25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，从因式分解法的特殊方程入手，通过展开对比系数引出关系，再推导一般形式ax²+bx+c=0的结论，结合例题形成从特殊到一般的学习支架。 其亮点在于注重推理过程与应用结合，推导培养推理能力，中考题和变式题强化应用意识，合作交流归纳提升抽象能力。学生能提升解题能力，教师可高效开展教学。

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第25章 一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 2026年7月31日 人教版九年级上册25.2.4一元二次方程的根与系数的关系专项练习题（全文约1020字） 一、基础知识点填空（每空3分，共30分） 1. 对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$，若方程的两个实数根为$$x_1、x_2$$，则根与系数的关系：$$x_1+x_2=$$________，$$x_1x_2=$$________。 2. 当一元二次方程为$$x^2+px+q=0$$的形式时，$$x_1+x_2=$$________，$$x_1x_2=$$________。 3. 运用根与系数的前提条件是：方程必须有两个实数根，即________。 4. 已知方程$$x^2-5x+6=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，则$$x_1+x_2=$$________，$$x_1x_2=$$________。 5. 若方程两根之和为3，两根之积为2，则这个一元二次方程为________。 6. 已知方程$$2x^2+4x-3=0$$，则两根之和为________。 二、选择题（每题4分，共28分） 1. 方程$$x^2-4x-5=0$$的两根之积为（） A.4 B.-4 C.5 D.-5 2. 已知方程$$3x^2-6x+1=0$$，则两根之和是（） A.2 B.-2 C.$$\frac{1}{3}$$ D.$$-\frac{1}{3}$$ 3. 若一元二次方程$$x^2+mx+3=0$$的一个根为1，则另一个根为（） A.3 B.-3 C.1 D.-1 4. 下列关于根与系数关系的说法正确的是（） A.无需判断判别式即可使用 B.仅适用于二次项系数为1的方程 C.$$a eq0$$是使用前提之一 D.两根和一定为正数 5. 已知方程两根分别为2和-3，则对应的方程是（） A.$$x^2+x-6=0$$ B.$$x^2-x-6=0$$ C.$$x^2+5x-6=0$$ D.$$x^2-5x-6=0$$ 6. 若方程$$x^2-(k+2)x+2k=0$$两根之和为5，则$$k$$的值为（） A.3 B.2 C.5 D.-3 7. 已知$$x_1、x_2$$是方程$$x^2-2x-1=0$$的两根，则$$x_1+x_2-x_1x_2$$的值为（） A.1 B.3 C.-1 D.-3 三、解答题（共42分） 1. 不解方程，利用根与系数的关系求解（每题6分，共24分） 1. 已知$$x_1、x_2$$是方程$$x^2-7x+2=0$$的两根，求$$x_1+x_2$$、$$x_1x_2$$ 2. 已知$$x_1、x_2$$是方程$$2x^2+3x-1=0$$的两根，求$$x_1+x_2$$、$$x_1x_2$$ 3. 已知方程$$x^2-6x+5=0$$一根为1，求另一根 4. 已知方程$$3x^2-12x+m=0$$两根之和为多少 2. 利用根与系数关系求代数式的值（9分） 已知$$x_1、x_2$$是方程$$x^2-4x+2=0$$的两根，求$$x_1^2+x_2^2$$的值。 3. 根据根的情况求参数值（9分） 已知方程$$x^2+(m-1)x+2m=0$$的两根互为相反数，求$$m$$的值。 参考答案 一、基础知识点填空 1. $$-\frac{b}{a}$$；$$\frac{c}{a}$$ 2. $$-p$$；$$q$$ 3. $$\Delta=b^2-4ac\geq0$$ 4. 5；6 5. $$x^2-3x+2=0$$ 6. -2 二、选择题 1.D 2.A 3.A 4.C 5.A 6.A 7.B 三、解答题 1. 解：（1）$$x_1+x_2=7$$，$$x_1x_2=2$$ （2）$$x_1+x_2=-\frac{3}{2}$$，$$x_1x_2=-\frac{1}{2}$$ （3）设另一根为$$x$$，$$1+x=6$$，解得另一根为5 （4）两根之和为$$4$$ 2. 解：由题意得$$x_1+x_2=4$$，$$x_1x_2=2$$，$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=16-4=12$$。 3. 解：两根互为相反数，则$$x_1+x_2=0$$，即$$-(m-1)=0$$，解得$$m=1$$，代入验证方程有实数根，符合题意。 拓展思考题 思考：使用根与系数关系解题为什么必须先判断判别式？ 答：根与系数的关系仅针对有实数根的一元二次方程，若$$\Delta<0$$，方程无实数根，不存在实数根的和与积，因此必须先验证判别式。 （总字数：1020） 探索一元二次方程的根与系数的关系. 不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 学会在合作交流中归纳总结出二次方程的根与系数的关系特点，提高了学生解决问题的能力. 推进新课 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 思考：从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2) =0 (x1, x2为已知数) 的两根为x1和x2, 将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？ 把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0. 这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项q=x1x2. 于是x1+x2=-p, x1x2=q. 1. 返回 [广西中考]已知x1，x2是方程x2－20x－25＝0的两个实数根，则x1＋x2＝(　　) A．－25 B．－20 C．20 D．25 C 举一反三 5 返回 2. [湖北中考]一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝－4 B．x1＋x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝3 D 举一反三 思考：一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两根的和、积与系数又有怎样的关系呢？ 已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，两根分 别为x1= ，x2= 。 x1+x2= ， x1x2= . 因此，方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系： 返回 3. 以2和－5为根的一元二次方程可以是(　　) A．x2－3x＋10＝0 B．x2＋3x＋10＝0 C．x2＋3x－10＝0 D．x2－3x－10＝0 C 举一反三 返回 4. [教材P16例5变式]不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1)x2＋4x－2＝0；　 (2)3x2－2x－6＝0； 解：x1＋x2＝－4，x1x2＝－2. 举一反三 返回 (3)4x2＋1＝7x; (4)3x2＋5x－2＝2x＋3. 举一反三 例 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列 方程两根x1，x2的和与积. (1) x2-6x-15=0 (2) 3x2+7x-9=0 (3) 5x-1=4x2 解：(1)x1+x2=-(-6)=6, x1x2=-15 不解方程，求下列方程两根的和与积. x2-3x=15； 5x2-1=4x2+x 解：x1+x2=3 x1x2=-15 解：化简得 x2-x-1=0 x1+x2=1 x1x2=-1 设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别 为x1，x2，则有 Δ≥0且 x1x2＞0 Δ≥0且 x1x2＜0 x1+x2＞0 x1+x2＜0 x1+x2＞0 x1+x2＜0 两根同为正数 两根同为负数 两根异号且正根的绝对值大 两根异号且负根的绝对值大 已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－1＝0的两个根，且x1＋x2＝4，则b＝(　　) A．－1 B．1 C．－4 D．4 返回 5. C 举一反三 已知α，β分别是方程x2－4x－1＝0的两个根，则代数式α2＋β2的值为(　　) A．16 B．18 C．20 D．22 返回 6. B 举一反三 返回 7. [苏州中考]已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝________． －3 举一反三 返回 8. [眉山中考]已知方程x2－2x－5＝0的两根分别为x1，x2，那么(x1＋1)(x2＋1)的值为________． －2 举一反三 返回 9. 若关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根之积为负数，则实数m的取值范围是________． 举一反三 20 返回 10. 已知x1，x2是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个根，不解方程，求下列各式的值： (1)x12x2＋x1x22；　　　 解：由题意得x1＋x2＝5，x1x2＝－2. (1)x12x2＋x1x22＝x1x2(x1＋x2)＝－2×5＝－10. 举一反三 21 课堂小结 若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则 若方程x2+px+q=0有两个实根x1，x2，则 x1+x2=-p, x1x2=q. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 谢谢观看 THANKS 解：x1＋x2＝－＝，x1x2＝＝－2. 解：方程可化为3x2＋3x－5＝0， ∴x1＋x2＝－＝－1，x1x2＝－. 解：方程可化为4x2－7x＋1＝0， ∴x1＋x2＝－＝，x1x2＝. m＞ (2)＋＝＝－. (2)＋. $