2025年高二数学秋季开学摸底考02（人教A版2019）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷02 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ ____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 02 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5分，共 40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5分，共 15分） 12．____________________ 13．____________________ ____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷02 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019必修第二册+选择性必修第一册（空间向量与立体几何） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的虚部为（    ） A．-3 B．-3i C．1 D．i 2．数据86，82，78，93，86，84，81，90，85，79，86，85，88，81，87的众数和中位数分别为（    ） A．85，86 B．85，85 C．86，85 D．86，86 3．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数，则下列选项的两个事件中，互斥但不对立的是（    ） A．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为偶数” B．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为奇数” C．事件“点数之和不小于8”与事件“点数之和不大于7” D．事件“点数之积不小于7”与事件“点数之积不大于8” 5．正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．在中，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 7．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 8．抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．现对1200名学生的某次物理成绩进行统计分析，得到如下频率分布直方图，则（   ） A．众数的估计值为75 B． C．成绩在的学生人数为300 D．成绩的中位数小于70 10．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则可以是（   ） A．15° B．30° C．45° D．60° 11．如图，在棱长为2的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足（，），则下列说法正确的是（    ） A．若平面，则最小值为 B．若平面，则， C．若，则P到平面的距离为 D．若，时，直线与平面所成角为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．从某中学抽取6名同学，他们的数学成绩如下：87，85，83，90，92，93（单位：分），则这6名同学数学成绩的第75百分位数为 （单位：分）． 13．定义运算，如果为实数，则的值为 ． 14．在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足，且.”将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则 .   四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 16．（15分） 某沙稻研究中心利用早直播技术在沙漠试验田种植甲、乙两个新品种水稻，随机各抽取5块试验田，其亩产量数据（单位：10kg）如下： 甲  47  51  49  50  53 乙  44  51  60  58  52 (1)利用均值和极差对甲、乙的产量进行评价； (2)产量的变异系数（CV）是一个用于评估产量稳定性和变异程度的指标，越小，产量越稳定，生产的风险也越小，其计算公式为.根据产量的变异系数，你认为哪个品种更适合推广? 17．（15分） 一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 18．（17分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求A； (2)若D为中点，且，求的周长； (3)若是锐角三角形，求面积的取值范围． 19．（17分） 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)求证：． (2)求线段中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷02 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A C D B D B B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB ABC. ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分． 12． 92 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1) (2)且 【详解】（1）因为，，（1分） 所以，，（3分） 因为，所以，（5分） 解得：；（6分） （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线，（8分） 由（1）知，，，（9分） 故，（11分） 解得且，（12分） 即的取值范围为且.（13分） 16．（15分） 【答案】(1)答案见解析 (2)甲品种 【详解】（1）甲品种产量样本的平均值，（2分） 极差为；    （3分） 乙品种产量样本的平均值，（5分） 极差为.    （6分） 所以甲品种的产量略低乙品种，但比较稳定：乙品种的产量较高，但波动较大.（7分） （2）甲品种的样本方差，     所以甲品种产量的变异系数；    （10分） 乙品种的样本方差 ，     所以乙品种产量的变异系数.    （14分） 因为，所以甲品种的产量更稳定，生产的风险也更小，更适合推广.（15分） 17．（15分） 【答案】(1)； (2)3. 【详解】（1）由题可知袋中共有5个球，记作， 从中依次不放回取出2个球，样本点有 ， ， ， 共20个样本点，（4分） 记＂第次取到红球＂为事件，则＂第次取到绿球＂为事件，（5分） 不妨设为红球，为绿球．两次都取到红球，则．（6分） 先取到绿球再取到红球，则，（7分） 于是，（8分） 即第二次取到红球的概率为.（9分） （2）两次都取到红球为事件.（11分） 所以两次取出红球的概率为，（13分） 即，（14分） 解得．（15分） 18．（17分） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 即，（1分） 所以，（2分） 所以，（3分） 因为，所以， 所以， 得，由，得；（4分） （2）因为D为中点，所以，（5分） 则，（6分） 所以，（7分） 解得（舍）或，（8分） 由余弦定理得，所以，（9分） 所以的周长为；（10分） （3）在中，由正弦定理得， 所以，（11分） 所以（12分） 根据题意得，解得，（14分） 所以，所以，所以，（15分） 所以，（16分） 所以的取值范围是.（17分） 19．（17分） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）由于平面平面，平面平面， 且平面， 平面，（3分） 平面，．（4分） （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，，（5分） ，，，（6分） 设平面的法向量为，则，（7分） 取，得，（8分） 所以到平面的距离．（9分） （3）令，，（10分） ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为，（13分） 于是，，（14分） 化简得，又，解得，（15分） 即，（16分） 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时．（17分） ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷02 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019必修第二册+选择性必修第一册（空间向量与立体几何） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的虚部为（    ） A．-3 B．-3i C．1 D．i 2．数据86，82，78，93，86，84，81，90，85，79，86，85，88，81，87的众数和中位数分别为（    ） A．85，86 B．85，85 C．86，85 D．86，86 3．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数，则下列选项的两个事件中，互斥但不对立的是（    ） A．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为偶数” B．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为奇数” C．事件“点数之和不小于8”与事件“点数之和不大于7” D．事件“点数之积不小于7”与事件“点数之积不大于8” 5．正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．在中，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 7．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 8．抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．现对1200名学生的某次物理成绩进行统计分析，得到如下频率分布直方图，则（   ） A．众数的估计值为75 B． C．成绩在的学生人数为300 D．成绩的中位数小于70 10．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则可以是（   ） A．15° B．30° C．45° D．60° 11．如图，在棱长为2的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足（，），则下列说法正确的是（    ） A．若平面，则最小值为 B．若平面，则， C．若，则P到平面的距离为 D．若，时，直线与平面所成角为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．从某中学抽取6名同学，他们的数学成绩如下：87，85，83，90，92，93（单位：分），则这6名同学数学成绩的第75百分位数为 （单位：分）． 13．定义运算，如果为实数，则的值为 ． 14．在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足，且.”将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则 .   四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 16．（15分） 某沙稻研究中心利用早直播技术在沙漠试验田种植甲、乙两个新品种水稻，随机各抽取5块试验田，其亩产量数据（单位：10kg）如下： 甲  47  51  49  50  53 乙  44  51  60  58  52 (1)利用均值和极差对甲、乙的产量进行评价； (2)产量的变异系数（CV）是一个用于评估产量稳定性和变异程度的指标，越小，产量越稳定，生产的风险也越小，其计算公式为.根据产量的变异系数，你认为哪个品种更适合推广? 17．（15分） 一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 18．（17分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求A； (2)若D为中点，且，求的周长； (3)若是锐角三角形，求面积的取值范围． 19．（17分） 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)求证：． (2)求线段中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷02 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的虚部为（    ） A．-3 B．-3i C．1 D．i 【答案】A 【详解】因为复数， 所以虚部为-3. 故选：A. 2．数据86，82，78，93，86，84，81，90，85，79，86，85，88，81，87的众数和中位数分别为（    ） A．85，86 B．85，85 C．86，85 D．86，86 【答案】C 【详解】数据86，82，78，93，86，84，81，90，85，79，86，85，88，81，87从小到大排序可得：78，79，81，81，82，84，85，85，86，86，86，87，88，90，93， 所以该组数据的众数为86，中位数为. 故选：C. 3．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，点为中点， . 故选：D 4．抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数，则下列选项的两个事件中，互斥但不对立的是（    ） A．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为偶数” B．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为奇数” C．事件“点数之和不小于8”与事件“点数之和不大于7” D．事件“点数之积不小于7”与事件“点数之积不大于8” 【答案】B 【详解】对于A，二者能同时发生，不是互斥事件，如(3,4),故A错误； 对于B，二者不能同时发生，也不能同时不发生，点数都是偶数，故B正确； 对于C，二者不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故C错误； 对于D，二者能同时发生，不是互斥事件，如(2,4)，故D错误. 故选:B 5．正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，设点为正方形的中心，所以， 因为平面，且平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成角即为， 不妨设正方体棱长为1，则， 所以. 故选：D. 6．在中，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【详解】由题意，，化简整理得， 根据正弦定理，可得，即， 因为，所以， 则， 又，， 则. 所以的形状为直角三角形. 故选：B. 7．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接， 因为为中点， 所以， 又平面底面，平面底面平面， 所以平面，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，由， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，得， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为． 故选：B． 8．抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】基本事件空间为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36个基本事件. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.共27个， 所以. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，.共11个基本事件. 所以. 事件包含的基本事件有： ，， ， ， ，.共6个基本事件. 所以. 根据概率的加法公式可得：. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．现对1200名学生的某次物理成绩进行统计分析，得到如下频率分布直方图，则（   ） A．众数的估计值为75 B． C．成绩在的学生人数为300 D．成绩的中位数小于70 【答案】AB 【详解】由频率分布直方图可知，成绩在的人数最多， 所以将这个区间的中点75作为众数的估计值，故A正确； 由所有小长方形的面积和即频率和为1， 可知，解得，故B正确； 成绩在的学生人数为，故C错误； 因为成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 所以成绩的中位数落在区间内，即成绩的中位数大于70，故D错误； 故选：AB 10．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则可以是（   ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】ABC 【详解】由正弦定理，可得， ，，又，则，故， 所以. 故选：ABC. 11．如图，在棱长为2的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足（，），则下列说法正确的是（    ） A．若平面，则最小值为 B．若平面，则， C．若，则P到平面的距离为 D．若，时，直线与平面所成角为，则 【答案】ACD 【详解】如图，以点D为坐标原点，以、、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则有，，，，，，，，， 则，，， 对于A：，，． 设平面的一个法向量为，则有，令，则，故． 因为，平面， 所以，得，又因为，，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，故A正确； 对于B：，则， 若平面，则有，即， 解得，，故B错误； 对于C：若，则，则到平面的距离为，故C正确； 对于D：，当，时，， 则， 当时，， 当时，， 当且仅当时，等号成立，故，即，故D正确． 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．从某中学抽取6名同学，他们的数学成绩如下：87，85，83，90，92，93（单位：分），则这6名同学数学成绩的第75百分位数为 （单位：分）． 【答案】92 【详解】6名同学的成绩按从小到大顺序排列为：83，85，87，90，92，93， ， 所以第75百分位数为第5个数：92. 故答案为：92. 13．定义运算，如果为实数，则的值为 ． 【答案】 【详解】如果为实数， 那么，解得，所以. 故答案为：. 14．在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足，且.”将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则 .    【答案】 【详解】将该命题类比到空间中，有“若为平面外一点，则点在平面上的充要条件是：存在实数，满足，且.” 正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则，解得， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【详解】（1）因为，， 所以，， 因为，所以，解得：； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线， 由（1）知，，， 故， 解得且，即的取值范围为且. 16．（15分） 某沙稻研究中心利用早直播技术在沙漠试验田种植甲、乙两个新品种水稻，随机各抽取5块试验田，其亩产量数据（单位：10kg）如下： 甲  47  51  49  50  53 乙  44  51  60  58  52 (1)利用均值和极差对甲、乙的产量进行评价； (2)产量的变异系数（CV）是一个用于评估产量稳定性和变异程度的指标，越小，产量越稳定，生产的风险也越小，其计算公式为.根据产量的变异系数，你认为哪个品种更适合推广? 【详解】（1）甲品种产量样本的平均值，极差为；     乙品种产量样本的平均值，极差为.     所以甲品种的产量略低乙品种，但比较稳定：乙品种的产量较高，但波动较大. （2）甲品种的样本方差，     所以甲品种产量的变异系数；     乙品种的样本方差 ，     所以乙品种产量的变异系数.     因为，所以甲品种的产量更稳定，生产的风险也更小，更适合推广. 17．（15分） 一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 【详解】（1）由题可知袋中共有5个球，记作， 从中依次不放回取出2个球，样本点有 ， ， ， 共20个样本点， 记＂第次取到红球＂为事件，则＂第次取到绿球＂为事件， 不妨设为红球，为绿球．两次都取到红球，则． 先取到绿球再取到红球，则， 于是， 即第二次取到红球的概率为. （2）两次都取到红球为事件. 所以两次取出红球的概率为， 即，解得． 18．（17分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求A； (2)若D为中点，且，求的周长； (3)若是锐角三角形，求面积的取值范围． 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 即， 所以， 所以，因为，所以， 所以，得，由，得； （2）因为D为中点，所以， 则， 所以，解得（舍）或， 由余弦定理得，所以， 所以的周长为； （3）在中，由正弦定理得， 所以， 所以 根据题意得，解得， 所以，所以，所以， 所以， 所以的取值范围是. 19．（17分） 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)求证：． (2)求线段中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由于平面平面，平面平面， 且平面， 平面， 平面，． （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以到平面的距离． （3）令，， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 于是，， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$