25.3.3循环问题与数字问题（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的循环问题、数字问题及图形面积问题，通过封面边衬设计等实际情境导入，引导学生从具体问题中抽象数量关系，搭建从现实到方程模型的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合握手、互赠礼物等生活实例，通过对比单双循环公式差异培养模型意识，以分层练习（填空、选择、解答）和拓展思考提升推理能力，注重解的实际意义检验。学生能发展应用意识，教师可高效落实核心素养教学。

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第25章 一元二次方程 25.3.3循环问题与数字问题 2026年7月31日 人教版九年级上册25.3.3实际问题与一元二次方程（循环问题与数字问题）专项练习题（全文约1020字） 一、基础知识点填空（每空3分，共30分） 1. 单循环比赛问题：每两队之间只比赛一场，若有$$x$$支队伍，比赛总场数公式为________。 2. 双循环比赛问题：每两队之间比赛两场，若有$$x$$支队伍，比赛总场数公式为________。 3. 握手问题属于________问题，所有人两两握手一次，总握手次数公式与单循环比赛公式一致。 4. 两位数问题：若十位数字为$$a$$，个位数字为$$b$$，则这个两位数可表示为________。 5. 三个连续自然数，设中间数为$$x$$，则另外两个数分别为________、________。 6. 两两互赠礼物问题属于________问题，每两人互相赠送一份礼物，总礼物数为$$x(x-1)$$。 7. 数字问题求解时，求出的数字必须是________之间的整数，十位数字不能为0。 二、选择题（每题4分，共28分） 1. 有8支球队进行单循环比赛，求总场数的算式正确的是（） A.$$8\times7$$ B.$$\frac{8\times7}{2}$$ C.$$8^2$$ D.$$8\times6$$ 2. 一个两位数，十位数字为3，个位数字为$$x$$，这个两位数是（） A.$$3x$$ B.$$3+x$$ C.$$30+x$$ D.$$10x+3$$ 3. 某次聚会所有人两两握手，共握手45次，设人数为$$x$$，方程为（） A.$$x(x-1)=45$$ B.$$\frac{x(x-1)}{2}=45$$ C.$$x^2=45$$ D.$$x(x+1)=45$$ 4. 两个连续正整数的积为56，则这两个数是（） A.7、8 B.6、7 C.8、9 D.5、6 5. 班级同学互赠贺卡，共送出90张贺卡，该班人数为$$x$$，方程为（） A.$$\frac{x(x-1)}{2}=90$$ B.$$x(x-1)=90$$ C.$$x^2=90$$ D.$$x(x+1)=90$$ 6. 一个两位数，个位与十位数字之和为9，设十位数字为$$x$$，个位数字是（） A.$$9+x$$ B.$$9-x$$ C.$$x-9$$ D.$$9x$$ 7. 关于循环问题，下列说法正确的是（） A.单循环需要除以2 B.双循环需要除以2 C.握手是双循环问题 D.互赠礼物是单循环问题 三、解答题（共42分） 1. 基础循环、数字应用题（每题6分，共24分） 1. 某次篮球联赛采用单循环赛制，总比赛场数为28场，求参赛球队数量。 2. 一次同学聚会，到场人员两两握手，总握手次数为66次，求参加聚会的人数。 3. 已知两个连续正整数的积为132，求这两个连续正整数。 4. 一个两位数，十位数字比个位数字大2，两个数字之积为24，求这个两位数。 2. 双循环变式应用题（9分） 某校组织象棋比赛，每两名选手之间都要赛两场，总比赛场次为56场，求参赛选手人数。 3. 数字综合应用题（9分） 一个两位数，个位与十位数字之和为11，将数字对调后得到的新两位数与原两位数的积为2800，求原两位数。 参考答案 一、基础知识点填空 1. $$\frac{x(x-1)}{2}$$ 2. $$x(x-1)$$ 3. 单循环 4. $$10a+b$$ 5. $$x-1$$；$$x+1$$ 6. 双循环 7. 0～9 二、选择题 1.B 2.C 3.B 4.A 5.B 6.B 7.A 三、解答题 1. 解：（1）设球队$$x$$支，$$\frac{x(x-1)}{2}=28$$，解得$$x=8$$，共8支球队。 （2）设人数$$x$$，$$\frac{x(x-1)}{2}=66$$，解得$$x=12$$，共12人。 （3）设小数$$x$$，$$x(x+1)=132$$，解得两数为11、12。 （4）设个位$$x$$，十位$$x+2$$，$$x(x+2)=24$$，解得两位数为64。 2. 解：设选手$$x$$人，双循环公式$$x(x-1)=56$$，解得$$x=8$$，参赛共8人。 3. 解：设十位数字$$x$$，个位$$11-x$$，列式化简求解得原两位数为56或65。 拓展思考题 思考：握手问题和互赠礼物问题公式为什么不同？ 答：握手双向只算一次，属于单循环，需要除以2；互赠礼物你送我、我送你是两次独立行为，属于双循环，无需除以2。 （总字数：1020） 通过阅读课本学生可以根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，培养学生的应用意识. 学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，提高学生的模型意识. 通过教师讲解学生可以感受用一元二次方程解决相关实际问题的必要性以及在实际背景下检验解的合理性，增强应用意识. 新课导入 导入课题 要设计一本书的封面，封面长为27cm，宽为21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形 .如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ 推进新课 知识点 用一元二次方程解决图形的面积问题 如图，要设计一本书的封面，封面长为27cm，宽为21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形 .如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面 面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、 右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度 （结果保留小数点后一位）？ ①根据题目的已知条件，可以推出中央的矩形的长宽之比也是27∶21=9∶7，那你知道上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少吗？请你推一推： 设中央的矩形的长和宽分别是9acm和7acm.由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是 ②设上、下边衬的宽均为9xcm，而不是设为x cm，这样做有什么好处？ 列出的方程为整数式，方便计算 ③解方程时课本上先把方程整理成了一般形式，然后再用公式法求解，你有更简便解法吗？ 原方程可化为 ④方程的哪个根符合实际意义？为什么？ 符合实际意义，因为 时，上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，不符合实际情况. ⑤如果设中央矩形的长为9x，根据课本上的等量关系，请你列方程求解，你的解法是： 设中央矩形的长为9xcm.则宽为7xcm. 列方程得 .即x2= , 解得 (舍去). ∴上下边衬的宽为 (cm) 左右边衬的宽为 (cm) 1. 返回 问题：参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少个人参加聚会？ 解题方案：设有x个人参加聚会．第1个人分别与其他______个人握手，第2个人分别与其他______个人握手……依次类推，共x个人，如此共握手________次，但此时每两人之间都是按握手两次进行计算的，因此，x个人每两人之间握一次手共握了________次，我们就得到方程：____________． (x－1) (x－1) x(x－1) 考试考法 9 返回 2. 某学校组织女子冰壶比赛，有x支队伍参加了比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则可列方程为______________． 考试考法 ⑥练习：要为一幅长29cm,宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框的宽度应是多少厘米(结果保留小数点后一位）？ 根据题意，得 . 整理得，8x2+204x-319=0,解得 . ∴x1= ,x2= (不合题意，舍去). ∴x= ≈1.5. 答：镜框的宽度约为1.5cm. 随堂演练 基础巩固 从正方形铁片的边截去2cm宽的一个长方形，余下的 面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ） A.8cm B.64cm C.8cm2 D.64cm2 直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2.则其两条直角边长分别是 、 . D 6cm 8cm 举一反三 返回 3. 某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都比赛一场)，计划安排15场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛？ 解：设应该邀请x支球队参加比赛， 依题意，得 x(x－1)＝15， 解得x1＝6，x2＝－5(不符合题意，舍去)． 答：应该邀请6支球队参加比赛． 考试考法 3. 在长方形钢片上裁掉一个长方形，制成一个四周 宽相等的长方形框 .已知长方形钢片的长为30cm， 宽为20cm, 要使制成的长方形框的面积为400cm2， 求这个长方形框的边框宽. 解：设长方形框的边框宽为xcm . 依题意得，(30-2x)(20-2x)= 600-400 . 整理，得x2-25x+100=0, 解得x1=5, x2=20(舍去) . ∴x=5. 答：这个长方形框的边框宽为5cm . 举一反三 返回 4. 【河北人文信息】[石家庄市城市轨道交通5号线一期工程，全长约19.9 km，站点设置依次为宫北路站－红旗南大街站－红旗桥站－…－谈固北大街站，从宫北路站到谈固北大街站一共需要设计342种往返车票，则这条线路共有站点(　　) A．17个 B．18个 C．19个 D．20个 C 考试考法 为号召学生加强锻炼，某校计划开展足球比赛活动，已知参赛球队进行双循环赛(每两队之间进行两场比赛)，总共进行110场比赛，求有多少支球队参加比赛． 返回 5. 解：设有x支球队参加比赛， 依题意，得x(x－1)＝110， 解得x1＝11，x2＝－10(不符合题意，舍去)． 答：有11支球队参加比赛． 考试考法 【新考向 传统文化】“八月十五谓中秋，民间以月饼相送，取团圆之意．”每年中秋节前是购买月饼的高峰期，某商场平均每天可销售月饼100盒，每盒可盈利20元．中秋节过后，月饼因滞销而降价，若每盒降价1元，则每天可多售出2盒．设每盒降价x元，则降价后每盒盈利_______元，每天可多售出____盒，每天一共售出_________盒，所以每天可获利________________元，若要每天盈利1 650元，则可列方程为_______________________． 返回 6. (20－x) 2x (100＋2x) (20－x)(100＋2x) (20－x)(100＋2x)＝1 650 考试考法 返回 7. 如图，一艘轮船以10 n mile/h的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以20 n mile/h的速度由南向北移动，距台风中心10 n mile的圆形区域(包括边界)都属于台风区域．当轮船航行到点A处时，测得台风中心已经移动到位于点A正南方向的点B处，且AB＝50 n mile.若这艘轮船从点A处按原速度继续航行，在途中 是否会遇到台风？请说明理由． 考试考法 解：在途中不会遇到台风．理由如下： 如图，假设途中会遇到台风，设最初遇到台风时轮船从 点A处开始航行了t h，此时轮船位于点C处， 台风中心移动到点E处，连接CE， 则CE＝10 n mile，AC＝10t n mile，AE＝AB－BE＝(50－ 20t)n mile.易知AC2＋AE2＝EC2，∴(10t)2＋(50－20t)2＝102， 整理，得5t2－20t＋24＝0.∵Δ＝(－20)2－4×5×24＝－80<0， ∴方程无实数根，∴轮船在途中不会遇到台风． 返回 考试考法 返回 8. “这么近，那么美，周末到[河北．”某特产销售店购进一批贝壳画，进价为10元/幅，市场部门规定售价不能超过进价的3倍，店长整理了几天的销售情况，发现该贝壳画每天的销售量y(幅)与销售单价x(元/幅)之间满足一次函数关系，部分对应数据如下． x/(元/幅) … 15 25 … y/幅 … 600 400 … (1)y与x之间的函数关系式为_______________； y＝－20x＋900 考试考法 解：由题意，得(x－10)(－20x＋900)＝5 000， 解得x1＝20，x2＝35. ∵35>10×3，∴x＝35不合题意，舍去，∴x＝20. 答：该贝壳画的销售单价为20元/幅． (2)若销售该贝壳画每天的利润要达到5 000元，求该贝壳画的销售单价． 返回 考试考法 课堂小结 与几何图形有关的一元二次方程的应用题主要是将数字及数字间的关系隐藏在图形中，用图形表示出来，这样的图形主要有三角形、四边形等，涉及到三角形的三边关系、三角形全等、面积的计算、体积的计算、勾股定理等。 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 谢谢观看 THANKS x(x－1) x(x－1)＝10 x(x－1)＝45 $