26.4.2商品利润最大问题（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决商品利润最大问题，通过实际商品调价案例导入，衔接二次函数开口方向、顶点坐标等基本性质，构建从理论到实际应用的学习支架，帮助学生掌握建模与最值求解方法。 其亮点是以真实销售问题为载体，培养数学眼光（发现利润与销量的数量关系）、数学思维（推理运算求最值）、数学语言（用函数表达式描述利润）。如探究中分涨价、降价情况列函数求最值，练习题分层设计，助力学生提升应用能力，教师可高效开展教学。

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.4.2商品利润最大问题 2026年7月31日 人教版九年级上册26.4.2商品利润最大问题专项练习题（全文约1020字） 一、基础知识点填空（每空3分，共30分） 1. 单件利润=售价－________；总利润=单件利润×________。 2. 商品利润最值问题，一般通过建立________函数模型求解，利用函数最大值求最大利润。 3. 二次函数$$y=ax^2+bx+c$$（$$a eq0$$），当________时，函数开口向下，存在最大值，对应商品最大利润。 4. 销售问题中，涨价通常会使销量________，降价通常会使销量________。 5. 若设每件涨价$$x$$元，则新售价=原售价+________，新销量=原销量－减少销量。 6. 利润问题中自变量取值必须为________，销量、售价均不能为负数。 7. 当$$x=________$$时，二次函数取得最值，此时对应的定价为最优销售定价。 8. 若最值对应的自变量不在取值范围内，则根据函数________在区间端点求最大利润。 二、选择题（每题4分，共28分） 1. 一件商品进价20元，售价35元，单件利润为（） A.10元 B.15元 C.20元 D.35元 2. 某商品总利润函数$$y=-2x^2+40x$$，则最大利润为（） A.100 B.200 C.400 D.800 3. 商品涨价销售，利润函数为二次函数，下列说法正确的是（） A.涨价越多利润越大 B.涨价越多销量不变 C.存在最优涨价金额，利润最大 D.利润无最大值 4. 某商品进价30元，原售价50元，每天卖20件，每涨价1元少卖1件，设涨价x元，单件利润为（） A.$$20+x$$ B.$$50+x$$ C.$$30+x$$ D.$$50-x$$ 5. 利润二次函数$$y=-x^2+30x$$，取得最大利润时的x值为（） A.10 B.15 C.20 D.30 6. 销售利润问题中，自变量x不能取负数的原因是（） A.计算麻烦 B.售价、销量无负意义 C.函数无负数解 D.题目规定 7. 下列函数中，能求最大销售利润的是（） A.$$y=3x+2$$ B.$$y=-2x^2+60x$$ C.$$y=2x^2+5x$$ D.$$y=\frac{1}{x}$$ 三、解答题（共42分） 1. 基础利润最值题型（每题6分，共24分） 1. 某商品进价15元，售价25元，每天可卖出50件，求每天的总利润。 2. 已知商品总利润$$y=-x^2+20x$$（$$0\lt x\lt20$$），求最大利润及对应自变量取值。 3. 某商品每件进价40元，售价x元，销量为$$100-x$$件，列出总利润解析式。 4. 利润函数$$y=-4x^2+80x$$，求该商品的最大销售利润。 2. 涨价利润最值问题（9分） 某商品进价20元，原售价30元，每天售出100件。每涨价1元，日销量减少5件，如何定价可使日利润最大？最大利润是多少？ 3. 综合销售利润问题（9分） 某文具进价10元，售价16元，每天可卖80件。市场调查发现：每降价1元，每天多卖20件，求最大日利润及对应售价。 参考答案 一、基础知识点填空 1. 进价；销售数量 2. 二次 3. $$a\lt0$$ 4. 减少；增加 5. $$x$$ 6. 非负数 7. $$-\frac{b}{2a}$$ 8. 增减性 二、选择题 1.B 2.B 3.C 4.A 5.B 6.B 7.B 三、解答题 1. 解：（1）单件利润10元，总利润$$10\times50=500$$元。 （2）$$a=-1\lt0$$，$$x=10$$时，最大利润为100。 （3）单件利润$$x-40$$，总利润$$y=(x-40)(100-x)=-x^2+140x-4000$$。 （4）$$x=10$$时，最大利润为200。 2. 解：设涨价$$x$$元，总利润$$y=(10+x)(100-5x)=-5x^2+50x+1000$$，当$$x=5$$时，定价35元，最大利润1125元。 3. 解：设降价$$x$$元，总利润$$y=(6-x)(80+20x)=-20x^2+40x+480$$，当$$x=1$$时，售价15元，最大利润500元。 拓展思考题 思考：为什么商品涨价或降价都有最优区间？ 答：涨价利润先增后减，过高涨价会导致销量暴跌；降价能提升销量，但单件利润降低，因此二次函数存在唯一最大值点。 （总字数：1020） 掌握几何问题中的相等关系的寻找方法，并会应用函数解析式求图形面积的最值. 会应用二次函数的性质解决实际问题. 推进新课 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 探究 进价/元 售价/元 数量/件 利润 现价 涨价 降价 40 60 300 60+n 300-10n 60-m 300+20m 40 40 分析： 3 进价/元 售价/元 销量/件 利润 现价 涨价 降价 40 60 300 60+n 300-10n 60-m 300+20m 40 40 解:(1)设每件涨价n元，利润为y1. 则y1=(60+n – 40 )(300 – 10n) 即y1=-10n2+100n+6000 其中，0≤n≤30. 利润 = 售价×销量-进价×销量 = (售价-进价)×销量 怎样确定n的取值范围？ 可得：0≤n≤30. y1=-10n2+100n+6000 （0≤n≤30） 抛物线y1 =-10n2+100n+6000顶点坐标为 ，所以商品的单价上涨 元时，利润最大，为 元. (5,6250) 5 6250 n取何值时，y有最大值？最大值是多少？ =-10(n2-10n)+6000 =-10(n-5)2+6250 即涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元. 涨价： 进价/元 售价/元 销量/件 利润 降价 40 60-m 300+20m 解: (2)设每件降价m元，利润为y2. 则y2=(60-m – 40 )(300 +20m) 即y2=-20m2+100m+6000 其中，0≤m≤20. 怎样确定m的取值范围？ 可得：0≤m≤20. 降价情况下的最大利润又是多少呢? y2=-20m2+100m+6000 (0≤m≤20) 抛物线y2=-20m2+100m+6000顶点坐标为 ，所以商品的单价下降 元时，利润最大，为 元. (2.5,6125) 2.5 6125 m取何值时，y有最大值？最大值是多少？ 即降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元. 降价： =-20(m2-5m)+6000 =-20(m-2.5)2+6125 （2）降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元. （1）涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元. 综上可知： 该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元. 1. 返回 某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y(元)与降价x(元)之间的关系式是y＝－2x2＋60x＋800，则最大利润为(　　) A．15元 B．400元 C．800元 D．1 250元 D 举一反三 9 返回 2. 某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件，要使利润最大，每件的售价应为(　　) A．24元 B．25元 C．28元 D．30元 B 举一反三 随堂演练 基础巩固 1.下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有,写出这些点的坐标(用公式)： (1)y=-4x2+3x; (2)y=3x2+x+6. 返回 3. [石家庄期末]嘉嘉投资销售一种进价为每件30元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看成一次函数y＝－10x＋400，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的50%. (1)设嘉嘉每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围； 举一反三 解：根据题意，得w＝(x－30)(－10x＋400) ＝－10x2＋400x＋300x－12 000 ＝－10x2＋700x－12 000. ∵销售单价不低于成本价30元，而每件的利润不高于 成本价的50%， 即30×(1＋50%)＝45(元)，∴30≤x≤45. 返回 举一反三 返回 (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ 解：在w＝－10x2＋700x－12 000中， a＝－10，b＝700，c＝－12 000， ∵30≤x≤45，－10<0，∴当x＝35时，w取最大值， 即当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． 举一反三 2.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200-x)件，应如何定价才能使利润最大？ 解：设所得利润为y元, 由题意得y=x(200-x)-30(200-x) =-x2+230x-6000 =-(x-115)2+7225 (0<x<200) 当x=115时，y有最大值. 即当这件商品定价为115元时，利润最大. 返回 4. 某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y(元)与每件涨价x(元)之间的函数关系式是(　　) A．y＝(200－5x)(40－20＋x) B．y＝(200＋5x)(40－20－x) C．y＝200(40－20－x) D．y＝200－5x A 举一反三 [烟台中考]改编每年5月的第三个星期日为全国助残日，为践行“科技助残，共享美好生活”理念，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； 5. 返回 举一反三 (2)每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 解：∵每辆轮椅的利润不低于180元，∴200－x≥180，解得x≤20. ∵y＝ x2＋20x＋12 000＝ (x－25)2＋12 250， ∴当x＝20时，y取得最大值，为 ×(20－25)2＋12 250＝12 240. 答：每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大， 最大利润为12 240元． 返回 举一反三 某商店购进一批单价为20元/件的日用商品，如果以单价30元/件销售，那么每天可以售出400件，根据销售经验可知，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，若设每件商品涨x元，销售利润为y元，则可列关系式为y＝(30＋x－20)(400－20x)．对所列关系式中出现的代数式，下列说法错误的是(　　) A．(30＋x－20)表示涨价后每件商品的单价 B．20x表示涨价后每天少售出商品的数量 C．(400－20x)表示涨价后每天售出商品的数量 D．(30＋x)表示涨价后每件商品的单价 返回 6. A 举一反三 返回 7. [内江中考]改编我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A，B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14 000元；购进A款100个，B款200个，需花费8 000元． (1)A，B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为______元和________元； 40 20 举一反三 返回 (2)根据网上的预约情况，如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A，B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ 解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念 品(400－m)个， 由题意，得40(400－m)＋20m≤12 000，解得m≥200， ∴m的最小值为200， 即至少需要购进B款纪念品200个． 举一反三 返回 (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价为a(60≤a≤100)元，W(单位：元)表示该商家销售A款纪念品的利润，求W关于a的函数解析式，并求出W的最大值． 举一反三 解：由题意，得W＝(a－40)[200－5(a－60)] ＝(a－40)(200－5a＋300) ＝(a－40)(500－5a) ＝500a－20 000－5a2＋200a ＝－5a2＋700a－20 000 ＝－5(a－70)2＋4 500. ∵－5<0，60≤a≤100， ∴当a＝70时，W最大，最大值为4 500. 返回 举一反三 课堂小结 利用二次函数解决利润问题的一般步骤： (1)审清题意，理解问题； (2)分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系； (3)列出函数关系式； (4)求解数学问题； (5)求解实际问题. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 谢谢观看 THANKS ∴－＝－＝35. 解：由题意，得y＝(200－x)· ＝－x2＋20x＋12 000. － － － $