专题03 三角形角度计算中的数学思想（重难点讲义）数学人教版八年级上册

本讲义聚焦初中数学三角形角度计算核心知识点，以三角形内角和定理、外角性质为基础，结合角平分线、高线、折叠、平行线等特殊线段角度规律，构建分类讨论、转化、方程等六大数学思想的学习支架，助力学生从基础定理到综合题型的逻辑递进。 该资料特色在于将数学思想与题型深度融合，通过典例（如含高与角平分线的分类讨论题）和变式训练，培养学生几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）与模型意识（数学语言）。课中辅助教师系统教学，课后学生可通过巩固训练查漏补缺，提升复杂角度计算问题的解决能力。

专题 03 三角形角度计算中的数学思想 1. 熟练掌握三角形角度计算六大核心数学思想：分类讨论思想、转化思想、方程思想等，明确各类思想的适用场景与解题逻辑； 2. 能结合题型特征精准匹配对应数学思想，解决内角、外角、折叠、平行线、几何模型等综合角度计算问题； 3．依托转化、模型、整体思想，简化复杂图形角度推导，突破不规则图形、多角嵌套等难点题型； 4. 融合多种数学思想，综合解决飞镖、八字、角平分线、三角板拼接等复合型角度压轴题型。 （一）基础定理 三角形内角和定理 在中：。 三角形外角性质 ① 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； ② 三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。 （二）特殊线段角度规律 角平分线产生等角、高线产生直角互余、折叠前后对应角相等、平行线带来同位角 / 内错角相等。 （三）三角形角度计算中常见核心数学思想 1. 分类讨论思想 核心内涵：当图形位置、角的身份没有唯一确定时，不能直接计算，需要分多种符合题意的情况分别求解，防止漏解。 2. 转化思想 核心内涵：将不规则图形、分散的角、折叠隐藏角、四边形角度，通过外角代换、等角平移、图形分割，全部转化为基础三角形内角、互余角、平角来计算，化繁为简。 3. 方程思想 核心内涵：遇到角度比值、多个未知角时，设最小角度为未知数，根据三角形内角和、平行线、直角、外角定理建立一元一次方程或二元一次方程组，用代数方法求解几何角度。 4. 模型思想 核心内涵：将重复出现的固定几何图形提炼成标准模型，熟记模型固定角度结论，做题时直接识别模型套用结论，省去重复推导步骤。 5. 数形结合思想 核心内涵：“形” 提供几何位置信息（直角、平行、外角、角平分线、折叠重合），“数” 提供定理数量关系（内角和、互余、外角等式），图形观察与代数计算互相配合完成解题。 6. 整体思想 核心内涵：题目不需要单独求出单个小角度，可将两个或多个角看成一个整体，结合平角、四边形内角和直接列式，简化计算步骤。 题型 01 分类讨论思想 【典例1】在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠DAE＝10°，∠ABC＝50°，则∠ACB的度数为　　 ． 30°或70°【解析】∵在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∴AD⊥BC于点D，∠BAE＝∠CAE， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵∠DAE＝10°，∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝90°﹣10°＝80°， ∵∠ABC＝50°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°， 如图1，点E在线段CD上，则∠BAE＝∠CAE＝∠BAD+∠DAE＝40°+10°＝50°， ∴∠ACB＝∠AED﹣∠CAE＝80°﹣50°＝30°； 如图2，点E在线段BD上，则∠BAE＝∠CAE＝∠BAD﹣∠DAE＝40°﹣10°＝30°， ∴∠ACB＝180°﹣∠AED﹣∠CAE＝180°﹣80°﹣30°＝70°， 综上所述，∠ACB的度数为30°或70°，故答案为：30°或70°． 【变式】当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”．如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最大外角度数为　　 °． 162或144【解析】108°÷3＝36°， ∴当108° 的角是另一个内角的3倍时，最小角为180°﹣108°﹣36°＝36°， ∵180°﹣108°＝72°， ∴72°÷（1+3）＝18°， ∴这个“梦想三角形”的最小内角的度数为36° 或18°． ∴这个“梦想三角形”的最大外角度数为162°或144°故答案为：162或144． 题型 02 转化思想 【典例2】含30°角的三角板与直尺如图所示叠放在一起，直尺的一边所在直线l1与三角尺的一直角边所在直线l2相交，且∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A．100° B．80° C．60° D．50° A【解析】如图，∵∠BAC+∠3+∠2＝180°，∠BAC＝30°，∠3＝∠1＝50°， ∴∠2＝100°，故选：A． 【变式】如图，木工常用的直角曲尺的直角顶点A和其中一端点B分别在两条平行直线a和b上，若∠1＝127°，则∠2的度数是（　　） A．53° B．47° C．37° D．27° C【解析】如图所示， ∵a∥b，∴∠1+∠3＝180°．∵∠1＝127°， ∴∠3＝180°﹣127°＝53°，∴∠2＝180°﹣90°﹣53°＝37°．故选：C． 题型 03 方程思想 【典例3】如图，已知∠B＝45°，∠A：∠C＝3：4，∠DFE＝115°，则∠A= ． 30°【解析】∵∠B＝45°，∠DFE＝115°，∴∠BEF＝∠DFE﹣∠B＝70°，∴∠A+∠C＝∠BEF＝70°， 设∠A＝3x，∠C＝4x，∴∠A+∠C＝7x＝70°，得x＝10°， ∴∠A＝3x30°．故答案为：30°． 【变式】如图，△ABC中∠A＝30°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，C点恰好落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形的∠B为（　　） A．78° B．77° C．76° D．75° A【解析】设∠B＝x，∠C＝y，∵∠A＝30°，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴x+y＝150°①，根据折叠的性质知：∠B＝3∠CBD，∠BCD＝∠C， ∵∠CBD+∠BCD+∠CDB＝180°， ∴∠CBD+∠BCD＝180°﹣82°＝98°，即：②，①﹣②，得：， 解得x＝78°．故选：A． 题型 04 模型思想 【典例4】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2025BC和∠A2025CD的平分线交于点A2026，若∠A＝α，则∠A2026＝　　 ． α【解析】∵在△ABC中，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1CD∠ACD，∠A1BC∠ABC， ∵∠A＝α，∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC（∠ACD﹣∠ABC）∠Aα； 同理∠A2∠A1∠Aα；∠A3∠A2∠Aα； ……；∠Anα（n为正整数）∴∠A2026α，故答案为：α． 【变式】如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在射线BC上，∠ABC和∠ACD的角平分线相交于点E，若∠ECD＝3∠E，则∠A的度数为　　 ． 36°【解析】∵CE 平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠ECD，∵∠ECD＝3∠E，∴∠ACD＝6∠E， ∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC． ∵∠ACD是△ABC的外角，∠ECD是△BCE的外角， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∠ECD＝∠E+∠EBC， ∴， ∴∠A＝2∠E，∵∠ACD＝6∠E，∴∠ACD＝3∠A， 又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴3∠A＝∠A+∠ABC，即∠ABC＝2∠A， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴∠ACB＝2∠A，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠A+2∠A+2∠A＝180°，∴∠A＝36°．故答案为：36°． 题型 05 数形结合思想 【典例5】如图，把一副三角板拼在一起，延长ED交AC于F，那么图中∠AFE的度数是（　　） A．60° B．90° C．100° D．105° D【解析】∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC+∠DBE＝180°， ∴E、B、C三点在同一条直线上， ∵BD＝BE，∴∠E＝∠BDE＝45°， ∵∠A＝30°，∴∠C＝90°﹣∠A＝60°，∴∠AFE＝∠E+∠C＝45°+60°＝105°，故选：D． 【变式】将一副三角板按如图所示方式摆放，使点A、F分别在DF、BC上，DE∥AB，其中∠D＝30°，∠B＝45°，则∠AFC的度数是 　　 ． 75°【解析】设EF交AB于点H，∵DE∥AB，∴∠FAH＝∠D＝30°， ∵∠AFC＝∠B+∠FAH，∠B＝45°，∴∠AFC＝45°+30°＝75°，故答案为：75°． 题型 06 整体思想 【典例6】如图，∠ACD为△ABC的一个外角，点E，F分别在边AC，BC上，若∠1+∠2＝220°，则∠ACD等于　　 °． 140【解析】∵在△ABC中，点E，F分别在边AC，BC上，∴∠A+∠1+∠2+∠B＝360°，∵∠1+∠2＝220°， ∴∠A+∠B＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣220°＝140°， ∵∠ACD为△ABC的一个外角， ∴∠ACD＝∠A+∠B＝140°，故答案为：140． 【变式】如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于　　 ． 50°【解析】如图，连接BC．设DC与BE交于点F， ∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°﹣30°＝50°， ∵∠D+∠E+∠DFE＝180°，∠1+∠2+∠BFC＝180°，∠BFC＝∠DFE， ∴180°﹣∠DFE＝180°﹣∠BFC，∴∠D+∠E＝∠1+∠2＝50°，即∠D+∠E等于50°，故答案为：50°． 【巩固训练】 1. 如图，将△ABC延AB方向平移，得到△BDE．点A，B，C的对应点分别为点B，D，E．若∠1＝65°，∠2＝30°，则∠ADE的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° D【解析】由平移的性质可得△ABC≌△BDE，BC∥DE， ∴∠1＝∠DBE＝65°，∠2＝∠E＝30°， ∴∠ADE＝180°﹣∠DBE﹣∠E＝85°．故选：D． 2. 如图，E，F是△ABC的边AB，AC上的点，D是点A上方的一点，若∠B+∠C＝60°，∠D＝70°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° A【解析】如图，连接EF， ∵∠B+∠C＝60°，∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝120°， ∴∠AEF+∠AFE＝180°﹣∠A＝60°． ∵∠D＝70°， ∴∠DEF+∠DFE＝180°﹣∠D＝110°， ∵∠1+∠AEF＝∠DEF，∠2+∠AFE＝∠DFE， ∴∠1+∠2＝∠DEF+∠DFE﹣（∠AEF+∠AFE）＝110°﹣60°＝50°．故选：A． 3. 如图，一个盛有水的水槽放置在斜坡ABC上，水槽外侧装有液体水平仪．已知水平仪中液面与水平面的夹角为26°，且OG∥AB，OE∥BC，∠EOG＝26°，则∠ABC的度数为（　　） A．13° B．20° C．26° D．64° C【解析】如图，延长EO交BA的延长线于点F， ∵OG∥AB，∴∠EOG＝∠F＝26°，由平行线性质可知∠F＝∠ABC＝26°．故选：C． 4. 两根木条A，B按如图所示的方式放在地面上，若∠1＝45°，∠2＝125°，则∠3＝（　　） A．120° B．110° C．100° D．90° C【解析】如图，∵∠2和∠3都是△PQR的外角，∠2＝125°， ∴∠PRQ＝180°﹣∠2＝55°，∠3＝∠PRQ+∠1， ∵∠1＝45°，∴∠3＝55°+45°＝100°，故选：C． 5. 如图，连接AC，AD，BD，BE，CE，若∠B+∠C+∠D+∠E＝2∠A+60°，则∠A的度数为（　　） A．30° B．36° C．40° D．45° C【解析】由三角形的外角性质得到：∠AFG＝∠C+∠E，∠AGF＝∠B+∠D， ∵∠A+∠AFG+∠AGF＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°， ∵∠B+∠C+∠D+∠E＝2∠A+60°，∴∠A+2∠A+60°＝180°，∴∠A＝40°．故选：C． 6. 如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是 　　 ． 40°【解析】如图所示， ∵∠α＝70°， ∴∠2+∠3＝180°﹣∠α＝180°﹣70°＝110°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠5＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣2∠3， ∴∠5+∠6＝360°﹣2（∠2+∠3）＝360°﹣2×110°＝360°﹣220°＝140°， ∴∠β＝180°﹣（∠5+∠6）＝180°﹣140°＝40°．故答案为：40°． 7. 如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠ACE＝20°，∠B＝50°，∠ADC＝　　 ． 85°【解析】∵CE是△ABC的高，∴CE⊥AB于点E，∴∠AEC＝90°， ∵∠ACE＝20°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ACE＝90°﹣20°＝70°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC70°＝35°， ∵∠B＝50°，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝35°+50°＝85°，故答案为：85°． 8. 如图，D是△ABC的边BC上一点，连接AD，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°． （1）求∠BAD的大小； （2）若∠CAD：∠C＝2：3，试说明：AD平分∠BAC． （1）∵D是△ABC的边BC上一点，∠B＝∠BAD，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠BAD， ∵∠ADC＝80°， ∴2∠BAD＝80°， ∴∠BAD＝40°，∴∠BAD的度数是40°． （2）∵∠CAD+∠C+∠ADC＝180°，且∠ADC＝80°， ∴∠CAD+∠C＝180°﹣∠ADC＝180°﹣80°＝100°， ∵∠CAD：∠C＝2：3，∴∠C∠CAD，∴∠CAD∠CAD＝100°， ∴∠CAD＝40°， 由（1）得∠BAD＝40°，∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC． 【强化训练】 1. （2026春•沙坪坝区校级同步）如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝63°，∠B＝77°，将纸片的一角沿DE折叠，使点C落在△ABC内，记为点C'，若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° C【解析】连接CC′，∵∠A＝63°，∠B＝77°，∴∠ACB＝180°﹣63°﹣77°＝40°， 由折叠的性质得到∠DC′E＝∠ACB＝40°， ∵∠1＝∠ECC′+∠EC′C，∠2＝∠DCC′+∠DC′C， ∴∠1+∠2＝∠ECC′+∠EC′C+∠DCC′+∠DC′C＝∠ACB+∠DC′E＝80°， ∵∠1＝25°，∴∠2＝55°．故选：C． 2. （2026春•隆昌市校级期末）如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，BE、CF分别为边AC，AB边上的高，相交于点P，且∠BPC＝110°，则∠BOC的度数为（　　） A．115° B．120° C．125° D．130° C【解析】∵∠BPC＝110°，CF⊥AB于点F，∴∠BFP＝90°， ∴∠PBF＝∠BPC﹣∠BFP＝110°﹣90°＝20°，即∠ABE＝20°， 又∵BE⊥AC于点E，∴∠AEB＝90°， ∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝180°﹣20°﹣90°＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°， ∵∠B，∠C的平分线相交于点O，∴，， ∴ ＝55°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°，故选：C． 3. （2026春•伊川县期末）如图，两平面镜OM，ON的夹角∠MON＝45°，光线AE射在镜面OM上，反射光线EF经镜面ON反射后得到光线FB，此时∠MEA＝∠OEF，∠OFE＝∠NFB，则光线FB与AE的夹角∠ECF的度数为（　　） A．45° B．60° C．80° D．90° D【解析】∵两平面镜OM，ON的夹角∠MON＝45°， ∴∠OEF+∠OFE＝180°﹣∠MON＝135°， ∵∠MEA+∠OEF+∠CEF＝180°，∠MEA＝∠OEF， ∴∠OEF+∠OEF+∠CEF＝180°，即2∠OEF+∠CEF＝180°， ∵∠NFB+∠OFE+∠EFC＝180°，∠OFE＝∠NFB， ∴∠OFE+∠OFE+∠EFC＝180°，即2∠OFE+∠EFC＝180°， ∴2∠OEF+∠CEF+2∠OFE+∠EFC＝180°+180°，即2（∠OEF+∠OFE）+∠CEF+∠EFC＝360°，∴∠CEF+∠EFC＝360°﹣2×135°＝360°﹣270°＝90°， ∴∠ECF＝180°﹣（∠CEF+∠EFC）＝180°﹣90°＝90°．故选：D． 4. （2026春•丹阳市期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，点F、G是边BC上的两点，分别以线段AF、AG为折痕进行折叠，点B、点C的对应点分别为点B'、点C'，若线段AB'、AC'在同一条直线上，则∠FAG的度数为（　　） A．54° B．59° C．64° D．69° A【解析】∵分别以线段AF、AG为折痕进行折叠，点B、点C的对应点分别为点B'、点C'， ∴∠B′AF＝∠BAF∠BAB′，∠C′AG＝∠CAG∠CAC′， ∵线段AB'、AC'在同一条直线上，∴∠BAB′+∠CAC′＝∠BAC＝108°， ∴∠FAG＝∠B′AF+∠C′AG（∠BAB′+∠CAC′）＝54°，故选：A． 5. （2026春•和平区校级期中）△ABC外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，请你求出∠CAP＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° B【解析】∵△ABC外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P， ∴∠PCD∠ACD，∠PBC∠ABC， ∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC（∠ACD﹣∠ABC）∠BAC， ∵∠BPC＝40°，∴∠BAC＝2∠BPC＝80°， 作PH⊥BC交BC的延长线于点H，PE⊥AC于点E，PF⊥BA交BA的延长线于点F， ∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC， ∴PE＝PH，PF＝PH，∴PE＝PF，∴点P在∠CAF的平分线上， ∴AP平分∠CAF，∴∠CAF＝180°﹣∠BAC＝100°，∴∠CAP∠CAF＝50°，故选：B． 6. （2026春•和平区校级月考）如图，一张直角三角形纸片，∠A＝90°，∠B＝30°，点D在边AB上，点E为边BC上一动点，将纸片沿DE折叠，点B落在点F处，过点E作EG平分∠CEF交直线AC于点G，当EF与AC平行时，则∠CGE的度数为　　 ． 60°【解析】如图，设EF交AB于点H，∵∠A＝90°， ∴当EF与AC平行时，∠BHE＝∠A＝90°，∠CGE＝∠GEF，∵∠B＝30°， ∴∠BEF＝90°﹣30°＝60°， ∴∠CEF＝180°﹣∠BEF＝180°﹣60°＝120°， ∵EG平分∠CEF， ∴∠GEF∠CEF120°＝60°，∴∠CGE＝60°，故答案为：60°． 7. （2026春•南丰县校级期中）如图，在三角形ABC中，∠BAC＝36°，∠ACB是锐角，将三角形ABC沿着射线BC方向平移得到三角形DEF（平移后点A，B，C的对应点分别是D，E，F），连接CD，若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE的度数之间存在2倍关系，则∠CDE＝　　 ． 12°或24°或36°【解析】依题得：AB∥DE，分两种情况考虑：点E在△ABC外时，过点C作CG∥AB，如下图： ①∠ACD＝2∠CDE，∵CG∥DE∥AB，∴∠ACG＝∠BAC＝36°，∠GCD＝∠CDE， ∵∠ACD＝2∠CDE，又∠ACD＝∠ACG+∠GCD， ∴2∠CDE＝∠ACG+∠CDE，即∠CDE＝∠ACG＝36°； ②2∠ACD＝∠CDE，由图可知，∠CDE＜∠ACD，此情况不成立； 点E在线段BC上，过点C作CG∥AB，如下图： ∴CG∥DE∥AB，①∠ACD＝2∠CDE， ∵CG∥DE∥AB，∴∠ACG＝∠BAC＝36°，∠CDE＝∠DCG， ∵∠ACD＝2∠CDE，又∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝3∠CDE， ∴∠CDE＝12°； ②2∠ACD＝∠CDE，∵2∠ACD＝∠CDE， 又∵，∴∠CDE＝24°； 综上，∠CDE＝12°或24°或36°．故答案为：12°或24°或36°． 8. （2026春•虹口区校级月考）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝　　 °． 180【解析】设BF、CG的交点为M，BF、CH的交点为N，BF、DH的交点为P，DH、AF的交点为Q，AE、DH的交点为R，AE、DI的交点为S， 如图：∠BMG＝∠C+∠CNF，∠CNF＝∠BPH+∠H， ∠BPH＝∠F+∠DQF，∠DQF＝∠A+∠ARH， ∠ARH＝∠D+∠DSE，∠DSE＝∠I+∠E， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I ＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G+∠H+∠DSE ＝∠A+∠B+∠C+∠F+∠G+∠H+∠ARH ＝∠B+∠C+∠F+∠G+∠H+∠DQF ＝∠B+∠C+∠G+∠H+∠BPH ＝∠B+∠C+∠G+∠CNF ＝∠B+∠G+∠BMG＝180°． 故答案为：180． 9. （2026春•东河区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，DE⊥BC于点D，交AC于点E． （1）若∠AED＝155°，求∠A的度数； （2）若E是AC的中点，求证：∠CED∠B． （1）解：∵∠AED＝155°，∴∠DEC＝180°﹣155°＝25°．∵DE⊥BC， ∴∠EDC＝90°， ∴∠C＝90°﹣25°＝65°． ∵AB＝BC，∴∠A＝∠C＝65°； （2）证明：如图，连接BE． ∵AB＝BC，且E是AC的中点，∴BE⊥AC，， ∴∠BEC＝90°，∴∠C+∠CBE＝90°， ∵ED⊥BC，∴∠C+∠CED＝90°，∴∠CED＝∠CBE，∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 03 三角形角度计算中的数学思想 1. 熟练掌握三角形角度计算六大核心数学思想：分类讨论思想、转化思想、方程思想等，明确各类思想的适用场景与解题逻辑； 2. 能结合题型特征精准匹配对应数学思想，解决内角、外角、折叠、平行线、几何模型等综合角度计算问题； 3．依托转化、模型、整体思想，简化复杂图形角度推导，突破不规则图形、多角嵌套等难点题型； 4. 融合多种数学思想，综合解决飞镖、八字、角平分线、三角板拼接等复合型角度压轴题型。 （一）基础定理 三角形内角和定理 在中：。 三角形外角性质 ① 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； ② 三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。 （二）特殊线段角度规律 角平分线产生等角、高线产生直角互余、折叠前后对应角相等、平行线带来同位角 / 内错角相等。 （三）三角形角度计算中常见核心数学思想 1. 分类讨论思想 核心内涵：当图形位置、角的身份没有唯一确定时，不能直接计算，需要分多种符合题意的情况分别求解，防止漏解。 2. 转化思想 核心内涵：将不规则图形、分散的角、折叠隐藏角、四边形角度，通过外角代换、等角平移、图形分割，全部转化为基础三角形内角、互余角、平角来计算，化繁为简。 3. 方程思想 核心内涵：遇到角度比值、多个未知角时，设最小角度为未知数，根据三角形内角和、平行线、直角、外角定理建立一元一次方程或二元一次方程组，用代数方法求解几何角度。 4. 模型思想 核心内涵：将重复出现的固定几何图形提炼成标准模型，熟记模型固定角度结论，做题时直接识别模型套用结论，省去重复推导步骤。 5. 数形结合思想 核心内涵：“形” 提供几何位置信息（直角、平行、外角、角平分线、折叠重合），“数” 提供定理数量关系（内角和、互余、外角等式），图形观察与代数计算互相配合完成解题。 6. 整体思想 核心内涵：题目不需要单独求出单个小角度，可将两个或多个角看成一个整体，结合平角、四边形内角和直接列式，简化计算步骤。 题型 01 分类讨论思想 【典例1】在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠DAE＝10°，∠ABC＝50°，则∠ACB的度数为　　 ． 【变式】当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”．如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最大外角度数为　　 °． 题型 02 转化思想 【典例2】含30°角的三角板与直尺如图所示叠放在一起，直尺的一边所在直线l1与三角尺的一直角边所在直线l2相交，且∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A．100° B．80° C．60° D．50° 【变式】如图，木工常用的直角曲尺的直角顶点A和其中一端点B分别在两条平行直线a和b上，若∠1＝127°，则∠2的度数是（　　） A．53° B．47° C．37° D．27° 题型 03 方程思想 【典例3】如图，已知∠B＝45°，∠A：∠C＝3：4，∠DFE＝115°，则∠A= ． 【变式】如图，△ABC中∠A＝30°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，C点恰好落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形的∠B为（　　） A．78° B．77° C．76° D．75° 题型 04 模型思想 【典例4】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2025BC和∠A2025CD的平分线交于点A2026，若∠A＝α，则∠A2026＝　　 ． 【变式】如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在射线BC上，∠ABC和∠ACD的角平分线相交于点E，若∠ECD＝3∠E，则∠A的度数为　　 ． 题型 05 数形结合思想 【典例5】如图，把一副三角板拼在一起，延长ED交AC于F，那么图中∠AFE的度数是（　　） A．60° B．90° C．100° D．105° 【变式】将一副三角板按如图所示方式摆放，使点A、F分别在DF、BC上，DE∥AB，其中∠D＝30°，∠B＝45°，则∠AFC的度数是 　　 ． 题型 06 整体思想 【典例6】如图，∠ACD为△ABC的一个外角，点E，F分别在边AC，BC上，若∠1+∠2＝220°，则∠ACD等于　　 °． 【变式】如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于　　 ． 【巩固训练】 1. 如图，将△ABC延AB方向平移，得到△BDE．点A，B，C的对应点分别为点B，D，E．若∠1＝65°，∠2＝30°，则∠ADE的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 2. 如图，E，F是△ABC的边AB，AC上的点，D是点A上方的一点，若∠B+∠C＝60°，∠D＝70°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 3. 如图，一个盛有水的水槽放置在斜坡ABC上，水槽外侧装有液体水平仪．已知水平仪中液面与水平面的夹角为26°，且OG∥AB，OE∥BC，∠EOG＝26°，则∠ABC的度数为（　　） A．13° B．20° C．26° D．64° 4. 两根木条A，B按如图所示的方式放在地面上，若∠1＝45°，∠2＝125°，则∠3＝（　　） A．120° B．110° C．100° D．90° 5. 如图，连接AC，AD，BD，BE，CE，若∠B+∠C+∠D+∠E＝2∠A+60°，则∠A的度数为（　　） A．30° B．36° C．40° D．45° 6. 如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是 　　 ． 7. 如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠ACE＝20°，∠B＝50°，∠ADC＝　　 ． 8. 如图，D是△ABC的边BC上一点，连接AD，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°． （1）求∠BAD的大小； （2）若∠CAD：∠C＝2：3，试说明：AD平分∠BAC． 【强化训练】 1. （2026春•沙坪坝区校级同步）如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝63°，∠B＝77°，将纸片的一角沿DE折叠，使点C落在△ABC内，记为点C'，若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 2. （2026春•隆昌市校级期末）如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，BE、CF分别为边AC，AB边上的高，相交于点P，且∠BPC＝110°，则∠BOC的度数为（　　） A．115° B．120° C．125° D．130° 3. （2026春•伊川县期末）如图，两平面镜OM，ON的夹角∠MON＝45°，光线AE射在镜面OM上，反射光线EF经镜面ON反射后得到光线FB，此时∠MEA＝∠OEF，∠OFE＝∠NFB，则光线FB与AE的夹角∠ECF的度数为（　　） A．45° B．60° C．80° D．90° 4. （2026春•丹阳市期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，点F、G是边BC上的两点，分别以线段AF、AG为折痕进行折叠，点B、点C的对应点分别为点B'、点C'，若线段AB'、AC'在同一条直线上，则∠FAG的度数为（　　） A．54° B．59° C．64° D．69° 5. （2026春•和平区校级期中）△ABC外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，请你求出∠CAP＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 6. （2026春•和平区校级月考）如图，一张直角三角形纸片，∠A＝90°，∠B＝30°，点D在边AB上，点E为边BC上一动点，将纸片沿DE折叠，点B落在点F处，过点E作EG平分∠CEF交直线AC于点G，当EF与AC平行时，则∠CGE的度数为　60°　 ． 7. （2026春•南丰县校级期中）如图，在三角形ABC中，∠BAC＝36°，∠ACB是锐角，将三角形ABC沿着射线BC方向平移得到三角形DEF（平移后点A，B，C的对应点分别是D，E，F），连接CD，若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE的度数之间存在2倍关系，则∠CDE＝　　 ． 8. （2026春•虹口区校级月考）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝　　 °． 9. （2026春•东河区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，DE⊥BC于点D，交AC于点E． （1）若∠AED＝155°，求∠A的度数； （2）若E是AC的中点，求证：∠CED∠B． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $