专题11 最短路径问题（重难点讲义）数学新教材人教版八年级上册

专题 11 最短路径问题 1.掌握轴对称转化最短路径的核心原理：两点之间，线段最短； 2.熟练掌握 “两定一动（直线同侧两点）” 基础将军饮马模型作图、计算； 3.拓展掌握两动一定、造桥选址、三角形周长最小、四边形周长最小题型； 4.结合几何计算、等边三角形、含 30° 直角三角形综合求解最短路径长度。 一、核心理论依据 基本公理：两点之间，线段最短； 补充依据：垂线段最短；三角形两边之和大于第三边； 转化思想：利用轴对称，将直线同侧两点转化为异侧两点，折线段长度转化为两点间线段长。 二、基础模型分类考点 模型 1：将军饮马（直线 l 同侧两点 A、B，在 l 上找一点 P，使 PA+PB 最小） 作图步骤： ① 作点 A 关于直线的对称点； ② 连接，与直线交点即为所求点； ③ 最短路径长 = 线段的长度。 原理：轴对称得，，两点之间线段最短。 模型 2：造桥选址（两条平行线河岸，桥垂直河岸，求 A 到 B 最短路径） 作图步骤： ① 将点沿垂直河岸方向平移河宽距离至； ② 连接，交对岸河岸于点； ③ 过作河岸垂线（桥），连接，为最短路径。 最短总长 = + 河宽。 模型 3：三角形周长最小（定点 A，直线 l、m 上各取一点 M、N，使△AMN 周长最小） 作图：分别作关于直线、的对称点、； 连接，与两直线交点为； 最小周长 = 。 题型 01 利用轴对称原理求线段长度和的最小值 【典例1】如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D是底边BC的中点，直线EF垂直平分AC，若直线EF上有一个动点P，则线段PC+PD的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式】如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是△ABC的高，AD＝12，点E、F分别是AD、AC上任意点．连接CE、EF，则CE+EF的最小值为　　 ． 题型 02 利用轴对称原理确定点的位置 【典例2】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（1，1），B（5，1），C（3，5），D，E分别是BC与AB的中点，P是线段CE上的一个动点，当DP+PB最小时，点P的坐标是　　 ． 【变式】如图，某主干道l为一条东西走向的直线道路，路北有两个居民区E和F．现计划在l上设立一个公交站P，要求E区和F区的居民到车站的总路程PE+PF 最短．已知l上有四个候选站点位置A，B，C，D，则车站应设在（　　） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 题型 03 造桥选址问题 【典例3】如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点A到B的路径A﹣M﹣N﹣B最短的是（　　） A． B． C． D． 【变式】如图，某物流公司计划在一条笔直的道路l上新设两个物流转运点P，Q，两转运点的间距固定为a（即PQ＝a）．无人驾驶物流车每天从起点A出发，先到转运点P取物品，然后沿道路l到转运点Q取物品，最后送到道路另一侧的快递驿站B．为节能提效，物流公司希望无人驾驶物流车所走的总路程AP+PQ+QB最短．下列四种关于转运点P，Q位置的设计方案中，符合物流公司要求的是（　　） A． B． C． D． 【巩固训练】 1. 如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（　　） A． B． C． D． 2. 如图，在锐角△ABC中，BD平分∠ABC，∠ABC＝α，若E、F分别是BD、BC上的动点，当CE+EF最小时，∠FEC的度数为（　　） A．90°﹣α B．α C．2α D．180°﹣α 3. 如图，∠AOB＝50°，定点P为∠AOB内一点，在射线OA和OB上分别确定点M，N，使得△PMN的周长最小，则此时∠MPN的度数为　　 °． 4. 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足是D，且AD＝5，点E，F分别是线段AD，AC上的动点，则EC+EF的最小值是 　　 ． 5. 在一条公路旁有A、B两个工厂，要在公路旁修一个汽车站，请分别按如下要求确定汽车站M的位置： （1）在图①中，要求车站M到AB两厂的距离相等； （2）在图②中，要求车站M到AB两厂的距离之和AM+BM最短； （3）在图③中，要求车站M到AB两厂的距离之差AM﹣BM最大． 6.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°． （1）在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小． （2）在（1）的条件下，∠AMN+∠ANM＝　　 ． 7. 如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C、D均在格点上． （1）过点C画线段AB的垂线，垂足为F； （2）点A到线段CF的距离即线段 的长； （3）在直线AD上找一点P，使得PB+PC的值最小． 【强化训练】 1. （2026春•宝安区期末）如图所示，农田间有两条平行灌溉渠l1、l2，渠宽固定，现需修建垂直渠岸的输水渡槽AB．水泵站P在北渠外侧，蓄水池Q在南渠外侧，要使得PA+AB+BQ总长度最短，下列作图正确的是（　　） A． B． C． D． 2.（2026春•埇桥区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A．2.4 B．4.8 C．4 D．5 3. （2026春•莱州市期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，E，F为AB上的两个动点，且AE＝BF，求CE+CF的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 4. （2026春•海口期末）如图，在等边△ABC中，点D是边BC上的一点，△ABC关于AD成轴对称，则∠ADC的度数是　　 °；点E是边AD上任意一点，点F是边AB上任意一点，若AD＝4，则BE+EF的最小值是　　 ． 5. （2025秋•扬州期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，2）、B（2，0）、C（4，3）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是　　 ； （2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为　　 ； （3）在y轴上画出点P，使PB+PC最小． 6. （2025秋•莱芜区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是　　 ； （2）在y轴上找一点P，使得PB+PC的值最小． （3）在x轴上找一点M，使，求M的坐标． 7. （2026春•银川校级期末）如图，等腰三角形ABC的面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E、F两点，点M为线段EF上的一动点，点D为BC的中点，BD＝3，连接CM，DM． （1）连接AD，AD是否垂直于BC？　　 （填“是”或“否”）； （2）求CM+MD的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 11 最短路径问题 1.掌握轴对称转化最短路径的核心原理：两点之间，线段最短； 2.熟练掌握 “两定一动（直线同侧两点）” 基础将军饮马模型作图、计算； 3.拓展掌握两动一定、造桥选址、三角形周长最小、四边形周长最小题型； 4.结合几何计算、等边三角形、含 30° 直角三角形综合求解最短路径长度。 一、核心理论依据 基本公理：两点之间，线段最短； 补充依据：垂线段最短；三角形两边之和大于第三边； 转化思想：利用轴对称，将直线同侧两点转化为异侧两点，折线段长度转化为两点间线段长。 二、基础模型分类考点 模型 1：将军饮马（直线 l 同侧两点 A、B，在 l 上找一点 P，使 PA+PB 最小） 作图步骤： ① 作点 A 关于直线的对称点； ② 连接，与直线交点即为所求点； ③ 最短路径长 = 线段的长度。 原理：轴对称得，，两点之间线段最短。 模型 2：造桥选址（两条平行线河岸，桥垂直河岸，求 A 到 B 最短路径） 作图步骤： ① 将点沿垂直河岸方向平移河宽距离至； ② 连接，交对岸河岸于点； ③ 过作河岸垂线（桥），连接，为最短路径。 最短总长 = + 河宽。 模型 3：三角形周长最小（定点 A，直线 l、m 上各取一点 M、N，使△AMN 周长最小） 作图：分别作关于直线、的对称点、； 连接，与两直线交点为； 最小周长 = 。 题型 01 利用轴对称原理求线段长度和的最小值 【典例1】如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D是底边BC的中点，直线EF垂直平分AC，若直线EF上有一个动点P，则线段PC+PD的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 B【解析】连接PA、AD，如图， ∵直线EF垂直平分AC，∴PA＝PC， ∴PC+PD＝PA+PD，∵PA+PD≥AD（当且仅当P、A、D共线时取等号）， ∴PA+PD的最小值为AD， ∵AB＝AC，点D为BC的中点， ∴AD⊥BC， 在Rt△ABD中，∵AB＝10，BDBC＝6，∴AD＝8， ∴PC+PD的最小值为8．故选：B． 【变式】如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是△ABC的高，AD＝12，点E、F分别是AD、AC上任意点．连接CE、EF，则CE+EF的最小值为　　 ． 【解析】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝13，AD是△ABC的高线，连接BE、BF， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴CE＝BE，∴CE+EF＝BE+EF． 根据垂线段最短，当B、E、F三点共线，且BF⊥AC时，BE+EF取得最小值， 即BF的长度． ∵•BF，BC＝10，AD＝12，AC＝13， ∴，解得：， ∴CE+EF的最小值为．故答案为：． 题型 02 利用轴对称原理确定点的位置 【典例2】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（1，1），B（5，1），C（3，5），D，E分别是BC与AB的中点，P是线段CE上的一个动点，当DP+PB最小时，点P的坐标是　　 ． 【解析】如图，取点D关于CE的对称点D'，连接BD'交CE于点Q，连接DQ， 可知当点P与点Q重合时，DP+PB最小．设EQ＝m， ∵S△ABD'＝S△BEQ+S四边形EQD'A， ∴，解得m， ∴点Q的坐标为（3，），∴当DP+PB最小时，点P的坐标是（3，）．故答案为：． 【变式】如图，某主干道l为一条东西走向的直线道路，路北有两个居民区E和F．现计划在l上设立一个公交站P，要求E区和F区的居民到车站的总路程PE+PF 最短．已知l上有四个候选站点位置A，B，C，D，则车站应设在（　　） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 C【解析】如图，取F关于l的对称点G，连接EG，交l于点P，则P点与C点重合， ∴车站应设在C处．故选：C． 题型 03 造桥选址问题 【典例3】如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点A到B的路径A﹣M﹣N﹣B最短的是（　　） A． B． C． D． D【解析】从点A到B的路径为AM+MN+NB的值，∵MN是定值， ∴当AM+NB的值最小时，从点A到B的路径最短， 如图所示，将线段AM沿着MN方向，平移得到A′M′，点M′与点N重合， 当AM∥BN时，点A′，M′，B三点共线，AM+NB＝A′M′+NB＝A′B， ∴由两点之间线段最短得，A′B的值最小， ∴使从点A到B的路径A﹣M﹣N﹣B最短的是D．故选：D． 【变式】如图，某物流公司计划在一条笔直的道路l上新设两个物流转运点P，Q，两转运点的间距固定为a（即PQ＝a）．无人驾驶物流车每天从起点A出发，先到转运点P取物品，然后沿道路l到转运点Q取物品，最后送到道路另一侧的快递驿站B．为节能提效，物流公司希望无人驾驶物流车所走的总路程AP+PQ+QB最短．下列四种关于转运点P，Q位置的设计方案中，符合物流公司要求的是（　　） A． B． C． D． C【解析】当AA'∥PQ且AA'＝PQ，则有四边形AA'QP为平行四边形， ∴AP＝A'Q， 当点A'，点Q，点B，三点共线时，AP+QB最小， 即符合物流公司要求的是：，故选：C． 【巩固训练】 1. 如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（　　） A． B． C． D． D【解析】使牧马人所走路径最短的是，故选：D． 2. 如图，在锐角△ABC中，BD平分∠ABC，∠ABC＝α，若E、F分别是BD、BC上的动点，当CE+EF最小时，∠FEC的度数为（　　） A．90°﹣α B．α C．2α D．180°﹣α B【解析】依题意，过点C作CH⊥AB，交BD于点E，过点E作EF⊥BC． ∵BD平分∠ABC，EF⊥BC，CH⊥AB，∴EF＝HE， 即CE+EF＝CE+HE＝CH（垂线段最短）． ∵∠ABC＝α，EF⊥BC，CH⊥AB， ∴∠HEF＝360°﹣90°﹣90°﹣α＝180°﹣α．∵∠HEF+∠FEC＝180°， ∴∠FEC＝α．故选：B． 3. 如图，∠AOB＝50°，定点P为∠AOB内一点，在射线OA和OB上分别确定点M，N，使得△PMN的周长最小，则此时∠MPN的度数为　　 °． 80【解析】如图，作点P关于OA的对称点E，连结EP、EO、EM， ∴EM＝MP∠MPO＝∠OEM，∠EOM＝∠MOP． 作点P关于OB的对称点F，连结NF、PF、OF， ∴PN＝FN，∠OPN＝∠OFN，∠PON＝∠NOF． ∴PM+PN+MN＝EM+NF+MN≥EF，即当点E、M、N、F共线时， △PMN的周长最小． 又∵∠EOF＝∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF，∠AOB＝∠MOP+∠PON， ∴∠EOF＝2∠AOB．又∵∠AOB＝50°， ∴∠EOF＝100°，∵在△EOF中，∠OEM+∠OFN+∠EOF＝180°， ∴∠OEM+∠OFN＝180°﹣100°＝80°， ∵∠MPO＝∠OEM，∠OPN＝∠OFN， ∴∠MPN＝∠MPO+∠OPN＝∠OEM+∠OFN＝80°．故答案为：80． 4. 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足是D，且AD＝5，点E，F分别是线段AD，AC上的动点，则EC+EF的最小值是 　　 ． 5【解析】由等边三角形的对称性可得EC＝EB，故EC+EF＝EB+EF， 过点B作BG⊥AC，如图所示： 则（EB+EF）min＝BG， ∵， ∴BG＝AD＝5，故答案为：5． 5. 在一条公路旁有A、B两个工厂，要在公路旁修一个汽车站，请分别按如下要求确定汽车站M的位置： （1）在图①中，要求车站M到AB两厂的距离相等； （2）在图②中，要求车站M到AB两厂的距离之和AM+BM最短； （3）在图③中，要求车站M到AB两厂的距离之差AM﹣BM最大． 解:（1）如图①中，作线段AB的垂直平分线交直线l于M，此时MA＝MB． （2）如图②中，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点M，此时MA+BM最小． （3）如图③中，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′且延长AB′交直线l于点M，此时MA﹣BM最大． 6.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°． （1）在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小． （2）在（1）的条件下，∠AMN+∠ANM＝　　 ． 解:（1）作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，此时△AMN的周长最小，最小值为A′A″． （2）作DA延长线AH，如图所示．∵∠DAB＝120°， ∴∠HAA′＝60°， ∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝60°． ∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM， ∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×60°＝120°． 故答案为：120°． 7. 如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C、D均在格点上． （1）过点C画线段AB的垂线，垂足为F； （2）点A到线段CF的距离即线段 的长； （3）在直线AD上找一点P，使得PB+PC的值最小． 解（1）如图，取格点G，连接CG交AB于点F，则CF即为所求： （2）由作图可知：AF⊥CF，点A到线段CF的距离即线段AF的长，故答案为：AF； （3）连接AD，BC交于点P，如图，点P即为所求： 【强化训练】 1. （2026春•宝安区期末）如图所示，农田间有两条平行灌溉渠l1、l2，渠宽固定，现需修建垂直渠岸的输水渡槽AB．水泵站P在北渠外侧，蓄水池Q在南渠外侧，要使得PA+AB+BQ总长度最短，下列作图正确的是（　　） A． B． C． D． B【解析】要使路径PA+AB+BQ最短，由于AB为定值，只需使PA+BQ最短即可． 将点P沿垂直于渠岸的方向向下平移，平移距离等于渠宽（即线段AB的长），得到点P'连接P'B． ∵PP'∥AB且 PP′＝AB， ∴四边形PABP′是平行四边形． ∴PA＝P'B．此时，PA+BQ＝P′B+BQ． 根据“两点之间，线段最短”，当P′、B、Q三点共线时，P'B+BQ取得最小值，即线段P'Q的长度． 连接P'Q交l2于点B，过点B作BA⊥l1于点A，此时的作图符合题意． 观察选项，B图正确．故选：B． 2.（2026春•埇桥区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A．2.4 B．4.8 C．4 D．5 B【解析】如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q， ∵AD是∠BAC的平分线． ∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度， ∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8， ∵S△ABCAB•CMAC•BC， ∴CM，即PC+PQ的最小值为． 故选：B． 3. （2026春•莱州市期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，E，F为AB上的两个动点，且AE＝BF，求CE+CF的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 C【解析】如图，过点A作AD⊥AC，且使 AD＝BC，连接DE，DC，则可得△ADE≌△BCF， ∴DE＝CF，CE+CF＝CE+DE≥CD． ∵在△ADC与△CBA中， ∴△ADC≌△CBA， ∴CD＝AB＝10． ∴当C，E，D三点共线时，CE+CF的最小值为10．故选：C． 4. （2026春•海口期末）如图，在等边△ABC中，点D是边BC上的一点，△ABC关于AD成轴对称，则∠ADC的度数是　　 °；点E是边AD上任意一点，点F是边AB上任意一点，若AD＝4，则BE+EF的最小值是　　 ． 90；4．【解析】根据题意，△ABC是等边三角形，且△ABC关于AD成轴对称． 由轴对称的性质可知，对称轴AD垂直平分底边BC， 即AD⊥BC． 根据垂直的定义，∠ADC＝90°； 利用轴对称性质将折线段BE+EF转化为两点间的线段长， 从而利用“两点之间线段最短”求解． 因为△ABC关于AD成轴对称，且点E在对称轴AD上， 所以点B和点C关于直线AD对称． 根据轴对称的性质，对称轴上的点到对称点的距离相等，即BE＝CE． 要求BE+EF的最小值，即求CE+EF的最小值， 题目中点F是边AB上的任意一点． 为了使CE+EF最小，点F应当位于线段CE与AB的交点处（即C，E，F三点共线）． 此时CE+EF＝CF．根据“垂线段最短”原理， 当CF⊥AB时，CF的长度最小． 在等边△ABC中，AD是BC边上的高（由第一空可知AD⊥BC）． 根据等边三角形“三线合一”的性质，三条边上的高长度相等． 因此，AB边上的高CF的长度等于BC边上的高AD的长度． ∵AD＝4，所以BE+EF的最小值为4．故答案为：90；4． 5. （2025秋•扬州期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，2）、B（2，0）、C（4，3）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是　　 ； （2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为　　 ； （3）在y轴上画出点P，使PB+PC最小． 解（1）如图所示： △ABC的面积12﹣2﹣3﹣2＝5，故答案为：5； （2）点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为：（﹣4，﹣3）；故答案为：（﹣4，﹣3）； （3）如图所示，点P即为所求： 6. （2025秋•莱芜区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是　　 ； （2）在y轴上找一点P，使得PB+PC的值最小． （3）在x轴上找一点M，使，求M的坐标． 解:（1）如图所示：△ABC即为所求： △ABC的面积4；故答案为：4； （2）如图所示，点P即为所求： （3）设M为（m，0），∵，∴， 解得m＝0或4，∴点M的坐标是（0，0）或（4，0）． 7. （2026春•银川校级期末）如图，等腰三角形ABC的面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E、F两点，点M为线段EF上的一动点，点D为BC的中点，BD＝3，连接CM，DM． （1）连接AD，AD是否垂直于BC？　　 （填“是”或“否”）； （2）求CM+MD的最小值． 解:（1）连接AD，∵点D为BC的中点，三角形ABC为等腰三角形， ∴，故答案为：是； 故答案为：是； （2）如图所示，连接AM，∵EF是AC的垂直平分线， ∴AM＝CM． ∴CM+MD＝AM+MD≥AD， 当A、M、D三点共线AD⊥BC时，AM+MD最小，最小值为AD的值， ∵三角形ABC的面积为24，且BD＝3， ∴BC＝2BD＝6， ∴， 即，解得AD＝8，所以CM+MD的最小值为8． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $