第三章图形的相似单元复习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册第三章“图形的相似”单元复习卷，以几何直观、推理能力为核心，覆盖相似三角形、位似图形等知识点，通过分层设计与文化情境提升应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|比例线段、位似性质|基础概念辨析，如位似图形对应线段关系| |填空题|5/15|黄金分割、位似坐标|结合自然现象（枫叶黄金分割），强化计算| |解答题（一）|3/21|比例计算、相似证明|基础推理，如利用平行线证相似| |解答题（二）|3/27|测量应用、坐标位似|联系生活（树高测量），考查建模能力| |解答题（三）|2/27|旋转综合、黄金三角形|融合文化（国旗五角星），探究性问题设计|

· 第三章 图形的相似�单元复习 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．若a，b，c，d是比例线段，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若两个图形位似，则下列叙述不正确的是（    ） A．每对对应点所在的直线相交于同一点 B．两个图形上的对应线段必平行 C．两个图形上的对应线段之比等于相似比 D．两个图形的面积之比等于相似比的平方 3．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，，的周长为，则的周长为（    ） A． B．8 C．24 D． 4．如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．如图，在中，点D、E分别在边上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．已知位于第一象限，点在的圆周上，以原点为位似中心，在第一象限内将缩小到原来的，得到，则点在上的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在中，点、分别在、上，且、，若的面积为9，则的面积为（    ） A．8 B．16 C．27 D． 10．如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则d的值是_______． 12．已知在平面直角坐标系中，的顶点分别为，若以原点为位似中心，相似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为______． 13．大自然巧夺天工，一片小枫叶也蕴含着“黄金分割”， 如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是_______cm． 14．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在点的同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为，则点的坐标为__________． 15．如图，在中，，，点，分别在边，上，连接，将沿翻折，点的对应点为点，线段恰好经过点若，则的值为______． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 17．如图，相交于点O，，求证：． 18．中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶B在同一直线上，已知纸板的两条边，，延长交于点C，测得边离地面的高度，，求树高． 20．如图，D是的边上一点，连接，若， (1)求证： (2)若，，求的长． 21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个，使它与位似，且相似比为； (2)请写出点A的对应点的坐标__________； (3)若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．综合与实践 项目式学习小组研究了一个问题，如图1，在矩形中，，，，分别是，的中点，四边形是矩形，连接． (1)与的长度比为 ； (2)如图2，将矩形绕点A按顺时针方向旋转至点G落在边上，求点 F到的距离； (3)将矩形绕点A按顺时针方向旋转至如图3所示的位置时，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 23．综合与实践∶ 【问题背景】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究． 【探究发现】如图 1，在 中， （1）操作发现：将 折叠，使边落在边上，点C的对应点是点E，折痕交于点 D，连接，则 °，设， 那么 （用含x的式子表示）； （2）进一步探究发现：顶角为的等腰三角形的底与腰的比值为 这个比值被称为黄金比．请在 （1）的条件下证明： ． 【拓展应用】当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图 1 中的 是黄金三角形． （3）如图2， 在菱形中，．求这个菱形较长对角线的长． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B B C B D B A 1．D 【分析】本题主要考查了比例线段的定义，如果四条线段a、b、c、d满足，则称a、b、c、d为比例线段，据此求解即可． 【详解】解：∵a，b，c，d是比例线段， ∴， ∴， 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式．根据位似图形的性质，对各选项依次分析可得答案． 【详解】解：A、每对对应点所在的直线相交于同一点，故本选项不符合题意； B、两个图形上的对应线段可能平行，也可能共线，故本选项符合题意； C、根据相似的性质，两个位似的图形上的对应线段之比等于位似比，故本选项不符合题意； D、根据相似的性质，两个图形的面积比等于位似比的平方，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．B 【分析】由位似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴和周长的比为， ∵， ∴的周长为． 4．B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由两条直线被三条平行线所截，可得，进行计算即可得出答案，熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解此题的关键． 【详解】解：两条直线被三条平行线所截， ， ，， ， ， 故选：B． 5．B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，再准确的得到对应线段的比是解本题的关键． 根据，得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．利用平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、，不能判断，本选项不符合题意； B、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； C、，即，能判断，本选项符合题意； D、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； 故选：C． 7．B 【分析】本题考查的是位似变换，根据点B、D的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵与是以O为位似中心的位似图形，， ∴且相似比为， ∵点A的坐标为， ∴点C的坐标是，即， 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了位似的性质，熟知其性质是解题的关键．根据以原点O为位似中心的位似变换的性质计算求解，即可解题． 【详解】解：以原点为位似中心，在第一象限内将缩小到原来的，得到， 点在上的对应点的坐标为，即， 故选：D． 9．B 【分析】由得出，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为9， ∴的面积为． 10．A 【分析】利用相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方、对应边比等于相似比的性质，逐一判断选项． 【详解】解：已知，， 选项：相似三角形的周长比等于相似比，故，正确； 选项：，错误； 选项：相似三角形的面积比等于相似比的平方，故，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 故选：． 11．1 【分析】本题考查比例线段，掌握比例线段的定义是关键． 根据比例线段的定义，线段a，b，c，d成比例即，代入已知数值求解． 【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∴， 解得． 故答案为：1． 12．或 【分析】分关于原点的位似图形与在原点同侧和异侧两种情况求解即可． 【详解】解：当关于原点的位似图形与在原点同侧时，点A的对应点的坐标为，即； 当关于原点的位似图形与在原点异侧时，点A的对应点的坐标为，即； 综上所述，点A的对应点的坐标为或． 【点睛】本题考查了位似变换的性质，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 13．/ 【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割的定义及黄金比即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为点是的黄金分割点，且， 所以， 又因为， 所以． 故答案为：． 14． 【分析】此题主要考查了图形的位似变换，相似三角形的判定以及性质，由正方性的性质和位似图形的性质可得出，，进而得出， 由相似三角形的性质可得出，进而可求出，进一步即可得出答案． 【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，， ∴，， ∴， ，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题题目主要考查折叠的性质及相似三角形的判定和性质，解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．设，利用勾股定理及正切函数得出，再由折叠的性质得出，，过点E作于点G，设，则，，由相似三角形的判定和性质得出方程确定，再结合图形求解即可． 【详解】解：在中，，， 设，则， 在中，， ， ， ， 由折叠可知，，， ， ， 如图，过点作于点， ， 在中，， 在中，， 设，则，， ，， ，， ， ， ，， ， 解得：， ， 在中，，， ， ． 故答案为：． 16．(1) (2) 【分析】（1）设代入计算即可； （2）由（1）中的结论构建方程求出k即可． 【详解】（1）解：设 则： （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出进而得出k的值是解题关键． 17． 证明：∵交于点O， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】略 18．见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理，作的中点G，连接，证明，即可得出，进而可证明，即可得出． 【详解】证明：作的中点G，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19． 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明，得到，代入数值求出，根据线段的和即可得到答案． 【详解】解：∵，   ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：树高是． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据公共角，，直接证明两三角形相似即可； （2）根据，列出比例式，代入数据计算即可． 【详解】（1）证明：，， ； （2）， ， ，， （负值舍去）． 21．(1) 画图如下， 则即为所求． ， (2) (3)或或 【分析】本题考查了位似图形的坐标系中的作图，平移法，平行四边形的判定和性质， （1）根据位似比，结合位置要求画图形即可． （2）根据位似比，结合位置，确定位似点的坐标为或，计算即可． （3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，利用平移法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，似比为，， 故位似点的坐标为． （2）解：根据(1)得， 故答案为：． （3）解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，求解如下： ∵， 当点O平移得到点B时，即实现了向右平移1个单位，再向下平移2个单位的平移变换， ∴向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 当点B平移得到点O时，即实现了向左平移1个单位，再向上平移2个单位的平移变换， ∴向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 当点A平移得到点B时，即实现了向左平移1个单位，再向下平移3个单位的平移变换， ∴向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 当点B平移得到点A时，即实现了向右平移1个单位，再向上平移3个单位的平移变换， ∴向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 22．(1) (2) (3)，见解析 【分析】（1）如图1中，由此交于，则四边形是矩形．在中，利用勾股定理即可解决问题； （2）如图2中，作于．利用勾股定理和相似三角形的性质，求出、即可解决问题； （3）连接，，由勾股定理求出的长，证明，由相似三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：如图1中，由此交于，则四边形是矩形． 在中，，， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2中，作于， 在矩形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即点到的距离为； （3）解∶． 证明：连接，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 23．（1）72，； （2）证明：，， ． 由折叠知， ， 又， ， ， 即， 整理得：， 解得：（舍去）， ； （3） 【分析】（1）根据折叠的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质即可得出答案， （2）先证明，可得，进而得出一元二次方程，求出解即可； 对于拓展应用：根据菱形的性质得出是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形，可求出，进而求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：根据折叠可知． ， ； 根据折叠可知，，， ， ， ， ． 故答案为：72，； （2）略 拓展应用：解：菱形较长对角线． 如图3，在上截取，连接， 得是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形， 根据黄金三角形的底与腰的比值为，由， 可得， ． ，， ， ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，折叠的性质，黄金分割，相似三角形和性质和判定，菱形的性质，解一元二次方程等，理解黄金三角形并应用是解题的关键． 答案第2页，共14页 答案第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $