25.1 一元二次方程的概念 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根，通过雕像设计、无盖方盒制作、排球比赛安排等实际问题导入，衔接已学的一元一次方程等知识，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生逐步形成概念。 其亮点是以实际问题为载体发展数学眼光，通过合作探究归纳方程共同点培养数学思维，借助典例精析和课堂小测强化数学语言表达。如问题建模体现抽象能力，例3整体思想培养推理意识，分层作业满足不同需求，助力学生理解知识，教师高效教学。

25.1 一元二次方程 人教版·九年级上册·数学 预习检测 1. 下列哪些是一元二次方程？ 是 不是 是 不是 不是 是 3x + 2 = 5x - 2； x2 = 0； (x + 3)(2x - 4) = x2； 3y2 = (3y + 1)(y - 2)； x2 = x3 + x2 - 1； 3x2 = 5x - 1. 2. 填表： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 1.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程. 2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程. 4.使方程左右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解. 想一想： 什么叫一元二次方程呢？ 导入新课 问题1 要设计一座高 5m 的人体雕像，使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全身的高度比，则雕像的下部应设计多少米高？ 对于上述问题请抽象出数学模型并列出合适的方程. ∠1 = ∠2 已知 AB = 5m， 求 BC 长度. 解：设雕像下部 BC = x m， 列方程得 x 2 = 5(5 - x )， 整理得　x 2 +5x-25=0① A C B 问题2 有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 100 cm 50cm 3600 cm2 分析：要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为 cm，则盒底的宽为 cm，盒底的长为 cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积 3600 cm2，可列方程为 . (50 - 2x) x (100 - 2x) (100-2x)(50-2x) = 3600 化简，得 问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? 分析：本次排球比赛的总比赛场数为 场.设邀请 支队参赛，则每支队与其余 支队都要赛一场.根据题意，你列出的方程是 .整理为 . 28 x (x - 1) x2 - x = 56 x (x -1) = 28 ③ 方程 ① ② ③ 有什么共同点？ (1) 方程的两边都是_____； (2) 都只含_____个未知数； (3) 未知数的最高次数都是__. x2 - 75x＋350 = 0 ② x 2 +5x-25=0 ① x2 - x = 56 ③ 整式 1 2 合作探究 一般地，只含有一个未知数 ，且含未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2 ，这样 的方程叫做一元二次方程. ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)， 一元二次方程的概念 ax2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数. c 称为常数项. 一元二次方程的一般形式是： 归纳总结 一般形式: 一元二次方程初探 活动二 二次项 ax2 + bx + c = 0 (a , b , c为常数, a≠0). 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 典例精析 例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成x2-3x+2=0 少了限制条件a≠0 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 提示 一元二次方程初探 活动二 练习2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. 例2：将方程 3x(x-1)=5(x+2) 化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解：方程化简得： 二次项：3x2 , 二次项系数：3 一次项：-8x , 一次项系数：-8 常数项：-10 一元二次方程初探 活动二 想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时， bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 一元二次方程的根 活动三 能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解. 只含有一个未知数的方程的解也叫做根. 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）. 练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 请完成白本P2 当堂测评1-5题 课堂小测 活动四 一元二次方程的根 活动三 例3 已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2018的值. 解：由题意得 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察， 有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分 看作一个整体，再用整体思想代入求值． 课堂小结 活动五 一元一次方程 一元二次方程 相同点 整式方程，只含有一个未知数 不同点 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 一元一次方程与一元二次方程的异同 课堂小结 活动五 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值. 解：由题意得 思考:1.若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? 解：由题意得 ∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1. 2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方ax2+bx+c=0 (a≠0) 的一个根吗? x=2 拓展应用 活动六 家庭作业： 白本（分层作业）：P2、P3，其中P3的C组选做。（共25min） 课堂作业：教材P4, 练习题第1题和第2题。 课堂小结 活动七 $