25.1 一元二次方程的概念（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及解，通过人体雕像高度比例、矩形铁皮制作方盒等现实情景导入，引导学生从实际问题中抽象等量关系并列出方程，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动教学，结合“排球邀请赛场次”“矩形羊圈面积”等实例，培养学生的抽象能力与模型意识，通过基础练习与拓展思考强化概念辨析，课堂小结系统梳理知识要点。学生能提升用数学语言表达现实问题的能力，教师可高效开展概念教学并落实核心素养。

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第25章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 2026年7月31日 人教版九年级上册25.1一元二次方程的概念专项练习题（全文约1020字） 一、基础概念填空题（每空 3 分，共 30 分） 1. 只含有\\\\个未知数，并且未知数的最高次数是\\\\的\\__方程，叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式为\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\（$$a≠0$$），其中二次项是\\\\，二次项系数为\\\\；一次项是\\\\，一次项系数为\\\\；常数项是\\\\。 3. 若$$ax^2+3x-2=0$$是一元二次方程，则字母$$a$$需要满足的条件是\\\\\\\\。 4. 将方程$$2x(x-1)=3$$化为一元二次方程一般形式后，常数项是\\\\\\\\。 二、选择题（每题 4 分，共 28 分） 1. 下列各式中，属于一元二次方程的是（） A.$$x+2y=1$$ B.$$x^2-5=0$$ C.$$\frac{1}{x}+x^2=3$$ D.$$2x+1=0$$ 2. 方程$$3x^2-4x+1=0$$的二次项系数、一次项系数、常数项依次为（） A.3，4，1 B.3，-4，1 C.-3，-4，1 D.3，-4，-1 3. 若方程$$(m-2)x^{m^2-2}+x-5=0$$是一元二次方程，则$$m$$的值为（） A.2 B.-2 C.$$±2$$ D. 任意实数 4. 把方程$$(x+3)^2=2x$$化成一般形式，正确的是（） A.$$x^2+4x+9=0$$ B.$$x^2+6x+9=2x$$ C.$$x^2+4x+9=0$$ D.$$x^2+4x-9=0$$ 5. 关于$$x$$的方程$$2x^2=5x-1$$，下列说法错误的是（） A. 是一元二次方程 B. 二次项系数为 2 C. 常数项是 1 D. 一次项为$$-5x$$ 6. 下列方程不属于整式方程的是（） A.$$x^2=6$$ B.$$3x^2-x=0$$ C.$$\frac{x^2}{2}+x=1$$ D.$$\frac{2}{x}+x^2=5$$ 7. 已知$$x=1$$是方程$$x^2+ax-2=0$$的根，则$$a$$的值是（） A.1 B.-1 C.2 D.-2 三、解答题（共 42 分） 1. 将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别写出二次项系数、一次项系数和常数项（每题 6 分，共 24 分） （1）$$5x^2=3x$$ （2）$$(x-2)(x+5)=8$$ （3）$$4x^2=7$$ （4）$$3x(x-1)=2(x+2)$$ 2. 已知方程$$(k+1)x^{k^2+1}+2x-3=0$$是关于$$x$$的一元二次方程，求$$k$$的取值（9 分） 3. 根据题意列一元二次方程，无需解方程（9 分） （1）一个正方形的面积为$$25\mathrm{cm}^2$$，设正方形边长为$$x\mathrm{cm}$$，列出方程； （2）一个长方形的长比宽多 3cm，长方形面积是$$28\mathrm{cm}^2$$，设宽为$$x\mathrm{cm}$$，列出方程。 参考答案 一、填空题 1. 1；2；整式 2. $$ax^2+bx+c=0$$；$$ax^2$$；$$a$$；$$bx$$；$$b$$；$$c$$ 3. $$a≠0$$ 4. $$-3$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.C 5.C 6.D 7.A 三、解答题 1.（1）一般形式：$$5x^2-3x=0$$；二次项系数 5，一次项系数 - 3，常数项 0 （2）展开整理：$$x^2+3x-18=0$$；系数依次：1、3、-18 （3）$$4x^2-7=0$$；系数：4、0、-7 （4）$$3x^2-5x-4=0$$；系数：3、-5、-4 2. 满足$$\begin{cases}k^2+1=2\\k+1≠0\end{cases}$$，解得$$k=1$$ 3.（1）$$x^2=25$$ （2）$$x(x+3)=28$$ 拓展思考题 判断：形如$$ax^2+bx+c=0$$的方程一定是一元二次方程，这句话是否正确？请说明理由。 答：不正确，当$$a=0$$时，方程变为$$bx+c=0$$，是一元一次方程，只有$$a≠0$$时才是一元二次方程。 （总字数：1018） 需要我把题目难度拔高，增加易错辨析题型，或者纯题目版（去掉答案）吗？ 通过阅读课本理解并掌握一元二次方程的概念，知道一元二次方程的一般形式，提高学生的运算能力. 通过完成习题可以把一个一元二次方程化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项，发展了学生的类比思想和归纳能力. 通过让学生积极参与数学学习活动，激发学生对数学的兴趣，体会数学思考的快乐，培养运用数学的意识. 新课导入 导入课题 情景：要设计一座高2m的人体雕像,使 它的上部(腰以上)与下部(腰以 下)的高度比等于下部与全身的 高度比,则雕像的下部应设计多 少米高? 思考问题 问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？ 问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？ 问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？ 问题4：设雕像下部高BC = xm ,请说出你所列的方 程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？ 它有什么特点？ 审、 设、 列、 解、 验、 答 x2+2x-4=0 2m x 2-x 推进新课 知识点1 寻找等量关系列方程并化简 问题1 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒. 如果要制作无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去 一个相同的正方形，我们设正方形边长为 cm，则 盒底的宽为 cm，盒底的长为 cm， 根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2，可列方程为 . (50-2x) x (100-2x) (100-2x)(50-2x)=3600 你能把它整理成形如x2+bx+c=0的形式吗？ (100-2x)(50-2x)=3600 5000－100x－200x+4x2=3600 4x2－300x+1400=0 x2－75x+350=0 先去括号 移项、合并同类项 系数化为1 1. 返回 下列方程中，是一元二次方程的是(　　) A．x2－2＝0 B．x＋2y＝3 C．x－＝1 D．x2＋x＝y＋1 A 举一反三 8 返回 2. 若方程xm－1＋2x－3＝0是一元二次方程，则m的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 D 举一反三 问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为 场. 设邀请 支队参赛，则每支队与其余 支队 都要赛一场.根据题意，你列出的方程是 . 整理为 . 28 x (x-1) x(x-1)=28 x2-x=56 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之 间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 强化训练 ①一个圆的面积是2πm2，求半径r. ②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积9cm2，求 较长的直角边x的长. ③把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等 于较长一段的长的平方，求较短一段的长x. πr2=2π   x=(1-x)2 返回 3. 若关于x的方程(a－1)x2＋4x－3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是________． a≠1 举一反三 知识点2 一元二次方程的概念 下列方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ x2+2x-4=0 ① x2－75x+350=0 ② x2-x=56 ③ 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2. 结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义： 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程. 若方程（m-1）x2+ x=1是关于 x 的一元二次方程， 则m的取值范围是 . m≥0且m≠1 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，为什么要规定a≠0？ 因为a=0时，未知数的最高次数小于2. 知识点3 一元二次方程的一般形式 a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 返回 4. 一元二次方程3x2－4x＋2＝0的二次项系数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．－4 B 举一反三 将一元二次方程3x2－2＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为(　　) A．3，－2 B．3，4 C．3，－4 D．3x2，－4x 返回 5. C 举一反三 将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)9x2＝16; (2)x2－2＝5x； 返回 6. 解：方程化为一般形式为9x2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16. 解：方程化为一般形式为x2－5x－2＝0，二次项系数是1，一次项系数是－5，常数项是－2. 举一反三 返回 (3)2x(3x＋1)＝17； (4)(3x－5)(x＋1)＝7x－1. 解：方程化为一般形式为6x2＋2x－17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17. 解：方程化为一般形式为3x2－9x－4＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－4. 举一反三 一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号。 例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10. 知识点4 一元二次方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 下面哪些数是方程x2+3x-10=0的根？ -5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5. 分析：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未知数x的值分别代入方程x2+3x-10=0中，能够使方程左右两边相等的数就是方程的根，通过代入检验可知，当且仅当x=-5或2时，方程x2+3x-10=0左右两边相等. 返回 7. 下列各数中，是一元二次方程x2＋3x＋2＝0的根的是(　　) A．－2 B．0 C．2 　D．3 A 举一反三 返回 8. 已知－1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则下列等式正确的是(　　) A．a＋b＋c＝0 B．－a＋b＋c＝0 C．a－b＋c＝0 D．－a－b＋c＝0 C 举一反三 返回 9. 【深圳中考】已知一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个根为1，则m＝________． 2 举一反三 25 返回 10. 【新考法 整体思想】已知a是方程2x2－x－1＝0的一个根，则2a2－a＝________． 1 举一反三 26 返回 11. [福建中考]为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5 m的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6 m2的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x m，根据题意可列方程(　　) A．5x2＝6 B．5(1＋x2)＝6 C．x(5－x)＝6 D．5(1＋x)2＝6 C 举一反三 27 返回 12. 【情境题 体育赛事】[教材P2问题2变式]我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段包括团体赛和单打预赛，其中团体赛比赛赛制为单循环赛(每两队之间都赛一场)．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，则可列方程为____________． 举一反三 28 13. 在下列方程中，一元二次方程有(　　) ①3x2＋7＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③(x＋2)(x－5)＝x2 ; ④3x2－ ＝0. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A 返回 举一反三 14. 【易错题】若关于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为(　　) A．0 B．±3 C．3 D．－3 D 返回 举一反三 15. 【新考向 数学文化】《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走10，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多少？设甲、乙二人从出发到相遇的时间为x，根据题意，可列方程为(　　) A．(3x)2＋(7x)2＝102 B．(3x)2＋102＝(7x)2 C．(3x)2＋102＝(7x－10)2 D．(3x＋10)2＋102＝(7x)2 C 返回 举一反三 16. [南充中考]已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为________． 返回 －4 举一反三 17. [廊坊期中]定义：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，若满足a－b＋c＝0，则称这个方程为“和谐”方程；若满足a＋b＋c＝0，则称这个方程为“友善”方程．已知关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)既是“和谐”方程，又是“友善”方程，则方程的两根的数量关系是______________． 返回 互为相反数 举一反三 18. 根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式． (1)某班为相互鼓励，每两人之间进行一次击掌，共击掌595次，求该班有多少名同学； 返回 解：设该班有x名同学． 依题意，得 x(x－1)＝595， 化成一般形式为x2－x－1 190＝0. 举一反三 (2)如图，用100 m长的围栏围成总面积为400 m2的三个大小相同的矩形羊圈，羊圈的一面靠墙(墙足够长)，求AB的长． 返回 解：设AB的长为x m. 由题意，得x(100－4x)＝400， 化成一般形式为x2－25x＋100＝0. 举一反三 课堂小结 一般形式： ax2 + bx + c =0(a≠0) a + b + c 二次项系数 一次项系数 常数项 一元二次方程 概念 一个未知数 最高次是2 整式方程 谢谢观看 THANKS x(x－1)＝28 $