专题12 幂的运算（重难点讲义）数学新教材人教版八年级上册

本初中数学讲义聚焦幂的运算核心知识点，系统梳理同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方四大法则，零指数幂与负整数指数幂的定义，构建从基础计算到公式逆用，再到结合方程、整体代换的综合应用学习支架。 资料以分层题型设计为亮点，通过典例与变式结合、巩固与强化训练并重的方式，培养学生抽象能力（符号意识）、运算能力和推理意识，如逆运算求值、解方程等题型提升逻辑推理，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题 12 幂的运算 1.熟记同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方四大运算法则，能直接进行基础计算； 2.掌握零指数幂、负整数指数幂的定义与求值规则； 3.能逆用幂的运算公式进行化简、求值、比较大小； 4.结合整体代换、方程、化简求值等综合题型灵活运用幂的运算。 一、核心运算法则（ 均为整数，） 1. 同底数幂相乘 法则：底数不变，指数相加； 拓展：多个同底数幂相乘 2. 同底数幂相除 法则：底数不变，指数相减； 3. 幂的乘方 法则：底数不变，指数相乘； 拓展： 4. 积的乘方 法则：积中每个因式分别乘方，再相乘； 拓展： 二、公式逆运算 公式逆用（高频考点） ；；； 题型 01 基础公式直接运算 【典例1】下列计算正确的是（　　） A．m5+m2＝a10 B．（﹣m2）3＝m6 C．a3×a2＝a6 D．（﹣a4b）2＝a8b2 【变式】下列各式中，正确的是（　　） A．a4•a3＝a12 B．a4•a3＝a7 C．a4+a3＝a7 D．a4•a4＝2a4 题型 02 幂的运算法则的逆运算 【典例2】若am+n＝8，am＝2，则an的值为（　　） A．6 B．4 C．2 D．﹣2 【变式】 题型 03 幂的混合运算之解方程 【典例3】若3x+2﹣3x+1＝162，则x的值是　　 ． 【变式】若4×2m＝210，则m的值为　　 ． 题型 04 幂的综合运算之代数推理 【典例4】若x，y都是正整数，且满足，则x与y的关系是（　　） A．6x﹣y＝2 B．2x﹣y＝0 C．2x﹣3y＝0 D．3x﹣3y＝2 【变式】若a，b是正整数，且满足4a+4a+4a+4a＝4b×4b×4b×4b，则a与b的关系正确的是（　　） A．a＝b B．a+1＝4b C．4a＝b4 D．a+1＝b4 【巩固训练】 1. 下列各式中计算正确的是（　　） A．a3+a2＝a5 B．a3÷a2＝a C．a2•a3＝a6 D．（a3）2＝a5 2. 若5﹣2×5﹣1×5p＝56，则p的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9 3. 已知a＞0，b＞0，且（ab）n＝a2b2，则n的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．3 D．4 4. 已知m，n是正整数，且满足5m•5m•5m•5m＝5n，则m与n的关系是（　　） A．m+4＝n B．4m＝n C．m4＝n D．m＝4 5. 22027×（﹣0.5）2026＝　　 ． 6. 化简：a2•（﹣a）4﹣（3a3）2+（﹣2a2）3． 7. 规定a*b＝3a×3b． （1）填空：1*2＝　　 ； （2）如果2*（x﹣5）＝81，求x的值． 8. （2026春•清江浦区期末）已知am＝8，an＝16．（1）求am+n的值； （2）求a3m﹣2n的值． 【强化训练】 1. （2026•邯山区校级二模）已知M＝211×58，则M是（　　） A．10位数 B．9位数 C．8位数 D．5位数 2. （2026春•秦淮区期末）如果a＝（﹣5）﹣2，b＝（﹣0.1）3，，那么a，b，c的大小关系为（　　） A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 3. （2026春•宿城区期末）已知x+2y+2＝0，则3x•9y＝　　 ． 4. （2026春•法库县期末）计算：． 5. （2026春•金凤区校级期中）规定新运算“*”：a*b＝2a×2b，如：1*3＝2×23＝16． （1）求（﹣2）*5的值； （2）若2*（2x+1）＝64，求x的值． 6. （2026春•仪征市期末）对于有理数a，b定义一种幂的新运算：am◎bn＝（ab）m+n+（a+b）mn．其中m，n是正整数，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求（﹣1）2◎32的值； （2）若2◎2x+1＝80，求x的值． 7. （2026春•莱山区期末）用“⋃”，“∩”定义两种新运算：对于两个整数a，b，规定a⋃b＝10a×10b，a⋂b＝10a÷10b．例如：5∪4＝105×104＝109，5∩4＝105÷104＝10． （1）求（16∪18）的值； （2）求（2026∩2027）的值； （3）当x为何值时，（x∪8）的值与（35∩17）的值相等． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 12 幂的运算 1.熟记同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方四大运算法则，能直接进行基础计算； 2.掌握零指数幂、负整数指数幂的定义与求值规则； 3.能逆用幂的运算公式进行化简、求值、比较大小； 4.结合整体代换、方程、化简求值等综合题型灵活运用幂的运算。 一、核心运算法则（ 均为整数，） 1. 同底数幂相乘 法则：底数不变，指数相加； 拓展：多个同底数幂相乘 2. 同底数幂相除 法则：底数不变，指数相减； 3. 幂的乘方 法则：底数不变，指数相乘； 拓展： 4. 积的乘方 法则：积中每个因式分别乘方，再相乘； 拓展： 二、公式逆运算 公式逆用（高频考点） ；；； 题型 01 基础公式直接运算 【典例1】下列计算正确的是（　　） A．m5+m2＝a10 B．（﹣m2）3＝m6 C．a3×a2＝a6 D．（﹣a4b）2＝a8b2 D【解析】A．原式不能合并同类项，故本选项不符合题意； B．原式＝﹣m6，故本选项不符合题意； C．原式＝a5，故本选项不符合题意； D．原式＝a8b2，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式】下列各式中，正确的是（　　） A．a4•a3＝a12 B．a4•a3＝a7 C．a4+a3＝a7 D．a4•a4＝2a4 B【解析】A、a4•a3＝a7，不符合题意； B、a4•a3＝a7，符合题意； C、a4与a3不是同类项，所以不能合并，不符合题意； D、a4•a4＝a8，不符合题意． 故选：B． 题型 02 幂的运算法则的逆运算 【典例2】若am+n＝8，am＝2，则an的值为（　　） A．6 B．4 C．2 D．﹣2 B【解析】∵am+n＝am•an＝8，am＝2， ∴8＝2•an， ∴an＝8÷2＝4． 故选：B． 【变式】 题型 03 幂的混合运算之解方程 【典例3】若3x+2﹣3x+1＝162，则x的值是　　 ． 3【解析】∵3x+2﹣3x+1＝162， ∴3x•32﹣3x×3＝34×2， ∴9×3x﹣3×3x＝34×2， ∴（9﹣3）×3x＝34×2， ∴6×3x＝34×2， ∴3×3x＝34， 即：31+x＝34， ∴1+x＝4， ∴x＝4﹣1＝3， 解得：x＝3．故答案为：3． 【变式】若4×2m＝210，则m的值为　　 ． 8【解析】由条件可知22×2m＝210， ∴2m+2＝210， ∴m+2＝10， 解得：m＝8． 故答案为：8． 题型 04 幂的综合运算之代数推理 【典例4】若x，y都是正整数，且满足，则x与y的关系是（　　） A．6x﹣y＝2 B．2x﹣y＝0 C．2x﹣3y＝0 D．3x﹣3y＝2 A【解析】根据同底数幂的乘法的运算可知： ， ∴6x＝y+2， ∴6x﹣y＝2． 故选：A． 【变式】若a，b是正整数，且满足4a+4a+4a+4a＝4b×4b×4b×4b，则a与b的关系正确的是（　　） A．a＝b B．a+1＝4b C．4a＝b4 D．a+1＝b4 B【解析】由题意可得：4a+1＝44b， ∴a+1＝4b； 故选：B． 【巩固训练】 1. 下列各式中计算正确的是（　　） A．a3+a2＝a5 B．a3÷a2＝a C．a2•a3＝a6 D．（a3）2＝a5 B【解析】合并同类项法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘除法法则逐项判断如下： A、a3与a2不是同类项，不能合并，a3+a2≠a5，故A选项计算错误，不合题意； B、a3÷a2＝a，故B选项计算正确，符合题意； C、a2•a3＝a2+3＝a5≠a6，故C选项计算错误，不合题意； D、（a3）2＝a6，故D选项计算错误，不合题意； 故选：B． 2. 若5﹣2×5﹣1×5p＝56，则p的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9 D【解析】∵5﹣2×5﹣1×5p＝56， ∴5﹣2﹣1+p＝56， ∴5﹣3+p＝56， ∴﹣3+p＝6， 解得：p＝9． 故选：D． 3. 已知a＞0，b＞0，且（ab）n＝a2b2，则n的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．3 D．4 B【解析】∵（ab）n＝a2b2（a＞0，b＞0）， ∴n＝2， 故选：B． 4. 已知m，n是正整数，且满足5m•5m•5m•5m＝5n，则m与n的关系是（　　） A．m+4＝n B．4m＝n C．m4＝n D．m＝4 B【解析】∵5m•5m•5m•5m＝5n， ∴54m＝5n， ∴4m＝n， 故选：B． 5. 22027×（﹣0.5）2026＝　　 ． 2【解析】22027×（﹣0.5）2026 ＝22026×（﹣0.5）2026×2 ＝（﹣2×0.5）2026×2 ＝（﹣1）2026×2 ＝1×2 ＝2， 故答案为：2． 6. 化简：a2•（﹣a）4﹣（3a3）2+（﹣2a2）3． 解:a2•（﹣a）4﹣（3a3）2+（﹣2a2）3． ＝a2•a4﹣9a6﹣8a6 ＝a6﹣9a6﹣8a6 ＝﹣16a6． 7. 规定a*b＝3a×3b． （1）填空：1*2＝　　 ； （2）如果2*（x﹣5）＝81，求x的值． 解（1）∵a*b＝3a×3b， ∴1*2＝31×32＝3×9＝27， 故答案为：27． （2）∵2*（x﹣5）＝81， ∴32×3x﹣5＝34， ∴32+（x﹣5）＝34， ∴2+x﹣5＝4， 解得：x＝7． 8. （2026春•清江浦区期末）已知am＝8，an＝16．（1）求am+n的值； （2）求a3m﹣2n的值． 解:（1）∵am＝8，an＝16， ∴am+n＝am•an＝8×16＝128； （2）∵am＝8，an＝16， ∴a3m﹣2n＝a3m÷a2n＝（am）3÷（an）2＝83÷162＝2． 【强化训练】 1. （2026•邯山区校级二模）已知M＝211×58，则M是（　　） A．10位数 B．9位数 C．8位数 D．5位数 B【解析】∵M＝211×58＝28×23×58＝（2×5）8×8＝108×8， ∴M＝800000000． 则M是9位数． 故选：B． 2. （2026春•秦淮区期末）如果a＝（﹣5）﹣2，b＝（﹣0.1）3，，那么a，b，c的大小关系为（　　） A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a A【解析】a＝（﹣5）﹣20.04， b＝（﹣0.1）3＝﹣0.001， ， ∵﹣0.001＜0.04＜1， ∴b＜a＜c． 故选：A． 3. （2026春•宿城区期末）已知x+2y+2＝0，则3x•9y＝　　 ． 【解析】由条件可知x+2y＝﹣2， ∴原式＝3x•32y ＝3x+2y ＝3﹣2 ．故答案为：． 4. （2026春•法库县期末）计算：． 解: ＝﹣0.42025×（）2025×（）2025×0.4 ＝﹣[（）]2025×0.4 ＝﹣（﹣1）2025×0.4 ＝﹣（﹣1）×0.4 ＝0.4． 5. （2026春•金凤区校级期中）规定新运算“*”：a*b＝2a×2b，如：1*3＝2×23＝16． （1）求（﹣2）*5的值； （2）若2*（2x+1）＝64，求x的值． 解:（1）由a*b＝2a×2b可得 （﹣2）*5＝2﹣2×25＝23＝8． （2）由a*b＝2a×2b可得2*（2x+1）＝22×22x+1＝22x+3． 因为2*（2x+1）＝64＝26， 所以2x+3＝6， 解得． 6. （2026春•仪征市期末）对于有理数a，b定义一种幂的新运算：am◎bn＝（ab）m+n+（a+b）mn．其中m，n是正整数，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求（﹣1）2◎32的值； （2）若2◎2x+1＝80，求x的值． 解:（1）（﹣1）2◎32 ＝（﹣1×3）2+2+（﹣1+3）2×2 ＝（﹣3）4+24 ＝81+16 ＝97； （2）2◎2x+1＝80， （2×2）1+x+1+（2+2）x+1＝80， 4x+2+4x+1＝80， 4x+1×（4+1）＝80， 4x+1＝16， x+1＝2， x＝1． 7. （2026春•莱山区期末）用“⋃”，“∩”定义两种新运算：对于两个整数a，b，规定a⋃b＝10a×10b，a⋂b＝10a÷10b．例如：5∪4＝105×104＝109，5∩4＝105÷104＝10． （1）求（16∪18）的值； （2）求（2026∩2027）的值； （3）当x为何值时，（x∪8）的值与（35∩17）的值相等． 解:（1）∵a⋃b＝10a×10b， ∴16∪18＝1016×1018＝1034； （2）∵a⋂b＝10a÷10b， ∴； （3）∵a⋃b＝10a×10b，a⋂b＝10a÷10b， ∴x∪8＝10x×108＝10x+8，35∩17＝1035÷1017＝1018， ∵（x∪8）＝（35∩17）， ∴10x+8＝1018，即x+8＝18，解得x＝10， ∴当x为10时，（x∪8）的值与（35∩17）的值相等． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $