25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习求根公式和判别式搭建学习支架，引导学生从旧知过渡到新知探究，帮助建立前后知识脉络。 其亮点在于通过特殊方程观察猜想、求根公式推导证明，培养学生推理能力与创新意识。分层例题与作业设计，结合整体代换运算技巧提升运算能力，强调判别式检验培养严谨思维，助力学生掌握知识，方便教师教学实施。

25.2 降次——解一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 学习目标 1.掌握一元二次方程的两根之和、两根之积与系数 的关系能熟练运用2.根与系数的关系，不解方程求两根和、两根积、代数式的值；已知一根求另一根与参数。 3.理解定理成立前提：方程必须有实数根. 4.通过解方程、计算、观察、猜想、证明，自主推导根与系数的关系，体会从特殊到一般的探究方法。 5.经历代数式变形、整体代换的解题过程，提升代数运算与逻辑推理能力。 6.感受数学内在规律，体会韦达定理的简洁美，激发数学探究兴趣。 培养严谨审题、分类讨论、检验判别式的规范解题习惯。 素养学习目标 复习回顾 1.一元二次方程的求根公式是什么？ x = （ab2–4ac≥0） 2.判断方程有无实数根的依据？ ≥0才有实数根. 复习引入 探究：一元二次方程根与系数的关系 探索新知 方程 a b c 两根x1​,x2​ x1​+x2​ x1​x2​ x2−5x+6=0 1 -5 6 2、3 5 6 x2+3x−4=0 1 3 -4 1、-4 -3 -4 2x2−6x−8=0 2 -6 -8 4、-1 3 -4 观察表格数字，二次项系数为 1 时，两根和、积与一次项、常数项有什么规律？二次项系数不为 1 时规律如何变化？ ∵ x1 = ，x2 = ， ∴ x1+x2 = + = = – ， x1x2 = · = = ， 总结猜想 特殊简化形式 当二次项系数为1时，方程为 x2+px+q=0，则：x1+x2=-p，x1x2=q 基础例题 1：不解方程直接求两根和、积求3x2-2x-1=0的两根之和、两根之积. 解：a=3,b=-2,c=-1 x1+x2=-=- x1x2= 典例分析 分层例题，巩固应用 类型 1：已知一根，求另一根与参数 例题 2：已知方程x2-4x+m=0 一根为 1，求另一根与 m. 解法一：设另一根为 x2，1+x2=4,∴x2=3；13=m, ∴m=3. 解法二（代入求参）：把x=1代入方程求出m=3，再解方程得另一根为3. 类型 2：整体代换，求含两根代数式的值 例题 3：设方程 2x2-4x-1=0 两根为 x1、x2，不解方程求： （1）x12+x22 （2）+ ∴（1）x12+x22 =（x1+x2）2-2x1x2=5 解：∵x1+x2 =2，x1x2 =-， （2） ==-4 类型 3：参数取值范围（判别式 + 韦达综合） 例题 4：方程 x2-(k+2)x+2k=0 两根和为 3，求k，并验证方程有实数根. 解：x1+x2=-=k+2=3 ，∴ k=1检验：=(k+2)2-8k=32-8=1>0，存在两个不等实根，符合题意. 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： （1）x2–7x–18 = 0； （2）5x2+6x–7 = 0； （3）3x–2 = 6x2. 解：（1）x1+x2 = – (–7) = 7，x1x2 = – 18. （2）x1+x2 = –，x1x2 = = – . （3）方程化为6x2–3x+2=0，所以x1+x2 = – = ，x1x2 = . 即学即练 与一元二次方程有关的代数式的常见变形： x12 + x22 (x1 – x2)2 + + ｜x1–x2｜ x1x22 + x12x2 = (x1+x2)2 – 2x1x2 = (x1+x2)2 – 4x1x2 = = = = = x1x2(x1+x2) 1.已知一元二次方程 x2+5x+2=0的两根分别为m,n,则m+n的值是( ) A.5 B.-5 C.2 D.-2 当堂检测 B 2.设 x1，x2 是一元二次方程 x2–7x–5=0 的两个实数根，则 + 的值为________. – 3.设 α，β是方程 2x2+4x–3=0 的两个根，则： （1）αβ2 + α2β =_______； （2）(α– β)2 =_______. 3 10 当堂检测 4.关于 x 的方程 x2+mx+n=0 的根为 x1=2+，x2=2–，则 p=_____，q=_____. – 4 – 1 课堂小结 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根与系数的关系 当Δ=b2–4ac ≥ 0时 x1+x2= – ，x1x2= 随堂练习 1.已知方程 x2+px–6=0 的一根是2，则另一根是_____， p=_____. – 1 分层作业---基础层 选自教材第16页 练习 （1）x2–3x=15； （2）3x2+2=1–4x； 2.不解方程，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： 解：（1）方程化为 x2–3x–15=0，所以 x1+x2 = – (–3) = 3，x1x2 = – 15. （2）方程化为 3x2+4x+1=0，所以 x1+x2 = – ，x1x2 = . （3）5x2–1=4x2–x； （4）2x2–x+2=3x+1. 解：（3）方程化为 x2+x–1=0，所以 x1+x2 = –1，x1x2 = – 1. （4）方程化为 2x2–4x+1=0，所以 x1+x2 = – = 2，x1x2 = . 选自教材第16页 练习 3.若一元二次方程x(x+2)-3=0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 分层作业---提升层 C 5.已知关于 x 的方程 x2– (2m+3)x+m2=0 的两根之和等 于两根之积，求 m 的值. 解：设方程 x2– (2m+3)x+m2=0 的两根为 x1，x2 . 所以 x1+x2=2m+3，x1x2=m2. 根据题意得 m2=2m+3，解得 m1=3，m2= – 1. 当 m=3 时，原方程为 x2–9x+9=0，b2–4ac=45>0.方程有实数根.当 m= – 1时，原方程为 x2–x+1=0，b2–4ac= – 3<0.方程无实数根，此 m 值舍去. 所以 m 的值为3. 分层作业---提升层 $