26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质-课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，通过回顾一次函数图象及描点法步骤导入，搭建从一次函数到二次函数的学习支架，帮助学生理解抛物线特征及a值对开口、增减性的影响。 其亮点在于通过描点画图、对比不同a值函数图象，结合正方形周长与面积关系等实例，培养学生几何直观与推理意识。课堂小结用表格系统对比a>0和a<0的性质，助力学生构建知识体系，教师可高效开展教学。

人教版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 第二十六章 二次函数 26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 练习题 知识点回顾：$$y=ax^2(a eq0)$$ 是最简单的二次函数，图象是抛物线，顶点在原点$$(0,0)$$，对称轴为y轴（直线x=0）。①当$$a>0$$时，抛物线开口向上，顶点是最低点，$$x=0$$时$$y_{\text{最小}}=0$$；$$x<0$$时y随x增大而减小，$$x>0$$时y随x增大而增大。②当$$a<0$$时，抛物线开口向下，顶点是最高点，$$x=0$$时$$y_{\text{最大}}=0$$；$$x<0$$时y随x增大而增大，$$x>0$$时y随x增大而减小。③$$|a|$$越大，抛物线开口越小、图象越陡；$$|a|$$越小，开口越大、图象越平缓。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 抛物线$$y=5x^2$$的开口方向是（） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 2. 抛物线$$y=-2x^2$$的对称轴和顶点坐标分别是（） A. x轴、$$(0,-2)$$ B. y轴、$$(0,0)$$ C. x轴、$$(0,0)$$ D. y轴、$$(0,-2)$$ 3. 下列抛物线中，开口最大的是（） A. $$y=3x^2$$ B. $$y=0.5x^2$$ C. $$y=-4x^2$$ D. $$y=-2x^2$$ 4. 对于抛物线$$y=-x^2$$，下列说法正确的是（） A. 开口向上 B. 当$$x>0$$时，y随x增大而增大 C. 当$$x=0$$时，y有最大值0 D. 图象关于x轴对称 5. 已知点$$(-2,y_1)$$、$$(1,y_2)$$在抛物线$$y=2x^2$$上，则$$y_1、y_2$$的大小关系是（） A. $$y_1>y_2$$ B. $$y_1<y_2$$ C. $$y_1=y_2$$ D. 无法判断 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 二次函数$$y=-6x^2$$的图象是__________，顶点坐标是__________。 2. 抛物线$$y=4x^2$$，当$$x<0$$时，y随x的增大而__________。 3. 抛物线$$y=-3x^2$$有最__________值，该值为__________。 4. 已知抛物线$$y=ax^2$$经过点$$(2,8)$$，则$$a=$$__________。 5. 若抛物线$$y=(m-1)x^2$$开口向下，则$$m$$的取值范围是__________。 三、解答题（共60分） 1.（20分）分别说出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性。 （1）$$y=6x^2$$ （2）$$y=-0.2x^2$$ 2.（20分）已知抛物线$$y=ax^2$$经过点$$(-3,-18)$$。 （1）求该抛物线的函数解析式； （2）判断抛物线的开口方向，说出函数的最值； （3）求当$$x=4$$时，对应的函数值。 3.（20分）比较函数值大小并说明理由：已知点$$A(-3,y_1)$$、$$B(-1,y_2)$$、$$C(2,y_3)$$都在抛物线$$y=\dfrac{1}{2}x^2$$上，比较$$y_1、y_2、y_3$$的大小。 参考答案 一、选择题：1.A 2.B 3.B 4.C 5.A 二、填空题 1. 抛物线、$$(0,0)$$ 2. 减小 3. 大、0 4. 2 5. $$m<1$$ 三、解答题 1. 解：（1）$$y=6x^2$$：开口向上，对称轴为y轴，顶点$$(0,0)$$；$$x<0$$时y随x增大而减小，$$x>0$$时y随x增大而增大。 （2）$$y=-0.2x^2$$：开口向下，对称轴为y轴，顶点$$(0,0)$$；$$x<0$$时y随x增大而增大，$$x&gt;0$$时y随x增大而减小。 2. 解：（1）将$$(-3,-18)$$代入$$y=ax^2$$，得$$9a=-18$$，解得$$a=-2$$，解析式为$$y=-2x^2$$。 （2）$$a=-2<0$$，抛物线开口向下，当$$x=0$$时，函数有最大值0，无最小值。 （3）当$$x=4$$时，$$y=-2\times4^2=-32$$。 3. 解：抛物线$$y=\dfrac{1}{2}x^2$$开口向上，对称轴为y轴。图象上的点离对称轴越远，函数值越大。三点横坐标绝对值：$$|-3|>|2|>|-1|$$，因此$$y_1>y_3>y_2$$。 26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 学习目标 1.正确理解抛物线的有关概念；（重点） 2.会用描点法画出二次函数 y = ax² 的图象，概括图象的特点；（难点） 3.掌握二次函数 y = ax² 的图象和性质，并会应用. （难点） 学习目标 新课导入 导入课题 问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？ 问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？ 那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们来学习最简单的二次函数y=ax2的图象. ①列表；②描点；③连线 一条直线 （1）用描点法画二次函数y=ax2的图象，知道抛物线y=ax2是轴对称图形，知道抛物线y=ax2的开口方向与a的符号有关. （2）能根据图象说出抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点. 学习目标 先画二次函数y = x2的图象 推进新课 知识点1 二次函数y = ax2的图象的画法 x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ··· 1.列表 在y = x2中，自变量x可以是任意实数，列表表示出几组对应值： 5 2.描点 根据表中x，y的数值在坐标平面中描出对应的点. 3.连线 用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2的图象. 3 6 9 y O -3 3 x 3 6 9 y O -3 3 x 观察：二次函数y = x2的图象像什么？ 事实上，二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c. 抛物线y = x2 知识点2 二次函数y = ax2的图象和性质 3 6 9 y O -3 3 x 函数y = x2的图象开口______. 向上 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。 这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴. 顶点坐标是________. 顶点是图象的最____点. （0，0） 低 在抛物线y = x2上 任取一点（m，m2）， 因为它关于y轴的对称 点（-m，m2）也在抛 物线y = x2上，所以抛 物线y = x2关于y轴对称。 特征 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点． 3 6 9 y O -3 3 x 当x<0 (在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小. 当x>0 (在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大. 单调性 知识点1 二次函数 的图象 1. 关于二次函数 的图象，下列说法错 误的是( ) C A. 它是一条抛物线 B. 它的开口向上，且关于 轴对称 C. 它的顶点是抛物线的最高点 D. 它与的图象关于 轴对称 中考考法 10 【点拨】的图象是一条抛物线，开口向上，关于 轴 对称，顶点是抛物线的最低点，它与的图象关于 轴对称，故C错误，符合题意. 中考考法 11 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 解：分别列表，再画出它们的图象，如图. x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ··· x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y = 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ··· y=2x2 例1 在同一直角坐标系中，画出函数 ，y =2x2的图象. a值越大，抛物线的开口越小． 增减性相同：当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 思考 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y=2x2 顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点； 开口都向上； 对称轴都是y轴； 函数 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？ 一般地，当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小. 归纳 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y=2x2 探究 画出函数y=-x2, , y=-2x2的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点． x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = -x2 ··· -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ··· ··· -2 0 -2 ··· y = -2x2 ··· -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 ··· y=-2x2 y=-x2 -3 -6 -9 y O -3 3 x 15 y=-2x2 y=-x2 -3 -6 -9 y O -3 3 x 开口都向下； 对称轴都是y轴； a值越小，抛物线的开口越小． 顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最高点； 增减性相同： 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. 共同点和不同点 一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小. 1.二次函数的图象都是抛物线. 2.抛物线y=ax2的图象性质: （2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点; 当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点; |a|越大，抛物线的开口越小. （1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点. y=-2x2 y=-x2 2 6 8 y 4 y=2x2 -8 -4 -2 -6 O -2 2 x 4 -4 小 结 知识点3 二次函数y = ax2的实际应用 二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型. 物体自由下落的高度h与下落时间t之间的关系（g代表重力加速度，为定值） 质量为m的物体运动时的能量E与其运动速度v之间的关系（m为定值） 物体做匀加速运动时，行驶路程与时间的关系（a代表加速度，为定值） 数形结合 已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2， （1）求S与C之间的二次函数关系式； （2）画出它的图象； （3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长； （4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2. 出题角度 二次函数y=ax2与不等式的综合运用 注意自变量的范围 解：（1）∵正方形的周长为Ccm， ∴正方形的边长为 cm， ∴S与C之间的关系式为S = ； （2）作图如右： （3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm （4）若S ≥ 4cm2，即 ≥4，解得C ≥ 8cm . . 随堂演练 1.函数y = 2x2的图象的开口_______，对称轴是_______， 顶点是________ . 向上 y轴 （0，0） a = 2>0 基础巩固 （1）其中开口向上的是________（填序号）； （2）其中开口向下且开口最大的是______（填序号）； （3）有最高点的是_______（填序号）. 2. 已知下列二次函数①y=-x2；②y= x2；③y=15x2；④y =-4x2；⑤y = 4x2. ② ① ① ③ ⑤ ④ a>0 a<0， |a|越大，开口越小. 开口向下 a<0 2. 二次函数与一次函数 在同一坐标系中 的大致图象可能是( ) D A. B. C. D. 中考考法 23 （第3题） 3. 如图所示，三个二次函数的图象分 别对应的是； ； ,则，， 的大小关系是 _____________. 中考考法 24 知识点2 二次函数 的性质 4. 若点,都在二次函数 的图象上， 则( ) C A. B. C. D. 中考考法 25 （第5题） 5. 如图，正方形的边长为4,以正方形的中 心为原点建立平面直角坐标系，作出二次 函数与 的图象，则阴影 部分的面积是( ) C A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 中考考法 26 6. 已知二次函数，当时， 随的增大而减小，则实数 的值可能是_________________. （写出一个即可） 0（答案不唯一） 7.[2026合肥模拟] 已知抛物线，当时， 的 取值范围是__________. 中考考法 27 8.已知是二次函数，且当时，随 的增大而增大. （1）求 的值，并画出它的图象； 【解】根据题意，得 解得或 （舍去）. 中考考法 28 二次函数的解析式为 ，其图象如图所示. 中考考法 29 （2）写出该函数图象的对称轴和顶点坐标； 该函数图象的对称轴为轴，顶点坐标为 . （3）如果点 是此二次函数图象上的一点，若 ，求 的取值范围. 点是此二次函数图象上的一点，且 ， 当时， ; 当时， . 当时，或 . 中考考法 30 二次函数y = ax2 的性质 根据图形填表： 抛物线 y = ax2（a>0） y = ax2（a＜0） 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 （0，0） （0，0） y轴 y轴 在x轴的上方（除顶点外） 在x轴的下方（除顶点外） 向上 向下 当x = 0时，最小值为0. 当x = 0时，最大值为0. 当x<0时，y随着x的增大而减小. 当x>0时，y随着x的增大而增大. 当x<0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而减小. 课堂小结 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 $