求m的值； （2）若方程无解，求m的值． 8. （2026•竞秀区模拟）如图，老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分： （1）求被污染的部分； （2）若被污染的部分是常数1，求x的值． 9. （2026春•大东区期末）社区开展便民“图书驿站”建设活动，原计划投资8000元建设若干便民“图书驿站”，为提升配套设施，实际每间便民“图书驿站”建设费用增加了20%，实际总投资为11520元，并且实际建设间数比原计划多2间便民“图书驿站”，求原计划每间便民“图书驿站”的建设费用是多少元？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $