25.3.1 实际问题与一元二次方程-几何问题（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解决几何问题，通过复习列方程解应用题步骤，结合流感传染实例导入，引导学生从代数应用过渡到几何面积问题，构建“审设列解验答”的学习支架，帮助建立方程模型。 其亮点在于分层设计基础填空、选择及综合解答题，融入矩形裁剪、道路留白等真实情境，强调根的检验，培养学生数学思维（推理能力）与模型意识。学生通过抽象数量关系提升应用能力，教师可借助系统练习优化教学效率。

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第25章 一元二次方程 25.3.1 实际问题与一元二次方程-几何问题 2026年7月31日 人教版九年级上册25.3.1实际问题与一元二次方程（几何问题）专项练习题（全文约1020字） 一、基础知识点填空（每空3分，共30分） 1. 利用一元二次方程解决几何面积问题时，核心是根据图形的________公式，找出题目中的等量关系列出方程。 2. 长方形面积=________，正方形面积=________。 3. 在几何图形边长变化问题中，求出的边长必须是________数，且符合图形实际大小，需要________根。 4. 一个长方形长为$$x$$，宽比长少2，面积为48，可列方程________。 5. 正方形边长增加3cm后，面积增加45cm²，设原边长为$$x$$，增量面积方程为________。 6. 矩形内部修路、留白问题，常用解题思路是通过________图形，拼接为规则图形列方程。 二、选择题（每题4分，共28分） 1. 一个正方形面积为36，若边长增加$$x$$后面积为64，下列方程正确的是（） A.$$(6+x)^2=64$$ B.$$6+x^2=64$$ C.$$x^2=64$$ D.$$(6-x)^2=64$$ 2. 长方形周长20cm，面积24cm²，设长为$$x$$cm，方程为（） A.$$x(20-x)=24$$ B.$$x(10-x)=24$$ C.$$2x(10-x)=24$$ D.$$x(x-10)=24$$ 3. 矩形宽为5，长增加$$x$$，面积增加20，下列说法正确的是（） A. 长增加4 B. 长增加5 C. 长增加20 D. 无解 4. 直角三角形两直角边相差3，面积为14，设短直角边为$$x$$，方程为（） A.$$x(x+3)=14$$ B.$$\frac{1}{2}x(x+3)=14$$ C.$$x(x-3)=14$$ D.$$\frac{1}{2}x(x-3)=14$$ 5. 矩形草坪长30m、宽20m，四周修等宽小路，设路宽为$$x$$，草坪剩余面积方程需考虑（） A. 长宽各加$$2x$$ B. 长宽各减$$2x$$ C. 长减$$x$$ D. 宽减$$x$$ 6. 若几何问题解出边长为负数，应（） A. 保留负数根 B. 舍去负数根 C. 随意取值 D. 重新列式 7. 边长为$$x$$的正方形，截去宽为2的长条，剩余面积48，原边长为（） A.6 B.8 C.10 D.12 三、解答题（共42分） 1. 基础几何面积应用题（每题6分，共24分） 1. 一个长方形的长比宽多4cm，面积为60cm²，求长方形的长和宽。 2. 正方形边长增加2cm，面积增加24cm²，求原正方形的边长。 3. 已知直角三角形两条直角边的和为14，面积为24，求两条直角边长。 4. 一个矩形周长为32，面积为60，求矩形的长和宽。 2. 图形裁剪变式题（9分） 从一块长25cm、宽15cm的矩形铁皮四角截去相同的小正方形，折成无盖长方体盒子，底面积为231cm²，求截去的小正方形边长。 3. 道路留白几何综合题（9分） 小区有一块长40m、宽30m的矩形绿地，中间修一条等宽十字小路，剩余绿地面积为1014m²，求小路宽度。 参考答案 一、基础知识点填空 1. 面积 2. 长×宽；边长的平方 3. 正；检验舍去不合理 4. $$x(x-2)=48$$ 5. $$(x+3)^2-x^2=45$$ 6. 平移拼接 二、选择题 1.A 2.B 3.A 4.B 5.B 6.B 7.B 三、解答题 1. 解：（1）设宽为$$x$$，长为$$x+4$$，$$x(x+4)=60$$，解得$$x=6$$，长10cm，宽6cm （2）设原边长$$x$$，$$(x+2)^2-x^2=24$$，解得$$x=5$$，原边长5cm （3）设一直角边$$x$$，另一条$$14-x$$，$$\frac{1}{2}x(14-x)=24$$，解得两边为6和8 （4）设长$$x$$，宽$$16-x$$，$$x(16-x)=60$$，解得长10、宽6 2. 解：设小正方形边长$$x$$，$$(25-2x)(15-2x)=231$$，整理得$$2x^2-40x+72=0$$，解得$$x=2$$（舍去不合理根），边长为2cm。 3. 解：设路宽$$x$$，平移后绿地$$(40-x)(30-x)=1014$$，解得$$x=6$$，小路宽6m。 拓展思考题 思考：几何类一元二次方程应用题为什么一定要检验根？ 答：方程算出的根为数学解，几何图形边长、长度不能为负数，也不能超出原图形尺寸，因此必须舍去不符合实际意义的根。 （总字数：1022） 通过复习回顾学生可以根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型. 通过教师讲解学生可以根据几何图形的周长或面积公式，建立一元二次方程来解决几何问题，培养学生的模型意识. 学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能列出一元二次方程，提高学生解决问题的能力. 新课导入 导入课题 问题1：列方程解应用题的基本步骤有哪些？ 问题2：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 本节课我们学习一元二次方程的应用. 审、设、列、解、验、答 推进新课 知识点 列一元二次方程解决实际问题 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 你能解决这个问题吗？ 设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 第一轮传染后有 人患了流感. 第二轮传染中的传染源为 人，第二轮传染后 有 人患了流感. 根据等量关系 “ ”列出方程 . x+1 x+1 x+1+x(x+1) 两轮传染后，有121人患了流感 x+1+x(x+1)=121 解方程 x+1+x(x+1)=121 化简得：x2+2x-120=0 (x-10)(x+12)=0 x1=10, x2=-12(舍) 有更简单的方法解这个方程吗？ 解方程 x+1+x(x+1)=121 提取公因式：(x+1)(x+1)=121 (x+1)2=121 x+1=±11 x1=10, x2=-12(舍) 思考：如果按这样的传染速度，三轮传染后有多少人患了流感？n轮后呢？ 经过三轮传染后共有121×10+121=1331(人)患流感. n轮后患流感的人数为(1+10)n=11n. 1. 返回 两个连续奇数的积是99，设较小的一个奇数为x，则可列方程为(　　) A．x(x＋1)＝99 B．x(x＋2)＝99 C．x(x－1)＝99 D．x(x－2)＝99 B 考试考法 8 返回 2. 【新考法 特征数表示法】如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．如果圈出的9个数中，最小数与最大数的积为161，则这个最小数是________． 7 考试考法 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 巩固练习 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑. 依题意1+x+(1+x)x=81， (1+x)2=81，x+1=9或x+1=-9. 解得x=8或x=-10(舍去) 三轮感染后被感染的电脑台数为 (1+x)2+(1+x)2x=(1+x)3=(1+8)3=729>700. 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；三轮感染后，被感染的电脑台数会超过700台. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支? 解：设每个支干长出x个小分支. 根据题意，得1+x+x2=91， 即(x-9)(x+10)=0 解得x1=9，x2=-10(舍去). 答：每个支干长出9个小分支. 随堂演练 基础巩固 1. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向 本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182 件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出 的方程是( ) A. x(x+1)=182 B. x(x-1)=182 C. 2x(x+1)=182 D. x(1-x)=182×2 B 返回 3. 一个正两位数，个位数字比十位数字小1，且个位数字与十位数字的乘积等于72.求这个正两位数． 解：设这个正两位数的个位数字为x，则十位数字为x＋1. 依题意，得x(x＋1)＝72， 解得x1＝－9(不符合题意，舍去)，x2＝8， ∴10(x＋1)＋x＝10×(8＋1)＋8＝98. 答：这个正两位数为98. 考试考法 2. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感. （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 依题意1+x+(1+x)x=64,即(x+1)2=64, 解得x1=7，x2=-9(舍). 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人. (2)第三轮被传染的人数为 (1+x)2·x=(1+7)2×7=448(人). 答：第三轮将有448人被传染. 返回 4. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等，问：门高和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是(　　) A．(x＋2)2＋(x－4)2＝x2 B．(x－2)2＋x2＝(x＋4)2 C．x2＋(x－2)2＝(x－4)2 D．(x－2)2＋(x－4)2＝x2 D 考试考法 [秦皇岛期中]如图，在宽4 m，长6 m的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，且种植花卉的面积为15 m2，则铺设的石子路的宽为(　　) A．1 m　 B．1.2 m　 C．1.5 m　 D．2 m 返回 5. A 考试考法 [保定定州期中]如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍ABCD，其面积为15 m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其他材料制成)，则BC的长为________m. 返回 6. 5 考试考法 返回 7. 一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边长相差为2，求较长的直角边长x. 解：根据题意可得x2＋(x－2)2＝102， 整理，得x2－2x－48＝0， 因式分解，得(x－8)(x＋6)＝0， 解得x1＝8，x2＝－6(舍去)． 故较长的直角边长x为8. 考试考法 返回 8. 小明准备进行如下操作：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小明应该怎么剪？ 解：设围成的第一个正方形的边长为x cm， 则围成的第二个正方形的边长为 cm， 依题意得x2＋ ＝58， 解得x1＝3，x2＝7，∴4x＝12或28，∴40－4x＝28或12. 答：小明应该将铁丝剪成12 cm和28 cm的两段． 考试考法 返回 9. [邯郸校级期中]在如图所示的数轴上，点P在点Q的左侧．已知点P表示的数为－2x2＋x－6，点Q表示的数为2x2－3x＋4，且x为整数． (1)点P，Q之间的距离是___________(用含x的代数式表示)； 4x2－4x＋10 考试考法 22 返回 (2)若点Q表示的数是3，求点P表示的数． 解：∵点Q表示的数是3， ∴2x2－3x＋4＝3，∴x1＝ ，x2＝1. ∵x为整数，∴x＝1. 当x＝1时，－2x2＋x－6＝－2＋1－6＝－7， ∴点P表示的数是－7. 考试考法 课堂小结 传播问题 两个要点： 传染源和传播速度 传染轮数与传染总人数之间的关系： 设1个人每次可以传染x人 第一轮： (1+x)人 第二轮： (1+x)+x(1+x)人 第三轮： (1+x)+x(1+x)+x(1+x)2人 第n轮： (1+x)+x(1+x)+…x(1+x)n=(1+x)n人 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 谢谢观看 THANKS 2 $