26.2.1 二次函数y=ax2+k 的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+k的图象画法、与y=ax²的联系及性质，通过复习y=ax²的对称轴、顶点、开口方向等特征，以问题“那么y=ax²+k呢？”衔接，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于采用描点法与平移法结合画图象，对比y=2x²与y=2x²±1的开口方向、顶点等培养几何直观和推理意识，以表格归纳性质形成结构化数学语言。实例如列表描点画图、探究平移规律，帮助学生理解图象变换本质，教师可借助清晰流程提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.2.1 二次函数y=ax2+k 的图象和性质 2026年7月31日 人教版九年级上册26.2.2.1二次函数y=ax²+k的图象和性质专项练习题（全文约1020字） 一、基础知识点填空（每空3分，共30分） 1. 二次函数$$y=ax^2+k(a eq0)$$的图象是一条________，对称轴为________。 2. 抛物线$$y=ax^2+k$$的顶点坐标是________，与抛物线$$y=ax^2$$的开口大小、开口方向________。 3. 抛物线$$y=ax^2+k$$可由抛物线$$y=ax^2$$上下平移得到：$$k>0$$向________平移$$k$$个单位，$$k<0$$向________平移$$|k|$$个单位。 4. 当$$a>0$$时，抛物线开口向上，顶点是最________点，函数有最________值为$$k$$。 5. 当$$a<0$$时，抛物线开口向下，顶点是最________点，函数有最________值为$$k$$。 6. 抛物线$$y=2x^2-3$$由$$y=2x^2$$向________平移3个单位得到。 7. 抛物线$$y=-3x^2+4$$的顶点坐标为________，最大值为________。 二、选择题（每题4分，共28分） 1. 抛物线$$y=5x^2-1$$的对称轴是（） A.$$x$$轴 B.$$y$$轴 C.直线$$x=1$$ D.直线$$x=-1$$ 2. 对于抛物线$$y=-2x^2+3$$，下列说法正确的是（） A.开口向上 B.最小值为3 C.顶点$$(0,3)$$ D.由$$y=-2x^2$$向下平移得到 3. 将抛物线$$y=4x^2$$向上平移2个单位，所得解析式为（） A.$$y=4x^2+2$$ B.$$y=4x^2-2$$ C.$$y=(4x+2)^2$$ D.$$y=(4x-2)^2$$ 4. 抛物线$$y=x^2-5$$的顶点位置在（） A.x轴上方 B.x轴下方 C.原点 D.y轴左侧 5. 已知点$$(1,m)$$在$$y=3x^2-2$$上，则$$m$$的值为（） A.1 B.-1 C.2 D.-2 6. 关于$$y=ax^2+k$$图象性质，错误的是（） A.图象都是抛物线 B.对称轴均为y轴 C.增减性与$$y=ax^2$$完全相同 D.开口方向与$$k$$有关 7. 抛物线$$y=-\frac{1}{2}x^2+6$$，当$$x=0$$时，函数值为（） A.0 B.6 C.-6 D.5.5 三、解答题（共42分） 1. 基础性质问答（每题6分，共24分） 1. 写出抛物线$$y=4x^2+5$$的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值。 2. 写出抛物线$$y=-x^2-2$$的开口方向、顶点坐标、增减性。 3. 说明抛物线$$y=3x^2-4$$是由$$y=3x^2$$经过怎样的平移得到的。 4. 已知抛物线$$y=ax^2+2$$过点$$(2,10)$$，求抛物线解析式。 2. 函数值大小比较（9分） 已知点$$C(-2,y_1)$$、$$D(1,y_2)$$在抛物线$$y=2x^2-1$$上，比较$$y_1、y_2$$的大小。 3. 平移综合应用题（9分） 已知抛物线$$y=-2x^2$$，先向上平移5个单位，求出平移后的抛物线解析式、顶点坐标和最大值。 参考答案 一、基础知识点填空 1. 抛物线；$$y$$轴（直线$$x=0$$） 2. $$(0,k)$$；完全相同 3. 上；下 4. 低；小 5. 高；大 6. 下 7. $$(0,4)$$；4 二、选择题 1.B 2.C 3.A 4.B 5.A 6.D 7.B 三、解答题 1. 解：（1）开口向上，对称轴为y轴，顶点$$(0,5)$$，最小值为5。 （2）开口向下，顶点$$(0,-2)$$；$$x<0$$时y随x增大而增大，$$x>0$$时y随x增大而减小。 （3）由$$y=3x^2$$向下平移4个单位得到。 （4）代入$$(2,10)$$得$$10=4a+2$$，解得$$a=2$$，解析式为$$y=2x^2+2$$。 2. 解：代入得$$y_1=2\times4-1=7$$，$$y_2=2\times1-1=1$$，故$$y_1>y_2$$。 3. 解：平移后解析式为$$y=-2x^2+5$$，顶点坐标$$(0,5)$$，抛物线开口向下，函数最大值为5。 拓展思考题 思考：$$y=ax^2+k$$的平移只改变顶点位置，不改变开口，原因是什么？ 答：参数$$a$$决定抛物线的开口方向和开口大小，上下平移只改变常数$$k$$，$$a$$的值不变，因此开口保持不变。 （总字数：1020） 会画二次函数y=ax2+k的图象. 理解抛物线y=ax²与抛物线 y=ax²+k之间的联系. 能说出抛物线y=ax²+k的开口方向、对称轴、顶点. 新课导入 导入课题 问题:说说二次函数y=ax2的图象的特征. 2 6 8 y 4 y=ax2 -8 -4 -2 -6 O -2 2 x 4 -4 （2）当a>0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的 ; 当a<0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的 ; |a|越大，抛物线的开口 . （1）抛物线y=ax2的对称轴是 ，顶点是 . y轴 原点 向上 最低点 向下 最高点 越小 那么y=ax2+k 呢？ 推进新课 知识点1 二次函数y = ax2 +k的图象的画法 例2 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象。 解：先列表： x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y =2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 … y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 … 4 x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y = 2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 … y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 … 然后描点画图： 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y = 2x2 -1 y = 2x2+1 -1 抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 思考1 1. 返回 二次函数y＝x2＋1的图象大致是(　　) B 考试考法 6 返回 2. 抛物线y＝－3x2－2的开口(　　) A．向上 B．向右 C．向下 D．向左 C 考试考法 返回 3. 函数y＝2x2－9的图象的顶点坐标和对称轴分别是(　　) A．(－9，0)，直线x＝－9 B．(9，0)，直线x＝9 C．(0，－9)，y轴 D．(0，9)，y轴 C 考试考法 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y = 2x2 -1 y = 2x2+1 -1 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = 2x2+1 y = 2x2 -1 上 上 y轴 y轴 （0,1） （0,-1） 相同点： 不同点： 开口方向相同、形状相同，对称轴都是y轴。 顶点坐标发生了改变。 知识点2 二次函数y = ax2 +k的图象和性质 抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 与抛物线y=2x2 有什么关系？ 思考2 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y = 2x2 -1 y = 2x2+1 -1 y = 2x2 观察图象可发现： 把抛物线y=2x2 平移 个单位就得到抛物线y=2x2+1;把抛物线y=2x2 平移 个单位就得到抛物线y=2x2-1. 向上 1 向下 1 所以，y = 2x2 -1的图象还可以由抛物线y = 2x2+1 平移 个单位得到. 向下 2 返回 4. 二次函数y＝－5x2－1的最值情况是(　　) A．有最小值－1 B．有最大值－1 C．有最小值5 D．有最大值－5 B 考试考法 [石家庄平山期中]若二次函数y＝－x2＋1的图象过点(1，y1)和(2，y2)，则y1，y2的大小关系为(　　) A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．y1≥y2 返回 5. B 考试考法 【新视角 结论开放题】已知二次函数y＝－x2＋c的图象不经过第一、二象限，请写出一个合适的常数c的值：__________________． 返回 6. －1(答案不唯一) 考试考法 抛物线y = ax2+k 与抛物线y=ax2 有什么关系？ 思考3 y O x y = ax2 +k(k<0) y = ax2+k (k>0) y = ax2 k k 结论： 抛物线y=ax2+k的图象相当于把抛物线y=ax2的图象 （k＞0）或 （k＜0）平移 个单位. 向上 向下 |k| 在同一坐标系中，画出二次函数 ， ， 的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，指明抛物线 通 过怎样的平移可得到抛物线 . 练习 -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 如图所示 二次函数y = ax2 +k的图象和性质: 归纳 a的符号 a>0 a<0 图象 k>0 k<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 向上 向下 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） （0，k） （0，k） x=0时，y最小值=k x=0时，y最大值=k 随堂演练 1.抛物线y＝2x2＋3可以由抛物线y＝2x2向 平移 个单位得到． 2.抛物线y＝- x2+1向 平移 个单位后，会得到抛物线y=- x2． 3.抛物线y＝-2x2-5的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 . 基础巩固 上 3 下 1 向下 y轴 （0，-5） 返回 7. 抛物线y＝ax2＋c与y＝－3x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是(0，2)，则该抛物线的解析式是____________． y＝3x2＋2 考试考法 返回 8. 已知二次函数y＝x2－2. (1)写出此函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴及y随x的变化情况； 解：此函数图象的开口向上，顶点坐标为(0，－2)，对称轴为y轴．当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大． 考试考法 返回 (2)当－1≤x≤2时，求y的取值范围． 解：易知当x＝0时，y取得最小值，为－2， 当x＝2时，y取得最大值，为2. 所以当－1≤x≤2时，y的取值范围是－2≤y≤2. 考试考法 返回 9. 将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式是(　　) A．y＝x2＋3 B．y＝x2－3 C．y＝(x＋3)2 D．y＝(x－3)2 A 考试考法 21 返回 10. 抛物线y＝－2x2经过平移得到抛物线y＝－2x2－5，则这个平移过程是(　　) A．向左平移5个单位长度 B．向右平移5个单位长度 C．向上平移5个单位长度 D．向下平移5个单位长度 D 考试考法 22 返回 11. [教材P38练习变式]在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数y＝－x2，y＝－x2＋1的图象． (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； 解：如图所示． (1)抛物线y＝－x2：开口向下，对称轴为y轴， 顶点坐标为(0，0)； 抛物线y＝－x2＋1：开口向下，对称轴为y轴， 顶点坐标为(0，1)． 考试考法 23 返回 (2)抛物线y＝－2x2＋3可由抛物线y＝－2x2向________平移________个单位长度得到． 上 3 考试考法 24 课堂小结 复习y=ax2 探索y=ax2+k的图象及性质 图象的画法 图象的特征 描点法 平移法 开口方向 顶点坐标 对称轴 平移关系 y轴（直线x=0） （0,k） a>0,开口向上 a<0,开口向下 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 谢谢观看 THANKS $