26.3.1二次函数与一元二次方程（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，系统讲解抛物线与x轴交点的横坐标即方程实数根，通过判别式判断交点个数及根的情况，以小球飞行高度问题导入，列方程求解并结合图象分析，构建从实际问题到数学模型的学习支架。 其亮点在于情境化导入（如小球飞行实例）、跨学科综合（物理竖直上抛运动题）和数形结合训练（不同交点情况的图象与方程根对应），体现数学眼光（抽象现实问题）、数学思维（推理判别式与根的关系）和数学语言（函数模型表达数量关系）。学生能深化数形结合理解，教师可利用分层练习提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.3.1二次函数与一元二次方程 2026年7月31日 人教版九年级上册26.3.1二次函数与一元二次方程专项练习题（全文约1020字） 一、基础知识点填空（每空3分，共30分） 1. 二次函数$$y=ax^2+bx+c(a eq0)$$的图象与$$x$$轴的交点的横坐标，就是一元二次方程________的实数根。 2. 抛物线与$$x$$轴的交点个数由________决定。 3. 当$$\Delta=b^2-4ac>0$$时，抛物线与$$x$$轴有________个交点，方程有________的实数根。 4. 当$$\Delta=b^2-4ac=0$$时，抛物线与$$x$$轴有________个交点（顶点在$$x$$轴上），方程有________的实数根。 5. 当$$\Delta=b^2-4ac<0$$时，抛物线与$$x$$轴________交点，方程________实数根。 6. 若抛物线$$y=x^2-3x+2$$与$$x$$轴交于$$(1,0)$$、$$(2,0)$$，则方程$$x^2-3x+2=0$$的两根为________。 7. 二次函数图象在$$x$$轴上方的部分，对应$$y$$________0；在$$x$$轴下方的部分，对应$$y$$________0。 二、选择题（每题4分，共28分） 1. 抛物线$$y=x^2-4x+3$$与x轴的交点个数为（） A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 2. 一元二次方程$$x^2-2x+1=0$$有两个相等实数根，则抛物线$$y=x^2-2x+1$$与x轴交点为（） A.无交点 B.$$(1,0)$$ C.$$(-1,0)$$ D.$$(0,1)$$ 3. 抛物线$$y=2x^2+3x+1$$与x轴交点的横坐标是方程（）的根 A.$$2x^2+3x+1=0$$ B.$$2x^2+3x+1=1$$ C.$$2x^2+3x+1=x$$ D.$$2x^2+3x+1=2$$ 4. 若抛物线$$y=ax^2+bx+c$$与x轴无交点，则$$\Delta$$的取值为（） A.$$\Delta>0$$ B.$$\Delta=0$$ C.$$\Delta<0$$ D.$$\Delta\geq0$$ 5. 已知抛物线$$y=x^2-5x$$与x轴的一个交点为$$(5,0)$$，则方程$$x^2-5x=0$$的一个根是（） A.$$x=0$$ B.$$x=5$$ C.$$x=-5$$ D.$$x=1$$ 6. 对于$$y=-x^2+2x-2$$，下列说法正确的是（） A.与x轴有两个交点 B.与x轴有一个交点 C.与x轴无交点 D.函数值恒大于0 7. 当抛物线开口向上且与x轴无交点时，函数值恒（） A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.无法确定 三、解答题（共42分） 1. 基础判断与求解（每题6分，共24分） 1. 判断抛物线$$y=x^2+2x-3$$与$$x$$轴的交点个数，并说明理由。 2. 求抛物线$$y=x^2-6x+9$$与$$x$$轴的交点坐标。 3. 已知抛物线$$y=2x^2-8x$$，求对应一元二次方程的实数根。 4. 判断抛物线$$y=3x^2+2x+2$$与$$x$$轴是否有交点。 2. 图象与方程综合题（9分） 已知抛物线$$y=x^2-4x+3$$，结合图象说明当$$y>0$$和$$y<0$$时，$$x$$的取值范围。 3. 参数求值综合题（9分） 已知抛物线$$y=x^2+2x+m-1$$与$$x$$轴只有一个交点，求$$m$$的值。 参考答案 一、基础知识点填空 1. $$ax^2+bx+c=0$$ 2. 根的判别式$$\Delta=b^2-4ac$$ 3. 两；两个不相等 4. 一；两个相等 5. 无；无 6. $$x_1=1，x_2=2$$ 7. >；< 二、选择题 1.C 2.B 3.A 4.C 5.B 6.C 7.A 三、解答题 1. 解：（1）$$\Delta=2^2-4\times1\times(-3)=16>0$$，抛物线与x轴有2个交点。 （2）$$\Delta=0$$，交点坐标为$$(3,0)$$。 （3）令$$2x^2-8x=0$$，解得$$x_1=0，x_2=4$$。 （4）$$\Delta=2^2-4\times3\times2=-20<0$$，抛物线与x轴无交点。 2. 解：抛物线与x轴交于$$(1,0)$$、$$(3,0)$$，开口向上；当$$x<1$$或$$x>3$$时，$$y>0$$；当$$1<x<3$$时，$$y<0$$。 3. 解：抛物线与x轴只有一个交点，则$$\Delta=0$$，$$2^2-4\times1\times(m-1)=0$$，解得$$m=2$$。 拓展思考题 思考：二次函数、一元二次方程、二次函数图象三者的核心关系是什么？ 答：解方程$$ax^2+bx+c=0$$本质是求抛物线$$y=ax^2+bx+c$$与x轴交点的横坐标，判别式同时决定方程根的情况和图象交点个数。 （总字数：1020） 掌握二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系. 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 推进新课 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 问题 以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系h=20t-5t2.球的飞行高度能否达到15m或20m或20.5m？如能，需要多少飞行时间呢？ 3 （1）球的飞行高度能否达到15m？如果能,需要多少飞行时间？ h=20t-5t2. 15=20t-5t2. 解： t2-4t+3=0. t1=1， t2=3. 当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m. 1s 3s 15m 你能结合图指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？ （2）球的飞行高度能否达到20m？如果能,需要多少飞行时间？ h＝20t-5t2. 20=20t-5t2. 解： t2 - 4t+4=0. t1 =t2 =2. 当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m. 你能结合图指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？ 2s 20m （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能,需要多少飞行时间？ h＝20t-5t2. 20.5=20t-5t2. 解： t2 - 4t+4.1=0. 因为(-4)2 – 4×4.1<0， 所以方程无实根. 2s 20m 即小球的飞行高度不能达到20.5m. h=20t-5t2. 想一想：小球从飞出到落地要多少时间？ 小球飞出和落地的高度都为0m,解方程 0=20t-5t2 t1 =0， t2 =4. 解： 小球飞行0s和4s时，它的高度都为0m,这表明小球从飞出到落地要4s. 1. 返回 一元二次方程x2＋2x－8＝0的根是_______________，所以抛物线y＝x2＋2x－8与x轴的公共点坐标是__________________． x1＝2，x2＝－4 (2，0)，(－4，0) 举一反三 8 返回 2. 已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为(　　) A．x1＝－2，x2＝3 B．x1＝－1，x2＝3 C．x1＝－3，x2＝3 D．x1＝1，x2＝3 B 举一反三 从以上问题的解法中，可以发现： (1)求y=ax2+bx+c的值为k时的自变量x的值的问题，可以通过解一元二次方程 解决； (2)求y=ax2+bx+c的值为0时的自变量x的值的问题，可以通过解一元二次方程 解决. ax2+bx+c=k ax2+bx+c=0 从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）何时为一元二次方程? 一般地，当y取定值时，二次函数为一元二次方程. 如：y=5时，则5=ax2+bx+c（a≠0）就是一个一元二次方程. 自由讨论 为一个常数 （定值） 已知二次函数中因变量的值，求自变量的值 解一元二次方程的根 二次函数与一元二次方程的关系（1） 返回 3. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，利用图象解答下列各题： (1)方程ax2＋bx＋c＝0的根是___________________； (2)方程ax2＋bx＋c＝－3的根是________________； (3)方程ax2＋bx＋c＝5的根是________________； (4)方程ax2＋bx＋c＝－4的根是__________； x1＝－1，x2＝3 x1＝0，x2＝2 x1＝4，x2＝－2 x1＝x2＝1 举一反三 返回 (5)方程ax2＋bx＋c＝－6的根的情况怎样？ 解：方程无实数根． 举一反三 返回 4. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有一个公共点，则对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(　　) A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 B 举一反三 二次函数图象与x轴的公共点的横坐标是多少？ 无公共点 先画出函数图象： 公共点的函数值为 。 0 对应一元二次方程的根是多少？ x1 =-2， x2 =1. x1 =x2 =3. 方程无解 有两个不等的实根 有两个相等的实根 没有实数根 有两个不同实根 有两个相同实根 没有根 有两个交点 有一个交点 没有交点 △ > 0 △ = 0 △ < 0 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系（2） ax2+bx+c = 0 的根 抛物线 y=ax2+bx+c与x轴 若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则________________ 。 b2 – 4ac ≥ 0 △= b2 – 4ac △＞0 △=0 △＜0 o x y △ = b2 – 4ac y=ax2+bx+c 那么a<0时呢？ a＞0 抛物线y＝x2－2x＋1与x轴的交点有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 返回 5. B 举一反三 若抛物线y＝x2－x＋c(c是常数)与x轴没有交点，则c的取值范围是________． 返回 6. 举一反三 返回 7. 【新趋势 跨学科综合】一个小球从地面竖直向上抛，其运动关系式：h＝vt－gt2(不计空气阻力)，其中h(m)是物体距离地面的高度，v(m/s)是初速度，g是重力加速度(g取10 m/s2)，t(s)是抛出后所经历的时间，用发射器(发射器的高度忽略不计)将小球以10 m/s的初速度从地面竖直向上抛． (1)当小球的高度为1.8 m时，求时间t的值； 举一反三 返回 解：把v＝10，g＝10代入h＝ 得，h＝－5t2＋10t， 当h＝1.8时，1.8＝－5t2＋10t， 即5t2－10t＋1.8＝0，解得t1＝0.2，t2＝1.8. 答：当小球的高度为1.8 m时，时间t的值为0.2或1.8. 举一反三 返回 (2)小球的高度能达到5.8 m吗？请作出判断，并说明理由． 解：小球的高度不能达到5.8 m，理由如下： 把h＝5.8代入h＝－5t2＋10t，得5.8＝－5t2＋10t， ∴5t2－10t＋5.8＝0. ∵Δ＝(－10)2－4×5×5.8＝－16<0， ∴5.8＝－5t2＋10t无实数解， ∴小球的高度不能达到5.8 m. 举一反三 返回 8. 二次函数y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是(　　) A．－4＜x＜1 B．x＜－3或x＞1 C．x＜－4或x＞1 D．－3＜x＜1 D 举一反三 返回 9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，对称轴为直线x＝1.若y＜0，则x的取值范围是(　　) A．x＜1 B．x＜－1 C．－1＜x＜1 D．x＜－1或x＞3 D 举一反三 25 返回 10. 如图，关于x的一次函数y＝kx＋n与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为(　　) A．－1≤x≤9 B．－1≤x<9 C．－1<x≤9 D．x≤－1或x≥9 A 举一反三 26 11. [邯郸期中]若抛物线y＝kx2－2x－1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为(　　) A．k＞－1 B．k≥－1 C．k＞－1且k≠0 D．k≥－1且k≠0 C 返回 举一反三 27 返回 12. [湖北中考]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的顶点坐标为(－1，－2)，与y轴的交点在x轴上方．下列结论正确的是(　　) A．a＜0 B．c＜0 C．a－b＋c＝－2 D．b2－4ac＝0 C 举一反三 28 课堂小结 （2）通过画函数的图象解一元二次方程是数的直观化的体现，但存在作图的误差，因此通过这种方法求得的方程的根一般是近似的. （1）当抛物线的顶点在x轴上，即抛物线与x轴只有一个公共点时，相应的方程有两个相等的实数根，二者不要混淆，对“数”来说是两个，对“形”来说是一个. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 谢谢观看 THANKS c＞ vt－gt2 $