26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，通过回顾描点法步骤与一次函数图象，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生探究抛物线的特征及相关性质。 其亮点在于通过描点画图、对比不同a值函数图象培养几何直观和推理意识，结合自由下落等实际应用体现模型意识。小结用表格系统对比a>0与a<0时的性质，助力学生掌握知识，提升探究能力，也为教师提供完整教学资源。

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 2026年7月31日 人教版九年级上册26.2.1二次函数y=ax²的图象和性质专项练习题（全文约1020字） 一、基础知识点填空（每空3分，共30分） 1. 二次函数$$y=ax^2(a eq0)$$的图象是一条________，它的对称轴是________。 2. 抛物线$$y=ax^2$$的顶点坐标是________，顶点是抛物线的________或________。 3. 当$$a>0$$时，抛物线开口________，在对称轴左侧$$y$$随$$x$$的增大而________，右侧$$y$$随$$x$$的增大而________。 4. 当$$a<0$$时，抛物线开口________，函数有最________值。 5. $$|a|$$越大，抛物线的开口越________；$$|a|$$越小，开口越________。 6. 抛物线$$y=5x^2$$的对称轴是________，顶点坐标为________。 7. 已知点$$(2,m)$$在抛物线$$y=-x^2$$上，则$$m=$$________。 二、选择题（每题4分，共28分） 1. 下列关于抛物线$$y=2x^2$$的说法正确的是（） A. 开口向下 B. 对称轴是$$x$$轴 C. 顶点是原点 D. 有最大值 2. 抛物线$$y=-3x^2$$不具有的性质是（） A. 开口向下 B. 对称轴是$$y$$轴 C. 当$$x>0$$时，$$y$$随$$x$$增大而增大 D. 顶点坐标$$(0,0)$$ 3. 下列抛物线中，开口最大的是（） A.$$y=x^2$$ B.$$y=4x^2$$ C.$$y=-2x^2$$ D.$$y=-5x^2$$ 4. 对于抛物线$$y=-\frac{1}{2}x^2$$，当$$x_1\lt x_2\lt0$$时，$$y_1、y_2$$的大小关系是（） A.$$y_1\lt y_2$$ B.$$y_1\gt y_2$$ C.$$y_1=y_2$$ D. 无法判断 5. 抛物线$$y=ax^2$$经过点$$(1,-2)$$，则$$a$$的值为（） A.2 B.-2 C.1 D.-1 6. 关于$$y=ax^2$$图象性质，说法错误的是（） A. 图象必过原点 B. 对称轴为$$y$$轴 C. 都是轴对称图形 D.$$a$$越大，开口越小 7. 已知抛物线$$y=(m-1)x^2$$开口向上，则$$m$$的取值范围是（） A.$$m>1$$ B.$$m\lt1$$ C.$$m\geq1$$ D.$$m\leq1$$ 三、解答题（共42分） 1. 基础性质应用题（每题6分，共24分） 1. 说出抛物线$$y=6x^2$$的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性。 2. 说出抛物线$$y=-\frac{1}{3}x^2$$的开口方向、最值和增减性。 3. 已知抛物线$$y=ax^2$$经过点$$(-2,8)$$，求解析式。 4. 比较抛物线$$y=3x^2$$与$$y=-4x^2$$的开口大小，并说明理由。 2. 函数值大小比较（9分） 已知点$$A(-3,y_1)$$、$$B(2,y_2)$$在抛物线$$y=2x^2$$上，比较$$y_1、y_2$$的大小。 3. 参数取值综合题（9分） 已知抛物线$$y=(2k-4)x^2$$，根据条件求$$k$$的取值：（1）开口向上；（2）开口向下。 参考答案 一、基础知识点填空 1. 抛物线；$$y$$轴（直线$$x=0$$） 2. $$(0,0)$$；最高点；最低点 3. 向上；减小；增大 4. 向下；大 5. 小；大 6. $$y$$轴（直线$$x=0$$）；$$(0,0)$$ 7. -4 二、选择题 1.C 2.C 3.A 4.A 5.B 6.D 7.A 三、解答题 1. 解：（1）开口向上，对称轴为$$y$$轴，顶点$$(0,0)$$；$$x<0$$时$$y$$随$$x$$增大而减小，$$x>0$$时$$y$$随$$x$$增大而增大。 （2）开口向下，最大值为0；$$x<0$$时$$y$$随$$x$$增大而增大，$$x>0$$时$$y$$随$$x$$增大而减小。 （3）代入得$$8=4a$$，解得$$a=2$$，解析式为$$y=2x^2$$。 （4）$$|-4|>|3|$$，$$y=3x^2$$开口更大。 2. 解：代入得$$y_1=18$$，$$y_2=8$$，故$$y_1>y_2$$。 3. 解：（1）开口向上则$$2k-4>0$$，解得$$k>2$$；（2）开口向下则$$2k-4<0$$，解得$$k<2$$。 拓展思考题 思考：为什么抛物线$$y=ax^2$$的图象一定过原点？ 答：无论$$a$$取何非零常数，当$$x=0$$时，必有$$y=0$$，因此图象恒过坐标原点。 （总字数：1020） 了解抛物线及其相关概念. 会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点，知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有关. 能根据图象说出抛物线y=ax²的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点. 新课导入 导入课题 问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？ 问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？ 那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们来学习最简单的二次函数y=ax2的图象. ①列表；②描点；③连线 一条直线 先画二次函数y = x2的图象 推进新课 知识点1 二次函数y = ax2的图象的画法 x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ··· 1.列表 在y = x2中，自变量x可以是任意实数，列表表示出几组对应值： 4 2.描点 根据表中x，y的数值在坐标平面中描出对应的点. 3.连线 用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2的图象. 3 6 9 y O -3 3 x 1. 返回 二次函数y＝x2的图象大致是(　　) A 考试考法 6 返回 2. 抛物线y＝－2x2的开口(　　) A．向上 B．向左 C．向右 D．向下 D 考试考法 返回 3. 抛物线y＝3x2的对称轴是(　　) A．直线x＝3 B．直线x＝－3 C．直线x＝0 D．直线y＝0 C 考试考法 3 6 9 y O -3 3 x 观察：二次函数y = x2的图象像什么？ 事实上，二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c. 抛物线y = x2 知识点2 二次函数y = ax2的图象和性质 3 6 9 y O -3 3 x 函数y = x2的图象开口______. 向上 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。 这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴. 顶点坐标是________. 顶点是图象的最____点. （0，0） 低 在抛物线y = x2上 任取一点（m，m2）， 因为它关于y轴的对称 点（-m，m2）也在抛 物线y = x2上，所以抛 物线y = x2关于y轴对称。 特征 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点． 3 6 9 y O -3 3 x 当x<0 (在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小. 当x>0 (在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大. 单调性 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 解：分别列表，再画出它们的图象，如图. x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ··· x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y = 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ··· y=2x2 例1 在同一直角坐标系中，画出函数 ，y =2x2的图象. a值越大，抛物线的开口越小． 增减性相同：当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 思考 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y=2x2 顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点； 开口都向上； 对称轴都是y轴； 函数 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？ 一般地，当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小. 归纳 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y=2x2 返回 4. 抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(　　) A．(2，0) B．(－2，0) C．(0，0) D．(0，－2) C 考试考法 [教材P35练习T1变式](1)在同一平面直角坐标系(如图)中，画出函数y＝2x2，y＝ x2，y＝－2x2与y＝－ x2的图象． 返回 5. 解：如图所示． 考试考法 (2)观察(1)中所画的图象，回答下列问题： ①抛物线y＝2x2与抛物线__________的形状相同，且两抛物线关于______对称；同样地，抛物线y＝ x2与抛物线________的形状相同，也关于________对称． ②抛物线y＝2x2的开口比抛物线y＝ x2的开口________(填“大”或“小”)，抛物线y＝－2x2的开口比抛物线y＝－ x2的开口________(填“大”或“小”)． 返回 y＝－2x2 x轴 x轴 小 小 考试考法 ③在抛物线y＝ax2中，当|a|相同时，抛物线开口大小________；|a|越大，抛物线开口越________；|a|越小，抛物线开口越________． ④应用：抛物线y＝3x2与y＝x2中，开口较小的是抛物线________． 返回 相同 小 大 y＝3x2 考试考法 探究 画出函数y=-x2, , y=-2x2的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点． x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = -x2 ··· -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ··· ··· -2 0 -2 ··· y = -2x2 ··· -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 ··· y=-2x2 y=-x2 -3 -6 -9 y O -3 3 x 19 y=-2x2 y=-x2 -3 -6 -9 y O -3 3 x 开口都向下； 对称轴都是y轴； a值越小，抛物线的开口越小． 顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最高点； 增减性相同： 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. 共同点和不同点 一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小. 1.二次函数的图象都是抛物线. 2.抛物线y=ax2的图象性质: （2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点; 当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点; |a|越大，抛物线的开口越小. （1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点. y=-2x2 y=-x2 2 6 8 y 4 y=2x2 -8 -4 -2 -6 O -2 2 x 4 -4 小 结 知识点3 二次函数y = ax2的实际应用 二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型. 物体自由下落的高度h与下落时间t之间的关系（g代表重力加速度，为定值） 质量为m的物体运动时的能量E与其运动速度v之间的关系（m为定值） 物体做匀加速运动时，行驶路程与时间的关系（a代表加速度，为定值） 数形结合 已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2， （1）求S与C之间的二次函数关系式； （2）画出它的图象； （3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长； （4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2. 出题角度 二次函数y=ax2与不等式的综合运用 注意自变量的范围 解：（1）∵正方形的周长为Ccm， ∴正方形的边长为 cm， ∴S与C之间的关系式为S = ； （2）作图如右： （3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm （4）若S ≥ 4cm2，即 ≥4，解得C ≥ 8cm . . 二次函数y＝－5x2的图象，在y轴右侧，y随x的增大而(　　) A．增大 B．减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小 返回 6. B 考试考法 返回 7. 已知二次函数y＝(a－1)x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是(　　) A．a＞0 B．a＞1 C．a≠1 D．a＜1 B 考试考法 随堂演练 1.函数y = 2x2的图象的开口_______，对称轴是_______， 顶点是________ . 向上 y轴 （0，0） a = 2>0 基础巩固 举一反三 （1）其中开口向上的是________（填序号）； （2）其中开口向下且开口最大的是______（填序号）； （3）有最高点的是_______（填序号）. 2. 已知下列二次函数①y=-x2；②y= x2；③y=15x2；④y =-4x2；⑤y = 4x2. ② ① ① ③ ⑤ ④ a>0 a<0， |a|越大，开口越小. 开口向下 a<0 举一反三 返回 8. 若点(1，y1)，(2，y2)都在二次函数y＝x2的图象上，则(　　) A．y1＞y2＞0 B．0＜y1＜y2 C．y1＞0＞y2 D．y1＜0＜y2 B 考试考法 返回 9. 根据下列条件求a的值或取值范围． (1)函数y＝(a－2)x2，当x>0时，y随x的增大而减小，当x<0时，y随x的增大而增大； (2)函数y＝(3a－2)x2有最大值； (3)函数y＝axa2＋a的图象是开口向上的抛物线． 解：(1)由题意可得，a－2<0，解得a<2. (2) 由题意可得，3a－2<0，解得a< 考试考法 30 返回 10. [保定一模点M(m，2 027)在函数y＝x2的图象上，已知452＝2 025，则下列选项正确的是(　　) A．m>45 B．m<45 C．|m|>45 D．|m|<45 C 考试考法 31 11. [唐山期末]夕夕用软件绘制二次函数y＝4x2的图象时，将“4”按成了“5”，和原图象相比，发生改变的是(　　) A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标 B 返回 考试考法 32 返回 12. 如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝2x2；②y＝x2；③y＝ x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数为(　　) A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②① A 考试考法 33 二次函数y = ax2 的性质 根据图形填表： 抛物线 y = ax2（a>0） y = ax2（a＜0） 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 （0，0） （0，0） y轴 y轴 在x轴的上方（除顶点外） 在x轴的下方（除顶点外） 向上 向下 当x = 0时，最小值为0. 当x = 0时，最大值为0. 当x<0时，y随着x的增大而减小. 当x>0时，y随着x的增大而增大. 当x<0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而减小. 课堂小结 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 谢谢观看 THANKS y＝－x2 . (3) 解：由题意可得，解得a＝1. $