2026年高二数学秋季开学·学情自测卷（北师大版选修一：直线与圆+椭圆）

**基本信息** 融合“将军饮马”文化情境与篮球影子椭圆生活实践，梯度覆盖直线与圆、椭圆核心知识，检测开学学情适配性强。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|倾斜角、圆方程、椭圆定义|基础巩固，如第3题辨析椭圆定义条件| |多选|3/18|直线位置关系、圆切线|能力提升，如第11题结合椭圆光学性质| |填空|3/15|平行直线距离、圆上点存在性|生活应用，第14题篮球影子椭圆求离心率| |解答|5/77|直线方程、圆位置关系、新定义“焦顶三角形”|创新应用，第19题证明相似椭圆充要条件，考察逻辑推理与数学表达|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季高二开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版019选修第一册第一章直线与圆+第二章（椭圆） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D．0 2．若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 3．若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 5．与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A．4 B．5 C． D． 7．已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知是圆上的动点，且， 当点满足，点在椭圆上运动时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过点 B．存在m使得直线的倾斜角为 C．若，则 D．不存在实数m使得 10．已知P为圆O：上的动点，直线l：与x，y轴分别交于M，N两点，Q为直线上的动点，过点Q作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．若点，则的最小值为 B．的最小面积是4 C．若，则Q点坐标为或 D．四边形周长的最小值为 11．如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最大值为8 C．若，则 D．若，垂足为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．两平行直线与间的距离为______． 13．已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为_____________. 14．如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．假设篮球的半径为1，灯泡与桌面的距离为6，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为，则此时椭圆的离心率等于 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 一条直线经过点，并且分别满足下列条件，求直线方程： (1)倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (2)与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且的面积最小（O为坐标原点）． 16．（15分） 已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 17．（15分） 设点，直线相交于点，且它们的斜率之积为. (1)求点的轨迹方程； (2)若， ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 18．（17分） 在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足． (1)求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径． (2)若，求过点A且与曲线C相切的直线方程． (3)已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值． 19．（17分） 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ 对应图1，对应图2）. （1）判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由； （2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3）已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高二开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A B B C B C B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则，且，， 从而所求直线方程为，即．（6分） （2）设直线方程为，，， 代入，得，得， 当且仅当即时等号成立，从而， 此时直线方程为，即．(13分) 16．（15分） 【答案】(1)57 (2)， 【详解】（1）由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得.（7分） （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为.（15分） 17．（15分） 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）设点的坐标为，因为点的坐标是， 所以直线的斜率是， 同理，直线的斜率是， 由已知，有， 化简，得点的轨迹方程是， 点的轨迹是除去，两点的椭圆；（5分） （2） ①由（1）知椭圆的焦点， 其中， 设，， ，， 在中，当时，由余弦定理得： ， ；（10分） ②设，则，即， ，，，， ， ，， ， 即的取值范围为.（15分） 18．（17分） 【答案】(1)见详解；(2)(3) 【详解】（1）证明：设，则，， 由，则， 即，又， 整理得，配方得， 故点P的曲线C为圆， 则圆心，半径为；（5分） （2）若，则圆C为，圆心，半径为， 若切线斜率不存在，则为，此时圆心C到的距离为，不符； 若切线斜率存在，设过点A且与曲线C相切的直线方程为， 则有，化简得，解得， 故过点A且与曲线C相切的直线方程为；（12分） （3）由题意可得，又，则， 故为等腰直角三角形， 则点到直线的距离为， 即有，整理得，解得.(17分) 19．（17分） 【答案】（1）则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为 （2）见解析；（3） 【详解】（1）解: 这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为，理由如下： 椭圆中， 椭圆中， ， 则 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为（5分） （2）证明：必要性： 若两个椭圆是“相似椭圆”，则其焦顶三角形的三个对应角相等. 如图，若， 则， ， 所以， 又因为 ， 所以； 充分性： 若离心率相等，则，所以， 则，， 则； 同理，，， 则， 所以； 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 所以两个椭圆是“相似椭圆”. 故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；（12分） （3）解：设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的离心率为，椭圆与相似， 所以椭圆的离心率也为， 若的面积为， 又，， 所以的面积与的面积之比为， 所以的面积为 因为与的相似比为， 所以的面积与的面积的比为， 所以的面积为 （17分） ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季高二开学学情自测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高二开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版019选修第一册第一章直线与圆+第二章（椭圆） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D．0 2．若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 3．若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 5．与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A．4 B．5 C． D． 7．已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知是圆上的动点，且， 当点满足，点在椭圆上运动时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过点 B．存在m使得直线的倾斜角为 C．若，则 D．不存在实数m使得 10．已知P为圆O：上的动点，直线l：与x，y轴分别交于M，N两点，Q为直线上的动点，过点Q作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．若点，则的最小值为 B．的最小面积是4 C．若，则Q点坐标为或 D．四边形周长的最小值为 11．如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最大值为8 C．若，则 D．若，垂足为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．两平行直线与间的距离为______． 13．已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为_____________. 14．如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．假设篮球的半径为1，灯泡与桌面的距离为6，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为，则此时椭圆的离心率等于 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 一条直线经过点，并且分别满足下列条件，求直线方程： (1)倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (2)与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且的面积最小（O为坐标原点）． 16．（15分） 已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 17．（15分） 设点，直线相交于点，且它们的斜率之积为. (1)求点的轨迹方程； (2)若， ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 18．（17分） 在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足． (1)求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径． (2)若，求过点A且与曲线C相切的直线方程． (3)已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值． 19．（17分） 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ 对应图1，对应图2）. （1）判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由； （2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3）已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高二开学学情自测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 舒 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 目 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 典 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][BJ[C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 叔 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 相 12 14. 剂 请在各题目答题！内，贝超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页共6页) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) F B F'O 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）2026年秋季高二开学学情自测卷 ·: O 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： : : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：北师大版019选修第一册第一章直线与圆+第二章（椭圆） O : 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 : 1.若直线1的方程为x=2027,则直线1的倾斜角是() A.2 B.4 ·: C.π D.0 2.若方程x2+y2-4x+2y+m2-2m+5=0表示圆，则整数m的值为() O : A.2 B.1 C.0 D.-1 .: 3.若平面内有两个定点A,B,一动点P,则“AP+BP为定值”是“点P的轨迹是椭圆”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 蝶 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知点P(,m)在圆C:x2+y2=4外，则直线mx+四=4与圆C的位置关系为（ A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交 : 5.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为() : : A.+2 二1 B.+x2=1 43 6 +y=1 C. D. 6 85 6.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣 的数学问题一一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营， : 怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(-2,0),若将军从山脚下的点A(2,0) : 试题第1页（共6页） : 可学科网·上好课 处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3,则“将军饮马”的最短总路程为() A.4 B.5 C.√26 D.3√2 7.已知实数x,y满足y=√4-x2-2,则6x-8y+5的取值范围为() 133 9337 A. 10'10 B.[1,33] c.[9,33] 0 10'10 8.已知45，B飞是圆C:G-+V4上的动点，耳飞3-+y七) 当点M满足 A,点P在椭圆E:。+及=1上运动时，M的最大值为( A.3+V5 B.5+√2 C.4+3 D.4+√2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知直线：x-y-3=0,直线l2:2x-y+3=0,则下列结论正确的是() A.直线1恒过点(0，-3) B.存在使得直线1的倾斜角为90° C.若412，则m=2 D.不存在实数m使得！⊥2 10.已知P为圆0：x2+y2=4上的动点，直线1：4x+3y-12=0与x,y轴分别交于M,W两点，Q为直线 MN上的动点，过点Q作圆O的两条切线，切点分别为A,B,则() A.若点C(0,1),则PM+PC的最小值为√10 B.△PMN的最小面积是4 c.若∠408=120，则0点坐标为(Q4利或39劉 D.四边形Q10B周长的最小值为4面+4 11.如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的 另一个焦点.已知椭圆C:+旷-1，其左、右焦点分别是马，R,P为椭圆C上任意一点，直线与椭园 C相切于点P,过点P与1垂直的直线与椭圆的长轴交于点M,∠PM=∠EPM,点Q(0,√6，给出下列 四个结论，正确的是() 试题第2页（共6页） o6学科网·上好课 A.△P乃面积的最大值为√5 B.P②+PE的最大值为8 C.若PM=M,则P=3P D.若R⊥1，垂足为R(,%),则x+6=4 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.两平行直线2x+(1-a)y-3=0与x-2y+2=0间的距离为. 13.已知圆M:(x-3)2+(y-4)2=4,点A(a,0),B(-a,0)(a>0),在圆M上存在点P,使得∠APB为钝角， 则a的取值范围为 14.如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡P(当成质点)发出的光线照射后，在桌面上留下的 影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点.假设篮球的半径为1，灯泡与桌面的距离为6，灯泡 垂直照射在平面上的点为A,椭圆的右顶点到A点的距离为，则此时椭圆的离心率等于一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 一条直线经过点P(3,2),并且分别满足下列条件，求直线方程： (1)倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍； (2)与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小(O为坐标原点). 16.(15分) 已知两圆x2+y2-2x-6y+1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.求： (1)m取何值时两圆外切？ (2)当m=45时，两圆相交于A,B两点，求公共弦AB所在的直线方程及AB: 17.(15分) 3 设点A(-2,0),B(2,0),直线AP,BP相交于点P,且它们的斜率之积为4 试题第3页（共6页） (1)求点P的轨迹方程C: (2)若F,（-1,0),F,(1,0), ①当∠PR,=时，求△R,PR的面积： ②求PF1·PF,的取值范围！ ® 18.(17分) 在平面直角坐标系x0w中，已知点A(0,0)和B(4,0),动点P满足PA=2PB(>0,元≠1). (1)求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径. 张 (2)若入=2，求过点A且与曲线C相切的直线方程. (3)已知A>1,直线y=x与圆C交于MN两点，圆心为C,CM.CV=0,求k的值. 数 19.（17分) 拼 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边)和短轴的一个顶点组成的三角形称为 该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将 三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中(C1对应图1，C3对应图2). O VA B末 F,' B'衣 肉 图1 图2 4+3=1与椭圆C,”+ (1)判断椭圆C: 1612 =1是否是“相似椭圆”？若是，求出相似比：若不是，请 说明理由： O (2)证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等： 8F率6言+层-a6G茶后-，的年有和，5北 十 椭圆”，且C与C的相似比为k:1,若△AF2B的面积为S,求△A'FF的面积（用e',k,s表示). 试题第4页（共6页） 2026年秋季高二开学学情自测卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】∵直线的方程为， ∴直线与轴垂直. 因此直线的倾斜角是. 2．若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【详解】因为方程表示圆， 则，即得，解得， 则整数m的值为. 3．若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】根据椭圆的定义可知，只有为定值，且时， 点的轨迹才是椭圆， 因此，“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件. 4．已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】C 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为， 因为点在圆外， 所以，则， 到直线的距离， 所以直线与圆相交． 5．与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆可化为， 可知椭圆的焦点在y轴上，焦点坐标为， 故可设所求椭圆方程， 则，又，即，所以， 所以所求椭圆的标准方程为． 故选：B． 6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】设关于直线的对称点，如下图所示：    则，解得，即 此时即为最短路程，易知. 所以最短总路程为. 故选:C 7．已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】   由，得，即为圆的上半圆，圆心，半径为， 如图所示，取点，又因为表示点到直线距离的倍， 圆心到直线的距离， 即直线与圆相离，点到直线的距离， 所以的最小值为，最大值为， 所以的取值范围为，故B正确． 8．已知是圆上的动点，且， 当点满足，点在椭圆上运动时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆，所以圆心， 由是圆上的动点知， 由，得， 由，得， 所以， 将等式两边同时平方，得， 所以，所以动点的轨迹方程为， 由椭圆的方程可设点的坐标为， 由动点的轨迹方程可得该圆的圆心为，半径为，如图， 则， 当时，， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过点 B．存在m使得直线的倾斜角为 C．若，则 D．不存在实数m使得 【答案】AC 【详解】令，则，得，则直线恒过点，故A正确； ，则斜率为，故不存在m使得直线的倾斜角为，故B错误； 若，则，得， 若，则，此时两直线平行，故，故C正确； 若，则，则，故存在实数m使得，故D错误. 10．已知P为圆O：上的动点，直线l：与x，y轴分别交于M，N两点，Q为直线上的动点，过点Q作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．若点，则的最小值为 B．的最小面积是4 C．若，则Q点坐标为或 D．四边形周长的最小值为 【答案】ACD 【详解】由题意得，，，因为点在圆内，点在圆外，所以可知的最小值， 即为当M，P，C三点共线时的值，，A正确； 由题意得，，圆O的圆心到直线l的距离， 所以点P到该直线距离的最小值为，所以，B错误； 当时，，，所以，所以． 设，则解得或所以点Q的坐标为或，C正确； 四边形的周长为，因为，所以四边形的周长为． 设，当时，取得最小值，此时也取得最小值， 则，则四边形的周长为， 则当t取最小值时，四边形的周长最小，最小值为，D正确． 故选：ACD. 11．如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最大值为8 C．若，则 D．若，垂足为，则 【答案】ACD 【详解】由椭圆方程可知：，，. 对于A：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故A正确； 对于B：因为，则， 可得， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，取到最大， 所以的最大值为7，故B错误； 对于C：由椭圆的光学性质，得点与垂直的直线为角的角平分线， 则， 设，则，， 可得，，，， 则， 即， 整理可得，解得或， 当时，，与重合，不合题意， 所以，即，故C正确： 对于D：如图，延长，交于点， 则在中，，， 则且为中点，连， 在中，， 则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．两平行直线与间的距离为______． 【答案】 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为， 将化为， 故这两平行直线间的距离为. 13．已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为_____________. 【答案】 【详解】如图，设圆，当圆上存在一点在圆内时，为钝角， 所以点 在圆内，等价于圆与圆 相交，内切或内含， ，得. 所以的取值范围为.    14．如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．假设篮球的半径为1，灯泡与桌面的距离为6，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为，则此时椭圆的离心率等于 . 【答案】 【详解】以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 由题意知：，，，， 则直线：，即， 设，则， 所以点到直线的距离，解得：， 所以，即. 设直线：，即， 点到直线的距离，整理得：， 解得：或， 又直线，所以，即直线：， 令，解得：，即， 所以，即； 由，得，所以椭圆离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 一条直线经过点，并且分别满足下列条件，求直线方程： (1)倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (2)与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且的面积最小（O为坐标原点）． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则，且，， 从而所求直线方程为，即．（6分） （2）设直线方程为，，， 代入，得，得， 当且仅当即时等号成立，从而， 此时直线方程为，即．(13分) 16．（15分） 已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【答案】(1)57 (2)， 【详解】（1）由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得.（7分） （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为.（15分） 17．（15分） 设点，直线相交于点，且它们的斜率之积为. (1)求点的轨迹方程； (2)若， ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）设点的坐标为，因为点的坐标是， 所以直线的斜率是， 同理，直线的斜率是， 由已知，有， 化简，得点的轨迹方程是， 点的轨迹是除去，两点的椭圆；（5分） （2） ①由（1）知椭圆的焦点， 其中， 设，， ，， 在中，当时，由余弦定理得： ， ；（10分） ②设，则，即， ，，，， ， ，， ， 即的取值范围为.（15分） 18．（17分） 在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足． (1)求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径． (2)若，求过点A且与曲线C相切的直线方程． (3)已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值． 【答案】(1)见详解；(2)(3) 【详解】（1）证明：设，则，， 由，则， 即，又， 整理得，配方得， 故点P的曲线C为圆， 则圆心，半径为；（5分） （2）若，则圆C为，圆心，半径为， 若切线斜率不存在，则为，此时圆心C到的距离为，不符； 若切线斜率存在，设过点A且与曲线C相切的直线方程为， 则有，化简得，解得， 故过点A且与曲线C相切的直线方程为；（12分） （3）由题意可得，又，则， 故为等腰直角三角形， 则点到直线的距离为， 即有，整理得，解得.(17分) 19．（17分） 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ 对应图1，对应图2）. （1）判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由； （2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3）已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）. 【答案】（1）则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为 （2）见解析；（3） 【详解】（1）解: 这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为，理由如下： 椭圆中， 椭圆中， ， 则 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为（5分） （2）证明：必要性： 若两个椭圆是“相似椭圆”，则其焦顶三角形的三个对应角相等. 如图，若， 则， ， 所以， 又因为 ， 所以； 充分性： 若离心率相等，则，所以， 则，， 则； 同理，，， 则， 所以； 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 所以两个椭圆是“相似椭圆”. 故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；（12分） （3）解：设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的离心率为，椭圆与相似， 所以椭圆的离心率也为， 若的面积为， 又，， 所以的面积与的面积之比为， 所以的面积为 因为与的相似比为， 所以的面积与的面积的比为， 所以的面积为 （17分） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $