16.2 整式的乘法 第3课时 多项式与多项式相乘 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦多项式与多项式相乘法则，通过复习单项式乘多项式衔接前知，以绿地面积问题情境导入，引导学生从数形结合角度发现法则，构建整式乘法的学习支架。 此资料以情境探究为特色，通过面积计算（几何直观）和分配律推导（推理能力）建立运算模型（模型观念），练习含图形验证、含参问题等实例，培养运算能力与应用意识，助力学生规范运算，为教师提供结构化教学资源。

16.2 整式的乘法 第3课时 多项式与多项式相乘 课题 16.2 整式的乘法 第3课时 多项式与多项式相乘 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 第十六章 整式的乘法 教学方法 情境导入、探究发现、讲练结合 教学用具 多媒体课件 教材分析 本节课是整式乘法的第三课时，在学习了单项式乘单项式、单项式乘多项式之后，继续研究多项式与多项式相乘。多项式乘多项式的法则是乘法分配律的综合应用，是整式乘法运算的最终形式，也是后续学习乘法公式（平方差公式、完全平方公式）和整式除法的重要基础。本节课通过绿地面积的实际问题，从数形结合的角度引导学生发现法则，再通过分配律进行严格推导，体现了从特殊到一般的数学思想方法。 学情分析 学生已掌握单项式乘单项式和单项式乘多项式的运算法则，能熟练运用乘法分配律进行整式运算。但多项式乘多项式需要多次运用分配律——将其中一个多项式看作一个整体，再分别乘以另一个多项式的每一项，运算步骤增多，学生容易在符号处理、漏乘和合并同类项等环节出现错误。教学中需通过充分的例题和练习，帮助学生建立"每一项乘每一项"的运算习惯，形成规范化的书写格式。 教学重点：掌握多项式与多项式相乘的运算法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。能熟练运用法则进行多项式与多项式的乘法运算，包括化简、求值、含参问题和图形面积验证等多种应用。 掌握多项式与多项式相乘的运算法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。能熟练运用法则进行多项式与多项式的乘法运算，包括化简、求值、含参问题和图形面积验证等多种应用。 教学难点：法则的灵活运用——"每一项乘每一项"容易遗漏；符号的正确处理——每一项的符号必须相乘时保持一致；合并同类项之前的项数检验——积的项数等于两个多项式项数的积；含参问题中通过展开并令特定项系数为0求解参数；利用整体思想将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式再展开。 法则的灵活运用——"每一项乘每一项"容易遗漏；符号的正确处理——每一项的符号必须相乘时保持一致；合并同类项之前的项数检验——积的项数等于两个多项式项数的积；含参问题中通过展开并令特定项系数为0求解参数；利用整体思想将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式再展开。 一、核心素养目标 1. 运算能力 理解多项式与多项式相乘的运算法则的推导过程，掌握"先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加"的法则。能熟练运用法则进行多项式与多项式的乘法运算，包括含乘方、多个括号的混合运算，运算准确、规范。 2. 推理能力 经历"实际问题→数形结合→归纳猜想→推理论证"的完整探究过程。能从乘法分配律出发，将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式再转化为单项式乘单项式，推导出多项式乘多项式的法则。体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方法，理解分配律在整式运算中的核心地位。 3. 模型观念 建立"多项式乘多项式 = 每一项乘每一项再相加"的运算模型。能将实际问题（如面积计算、图形面积验证）转化为多项式乘多项式的数学模型，并运用法则进行求解。能利用整体思想将复杂表达式转化为简单模型进行运算。 4. 应用意识 能运用多项式乘多项式的法则解决化简求值、含参问题等实际问题，体会整式运算的工具性价值。在解决问题过程中，能灵活选择运算策略，如先化简再代入求值。能从图形面积的角度验证多项式乘法的结果，体会数形结合的思想。 二、教学重难点 教学重点 1. 掌握多项式与多项式相乘的运算法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 2. 能熟练运用法则进行多项式与多项式的乘法运算，并正确进行化简和合并同类项。 3. 能运用法则解决化简求值、含参问题和图形面积验证等综合问题。 教学难点 1. "每一项乘每一项"容易遗漏——需建立规范的运算步骤，确保不重不漏。 2. 符号的正确处理——每一项的符号必须相乘时保持一致，注意"每一项"包括其前面的符号。 3. 合并同类项之前的项数检验——积的项数（合并前）等于两个多项式项数的积。 4. 含参问题中通过展开并令特定项系数为0求解参数。 5. 多个括号的混合运算——注意运算顺序，先展开再合并同类项。 三、教学过程 环节一：复习导入（5分钟） 【教师活动】上节课我们学习了单项式与多项式相乘，下面先来复习一下。请同学们计算： 【学生活动】 【学生活动】 【教师活动】很好！这两道题综合了单项式乘多项式的展开、去括号和合并同类项。第(2)题中括号内两项相减得0，所以结果为0，这体现了先化简括号内表达式的策略。今天我们要把乘法推向更高层次——多项式与多项式相乘。 【过渡语】让我们从一个实际问题出发，来探索多项式乘多项式的法则。 环节二：探究新知（15分钟） 一、情境导入——绿地面积问题 【教师活动】已知某街心花园有一块长方形绿地，长为am，宽为pm，则它的面积是多少？ 【学生活动】长方形的面积 = 长 × 宽。 【教师活动】为了扩大街心花园的绿地面积，将这块长方形绿地加长了bm，加宽了qm。你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？ 【学生活动】方法一：把扩大后的绿地看作一个大的长方形，长为宽为面积为。 【学生活动】方法二：把扩大后的绿地看作两个长方形，横着分或者竖着分。 【学生活动】方法三：把扩大后的绿地看作四个小长方形，面积分别为ap、bp、aq、bq，总面积为。 【教师活动】非常棒！三种方法表示的是同一个量，所以它们应该相等。 【知识点】多项式与多项式相乘的推导 方法一—— 看作一个整体 方法二—— 横向分割 —— 纵向分割 方法三—— 分为四个小长方形 三种方法表示的是同一个面积，因此： 或 核心：利用乘法分配律，将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式。 【设计意图】通过长方形绿地面积的实际问题，利用数形结合的方式，引导学生从三种不同角度表示同一个面积，自然发现多项式乘多项式的法则。从实际问题出发，既让学生感受到数学与实际生活的联系，又为法则的推导提供了直观的几何支撑。 【过渡语】从面积问题出发，我们得到了多项式乘多项式的基本方法。下面我们来正式总结法则。 二、法则总结 【教师活动】一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 【知识要点】多项式与多项式相乘的法则一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。公式注意事项：①注意符号——"每一项"包括其前面的符号，相乘时符号要正确；②合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积，可据此检验是否有漏乘。 【知识点】多项式与多项式相乘的运算步骤 第一步：用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项 第二步：在乘法中运用单项式乘单项式的法则 第三步：把所得的积相加 第四步：合并同类项 关键：分配律是核心，转化为单项式乘单项式 检验：合并前积的项数 = 两个多项式项数的乘积 【设计意图】法则的总结是对前面探究过程的归纳和提升。两条注意事项针对学生常见错误——符号错误和漏乘，提前预防，帮助学生建立正确的运算习惯。 【过渡语】我们已经总结了多项式与多项式相乘的法则和注意事项。下面通过教材例题，来具体学习如何运用这个法则进行计算。 三、例3（教材例题） 【教师活动】（展示课件——例3）计算： 【学生活动】 【解答】解 【解答】 【解答】 【解答】 【学生活动】 【解答】解 【解答】 【解答】 【解答】 【教师活动】继续看例3的(3)(4)小题。 【学生活动】 【解答】解 【解答】 【解答】 【解答】 【学生活动】 【解答】 【解答】 【解答】 【解答】 【解题策略】例3要点总结(1) 基本型：两个二项式相乘，a和3分别乘a和-2，展开得四项，合并同类项。(2) 含负号和注意符号，展开后合并同类项。关键：每一项乘每一项，不重不漏，合并同类项前检验项数。 【设计意图】例3四道小题从易到难，层层递进。(1)是基本型，巩固法则；(2)引入系数和符号；(3)增加负系数，强调符号处理；(4)涉及二项式乘三项式，展开项数增多，考验运算的准确性和规范性。 【过渡语】通过例3，同学们已经初步掌握了多项式乘多项式的基本方法。下面我们通过更多练习，从不同角度巩固和提高。 环节三：课堂练习（20分钟） 练习1（综合练习） 【教师活动】计算： 【学生活动】 【解答】解 【解答】 【解答】 【解答】 【学生活动】 【解答】解 【解答】 【解答】 【解答】 【教师活动】继续看(3)(4)小题。 【学生活动】 【解答】 【解答】 【解答】 【学生活动】 【解答】 【解答】 【解答】 【解答】 【方法归纳】练习1要点(1) 基本型：两个二项式相乘，展开得四项，合并同类项。(4) 二项式乘三项式：展开得六项，合并同类项后得三项。 练习2（图形面积验证） 【教师活动】通过计算，比较图①、图②中阴影部分的面积，可以验证的算式是（ ） 【教师活动】 【教师活动】 【教师活动】 【教师活动】 【学生活动】 【答案】B 【规律总结】图形面积验证多项式乘法核心方法：用两种方式表示同一图形的面积，建立等式。这是数形结合思想在多项式乘法中的重要应用。 【设计意图】图形面积验证题将多项式乘多项式与几何图形面积计算相结合，体现了数形结合的思想。通过比较两个图形中的阴影面积，让学生直观地理解多项式展开的几何意义。 练习3（含参问题） 【教师活动】若 【教师活动】 【学生活动】 【解答】 【解答】 【解答】 【解答】 【解答】所以 【解答】解得 【答案】 【解题策略】含参问题思路：先展开多项式乘多项式，合并同类项，再令指定项的系数为0，解出参数。关键：正确合并同类项，准确找出含参项的系数。 练习4（教材P107练习 第1题） 【教师活动】计算： 【学生活动】 【解答】解 【解答】 【解答】 【解答】 【学生活动】 【解答】解 【解答】 【解答】 【解答】 【教师活动】继续看(3)(4)小题。 。 【学生活动】 【解答】 【解答】 【解答】 【解答】 【学生活动】 【解答】解 【解答】 【解答】 【解答】 【教师活动】继续看(5)(6)小题。 【学生活动】 【解答】 【解答】 【解答】 【学生活动】 【解答】 【解答】 【解答】 【解答】 【设计意图】教材P107练习第1题共6道小题，从基本型到进阶型，覆盖了二项式乘二项式、完全平方展开、平方差展开、含乘方项、三项式乘二项式等多种类型，帮助学生全面巩固多项式乘多项式的运算法则。 练习5（教材P107练习 第2题） 【教师活动】计算： 【学生活动】 【解答】解 【解答】 【解答】 【解答】 【学生活动】 【解答】解 【解答】 【解答】 【解答】 【教师活动】继续看(3)(4)小题。 。 【学生活动】 【解答】解 【解答】 【解答】 【解答】 【学生活动】 【解答】解 【解答】 【解答】 【解答】 【规律总结】型展开一次项系数常数项。这是后续学习十字相乘法因式分解的基础。 【设计意图】教材P107练习第2题的四道题都是型，帮助学生发现规律：一次项系数为常数项为ab。这种规律性发现为后续学习因式分解中的十字相乘法奠定了基础。 练习6（教材P107练习 第3题） 【教师活动】求值： 【教师活动】，其中 【教师活动】， 【教师活动】。 【学生活动】 【解答】 【解答】 【解答】 【解答】 【学生活动】 当时， 【答案】-30 【方法归纳】化简求值策略先化简，再代入求值——这是代数式求值的基本策略。化简时注意：展开后合并同类项，能抵消的项尽量抵消。代入时注意运算顺序，先算乘方再算乘法。 【设计意图】这道化简求值题综合了多项式乘多项式、去括号、合并同类项和代入求值，步骤较多，考验学生的运算能力。先化简再代入是基本策略，可以大大简化计算。 环节四：课堂小结（3分钟） 【过渡语】通过层层递进的练习，同学们对多项式与多项式相乘的法则已经有了比较深入的理解。下面我们一起来回顾本节课的核心内容。 【教师活动】请一位同学总结一下本节课学习的法则和注意事项。 【学生活动】多项式与多项式相乘的法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。公式。注意事项：第一，注意符号，"每一项"包括其前面的符号；第二，合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积，可以检验是否有漏乘；第三，展开后要合并同类项化为最简形式。 【教师活动】总结得很好！老师再强调几点：第一，多项式乘多项式的本质是多次运用乘法分配律——将其中一个多项式看作整体，再分别乘以另一个多项式的每一项；第二型展开有规律：一次项系数为常数项为ab，这是后续学习十字相乘法的基础；第三，化简求值的基本策略是先化简再代入，可以大大简化计算；第四，数形结合是理解多项式乘法的重要方法。 【知识点】课堂小结：多项式与多项式相乘 一、法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项， 再把所得的积相加。 二、注意事项 ①注意符号——"每一项"包括其前面的符号； ②检验项数——合并前积的项数 = 两个多项式项数的乘积； ③合并同类项——展开后化为最简形式。 三、规律发现 一次项系数常数项。 四、拓展应用 化简求值：先化简再代入； 含参问题：展开后令指定项系数为0； 图形面积验证：数形结合。 环节五：布置作业（2分钟） 【教师活动】今天的作业是：1.从教材习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。 【学生活动】（记录作业要求） 四、板书设计 【知识点】16.2 整式的乘法 第3课时 多项式与多项式相乘 一、法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项， 再把所得的积相加。 公式 二、例3 三、注意事项 ①注意符号 ②检验项数 ③合并同类项 四、规律 五、教学反思 本节课从长方形绿地面积的实际问题出发，通过"数形结合→分配律推导→法则总结→例题练习"的完整教学流程，引导学生自主发现并理解多项式与多项式相乘的法则。教学中注重从实际问题中抽象出数学模型，让学生体会数学的应用价值，同时强调乘法分配律在整式运算中的核心地位——多项式乘多项式可转化为单项式乘多项式，再转化为单项式乘单项式。 学生在"每一项乘每一项"和"符号处理"方面容易出错。教学中通过两条注意事项——"注意符号"和"检验项数（合并前积的项数等于两个多项式项数的乘积）"，帮助学生建立正确的运算习惯。在例3和后续练习中，设计了从基本型到含乘方、多项式的多种类型，帮助学生逐步提升运算能力。 本节课的亮点之一是图形面积验证题，将多项式乘多项式与几何图形面积计算相结合，让学生直观地理解多项式展开的几何意义。另一个亮点是发现型展开的规律——一次项系数为常数项为ab，这为后续学习十字相乘法因式分解奠定了坚实基础。化简求值题综合了多项运算技能，体现了"先化简再代入"的基本策略。 学科网（北京）股份有限公司 $