25.3.1 实际问题与一元二次方程-几何问题（课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解决几何问题，梳理矩形面积、正方形边长变化、直角三角形边长三大模型，通过复习回顾、问题探究搭建从方程解法到几何应用的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以实际问题（如封面设计、小路宽度）培养数学眼光，通过平移法、勾股定理应用发展数学思维，强调根的检验与模型意识。学生能提升问题解决能力，教师可借助分层练习与易错总结优化教学。

新人教版9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月24日 25.3.1 实际问题与一元二次方程 -几何问题 第25章　一元二次方程 25.3.1 实际问题与一元二次方程——几何问题（含解析） 一、核心知识点梳理 1. 解题核心思路：几何问题的本质是利用几何面积、周长、边长关系列一元二次方程，将图形中的未知边长、宽度、增减长度设为未知数，根据几何公式建立方程求解。 2. 三大高频几何模型（考试必考） （1）矩形面积模型：常见道路、边框、裁剪拼接问题。核心公式：矩形面积=长×宽。修路、留空白边框问题常用“平移法”，将分散空白区域整合为规则矩形，简化列式。 （2）正方形边长变化模型：边长增加或减少固定长度，导致面积变化，根据面积差列方程求解边长。 （3）直角三角形边长模型：利用勾股定理$$a^2+b^2=c^2$$，结合边长之间的数量关系列一元二次方程。 3. 通用解题步骤：①设未知数（一般设变化的长度、原边长为$$x$$）；②根据几何公式列出一元二次方程；③解方程得到根；④检验取舍（几何边长不能为负数、不能超出实际图形尺寸）。 4. 关键易错点：方程通常有两个根，必须结合实际意义舍去负根和不合理根，不可直接保留两个解。 二、基础练习题 （一）选择题 1. 一个矩形长为8cm，宽为5cm，长增加$$x$$cm，宽不变，面积增加$$2x\ \mathrm{cm^2}$$，下列方程正确的是（） A. $$5(8+x)-40=2x$$ B. $$8(5+x)=2x$$ C. $$5x=2x$$ D. $$(8+x)(5+x)=40$$ 2. 正方形边长为$$x$$，边长增加2后，面积增加12，则可列方程（） A. $$(x+2)^2=x^2+12$$ B. $$x^2+4=12$$ C. $$(x+2)^2=12$$ D. $$x^2=12+4$$ （二）填空题 3. 矩形场地长12m，宽10m，内部修筑宽度相同的十字小路，剩余草坪面积为90m²，设小路宽为$$x$$m，可列方程为________。 4. 直角三角形两直角边相差3cm，斜边长15cm，设较短直角边长为$$x$$cm，则方程为________。 （三）解答题 5. 一个矩形相框长20cm，宽15cm，现要在四周镶上宽度相等的彩色边框，边框面积恰好是相框面积的四分之一，求边框的宽度。 6. 已知直角三角形的两条直角边之和为14cm，面积为24cm²，求该直角三角形的两条直角边长。 三、参考答案与详细解析 1. 答案：A。解析：原面积$$8\times5=40\mathrm{cm^2}$$，新面积$$5(8+x)$$，面积增加量为新面积减原面积，即$$5(8+x)-40=2x$$。 2. 答案：A。解析：原面积$$x^2$$，新面积$$(x+2)^2$$，新面积=原面积+增加面积，据此列方程。 3. $$(12-x)(10-x)=90$$答案：。解析：利用平移法，十字小路平移至边缘，剩余草坪为新矩形，长$$12-x$$，宽$$10-x$$，面积为90m²。 4. $$x^2+(x+3)^2=15^2$$答案：。解析：短直角边为$$x$$，长直角边为$$x+3$$，根据勾股定理列方程。 5. 解析：设边框宽度为$$x$$cm。相框原面积：$$20\times15=300\mathrm{cm^2}$$，边框面积：$$300\times\dfrac{1}{4}=75\mathrm{cm^2}$$，整体总面积：$$300+75=375\mathrm{cm^2}$$。 列方程：$$(20+2x)(15+2x)=375$$，整理得$$4x^2+70x-75=0$$，解得$$x_1=\dfrac{5}{2}$$，$$x_2=-\dfrac{15}{2}$$（舍去负数）。 答：边框宽度为2.5cm。 6. 解析：设一条直角边长为$$x$$cm，则另一条为$$(14-x)$$cm。由三角形面积公式得：$$\dfrac{1}{2}x(14-x)=24$$。 整理得$$x^2-14x+48=0$$，因式分解得$$(x-6)(x-8)=0$$，解得$$x_1=6，x_2=8$$。 答：两条直角边长分别为6cm和8cm。 四、易错总结 1. 未使用平移法，小路、边框问题列式重复计算重叠区域，导致方程错误；2. 忘记检验根的实际意义，保留负数根或超出图形尺寸的根；3. 边框问题误将边长只加单边宽度，实际长和宽需双边加宽度（左右、上下）；4. 三角形面积列式遗漏$$\dfrac{1}{2}$$，是高频计算失误。 通过复习回顾学生可以根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型. 通过教师讲解学生可以根据几何图形的周长或面积公式，建立一元二次方程来解决几何问题，培养学生的模型意识. 学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能列出一元二次方程，提高学生解决问题的能力. 新课探究 等腰梯形的面积为160cm2，上底比高多4cm，下底比上底多16cm，求这个梯形的高. 分析：本题可设高为 x cm，上底和下底都可以用含x的代数式表示出来，然后利用梯形的面积公式来建立方程求解. 知识点 几何图形问题 解：设这个梯形的高为 x cm，则上底为（x+4）cm，下底为（x+20）cm. 根据题意得 整理，得 x2+ 12x -160 = 0 解得 x1= 8 ，x2= - 20（不合题意，舍去） 答：这个梯形的高为8cm. 如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ 探究3 21cm 27cm ①根据题目的已知条件，可以推出中央的矩形的长宽之比也是27∶21 = 9∶7，那你知道上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少吗？请你推一推. 设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm和 7a cm.由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是 21cm 27cm ②设上、下边衬的宽均为9xcm，而不是设为x cm，这样做有什么好处？ 列出的方程为整数式，方便计算 ③解方程时课本上先把方程整理成了一般形式，然后再用公式法求解，你有更简便解法吗？ 原方程可化为 ④方程的哪个根符合实际意义？为什么？ 符合实际意义，因为 时， 上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，不符合实际情况. ⑤如果设中央矩形的长为9x，根据课本上的等量关系，请你列方程求解. 解：设中央矩形的长为9x cm，则宽为7x cm. 列方程得 . 即x2= ， 解得 （舍去）. ∴上下边衬的宽为 (cm)， 左右边衬的宽为 (cm). 随堂演练 1.《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步.”意思是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，则它的宽为_______步，长为_______步. 24 36 2.如图，小明同学用一张长11 cm，宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为21 cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形边长为x cm，可列方程为__________________. (11-2x) (7-2x)= 21 将不规则图形转化为规则图形解决几何问题 4.学校计划在一块长16m，宽10m的矩形空地上修建花坛，要求在花坛中修建两条纵向平行和一条横向弯折的小道(如图)，剩余的地方种植花草.要使种植花草的面积为126m2，则小道进出口的宽度应为多少米？ (注:所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形) 解:设小道进出口的宽度应为xm. 依题意，得(16-2x)(10-x)= 126. 整理，得x2-18x+17=0. 解得x1=1，x2= 17(不合题意，舍去). 答:小道进出口的宽度应为1m. 对于部分不规则图形,可以通过平移、旋转等变换，转化为规则图形来解决问题. 5.如图，某课外活动小组准备围出一个矩形场地，其中一边靠墙(墙的长度为45m)，另外三边用长为80m的篱笆围成.怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？ 围矩形问题 设未知数 列方程 解方程 取符合题意的结果 AD+AB+BC=80m S矩形ABCD=750m2 求未知数的值 限制条件：“墙的长度为45m” 分析: 解：设AD=x m，则AB=(80-2x)m. 依题意，得x(80-2x)=750. 整理，得x2-40x+375=0. 解得x1=15， x2=25. 因为80-2x≤45，所以x≥ . 所以x=25，80-2x=30. 答：围成的矩形场地的长为30m，宽为25m，才能使其面积为750m2. 6.如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点 P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达点 B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动.当点P停止运动时，点Q的运动也随之停止.P，Q两点出发几秒时，点 P和点Q之间的距离是10cm？ A D B C P Q 动态几何图形问题 解：设P，Q两点出发ts时，点P和点 Q之间的距离是10cm，则AP=3t cm，CQ=2t cm，DQ=(16-2t)cm.如图，过点P作PE⊥CD，垂足为E.当点P在点Q上方时，QE=DQ－AP = ( 16-5t ) cm； 当点P在点Q下方时， QE=AP－DQ=(5t-16)cm. 在Rt△PQE中，QE2+PE2=PQ2， 即(16-5t)2+62=102，解得t1= ， t2= . 答：P，Q两点出发 或 时，点P和点Q之间的距离是10cm. E 应用1 边框问题 1. 软笔书法承载着中华五千年 的灿烂文化，如图①是李叔叔的软笔作 品，是长，宽 的矩形.为了 #1.1 美观，李叔叔装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、下边 衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图 ②，左右边衬的宽度是上下边衬的2倍，面积变成原作品的 1.21倍，求上下边衬的宽度是多少？#1 中考考法 15 【解】 设上下边衬的宽度是 ，则左 右边衬的宽度是 ， 依题意得 , 则 , 解得, （不合题意,舍去）. 因此,此作品上下边衬的宽度是 . 中考考法 16 应用2 靠墙问题 2.[2026淮南期末] 园林部门计划在某 公园建一个长方形苗圃 .苗圃的 一面靠墙（墙最大可用长度为 ） ，另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开， 分成两个区域，并在如图所示的两处各留 宽的门 （门不用木栏），建成后所用木栏总长为 ，设苗圃 的一边的长为 . 中考考法 17 （1）的长为__________（包含门宽，用含 的代数式表 示） 中考考法 18 （2）若苗圃的面积为，求 的值； 【解】根据题意得 ， 即， , ， 解得， . 当时， ， 当时， , 不符合题意,舍去， . 中考考法 19 （3）苗圃的面积是否可以达到 ，请说明理由. 中考考法 20 不可以达到 .理由如下： 若可以达到，则 ， 化简得 . ， 方程 无解. 苗圃的面积不可以达到 . 中考考法 应用3 拼图问题 3. 已知在长方形纸片 中， ， ，现将两张边长 分别为和 的正方形纸片按图①、 图②两种方式放置（图①、图②中两张正方形纸片中均有部 分重叠）, 长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴 影表示，设图①中阴影部分的面积为 ,图②中阴影部分的面 积为 , 中考考法 22 若,则___;在上述条件下，在边长为 的大正方 形纸片的左上角摆放一张边长为 的小正方形纸片，如图③, 若,则图③中阴影部分的面积 _ __. 3 中考考法 23 【点拨】 根据题意得 ， .同理可得， ， , 中考考法 24 .又,.若 ,则 .将 代入得 ,即,解得 , （舍去）, .根据题意，得 ， . 中考考法 应用4 动点问题 4. 如图①,在 中， , , .在矩形 中， #1.1 ,, 在矩形的左侧， 与 在一条直线上，且点与点重合.现以 的速 度沿直线从左向右运动（矩形保持不动）,当 运动到如图②所示的位置时，与矩形 重叠部分 的面积为,此时 运动了多少秒?#1 中考考法 26 【解】 在中， , , . 易得斜边上的高为 . 题图②中点在线段 上. 设运动了,与交于点，则 , . 中考考法 27 , , 是等腰直角三角形. 根据题意，得 ， 解得, （不合题意，舍去）. 运动了 . 中考考法 几何图形与一元二次方程问题 几何图形 常见几何图形面积是等量关系 类 型 课本封面问题 彩条/小路宽度问题 常采用图形平移能聚零为整关系一同了解，从而列方程 课堂小结 $