25.3.2传播问题与变化率问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的传播问题与变化率问题，通过病毒传播、成本下降等实际案例导入，从具体情境抽象出(1+x)^n和a(1±x)^n=b核心公式，搭建从实际问题到数学模型的学习支架，衔接方程解法知识点。 其亮点在于以真实情境（如基孔肯雅热疫情、销售额增长）培养数学眼光，用表格梳理解题策略发展数学思维，分层练习题结合中考考点强化模型意识。学生能提升实际问题解决能力，教师可依托系统资源高效开展教学。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月16日 25.3.2传播问题与变化率问题 第25章 一元二次方程 人教版九年级上册25.3.2实际问题与一元二次方程（传播问题与变化率问题）练习题（含解析） 本次练习题聚焦一元二次方程两大高频实际应用题型：病毒传播问题、增长率/下降率问题，完全贴合教材25.3.2小节考点。两类题型均有固定解题模型，是中考基础必考题型。核心公式：1.传播问题：初始1个传染源，每轮每人传播$$x$$人，经过两轮传播后总数量为$$(1+x)^2$$；2.变化率问题：初始量$$a$$，平均变化率$$x$$，经过两次变化后量为$$a(1\pm x)^2$$（增长取加号，下降取减号）。解题关键：结合实际取值，人数、增长率均为正数，不合理根直接舍去。 一、选择题（基础巩固） 1. 某种病毒传播速度极快，若一人感染病毒，经过两轮传播后共有121人感染，设每轮每人传播$$x$$人，下列方程正确的是（ ） A. $$1+x+x^2=121$$ B. $$(1+x)^2=121$$ C. $$1+x^2=121$$ D. $$x^2=121$$ 2. 某店铺营业额连续两次涨价，每次涨价的百分率相同，原价1000元，两次涨价后为1210元，设平均增长率为$$x$$，可列方程为（ ） A. $$1000(1+2x)=1210$$ B. $$1000(1+x)^2=1210$$ C. $$1000(1+x^2)=1210$$ D. $$1000+1000x^2=1210$$ 二、填空题（能力提升） 3. 某种细菌传播，每轮一人传染5人，经过两轮传播后，总感染人数为______人。 4. 某产品成本连续两次降低，平均每次降低百分率为$$x$$，原成本50元，两次降价后成本为32元，可列方程为________。 三、解答题（核心应用） 5. 有一种流感病毒，若不加以控制，每轮每人可传染相同数量的人。已知1人患病，经过两轮传播后共有81人患病，求每轮平均一个人传染几个人？ 6. 某工厂今年一月份产值为25万元，三月份产值达到36万元，若二、三月份产值的平均增长率相同，求每月的平均增长率。 四、参考答案与详细解析 1. 答案：B 解析：传播问题核心模型，第一轮1人传播后共$$(1+x)$$人感染，第二轮由$$(1+x)$$人继续传播，总人数为$$(1+x)^2$$，因此列方程$$(1+x)^2=121$$。 2. 答案：B 解析：平均增长率问题，第一次涨价后价格：$$1000(1+x)$$，第二次在第一次涨价后基础上涨价，最终价格：$$1000(1+x)^2=1210$$。 3. 答案：36 解析：代入传播公式$$(1+x)^2$$，$$x=5$$，总人数$$(1+5)^2=36$$人。 $$50(1-x)^2=32$$4. 答案： 解析：降价属于下降率问题，套用公式$$a(1-x)^2$$，初始成本50元，两次降价后为32元，直接列方程即可。 5. 解答： 设每轮平均一个人传染$$x$$个人。根据传播问题模型列方程：$$(1+x)^2=81$$。 开方得：$$1+x=\pm9$$，解得$$x_1=8$$，$$x_2=-10$$。 传染人数不能为负数，舍去$$x=-10$$。答：每轮平均一个人传染8个人。 6. 解答： 设每月产值的平均增长率为$$x$$。一月份产值25万元，经过两个月增长，列方程：$$25(1+x)^2=36$$。 方程化简得：$$(1+x)^2=\dfrac{36}{25}$$，开方得$$1+x=\pm1.2$$。 解得$$x_1=0.2=20\%$$，$$x_2=-2.2$$（增长率为负不符合实际，舍去）。 答：每月的平均增长率为20%。 易错总结：传播问题切忌错用$$1+x+x^2$$公式，两轮传播总人数为整体平方形式；变化率问题必须区分增长、下降公式；解方程后务必舍去负数、不合理百分率，所有实际问题根必须符合生活逻辑。 学习目标 1.能从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程(重点) 2.解决传播问题和平均变化率问题，并根据具体问题的实际意义.(难点) 3.检验方程的解是否合理 学习目标 探究 1 某种传染病的传染速度很快. 如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？ 分析：设每轮传染中平均 1 个人传染了 x 个人. 开始有 1 个人被传染，第一轮的传染源就是这个人，他传染了 x 个人， 用代数式表示，第一轮后共有________个人被传染； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了 x 个人， 用代数式表示，第二轮后共有___________个人被传染. (1+x) [1+x+x(1+x)] 探究 1 某种传染病的传染速度很快. 如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？ 解：列方程 1+x+x(1+x)=121. 解方程，得 x1​=10，x2​=−12 (不合题意，舍去). 因此，每轮传染中平均 1 个人传染了 10 个人. 经过三轮传染后共有121×10+121=1 331(个)人被传染. 思考： 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？ 由此体会阻断病毒传播的必要性. 思考： 如果按这样的传染速度，n轮传染后有多少人患了流感？ 传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数 第一轮 1 1∙x＝x 1＋x 第二轮 1＋x (1＋x)·x 第三轮 第 n 轮 (1+x)n (1+x)2+(1+x)2·x =(1+x)3 1+x+(1+x)·x =(1+x)2 (1+x)2 (1+x)2·x (1+x)n-1 (1+x)n-1·x 类型 等量关系 病毒传播、植物分支生长、转发、分裂等 a(1+x)n=b， 其中，a是感染源数量，x是每轮平均传播人数，n是传播轮数，b是最终感染者总数. 传播问题的解题策略 例1 癌症是人类的一个很可怕的敌人，因为癌细胞的繁殖速度惊人．已知一个癌细胞经过两轮分裂后，共有12 100个癌细胞． （1）求一个癌细胞每轮分裂出多少个癌细胞． 解：（1）设一个癌细胞每轮分裂出x个癌细胞， 由题意，得(x+1)2=12 100. 解得x1=109，x2=-111（不合题意，舍去）. 答：一个癌细胞每轮分裂出109个癌细胞. 例1 癌症是人类的一个很可怕的敌人，因为癌细胞的繁殖速度惊人．已知一个癌细胞经过两轮分裂后，共有12 100个癌细胞． （2）若以相同的分裂速度再经过两轮分裂，则分裂后共有多少个癌细胞？ 解：（2）以相同的分裂速度再经过两轮分裂，分裂后的癌细胞为： 12 100×（109+1）2=146 410 000（个）. 答：以相同的分裂速度再经过两轮分裂，则分裂后共有146 410 000个癌细胞． 探究2 两年前生产1 t甲种食品的成本是10 000元，生产1 t乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种食品的成本是6 000元，生产1 t乙种食品的成本是7 200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 分析：容易求出，甲种食品成本的年平均下降额为(10 000-6 000)÷2=2 000(元)， 乙种食品成本的年平均下降额为(12 000-7 200)÷2=2 400(元) . 显然，乙种食品成本的年平均下降额较大. 但年平均下降额（元）不等于年平均下降率（百分数）. 探究2 两年前生产1 t甲种食品的成本是10 000元，生产1 t乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种食品的成本是6 000元，生产1 t乙种食品的成本是7 200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 设甲种食品成本的年平均下降率为 ，则一年后甲种食品成本为  元， 两年后甲种食品成本为  元，于是有 解方程，得 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 思考：为什么选择22.5%作为答案？ 因为根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于 1的正数，所以选择22.5%作为答案. 探究2 两年前生产1 t甲种食品的成本是10 000元，生产1 t乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种食品的成本是6 000元，生产1 t乙种食品的成本是7 200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 设乙种食品成本的年平均下降率为y. 根据题意，得12 000(1-y)2=7 200. 解得y1≈0.225，y2≈1.775（舍去）. 所以乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下降率一定大吗？应怎样全面比较几个对象的变化情况？ 成本下降额大的食品，它的成本下降率不一定大.成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况. 类型 等量关系 正增长、负增长 a(1+x)n=b， 其中，a 是起始量，x 是增长率，n 是增长的次数，b 是终止量. 当出现负增长时，x 小于 0. 增长率问题的解题策略 某网络销售公司计划第二季度销售额达到1 200万元，已知4月的销售额为310万元，设5，6月的销售额月平均增长率为x,根据题意所列方程正确的是（　　） 例2 A．310（1+x%）2=1 200 B．310（1+x）+310（1+x）2=1 200 C．310（1+x）2=1 200 D．310+310（1+x）+310（1+x）2=1 200 解析：设5、6月的销售额月平均增长率为x, 则5月份的销售额为310（1+x）万元， 6月份的销售额为310（1+x）2万元， 根据第二季度销售额达到1 200万元，可得310+310（1+x）+310（1+x）2=1 200． D 1. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支. 如果主干、支干和小分支的总数是91，那么每个支干长出多少个小分支？ 解：设每个支干长出 x 个小分支. 由题意，得 1＋x＋x2＝91， 即 x2＋x－90＝0. 解得 x1＝9，x2＝－10(不合题意，舍去). 答：每个支干长出9个小分支. 2. 青山村所种水稻某年平均每公顷产15 000 kg，两年后平均每公顷产18 000 kg.求这两年水稻每公顷产量的年平均增长率（结果写成a%的形式，其中a保留小数点后两位）. 解：设这两年水稻每公顷产量的年平均增长率为x. 根据题意，得 15 000(1+x)2=18 000. 解得 x1≈0.095 4，x2≈-2.095 4（不合题意，舍去）. 所以这两年水稻每公顷产量的年平均增长率约为9.54%. 3.近期江门基孔肯雅热疫情高发，该病主要通过伊蚊叮咬传播，做好“清积水、灭成蚊、防叮咬”可有效阻断传播.某社区发现1例确诊病例，由于初期防控意识不足，病例数随蚊虫叮咬快速增长，经过两轮传播后共有81例感染者. （1）求每轮传播中，平均1例感染者通过蚊虫叮咬导致多少人感染？ 解：（1）设每轮传播中，平均1例感染者通过蚊虫叮咬导致x人感染. 由题意,得x（x+1）+x+1=81， 整理得（x+1）2=81， 解得x1=8，x2=-10（不合题意，舍去）. 答：每轮传播中，平均1例感染者通过蚊虫叮咬导致8人感染. 3.近期江门基孔肯雅热疫情高发，该病主要通过伊蚊叮咬传播，做好“清积水、灭成蚊、防叮咬”可有效阻断传播.某社区发现1例确诊病例，由于初期防控意识不足，病例数随蚊虫叮咬快速增长，经过两轮传播后共有81例感染者. （1）求每轮传播中，平均1例感染者通过蚊虫叮咬导致多少人感染？ （2）如果在第三轮传播开始前未及时开展灭蚊消杀，仍保持相同的传播速度，则经三轮传播后共有______人感染. 解析：（2）经三轮传播后的人数共有81+81×8=729（人）. 729 知识点1 传播问题 1. 某同学自主学习了某个化学实验操作并把它分享给班里其 他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该实验的每 名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个 实验.若设1人每次都能教会 名同学，则可列方程为( ) D A. B. C. D. 中考考法 19 2. “水是生命之源，树是水的卫士.”为了更好地 让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再 把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红 一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发 给了____人. 12 中考考法 20 知识点2 变化率问题 3. 某景区2023年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力 度，该景区2025年接待游客达到36万人，那么该景区这两年 接待游客的年平均增长率为( ) B A. B. C. D. 中考考法 21 4. 俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺减半； 三日不练，成门外汉；四日不练，只能旁观.”其意思是知识 和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会 被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两日不练， 技艺减半”，则每天“遗忘”的百分比约为( ) （参考数据： ） B A. B. C. D. 中考考法 22 5. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人， 特推出“神舟二十二号”模型.1月份的销售量是500件，3月份 的销售量是720件. 中考考法 23 （1）若该网店1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同， 求月平均增长率； 【解】设月平均增长率为 ， 由题意得 ， 解得或 （不符合题意，舍去）. 月平均增长率为 . 中考考法 24 （2）市场调查发现，该网店“神舟二十二号”模型的进价为每 件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降 低1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促 销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1 200元， 则售价应降低多少元？ 中考考法 25 设售价应降低 元， 由题意得 ， 整理得 ， 解得或 . 商家决定降价促销，同时尽量减少库存， . 售价应降低20元. 中考考法 26 6. [2026德州期中] 为助力实现“双碳”目标， 某企业大力发展光伏发电装置零件制造.已知 该企业生产某种零件的成本为10元/个，且 规定该零件的售价不能超过35元/个.经市场 调研发现，该零件每周的销售量 （个）与 销售单价 （元/个）之间满足一 D A. 25元 B. 20元或40元 C. 40元 D. 20元 次函数关系，图象如图所示，若要使该企业每周销售这种零件 可获利6 000元，则该零件的销售单价应定为( ) 中考考法 27 传播、平均变化率问题 传播问题：(1＋x)n 平均变化率问题：a(1±x)n＝b 课堂小结 $