第13讲分式的运算和化简求值培优讲义 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第13讲分式的运算和化简求值培优 目录 课时1分式的概念和基本性质…2 课时1练习题6 课时2分式的约分与通分… …8 课时2练习题…。 11 课时3分式的混合运算…14 课时3练习题 15 课时4分式的化简求值之直接代入…17 课时4练习题18 课时5分式的化简求值之选择代入… 20 课时5练习题21 1 课时1分式的概念和基本性质 日知识讲解 分式的概念： 一般地，用A,B表示两个整式，A÷B可以表示成分的形式，如果 B肿含有字母，那么称号为分式一其中A称为分式的分子，B称为分式的 分母 对于任意一个分式，分母都不能为零 例：日a0 3x X+10 x+1 2 2-y 2-y≠0 Q例题1 1下列式子：子。西 2+y。4-2,2-”,其中分式有(）· a-36’3 T) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 日知识讲解 (1)分式的分母中必须含有字母，这也是整式和分式的区别，而分子中可以含 有字母，也可以不含字母，如品，都是分式 (2)判断式子是否是分式是从形式上看，而不是从化简结果看，如之是分式， 而不是整式： (3)数学符号是常数，不是字母，虽然二具有分式形式，但它是整式 日知识讲解 分式有意义的条件：当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之外，分式都有 2 意义 例：要使分式z二1有意义，则的范围是2≠1 拓展提升： 下列各式中，对任意都有意义的是()· A.42 B. 2+4 2 x2-1 e+2驴D.22+2 C. 分式的值： 分式会的值为零的条件：(1)分子A为零：(2)分母B不为零、即会=0片A =0且B≠0：两个条件缺一不可. 例：若分式24的值为0， 则x的值为(). 2+2 A.±2 B.-2 C.2 D.0 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式， 分式的值不变， 这一性质可以用式子表示为： 名-mm+0,吕-8m0 a b.m 分式基本性质的应用： (1)不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数.如 0.2x 2z 0.52-0.1y=5x-y 例： 、2- 分式三1豆的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为〔一 花-2y15x-15y。15x-30y 花-2y A.3x+6 B.3z+5y C.6+10gD.6x+3W 日知识讲解 (2)分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变 如：-==-=a≠0，-。=-==a≠0) a -a -a a -0 -a 例：请判断等式是否成立：8。=。≠0（) a A.成立B.不成立 日例题2 2如分式 一的值为0，则的值为 【答案】-2 9例题3 3若代数式写有意义，则必须满足的条件是() E-2 A.x>1且m≠2 B.x>1 C.x≠2 D.x≥1且x≠2 【答案】D 日例题4 4.下列各选项中，从左到右的变形正确的是(). B.-a-6 =-1 ·a+b 0.5a+b5a+b C-0.2a-0.3b=2a-30 m m D.-m-n m-n 【答案】B Q例题5 5.下列各式中与分式。6的值相等的是（)。 a A.a-b a B.a+6 a C.b-a D.-b-a 【答案】C Q例题6 6.若x,的值分别扩大到原来的3倍，分式的值如何变化？请填写正确的序号. E十y 龙十 E一 x2-2 ①不变；②扩大到原来的3倍；③缩小到原来的；④扩大到原来的9倍。 【答案】①：③ 5 课时1练习题 1代数式品后。5，器+中，层于分式的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解折】品，+日类分式，京，。，是整式 ∴属于分式的有2个. 故选B. 1 0.4a- 2.不改变分式的值，把分式的分子和分母的各项系数都化成整数： 1 5a+0.36 4a-5b 【答案】20+3% 1 0.4a- ×10 4a-5b 【解析】解：原式= 5a+0.36 2a+3b ×10 故答案为20+301 4a-5b 3.使代数式有意义的自变量的取值范围是《)， 8-x A.x≥7 B.x>7且x≠8 C.x≥7且x≠8 D.x>7 【答案】C 【解析】解：：代数式=7有意义， 8-E ,∫x-7≥0 …8-z≠0 解得x≥7且x≠8 故选：C 4如果分式车6的值0，那么的值是(). A.x=0 6 B.x=-4 C.x=4 D.x=4或x=-4 【答案】C ε-4 【解析】解：原式= (e+4)2’ 分式的值为0 .z-4=0且(+4)2≠0， 解得：x=4, 故选：C 5.下列分式中，与m一1相等的是（）. n-2 A2-1 m+1 B m-1 2-n C0-1 ·n-2 D.+1 ·n-2 【答案】A 【解析】解：m-1=（-m-。m+1 n-2 -(n-2) 2-n1 故选：A 6.如果分式 x2+2y2 2x-3y 中的，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值()· A.扩大为原来的2倍 B.扩大为原来的4倍 C.不变 D.不能确定 【答案】A 【解折】解：分式2+器中的，部扩大为原来的2格。变动 2[2x)2+(2)2]2(4x2+4y2)4(2x2+2r2)2(2x2+2y2) 2.2z-3·2y 4z-6y 2(2z-3 2x-3y7 所以分式的值扩大为原来的2倍， 故选：A. 7 课时2分式的约分与通分 日知识讲解 约分与最简分式： 1.约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分 2.约分的基本步骤： (1)把分子、分母分解因式 (2)约去分子、分母中所有公因式 3. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式， 化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式 通分与最简公分母 1.通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式， 这一过程称为分式的通分 2.最简公分母：为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有 因式的最高次幂的积 作公分母，它叫做最简公分母. 3.通分的基本步骤： (1)将各个分式的分母分解因式； (2)找出最简公分母： (3)原来各分式的分子和分母同乘一个适当的整式，使各分式的分母都化为最 简公分母。 9例题1 1.下列分式是最简分式的是()· A.a 6 B别 Ca1 2+1 D.2-1 【答案】C 【解析】【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约 分，判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式， 这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分·【详解】解：A、 该分式的分子、分母中含有公因数“，则它不是最简分式.故本选项错误；B、 该分式的分子、分母中含有公因数3，则它不是最简分式.故本选项错误：C、 该分式符合最简分式的定义.故本选项正确D、分母为(x+1)(x-1),所以该分 式的分子、分母中含有公因式(x+I),则它不是最简分式.故本选项错误；故 选：C.【点睛】本题考查了对最简分式，约分的应用，关键是理解最简分式 的定义 ⑨例题2 2.将下列各式约分 -6ay (1)3a2 2ab-4b (2)a-2 -2-2a (3)a+12 x2-2xy+2 (4)2- x2+22-3 (5)2-2z+1 【答案】 2y (2)26 2 (3)a+1 E-刘 (4)x+y 2+ 【解析】(1)分子分母分别除以它们的公因式：3a. (2)分子分母分别除以它们的公因式：a-2 (3)分子分母分别除以它们的公因式：a+1 (4)分子分母分别除以它们的公因式：- (⑤)分子分母分别除以它们的公因式：x-1 9例题3 3.按要求完成下列各题： （1)不改变分式的值，把分式的分母化为6a:=（）, 362 6ab2 a+26 2ab 6ab2 (2)不改变分式的值，把分式的分母化为x(:-1)(+1): x-1() xe+西=e-1)e+西：1-=e-e+1) 【答案】(1)答案见解析. (2)答案见解析. 【解析】(1)2a2:3ab+62 (2)(x-1)2;-x2 9例题4 a-1 a 2 4.通分：aa+0与1-a与a2+2a+1 【答案】略 10第13讲分式的运算和化简求值培优 目录 课时1分式的概念和基本性质 2 课时1练习题. 5 课时2分式的约分与通分 6 课时2练习题 8 课时3分式的混合运算 9 课时3练习题 10 课时4分式的化简求值之直接代入 12 课时4练习题. ..14 课时5分式的化简求值之选择代入 15 课时5练习题… 17 课时1分式的概念和基本性质 已知识讲解 分式的概念： 一般地，用A,B表示两个整式，A÷B可以表示成合的形式，如果 B肿含有字母，那么称会为分式一其中称为分式的分子B称为分式的 分母· 对于任意一个分式，分母都不能为零 例：日 a≠0 3x X+10 2+1 y 2-y 2-y≠0 日例题1 2a 1.下列式子： a-36’ 2+,4-20,2-巴，其中分式有(）· 3 T A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 日知识讲解 (1)分式的分母中必须含有字母，这也是整式和分式的区别，而分子中可以含 有字母，也可以不含字母，如品，部是分式： (2)判断式子是否是分式是从形式上看，而不是从化简结果看，如之是分式， 而不是整式； (3)数学符号是常数，不是字母，虽然上具有分式形式，但它是整式 日知识讲解 分式有意义的条件：当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之外，分式都有 意义 例：要使分式1有意义，则的范围是≠1 拓展提升：下列各式中，对任意x都有意义的是()· A. 2x x2+4 B. x2-1 C. (z+2)2 D.2+2 分式的值： 分式会的值为零的条件： (1)分子A为零； (2)分母B不为零.即A=0哈A B =0且B≠0；两个条件缺一不可. 例：若分式+的值为0，则=的值为《) A.±2 B.-2 C.2 D.0 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式， 分式的值不变， b_a÷m(m≠0) 这性质可以用式子表示为：名=公：m0,名-册 分式基本性质的应用： (1)不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数.如 0.2x 2x 0.52-0.1y =证-y 例： 一 将分式+的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为〔人 花-2y A.3x+5y' 15z-15则C15x-30yDc-2/ .3z+5y -D.5x+3y 日知识讲解 (2)分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 如：-b=b=-b-bg a -0 。-a.8-名-合-2ao0 -aa 例：请判断等式是否成立：-a-b=-a-b (a≠0)() a A.成立B.不成立 9例题2 2.如果分式-2 x2+4-4z 的值为0，则的值为 9例题3 3.若代数式yE有意义，则必须满足的条件是（）. E-2 A.x>1且x≠2 B.x>1 C.x≠2 D.m≥1且x≠2 ⊙例题4 4.下列各选项中，从左到右的变形正确的是()· A后= B.-a-6 =-1 a+b c826- 5a+6 m m 2a-3b D.-m-nm-n 9例题5 5.下列各式中与分式。6的值相等的是(). a A.-a-b a B.a+b a C.b-a a D.-b-a 9例题6 6.若，的值分别扩大到原来的3倍，分式的值如何变化？请填写正确的序号 E十y 花十y 爱一划一 2-2 ①不变：②扩大到原来的3倍：③缩小到原来的：④扩大到原来的9倍 课时1练习题 1代数式品后20.5，驾，0中，属于分式的有《). 3’r-1’m+n A.1个 B.2个C.3个 D.4个 0.4a--b 2.不改变分式的值，把分式的分子和分母的各项系数都化成整数： 1 50+0.36 3,使代数式②7有意义的自变量x的取值范围是()· 8一E A.c≥7 B.x>7且x≠8 C.正≥7且x卡8 D.x>7 4如架分式6的值为0，那么的位是（) A.x=0 B.x=-4 C.x=4 D.E=4或x=-4 5.下列分式中，与2相等的是(). Ag制 Bm-1 C.加-1 Dm+1 2-n ∴n-2 n-2 6如果分式2+中的，部扩大为原来的2倍，那么分式的值( A.扩大为原来的2倍 B.扩大为原来的4倍 C.不变 D.不能确定 课时2分式的约分与通分 日知识讲解 约分与最简分式： 1.约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分 2.约分的基本步骤： (1)把分子、分母分解因式 (2)约去分子、分母中所有公因式 3. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式. 通分与最简公分母 1.通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式， 这一过程称为分式的通分. 2.最简公分母：为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有 因式的最高次幂的积 作公分母，它叫做最简公分母· 3.通分的基本步骤： (1)将各个分式的分母分解因式； (2)找出最简公分母； (3)原来各分式的分子和分母同乘一个适当的整式，使各分式的分母都化为最 简公分母. 9例题1 1.下列分式是最简分式的是()· A.d 6 B.别 C、e E+1 x+1 D. 2-1 6 日例题2 2.将下列各式约分 -6ay一 (1)3a2 (2)26-46 a-2 =一 -2-2a (3)a+1 x2-2xy+2 (4)2-y = 、x2+2x-3 (52-2x+1 例题3 3.按要求完成下列各题： (1)不改变分式的值，把分式的分母化为6ab: a+26(） 3626ab21 2ab 6ab2i (2)不改变分式的值，把分式的分母化为x(:-1)(:+): -1。（) x任+1)zx-10e+1)1-2=e-)e大. Q例题4 a-1 a 2 4.通分：aa+与1-a与a2+2a+1 7 课时2练习题 1.下列四个分式中，为最简分式的是()· A.a2+ C.n2-m2 D 4mx “a+b m+n 5mx 2.约分： 篇 (2)22+6c+9 x2-16 x2-9; (3)m2-3m+2 (4 m2-m x2+8a+16 3.不改变分式的值，使下列各组里第二个分式的分母和第一个分式的分母相同. 3a (四不改变分式的值，把分式的分母化为10ac:。=一： (②)不改变分式的值，把分式的分母化为：2(a+2a-2:a2-4,4-2a,a+2 1a2 4.通分： 1 2+3 ②-02+1 4(2a-1) (022-4?2-2-6’22+5a+69 课时3分式的混合运算 已知识讲解 分式的混合运算运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减 ；如有括号，先做括号内的运算.能因式分解，先因式分解.能约分，先 约分 9例题1 1.计算：D(品P÷(P: 2+p*品 ⊙例题2 ÷ 2.计算：1-a-1 1 a+2-a2+2a Q例题3 2+2x-1 3.计算：（2-2z x2-4红+4 ÷之4 日例题4 4.老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的 一部分，如： ,*异刘被遮住的部分是《）， （22-2z+1 AH 2x-1 B. C.2-1 2z+1 2x+1 D. 花-1 花-1 课时3练习题 1.计算： erw+(苦》 12z2; (293-1.a+2÷02-4如+4 a2-4a2-2a+1a+1 2.计第：2-(g号+0如+4*a2 10