第三章图形的相似单元复习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

• 第三章 图形的相似�单元复习
• 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．若a，b，c，d是比例线段，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

2．若两个图形位似，则下列叙述不正确的是（    ）

A．每对对应点所在的直线相交于同一点

B．两个图形上的对应线段必平行

C．两个图形上的对应线段之比等于相似比

D．两个图形的面积之比等于相似比的平方

3．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，，的周长为，则的周长为（    ）

A． B．8 C．24 D．

4．如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

5．如图，在中，点D、E分别在边上，若，则的值为（     ）

A． B． C． D．

6．已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ）

A． B． C． D．

7．如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，则点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

8．已知位于第一象限，点在的圆周上，以原点为位似中心，在第一象限内将缩小到原来的，得到，则点在上的对应点的坐标为（　　）

A． B． C． D．

9．如图，在中，点、分别在、上，且、，若的面积为9，则的面积为（    ）

A．8 B．16 C．27 D．

10．如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（   ）

A． B． C． D．

二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11．已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则d的值是_______．

12．已知在平面直角坐标系中，的顶点分别为，若以原点为位似中心，相似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为______．

13．大自然巧夺天工，一片小枫叶也蕴含着“黄金分割”， 如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是_______cm．

14．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在点的同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为，则点的坐标为__________．

15．如图，在中，，，点，分别在边，上，连接，将沿翻折，点的对应点为点，线段恰好经过点若，则的值为______．

三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

16．已知线段a、b、c，且．

(1)求的值；

(2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值．

17．如图，相交于点O，，求证：．

18．中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：．

四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

19．如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶B在同一直线上，已知纸板的两条边，，延长交于点C，测得边离地面的高度，，求树高．

20．如图，D是的边上一点，连接，若，

(1)求证：

(2)若，，求的长．

21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．

(1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个，使它与位似，且相似比为；

(2)请写出点A的对应点的坐标__________；

(3)若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标．

五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分）

22．综合与实践

项目式学习小组研究了一个问题，如图1，在矩形中，，，，分别是，的中点，四边形是矩形，连接．

(1)与的长度比为 ；

(2)如图2，将矩形绕点A按顺时针方向旋转至点G落在边上，求点 F到的距离；

(3)将矩形绕点A按顺时针方向旋转至如图3所示的位置时，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．

23．综合与实践∶

【问题背景】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究．

【探究发现】如图 1，在 中，

（1）操作发现：将 折叠，使边落在边上，点C的对应点是点E，折痕交于点 D，连接，则  °，设， 那么 （用含x的式子表示）；

（2）进一步探究发现：顶角为的等腰三角形的底与腰的比值为 这个比值被称为黄金比．请在 （1）的条件下证明： ．

【拓展应用】当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图 1