26.4.1几何图形面积问题（课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数几何图形面积问题，核心思路为用坐标表示线段、列面积公式转化为二次函数求最值，通过跳水高度、矩形篱笆等实际问题导入，衔接二次函数性质，构建从基础到复杂图形的解题支架。 其亮点在于“三大面积模型+标准解题步骤”，铅垂高水平宽法培养抽象能力（数学眼光），墙长限制下的矩形面积变式强化推理意识（数学思维），无盖纸盒体积计算体现模型观念（数学语言）。学生掌握解题套路提升能力，教师获系统资料与中考考法，提高教学效率。

新人教版9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月15日 26.4.1几何图形面积问题 第26章 二次函数 26.4.1 二次函数几何图形面积问题（含解析） 一、核心知识点梳理 二次函数几何面积问题是九年级重难点大题必考题型，核心思路：用坐标表示线段，用线段列面积公式，转化为二次函数求最值。常见图形：三角形、四边形、矩形、不规则图形。 1. 必备基础：坐标求线段长度 （1）水平线段（平行x轴）：纵坐标相同，长度=横坐标之差的绝对值； （2）竖直线段（平行y轴）：横坐标相同，长度=纵坐标之差的绝对值； （3）二次函数动点问题优先找水平、竖直线段，计算最简单。 2. 三大核心面积模型（考试万能套路） 模型一：铅垂高、水平宽法（通用三角形面积） 任意斜三角形面积公式：$$S=\dfrac{1}{2}\times\text{水平宽}\times\text{铅垂高}$$ 水平宽：三角形最左侧、最右侧点的横坐标差值； 铅垂高：中间动点竖直方向的上下距离； 优势：无需找底和高，解决所有抛物线上斜三角形面积问题。 模型二：规则图形（矩形、直角三角形） 边长全部用坐标表示，直接套用基础面积公式，列出二次函数解析式，结合增减性求最大/最小面积。 模型三：割补法（不规则图形） 不规则四边形、多边形面积 = 规则图形面积和/差（矩形面积减去周围多余三角形面积）。 3. 标准解题步骤 ① 设动点坐标：根据抛物线解析式设点坐标； ② 表示线段长：用横坐标、纵坐标表示底和高； ③ 列面积函数：写出面积关于自变量的二次函数； ④ 确定取值范围：结合图象确定自变量取值范围； ⑤ 求最值：利用顶点坐标求最大/最小面积。 二、基础+经典大题练习 （一）填空题 1. 已知抛物线上一点$$P(x,-x^2+2x+3)$$，若点$$P$$在第一象限，该点到x轴的距离为________。 2. 直角三角形两直角边长分别为$$x$$和$$(10-x)$$，则面积$$S$$关于$$x$$的函数解析式为________。 （二）解答题（必考题型） 3. 已知二次函数$$y=-x^2+2x+3$$，抛物线与x轴交于A、B两点（A在左，B在右），与y轴交于C点，点P是第一象限抛物线上的动点。求$$\triangle PBC$$的面积最大值。 4. 用长为40cm的铁丝围成一个矩形，设矩形一边长为$$x\ \text{cm}$$，求矩形面积的最大值。 5. 已知抛物线$$y=x^2-4x$$，点M是抛物线上位于x轴下方的动点，求点M与抛物线和x轴两交点构成的三角形的最大面积。 三、参考答案与详细解析 1. 答案：$-x^2+2x+3$ 解析：第一象限函数值为正，点到x轴距离等于纵坐标。 2. 答案：$S=-\dfrac{1}{2}x^2+5x$ 解析：$$S=\dfrac{1}{2}\cdot x(10-x)=-\dfrac{1}{2}x^2+5x$$。 3. 解析： 先求交点：令$$y=0$$，解得$$B(3,0)$$$$x=0$$$$C(0,3)$$$$P(t,-t^2+2t+3)\ (0<t<3)$$$$y=-x+3$$$$h=(-t^2+2t+3)-(-t+3)=-t^2+3t$$$$3$$$$S=\dfrac{1}{2}\times3\times(-t^2+3t)=-\dfrac{3}{2}t^2+\dfrac{9}{2}t$$$$t=\dfrac{3}{2}$$$$S_{max}=\dfrac{27}{8}$$$$\triangle PBC$$$$\dfrac{27}{8}$$$$x$$$$20-x$$$$S=x(20-x)=-x^2+20x$$$$a=-1<0$$$$x=10$$$$S_{max}=100\ \text{cm}^2$$$$100\ \text{cm}^2$$$$y=x^2-4x$$$$(0,0)、(4,0)$$$$M(t,t^2-4t)\ (0<t<4)$$$$h=-(t^2-4t)=-t^2+4t$$$$S=\dfrac{1}{2}\times4\times(-t^2+4t)=-2t^2+8t$$$$t=2$$$$S_{max}=8$$ 掌握几何问题中的相等关系的寻找方法，并会应用函数解析式求图形面积的最值. 会应用二次函数的性质解决实际问题. 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）之间的关系式是h=−4.9t2+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.） 二次函数与几何图形面积的最值 知识点 探究新知 分析：运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，于是最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题，转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题. 3 方法点拨 利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： 1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数解析式； 2.确定自变量的取值范围； 3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图； 4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值. 探究新知 x 20－2x 变式 如图，利用一面墙（墙的长度为8m)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园．如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？ 问题3 面积S的函数解析式是什么？ 问题1 变式与例题有什么不同？ S＝x(20－2x)=－2x2+20x. 设垂直于墙的边长为x米. 探究新知 5 问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长8m对此题有什么作用？ 问题5 如何求最值？ 由于5＜6，因此只能利用函数的增减性求其最值. 即当x=6m时，S有最大值， 最大值为S=-2×62+20×6=48（m2）. 探究新知 即6≤x＜10. x＞0， 20－2x＞0， 20－2x≤8， 方法点拨 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围进行分析.通过例题和变式，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值. 探究新知 应用1 与三角形面积结合 1.一块三角形材料如图所示， ， ， 九年级（8）班的同学在 劳动课上用这块材料剪出一个矩形 ，其中 点，，分别在边，，上．设 的 长为，矩形的面积为 ． （1）写出关于的函数解析式，并写出 的取值范围； 中考考法 8 【解】 四边形 为矩形， , . 在中， , , ， ． 中考考法 9 在中， , , , ， ， ， ． 中考考法 （2）当矩形的面积为时，求 的长； 由题意，得 ， 整理，得 ， 解得， ， 即 的长为4或8． 中考考法 11 （3）若矩形的面积不小于 ，请直接写 出的长 的取值范围． . 【点拨】由题意，得 ， 整理，得 ， 解得 . 中考考法 12 应用2 与展开图结合 2. 在一次劳动课中，老师准备了一 些长为、宽为 的长方形硬 纸板，准备利用这些纸板制作无盖的 长方体纸盒，且每张纸板可制作两个纸盒（接头处忽略不 计）．如图①，活动小组将纸板在四个角裁掉四个边长均为 的正方形，再在中间裁掉一个正方形 ，#1 中考考法 13 将纸板沿, 剪开，折叠后，得到两个相同的无盖长方体 纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形 （如图②）．#1 （1）求制作的无盖纸盒的底面的边 的长； 【解】由题意可知， ， ． 中考考法 14 （2）写出一个无盖纸盒的体积（单位：）与 （单位：）之间的函数关系式，并求出当 的值为5时，单 个无盖纸盒的体积 的值． 中考考法 15 根据题意，可知无盖纸盒的长,宽,高分别为 , , ， ， 当时， ． 中考考法 16 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数解析式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 课堂小结 $