专题10 等边三角形与含30°角的直角三角形（重难点讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦初中数学中等边三角形与含30°角直角三角形核心知识点，系统梳理等边三角形的定义、性质及判定方法，衔接含30°角直角三角形的角度关系与核心定理，构建从基础概念到综合应用的学习支架，助力学生掌握与全等、折叠等知识的融合运用。 该资料以分层设计为特色，通过典例解析、变式训练及巩固强化环节，结合具体几何问题（如等边三角形中角度计算、含30°角直角三角形边长推理），培养学生几何直观与推理能力，体现数学思维。课中辅助教师实施阶梯式教学，课后帮助学生针对性练习，有效查漏补缺。

专题 10 等边三角形与含30°角的直角三角形 1.掌握等边三角形定义、性质、判定，能结合三角形三边关系、等腰三角形综合解题； 2.熟记含 30° 直角三角形核心定理，会进行边长计算、线段证明； 3.能结合全等、折叠、几何化简、分类讨论解决综合题型。 一、等边三角形 （一）定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形（特殊的等腰三角形）。 （二）性质 三边相等：； 三角相等，每个内角都是 ：； 三线合一：每条边上的中线、高、对应角平分线重合； （三）判定 三边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都相等（均为）的三角形是等边三角形； 有一个角是的等腰三角形是等边三角形（高频考点）。 二、含 30° 角的直角三角形 （一）基础性质角度关系：直角，一个锐角，另一个锐角； 核心定理（必考）：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 符号语言： 逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于。 题型 01 等边三角形基础性质与判定 【典例1】如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为（　　） A．25° B．60° C．85° D．95° D【解析】∠ADB＝∠DBC+∠C＝35°+60°＝95°． 故选：D． 【变式】如图，等边△ABC中，AB＝4，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，若∠E＝30°，则CE的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 B【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4，∠ACB＝60°， ∵BD平分∠ABC，∴D是AC的中点， ∴CDAC＝2， ∵∠CDE＝∠ACB﹣∠E＝60°﹣30°＝30°， ∴∠CDE＝∠E，∴CE＝CD＝2．故选：B． 题型 02含30°角的直角三角形的计算 【典例2】如图，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，若BE＝6cm，则AC的长是　 ． 3cm【解析】∵AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，BE＝6cm，∠B＝15°， ∴AE＝BE＝6cm，∠B＝∠EAB＝15°， ∵∠AEC是△AEB的外角， ∴∠AEC＝∠B+∠EAB＝30°， ∵∠C＝90°，∴ACAE＝3（cm）．故答案为：3cm． 【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别在AB上方、下方交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，S△ABD＝5，则S△ABC＝　　 ． 【解析】连接AD，MN交AB于点E， 由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，∴AD＝DB，∠B＝∠DAB＝30°，△ADE≌△DBE，DE⊥AB， ∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°， ∴∠CAD＝30°＝∠DAB， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE，AC＝AE，∴△ADE≌△ACD（SAS）， ∴，故答案为：． 题型 03 等边三角形的综合题 【典例3】如图，△ABC的三边相等，三个内角也相等，点D、E分别是△ABC的边CB、BA的延长线上一点，且BD＝AE，连接CE，连接DA并延长交CE于点F． （1）试说明：AD＝CE；（2）求∠CFA的度数． （1）证明：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴， ∴∠CAE＝∠ABD＝180°﹣60°＝120°， 在△ABD和△CAE中，， ∴△ABD≌△CAE（SAS）；∴AD＝CE； （2）解：∵△ABD≌△CAE， ∴∠E＝∠D， ∵∠EAF＝∠DAB，∠E+∠EAF+∠AFE＝∠D+∠DAB+∠ABD＝180°， ∴∠CFA＝180°﹣∠AFE＝60°． 【变式】如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝2，BD⊥AC于点D，点E在BC的延长线上，CE＝CD，连接ED． （1）求CD的长； （2）求∠E的度数． 解:（1）∵△ABC是等边三角形，AB＝2，∴AB＝BC＝AC＝2， ∵BD⊥AC，∴AD＝CDAC2＝1； （2）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°（等边三角形的性质）， ∵CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE（等边对等角）， ∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠ACB＝2∠E，∴∠E＝30°． 【巩固训练】 1. 下列条件中，不能判定△ABC是等边三角形的是（　　） A．AB＝AC，∠B＝60° B．AB＝AC，∠A＝∠B C．∠A＝∠B＝60° D．∠A+∠B＝2∠C D【解析】对于选项A，∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形， 故选项A能判定△ABC是等边三角形，不合题意； 对于选项B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∴△ABC是等边三角形，故选项B能判定△ABC是等边三角形，不合题意； 对于选项C，∵∠A＝∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形， 故选项C能判定△ABC是等边三角形，不合题意； 对于选项D， ∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝2∠C，∴2∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝60°， 根据已知条件无法判定∠A＝60°（或∠B＝60°），因此无法判定△ABC是等边三角形， 故选项D符合题意．故选D． 2. 如图，直线m∥n，等边△ABC的顶点B在直线n上，直线m交AB边于点D．若∠α＝22°，则∠β的度数为（　　） A．82° B．72° C．78° D．86° A【解析】∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵m∥n， ∴∠β＝∠ABC+∠α＝60°+22°＝82°，故选：A． 3. 如图，在四边形ABCD中，DA＝DC，BA＝BC＝12，AC，BD相交于点E．若∠ABC＝60°，则AE的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．12 C【解析】在四边形ABCD中，DA＝DC，BA＝BC＝12， ∴BD垂直平分AC， ∴BD⊥AC，即BE⊥AC， ∵BA＝BC，∠ABC＝60°， ∴AC＝BC＝12， ∵BE⊥AC，∴．故选：C． 4. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D是BC的中点，点E是AC的中点，EF∥AD，若CF＝2，则AB的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 D【解析】∵△ABC中，∠B＝∠C＝60°，∴AB＝AC，∴△ABC是等边三角形， ∵点D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°，∵EF∥AD， ∴∠EFC＝90°，∴∠FEC＝30°，∵CF＝2， ∴CE＝2CF＝2×2＝4，∴AC＝2CE＝2×4＝8，所以AB的长为8，故选：D． 5. 如图，一束平行光线照射在等边△ABC上，如果∠1＝25°，那么∠2＝ 　　 °． 85°【解析】如图所示： ∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°， ∵∠1＝25°，∴∠EAC＝∠BAC+∠1＝85°， ∵光线AE∥CF，∴∠2＝∠EAC＝85°．故答案为：85°． 6. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，若AD＝2，则BD＝　　 ． 6【解析】∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝90°＝∠ACB， ∵∠B＝30°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝60°， ∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°， ∵AD＝2，∴AC＝2AD＝4，∴AB＝2AC＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6，故答案为：6． 7. 如图，在四边形ABCD中，AD∥CB，∠ADC的角平分线与CB的延长线交于点E，∠E＝60°，求证：△ECD为等边三角形． 证明：∵AD∥CB，∴∠A＝∠ABE，∠ADE＝∠E＝60°， ∵∠ADC的角平分线与CB的延长线交于点E， ∴∠ADE＝∠CDE＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠CDE﹣∠E＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠C＝∠CDE＝∠E＝60°． ∴△ECD为等边三角形． 8. 已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，AB边上的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接AD．求证：CD＝2BD． 证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°． ∴∠B＝∠C（180°﹣∠BAC）＝30°， ∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∴∠BAD＝∠B＝30°， ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝90°， ∴CD＝2AD， ∴CD＝2BD． 【强化训练】 1. （2026春•铁西区校级月考）如图，小宣在一张三角形纸片上放置三根互相平行的木棍，其中两根木棍经过三角形的顶点B，C，测得∠1＝80°，∠2＝40°，∠3＝20°，则△ABC的形状为（　　） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 C【解析】根据题意可得：EF∥BD∥CG， ∴∠ABD＝∠2＝40°，∠CBD＝∠3＝20°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝40°+20°＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣80°﹣40°＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB， ∴△ABC为等边三角形．故选：C． 2. （2026春•高陵区期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝14，BC＝DC，∠A＝60°，CE∥AB，交边AD于点E，连接BD，交CE于点F，若CE＝12，则CF的长为（　　） A．6 B．7 C．9 D．10 D【解析】如图，连接AC交BD于点O， ∵AB＝AD＝14，BC＝DC，∠A＝60°， ∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，∠CAB＝∠CAD∠BAD＝30°， ∴∠ADB＝60°， ∵CE∥AB，∴∠BAD＝∠DEF＝60°，∠CAB＝∠ACE＝∠CAD＝30°， ∴△DEF是等边三角形，△AEC是等腰三角形， ∴AE＝CE＝12，DE＝EF＝AD﹣AE＝14﹣12＝2， ∴CF＝CE﹣EF＝12﹣2＝10．故选：D． 3. （2026春•碑林区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝4，CD是∠ACB的角平分线，点E、F分别在边BC、CA上且∠EDF＝120°，DF∥BC，则四边形CEDF的周长是　　 ． 【解析】∵∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝4， ∴∠ACB＝60°，BC＝2AC＝8，∵CD是∠ACB的角平分线， ∴∠ACD＝∠BCD＝30°， ∵DF∥BC， ∴∠ADF＝∠B＝30°，∠CDF＝∠BCD＝30°， ∵∠EDF＝120°， ∴∠BDE＝180°﹣∠ADF﹣∠EDF＝30°， ∴∠ACD＝∠CDF，∠BDE＝∠B， ∴DE＝BE，CF＝DF， ∴CE+DE＝CE+BE＝BC， ∵∠A＝90°，∠ADF＝30°，AC＝4， ∴AFDFCF， ∴CF＝DF， ∴四边形CEDF的周长是CF＝DF+CE+DE8．故答案为：． 4. （2026春•虹口区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，BD⊥AC，垂足为点D，点F在边BC上，BF＝BD，那么∠BDF的度数是　　 度． 75【解析】由条件可知∠ABC＝60°，∵BD⊥AC，∴BD平分∠ABC， ∴， ∵BF＝BD， ∴∠BDF＝∠BFD， ∵∠DBC+∠BDF+∠BFD＝180°， ∴．故答案为：75． 5. （2025春•海沧区校级期中）如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把点B折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，则∠BAH的度数为 　30°　 ． 30°【解析】连接DH，由折叠的性质得到：DH＝AH，AH＝AB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠BAD＝90°， ∴DH＝AH＝AD，∴△ADH是等边三角形， ∴∠DAH＝60°， ∴∠BAH＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30°． 6. （2025秋•洞口县期末）将含30°角的直角三角尺AHG按如图方式放置在刻度尺上，与刻度尺一组互相平行的对边分别交于点B、C、E、F．若∠FEG＝30°，B、C两点表示的刻度分别是1cm，3cm． （1）求∠ACB的度数； （2）求AB的长． 解:（1）由题意知，∠FEG＝30°，∠G＝30°， ∴∠AFE＝∠FEG+∠G＝30°+30°＝60°， ∵BC∥EF， ∴∠ACB＝∠AFE＝60°（两直线平行，同位角相等）； （2）∵∠G＝30°， ∴∠A＝90°﹣∠G＝90°﹣30°＝60°， 又∵∠ACB＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC． ∵B、C两点表示的刻度分别是1cm，3cm，∴BC＝2cm，∴AB＝BC＝2cm． 7. （2025秋•沭阳县期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：DB＝DE； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． （1）证明：∵△ABC为等边三角形，BD是中线， ∴∠ACB＝60°，， ∵CE＝CD， ∴， ∴∠CBD＝∠E＝30°． ∴DB＝DE； （2）解：∵DF⊥BE，∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°， ∵CF＝4， ∴DC＝2CF＝8． ∵△ABC为等边三角形，BD是中线， ∴AB＝BC＝AC＝2DC＝16，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3×16＝48． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 10 等边三角形与含30°角的直角三角形 1.掌握等边三角形定义、性质、判定，能结合三角形三边关系、等腰三角形综合解题； 2.熟记含 30° 直角三角形核心定理，会进行边长计算、线段证明； 3.能结合全等、折叠、几何化简、分类讨论解决综合题型。 一、等边三角形 （一）定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形（特殊的等腰三角形）。 （二）性质 三边相等：； 三角相等，每个内角都是 ：； 三线合一：每条边上的中线、高、对应角平分线重合； （三）判定 三边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都相等（均为）的三角形是等边三角形； 有一个角是的等腰三角形是等边三角形（高频考点）。 二、含 30° 角的直角三角形 （一）基础性质角度关系：直角，一个锐角，另一个锐角； 核心定理（必考）：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 符号语言： 逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于。 题型 01 等边三角形基础性质与判定 【典例1】如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为（　　） A．25° B．60° C．85° D．95° 【变式】如图，等边△ABC中，AB＝4，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，若∠E＝30°，则CE的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型 02含30°角的直角三角形的计算 【典例2】如图，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，若BE＝6cm，则AC的长是　 ． 【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别在AB上方、下方交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，S△ABD＝5，则S△ABC＝　　 ． 题型 03 等边三角形的综合题 【典例3】如图，△ABC的三边相等，三个内角也相等，点D、E分别是△ABC的边CB、BA的延长线上一点，且BD＝AE，连接CE，连接DA并延长交CE于点F． （1）试说明：AD＝CE；（2）求∠CFA的度数． 【变式】如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝2，BD⊥AC于点D，点E在BC的延长线上，CE＝CD，连接ED． （1）求CD的长； （2）求∠E的度数． 【巩固训练】 1. 下列条件中，不能判定△ABC是等边三角形的是（　　） A．AB＝AC，∠B＝60° B．AB＝AC，∠A＝∠B C．∠A＝∠B＝60° D．∠A+∠B＝2∠C 2. 如图，直线m∥n，等边△ABC的顶点B在直线n上，直线m交AB边于点D．若∠α＝22°，则∠β的度数为（　　） A．82° B．72° C．78° D．86° 3. 如图，在四边形ABCD中，DA＝DC，BA＝BC＝12，AC，BD相交于点E．若∠ABC＝60°，则AE的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．12 4. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D是BC的中点，点E是AC的中点，EF∥AD，若CF＝2，则AB的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 5. 如图，一束平行光线照射在等边△ABC上，如果∠1＝25°，那么∠2＝ 　　 °． 6. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，若AD＝2，则BD＝　　 ． 7. 如图，在四边形ABCD中，AD∥CB，∠ADC的角平分线与CB的延长线交于点E，∠E＝60°，求证：△ECD为等边三角形． 8. 已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，AB边上的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接AD．求证：CD＝2BD． 【强化训练】 1. （2026春•铁西区校级月考）如图，小宣在一张三角形纸片上放置三根互相平行的木棍，其中两根木棍经过三角形的顶点B，C，测得∠1＝80°，∠2＝40°，∠3＝20°，则△ABC的形状为（　　） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 2. （2026春•高陵区期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝14，BC＝DC，∠A＝60°，CE∥AB，交边AD于点E，连接BD，交CE于点F，若CE＝12，则CF的长为（　　） A．6 B．7 C．9 D．10 3. （2026春•碑林区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝4，CD是∠ACB的角平分线，点E、F分别在边BC、CA上且∠EDF＝120°，DF∥BC，则四边形CEDF的周长是　　 ． 4. （2026春•虹口区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，BD⊥AC，垂足为点D，点F在边BC上，BF＝BD，那么∠BDF的度数是　　 度． 5. （2025春•海沧区校级期中）如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把点B折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，则∠BAH的度数为 　　 ． 6. （2025秋•洞口县期末）将含30°角的直角三角尺AHG按如图方式放置在刻度尺上，与刻度尺一组互相平行的对边分别交于点B、C、E、F．若∠FEG＝30°，B、C两点表示的刻度分别是1cm，3cm． （1）求∠ACB的度数； （2）求AB的长． 7. （2025秋•沭阳县期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：DB＝DE； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $