26.4.2 最大利润问题（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决最大利润问题，课堂导入通过印刷厂收费的实际情境，先建立一次函数关系并比较方案，搭建从一次函数到二次函数应用的过渡支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点是以实际问题为载体，如探究商品定价时通过问题链引导学生经历建模、求最值、决策过程，体现数学眼光（抽象函数关系）、思维（推理运算求最值）、语言（表格与解析式表达）。采用表格梳理量关系和问题驱动，小结归纳公式方法，能提升学生应用与建模能力，为教师提供完整教学流程和实例。

26.4　实际问题与二次函数 第2课时 最大利润问题 人教版 九年级 数学（上） 第26章 二次函数 新课导入 某市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务．甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变, 而制版费900元六折优惠．且甲、乙两厂都规定：一次印刷数至少是500份． 2 (1)分别求两个印刷厂收费y(元)与印刷数量x(份)的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； 解：(1)y甲＝1.5×80%·x＋900 y乙＝1.5x＋900×60% ＝1.2x＋900 (x≥500)； ＝1.5x＋540 (x≥500). (2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案？ (2)由题意，得1.2x＋900＝1.5x＋540， 1.2x＋900＜1.5x＋540， 解得x＝1 200. 1.2x＋900＞1.5x＋540， ∴当印刷1 200份时，两个印刷厂一样合算； 当印刷数量大于1 200份时，选甲印刷厂比较合算； 当印刷数量大于500小于1200份时，选乙印刷厂比较合算． 解得x＞1 200， 解得x＜1 200， 探究新知 探究1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 提出问题： (1)问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？如果你是老板，你会怎样定价？ (2)若设每件涨价x元，获得的利润为y元，则每星期少卖多少件？实际卖出多少件？销售额为多少元？买进商品时需付多少元？由此你得到的函数解析式是什么？何时有最大利润，最大利润为多少元？ (3)若设每件商品降价x元，获得的利润为y元，则每星期多卖多少件？实际卖出多少件？销售额为多少元？买进商品时需付多少元？由此你得到的函数解析式是什么？何时有最大利润，最大利润为多少元？ (4)由此可知应如何定价才能使利润最大？ 进价/元 售价/元 销量/件 利润/元 现价 涨价 降价 探究1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 40 60 300 40 60+x 300−10x 40 60−x 300+20x （1）设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化，我们先来确定y随x变化的函数解析式. 进价/元 售价/元 销量/件 利润/元 现价 40 60 300 涨价 40 60+x 300−10x 所以利润为：y = (60+x)(300−10x)−40(300−10x), 即y = −10x2+100x+6000 . 其中，0 ≤ x ≤ 30，x为整数. 商品总利润 = 总售价 − 总进价 y = −10x2+100x+6000（0≤ x ≤30） 根据上面的函数，填空： 当x=_______时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价_____元，既定价______元时，利润最大，最大利润是_________. = −10(x2 − 10x) + 6000 = −10(x − 5)2 + 6250 5 5 65 6250元 （2）在降价的情况下，最大利润是多少？ 进价/元 售价/元 销量/件 利润/元 现价 40 60 300 降价 40 60−x 300+20x 所以利润为：y = (60−x)(300+20x)−40(300+20x), 即y = −20x2+100x+6000 . 其中，0 ≤ x ≤ 20，x为整数. 商品总利润 = 总售价 − 总进价 =−20(x2−5x)+6000 =−20(x−2.5)2+6125 y = −20x2+100x+6000 . 根据上面的函数，填空： 当x=_______时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价_____元，既定价______元时，利润最大，最大利润是_________. 2.5 2.5 57.5 6125元 由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价才能使利润最大了吗？ 综上可知：该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元. 进价/元 售价/元 销量/件 利润/元 现价 40 60 300 6000 涨价 40 65 250 6250 降价 40 57.5 350 6125 2．某商场卖一种服装，由经验可知，销售利润与销售定价之间存在二次函数关系，且二次函数的系数a小于0，据调查，当定价为150元或300元时，能获得相同的利润，则要使利润最大，其售价应为多少元？ 解：由题意得，y = ax2 + bx + c， 因为a<0， 当定价为150元或300元时，能获得相同的利润, 所以这两个点关于对称轴对称. 所以对称轴为x = = 225 . 所以抛物线开口向下，有最大值. 所以要使利润最大，其售价应为225元. 知识归纳 1．商品单件利润＝售价－进价． 2．总利润＝单件利润×销售总数量． 例 1 例题与练习 春节期间，物价局规定花生油最低价格为4.1 元/L，最高价格为4.5元/L，小王按4.1 元/L购入，若原价卖出，则每天平均可卖出200 L，若价格每上涨0.1元，则每天少卖20 L油，问油价定为多少时，每天获利最大？最大获利为多少？ 解：设油价定为x元/L时获利y元， 则y＝(x－4.1)(200－×20)＝－200(x－4.6)2＋50. ∵4.1 ≤ x ≤ 4.5， ∴当x＝4.5时， 即油价定为4.5元/L时，每天获利最大，最大获利为48元． y最大值＝－200×(4.5－4.6)2＋50＝48， 例 2 为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系：y＝－10x＋1200. (1)求利润W(元)与销售单价x(元)之间的关系式(利润＝销售额－成本). 解：(1)W ＝ y(x－40) ＝(－10x＋1 200)(x－40) ＝－10x2＋1 600x－48 000. (2)当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？ (2)W＝－10x2＋1 600x－48 000 ∴当销售单价定为80元时，该公司每天获取的利润最大，最大利润是16 000元． ＝－10(x－80)2＋16 000， 1．旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2100元，旅行社对超过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低30元，当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？ 解:设旅行团人数比 20 人多x人， 营业额为 y = (20+x)(2100−30x) 则总人数: 20+x 人. = −30x2 + 1500x + 42000 对称轴为 x = − = = 25. 总人数：20+25 = 45（人）. y最大值 =45×(2100−30×25) =60750（元）. 当旅行团的人数为45人时，营业额最大. 最大营业额为60750元. 2.生产某种商品需要500元的固定花费，在此基础上，每生产1件商品花费10元，预定单价为50元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一，当产量为何值时，生产这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 解：设产量为 x 件，利润为 y 元。 y = x(50 − x) − (500 + 10x) = − x2 +40x−500 a = − <0，开口向下，有最大值. 对称轴为 x = − = − = 160. 当 x = 160时，y最大值 =− 1602 +40160−500=2700. 当产量为160件时，利润最大. 最大利润为 2700元. 3．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个；若这种商品在一定范围内每降价1元，每日销量就增加1个．为了获得最大利润，则应该降价 (　 　) A．5元　　　　 B．10元　　　　 C．15元　　　　D．20元 A 4．某商品单个利润y(元)与变化的单价x(元)之间的关系为y＝－5x2＋10x，当0.5≤x≤2时，最大利润是______元． 5 课堂小结 1．用二次函数解决商品利润问题的方法． 2．解决利润相关问题中需要注意的问题． 随堂检测 1. 某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润（元）与降价 （元）之间的关系式是 ，则最大利润为( ) A. 15元 B. 400元 C. 800元 D. 1 250元 D 2. 某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件元（，且 为整数）出售，可卖出 件，要使利润最大，每件的售价应为( ) A. 24元 B. 25元 C. 28元 D. 30元 B 解：设每件应降价x元，每天的利润为y元， 3.某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售出40件. 若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？ 由题意得：y = (20 − x)(40 + 10x) = −10x2 + 160x + 800 = −10(x− 8)2 + 1440 (0＜x＜20). 当x=8时，y取最大值1440. 即当每件降价8元时，每天的盈利最多. 作业布置 (1)教材P55～56　习题26.4第7，8题； (2)对应课时练习． $