专题13 乘法公式及其变形（重难点讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦初中数学乘法公式及其变形核心知识点，系统梳理平方差公式、完全平方公式的基础应用，延伸至公式逆用、平方和变形、和差互化等拓展内容，构建从直接套用到整体代换、几何验证、综合运算的学习支架。 资料突出几何直观与推理能力培养，如通过等腰直角三角形剪拼验证平方差公式，结合完全平方公式几何背景题深化理解。分层设计典例、变式及巩固训练，助力学生在公式变形与整体代入中发展数学思维，课中辅助教师教学，课后便于学生查漏补缺。

专题 13 乘法公式及其变形 1.熟记平方差、完全平方公式，能直接套用公式计算； 2.掌握公式逆用、恒等变形，熟练整体代换求值； 3.结合多项式化简、求值、几何面积题型综合运用公式； 4.会拆分、凑配构造公式求解复杂代数式。 一、核心乘法公式 平方差公式 判定技巧：两项和乘两项差，同号平方减异号平方。 完全平方公式； 二、常用变形拓展 平方差逆用： 平方和变形： 和差互化： 配凑变形： 三、重要拓展考点 整体代入：已知、求、； 几何应用：利用面积图形推导、验证乘法公式； 混合运算：多项式相乘先套公式再合并同类项。 题型 01 平方差公式及其应用 【典例1】下列各式中，适合用平方差公式计算的是（　　） A．（2m﹣n）（2n+m） B．（﹣2m+n）（2m+n） C．（2m+n）（2m+n） D．（﹣2m+n）（2m﹣n） 【变式】若a+b＝3，a﹣b＝4，则a2﹣b2的值为（　　） A．﹣12 B．12 C．﹣7 D．7 题型 02 平方差公式的几何背景 【典例2】几何直观如图，从腰长为a的等腰直角三角形纸片ABC中剪掉一个腰长为b的等腰直角三角形ADE，得到一个直角梯形DEBC，上述操作能验证的等式是（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2+b2 【变式】如图，若正方形边长为5，当边长增加x时，其面积增加y，则y与x之间的关系式是 ． 题型 03 完全平方公式及其应用 【典例3】下列计算正确的是（　　） A．（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（﹣a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2 【变式】已知x2﹣2x＝2，则代数式（x﹣1）2+2026＝　　 ． 题型 04 完全平方公式的几何背景 【典例4】已知a2+4b2＝13，ab＝3（a＞0，b＞0），可借助如图直观分析，也可以通过计算求得a+2b的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式】如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝22，那么阴影部分的面积是（　　） A．15 B．17 C．20 D．22 题型 05 运用公式进行简算 【典例5】计算20262﹣2027×2025的结果是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2 【变式】计算：　　 ． 【巩固训练】 1. 下列算式可以用平方差公式计算的是（　　） A．（a+b）（﹣a﹣b） B．（﹣a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）（a﹣b） D．（a+b）（﹣a+b） 2. 已知 a+b＝3，ab＝1，则a2+b2的值为（　　） A．7 B．9 C．5 D．8 3．已知二元一次方程组，则代数式x2+4xy+4y2的值为　　 ． 4. 已知 a＝192×918，b＝8882﹣302，c＝6982﹣2202，则a、b、c的大小关系为 （用“＜”连接）． 5. 若x2﹣y2＝﹣1，则（x﹣y）2025（x+y）2025＝　　 ． 6. 已知． （1）求a2+b2的值； （2）求（a﹣b）2的值． 7. 已知a﹣b＝4，ab＝3，求下列代数式的值． （1）a2+b2； （2）（a+b）2． 8. 化简：（2x﹣1）2﹣（2x+5）（2x﹣5） 以下是小明的解题过程：（2x﹣1）2﹣（2x+5）（2x﹣5） ＝4x2﹣1﹣（4x2﹣25）…第一步 ＝4x2﹣1﹣4x2+25…第二步 ＝24…第三步 老师看到后，说小明做错了． （1）请问：小明错在第 　　 步； （2）请写出正确的解题过程，并计算当x＝5时原式的值． 9.用乘法公式计算： （1）1012； （2）1252﹣123×127． 10. 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是B ． A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b） （2）已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，求2a﹣b的值； （3）应用所得的公式计算：20252﹣2024×2026． 【强化训练】 1. （2026春•新密市期末）若a4＝6，则（a﹣1）（a+1）（a2+1）的值为（　　） A．﹣5 B．0 C．5 D．7 2. （2026•江阳区校级模拟）若（m﹣2022）2+（m﹣2026）2＝40，则（m﹣2024）2的值为（　　） A．4 B．14 C．16 D．20 3．（2026•蓬江区校级二模）我国宋代数学家杨辉发现（a+b）n（n＝0、1、2、3……）展开数系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，（a+b）8展开式的系数和是 　　 ． 4. （2026春•莱州市期末）图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1、S2分别表示八（1（2）两个班级的基地面积．若m+n＝8，m﹣n＝2，则S1﹣S2＝　　 ． 5. （2026春•衢州期末）如图，有两个正方形A，B，它们的边长分别为a和b，现将A放在B内部得到图1，图1中CD＝2，将A，B并列放置后构成大正方形，如图2，图2中阴影部分的面积为10.5，则图1中阴影部分的面积为　　 ． 6. （2026•河北）用运算律或乘法公式可以简化运算，例如： 982＝982﹣22+22 ＝（98+2）×（98﹣2）+22 ＝100×96+4 ＝9604． （1）证明a2＝（a+b）（a﹣b）+b2，并用以上方法计算992． （2）计算：（﹣105）2． 7. （2026春•邗江区期末）推理能力：如图①所示，在边长为a的正方形中作一个边长为b（a＞b）的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以（a+b）为长、（a﹣b）为宽的长方形面积，如图②所示． 【探究】 （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为　　 ，根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式　 ； 【应用】（2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若a+b＝4，a﹣b＝2，求a2﹣b2的值； ②计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）． 8. （2026春•瑶海区校级期末）观察以下等式： （x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1， （x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27， （x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216， … （1）按以上等式的规律填空：（x+a）（ ）＝x3+a3； （2）试利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； （3）利用（1）中的公式化简：（x+4）（x2﹣4x+16）﹣（x﹣2）（x2+2x+4）． 9. （2026春•银川校级期末）完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题． （1）若x+y＝8，xy＝12，求x2+y2的值； （2）已知a，b满足（a+b）2＝11，（a﹣b）2＝7，求a2+b2与ab的值； （3）如图，已知正方形ABCD，BEFG的边长分别为x，y若x2+y2＝29，AE＝3，求图中阴影部分的面积？ 10. （2026春•沈阳期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，如图1，一个长为2a、宽为2b的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形． （1）根据图1和图2，直接写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的一个等量关系　 ． （2）利用（1）中的结论解决下列问题： ①若2x﹣y＝8，xy＝10，求2x+y的值． ②如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，延长GB和ED交于点H，那么四边形DCBH为长方形，设AB＝14.5，图中阴影部分面积为51，求BC﹣CD的值（BC＞CD）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 13 乘法公式及其变形 1.熟记平方差、完全平方公式，能直接套用公式计算； 2.掌握公式逆用、恒等变形，熟练整体代换求值； 3.结合多项式化简、求值、几何面积题型综合运用公式； 4.会拆分、凑配构造公式求解复杂代数式。 一、核心乘法公式 平方差公式 判定技巧：两项和乘两项差，同号平方减异号平方。 完全平方公式； 二、常用变形拓展 平方差逆用： 平方和变形： 和差互化： 配凑变形： 三、重要拓展考点 整体代入：已知、求、； 几何应用：利用面积图形推导、验证乘法公式； 混合运算：多项式相乘先套公式再合并同类项。 题型 01 平方差公式及其应用 【典例1】下列各式中，适合用平方差公式计算的是（　　） A．（2m﹣n）（2n+m） B．（﹣2m+n）（2m+n） C．（2m+n）（2m+n） D．（﹣2m+n）（2m﹣n） B【解析】A．（2m﹣n）（2n+m）不适合平方差公式，故选项A不符合题意； B．（﹣2m+n）（2m+n）适合平方差公式，故选项B符合题意； C．（2m+n）（2m+n）不符合平方差公式，故选项C不符合题意； D．（﹣2m+n）（2m﹣n）不符合平方差公式，故选项D不符合题意． 故选：B． 【变式】若a+b＝3，a﹣b＝4，则a2﹣b2的值为（　　） A．﹣12 B．12 C．﹣7 D．7 B【解析】∵a+b＝3，a﹣b＝4， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝3×4＝12． 故选：B． 题型 02 平方差公式的几何背景 【典例2】几何直观如图，从腰长为a的等腰直角三角形纸片ABC中剪掉一个腰长为b的等腰直角三角形ADE，得到一个直角梯形DEBC，上述操作能验证的等式是（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2+b2 C【解析】∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，且腰长分别为a，b， ∴， ∴， 又∵阴影部分为直角梯形DEBC，DE∥BC，DE⊥AC， ∴上底DE＝b，下底BC＝a，高CD＝AC﹣AD＝a﹣b， ∴， ∴，即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：C． 【变式】如图，若正方形边长为5，当边长增加x时，其面积增加y，则y与x之间的关系式是 ． y＝x2+10【解析】由题意得，y＝（5+x）2﹣52＝x2+10x，故答案为：y＝x2+10x． 题型 03 完全平方公式及其应用 【典例3】下列计算正确的是（　　） A．（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（﹣a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2 D【解析】A．（a﹣b）是一次二项式，不能直接用平方差公式，原式缺少一个因式，故选项A错误； B．（﹣a﹣b）2＝[﹣（a+b）]2＝a2+2ab+b2，故选项B错误； C．（a+b）2＝a2+2ab+b2≠a2+b2，故选项C错误； D．（﹣a﹣b）2＝[﹣（a+b）]2＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项D正确． 故选：D． 【变式】已知x2﹣2x＝2，则代数式（x﹣1）2+2026＝　　 ． 2029【解析】∵x2﹣2x＝2， ∴（x﹣1）2+2026 ＝x2﹣2x+1+2026 ＝2+1+2026 ＝2029， 故答案为：2029． 题型 04 完全平方公式的几何背景 【典例4】已知a2+4b2＝13，ab＝3（a＞0，b＞0），可借助如图直观分析，也可以通过计算求得a+2b的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 A【解析】大正方形的边长为a+2b，其面积可以表示为（a+2b）2，也可以表示为中间正方形面积a2、四个角小正方形总面积4b2与四个矩形的总面积4ab之和，然后直接利用完全平方公式可知： （a+2b）2＝a2+2•a•2b+（2b）2＝a2+4ab+4b2， ∵a2+4b2＝13，ab＝3， ∴（a+2b）2＝13+4×3＝13+12＝25， ∵a＞0，b＞0， ∴a+2b＞0， ∴． 故选：A． 【变式】如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝22，那么阴影部分的面积是（　　） A．15 B．17 C．20 D．22 B【解析】由题意可得：阴影部分面积（a﹣b）•ab2（a2+b2）ab． ∵a+b＝10，ab＝22， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×22＝56，∴阴影部分面积5622＝28﹣11＝17． 故选：B． 题型 05 运用公式进行简算 【典例5】计算20262﹣2027×2025的结果是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2 C【解析】20262﹣2027×2025 ＝20262﹣（2026+1）（2026﹣1）， ＝20262﹣（20262﹣1）， ＝20262﹣20262+1 ＝1． 故选：C． 【变式】计算：　　 ． 【解析】原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1） ， 故答案为：． 【巩固训练】 1. 下列算式可以用平方差公式计算的是（　　） A．（a+b）（﹣a﹣b） B．（﹣a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）（a﹣b） D．（a+b）（﹣a+b） D【解析】∵（a+b）（﹣a﹣b）＝﹣（a+b）（a+b）， ∴该算式不可以用平方差公式进行计算， ∴选项A不符合题意； ∵（﹣a+b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）（a﹣b）， ∴该算式不可以用平方差公式进行计算，∴选项B不符合题意； ∵（a﹣b）（a﹣b）不可以用平方差公式进行计算， ∴选项C不符合题意； ∵（a+b）（﹣a+b）＝﹣（a+b）（a﹣b）， ∴该算式可以用平方差公式进行计算，∴选项D符合题意，故选：D． 2. 已知 a+b＝3，ab＝1，则a2+b2的值为（　　） A．7 B．9 C．5 D．8 A【解析】∵a+b＝3，ab＝1 ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ＝32﹣2×1＝7； 故选：A． 3．已知二元一次方程组，则代数式x2+4xy+4y2的值为　　 ． 36【解析】∵， ∴②﹣①得：x+2y＝﹣6， ∴原式＝（x+2y）2＝（﹣6）2＝36． 故答案为：36． 4. 已知 a＝192×918，b＝8882﹣302，c＝6982﹣2202，则a、b、c的大小关系为 （用“＜”连接）． a＜c＜b【解析】∵b＝8882﹣302，c＝6982﹣2202， ∴b＝（888+30）×（888﹣30），c＝（698+220）（698﹣220）， ∴b＝918×858，c＝918×478， ∵a＝192×918＝361×918，且361＜478＜858，∴a＜c＜b， 故答案为：a＜c＜b． 5. 若x2﹣y2＝﹣1，则（x﹣y）2025（x+y）2025＝　　 ． ﹣1【解析】原式＝[（x+y）（x﹣y）]2025 ＝（x2﹣y2）2025 ＝（﹣1）2025 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 6. 已知． （1）求a2+b2的值； （2）求（a﹣b）2的值． 解：（1）由条件可得； （2）由条件可得：． 7. 已知a﹣b＝4，ab＝3，求下列代数式的值． （1）a2+b2； （2）（a+b）2． 解：（1）∵a﹣b＝4，ab＝3，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝16+6＝22； （2）∵a﹣b＝4，ab＝3， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝16+12＝28． 8. 化简：（2x﹣1）2﹣（2x+5）（2x﹣5） 以下是小明的解题过程：（2x﹣1）2﹣（2x+5）（2x﹣5） ＝4x2﹣1﹣（4x2﹣25）…第一步 ＝4x2﹣1﹣4x2+25…第二步 ＝24…第三步 老师看到后，说小明做错了． （1）请问：小明错在第 　　 步； （2）请写出正确的解题过程，并计算当x＝5时原式的值． 解：（1）根据题意可知，小明错在第一步，这个（2x﹣1）2展开为4x2﹣4x+1． 故答案为：一； （2）原式＝4x2﹣4x+1﹣（4x2﹣25） ＝4x2﹣4x+1﹣4x2+25 ＝﹣4x+26， 当x＝5时，﹣4x+26＝﹣20+26＝6． 9.用乘法公式计算： （1）1012； （2）1252﹣123×127． 解:（1）原式＝（100+1）2 ＝1002+200+1 ＝10201； （2）原式＝1252﹣（125﹣2）×（125+2） ＝1252﹣1252+4 ＝4． 10. 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是B ． A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b） （2）已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，求2a﹣b的值； （3）应用所得的公式计算：20252﹣2024×2026． 解:（1）S图1的阴影＝a2﹣b2，S图2的阴影＝（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：B； （2）4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b）＝24，2a+b＝6， ∴2a﹣b＝4； （3）原式＝20252﹣（2025﹣1）（2025+1） ＝20252﹣（20252﹣1） ＝1． 【强化训练】 1. （2026春•新密市期末）若a4＝6，则（a﹣1）（a+1）（a2+1）的值为（　　） A．﹣5 B．0 C．5 D．7 C【解析】∵a4＝6， ∴（a﹣1）（a+1）（a2+1） ＝（a2﹣1）（a2+1） ＝a4﹣1 ＝6﹣1 ＝5， 故选：C． 2. （2026•江阳区校级模拟）若（m﹣2022）2+（m﹣2026）2＝40，则（m﹣2024）2的值为（　　） A．4 B．14 C．16 D．20 C【解析】设x＝m﹣2024， 则m﹣2022＝x+2，m﹣2026＝x﹣2， 由条件可知（x+2）2+（x﹣2）2＝40， 展开得：x2+4x+4+x2﹣4x+4＝40， 整理得：2x2+8＝40， 解得x2＝16， 即（m﹣2024）2＝16． 故选：C． 3．（2026•蓬江区校级二模）我国宋代数学家杨辉发现（a+b）n（n＝0、1、2、3……）展开数系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，（a+b）8展开式的系数和是 　256　 ． 256【解析】当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20， 当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21，当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22， … 当n＝8时，展开式的项系数和为＝28＝256，故答案为：256． 4. （2026春•莱州市期末）图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1、S2分别表示八（1（2）两个班级的基地面积．若m+n＝8，m﹣n＝2，则S1﹣S2＝　　 ． 16【解析】∵m+n＝8，m﹣n＝2， ∴S1﹣S2 ＝（S1+SB）﹣（S2+SB） ＝m2﹣n2 ＝（m+n）（m﹣n） ＝8×2 ＝16， 故答案为：16． 5. （2026春•衢州期末）如图，有两个正方形A，B，它们的边长分别为a和b，现将A放在B内部得到图1，图1中CD＝2，将A，B并列放置后构成大正方形，如图2，图2中阴影部分的面积为10.5，则图1中阴影部分的面积为　　 ． 10【解析】由题意得，b﹣a＝2，（b+a）2﹣a2﹣b2＝10.5，即2ab＝10.5， ∵（b+a）2＝（b﹣a）2+4ab＝4+2×10.5＝25，而b＞a＞0， ∴b+a＝5， ∴图1中阴影部分的面积为b2﹣a2＝（b+a）（b﹣a）＝5×2＝10， 故答案为：10． 6. （2026•河北）用运算律或乘法公式可以简化运算，例如： 982＝982﹣22+22 ＝（98+2）×（98﹣2）+22 ＝100×96+4 ＝9604． （1）证明a2＝（a+b）（a﹣b）+b2，并用以上方法计算992． （2）计算：（﹣105）2． （1）证明：∵右边＝（a+b）（a﹣b）+b2 ＝（a2﹣b2）+b2 ＝a2﹣b2+b2 ＝a2＝左边， ∴a2＝（a+b）（a﹣b）+b2， ∴992＝（99+1）（99﹣1）+12 ＝100×98+1 ＝9801； （2）解：（﹣105）2 ＝（﹣105）2﹣52+52 ＝[（﹣105）+5]×[（﹣105）﹣5]+25 ＝（﹣100）×（﹣110）+25 ＝11000+25 ＝11025． 7. （2026春•邗江区期末）推理能力：如图①所示，在边长为a的正方形中作一个边长为b（a＞b）的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以（a+b）为长、（a﹣b）为宽的长方形面积，如图②所示． 【探究】 （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为　　 ，根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式　 ； 【应用】（2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若a+b＝4，a﹣b＝2，求a2﹣b2的值； ②计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）． 解：（1）余下的阴影部分面积等于一个以（a+b）为长、（a﹣b）为宽的长方形面积， 由题意得，图①中阴影部分的面积为a2﹣b2，图②中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． 故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． （2）①因为a+b＝4，a﹣b＝2，且（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 所以（a+b）（a﹣b）＝4×2＝8，即a2﹣b2＝8． ②原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1） ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（21024+1） ＝（28﹣1）（28+1）…（21024+1） ＝（216﹣1）…（21024+1） ＝22048﹣1． 8. （2026春•瑶海区校级期末）观察以下等式： （x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1， （x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27， （x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216， … （1）按以上等式的规律填空：（x+a）（ ）＝x3+a3； （2）试利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； （3）利用（1）中的公式化简：（x+4）（x2﹣4x+16）﹣（x﹣2）（x2+2x+4）． 解:（1）∵（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1， （x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27， （x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216， ∴（x+a）（x2﹣ax+a2）＝x3+a3， 故答案为：x2﹣ax+a2； （2）（x+a）（x2﹣ax+a2） ＝x•x2﹣x•ax+x•a2+a•x2﹣a•ax+a•a2 ＝x3﹣ax2+a2x+ax2﹣a2x+a3 ＝x3+a3； （3）由（1）可知，（x+a）（x2﹣ax+a2）＝x3+a3， ∴原式＝x3+43﹣（x3﹣23） ＝x3+43﹣x3+23 ＝64+8 ＝72． 9. （2026春•银川校级期末）完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题． （1）若x+y＝8，xy＝12，求x2+y2的值； （2）已知a，b满足（a+b）2＝11，（a﹣b）2＝7，求a2+b2与ab的值； （3）如图，已知正方形ABCD，BEFG的边长分别为x，y若x2+y2＝29，AE＝3，求图中阴影部分的面积？ 解:（1）∵x+y＝8，xy＝12， ∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝x2+y2+2×12＝82， ∴x2+y2＝40； （2）∵（a﹣b）2＝7，（a+b）2＝11， ∴a2+b2﹣2ab＝7，a2+b2+2ab＝11， 两式相加得2（a2+b2）＝18， 故a2+b2＝9； 两式相减得4ab＝4，故ab＝1； （3）由题意，AE＝x﹣y＝3， ∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝29﹣2xy＝32， ∴xy＝10， ∴（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝9+40＝49， ∵x+y＞0， ∴x+y＝7， ∴． ∴图中阴影部分的面积为． 10. （2026春•沈阳期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，如图1，一个长为2a、宽为2b的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形． （1）根据图1和图2，直接写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的一个等量关系　 ． （2）利用（1）中的结论解决下列问题： ①若2x﹣y＝8，xy＝10，求2x+y的值． ②如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，延长GB和ED交于点H，那么四边形DCBH为长方形，设AB＝14.5，图中阴影部分面积为51，求BC﹣CD的值（BC＞CD）． 解:（1）图2整体上是边长为（a+b）的正方形，面积为（a+b）2，中间小正方形的边长为（a﹣b），面积为（a﹣b）2，4个长方形的面积为4ab， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； 故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （2）①由（1）可得，（2x+y）2＝（2x﹣y）2+8xy， ∵2x﹣y＝8，xy＝10， ∴（2x+y）2＝82+8×10＝144， ∴2x+y＝±12； ②设CD＝n，BC＝m，则AC＝CD＝n， ∵AB＝14.5，图中阴影部分面积为51， ∴mn＝51，m+n＝14.5， 由（1）可得，（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn， ∴（m﹣n）2＝14.52﹣4×51＝6.25， ∵m＞n， ∴m﹣n＝2.5，即BC﹣CD＝2.5，∴BC﹣CD的值为2.5． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $