精品解析：2022年九年级中考数学复习练习　二次函数综合压轴题　

2022年中考数学复习：二次函数综合压轴题 1. 如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，点是上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当的面积为时，求点的坐标； （3）过点作，垂足为点，是否存在点，使得中的某个角等于的2倍？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）点D的横坐标为2或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式即可； （2）如图，连接OD，设，令 则 即 而 再分别表示 再利用的面积为列方程求解即可； （3）分∠DCE=2∠ABC及∠CDE=2∠ABC两种情况考虑：当∠DCE=2∠ABC，如图，过作轴交于 过作于 点作，垂足为点，则轴，可得 证明 设， 再列方程求解即可，当∠CDE=2∠ABC时，作C关于OB的对称点F，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，如图所示．先求解 点N关于BC的对称点为点P，可得 设 利用勾股定理求解的坐标，再求解直线CP的解析式为，从而可得答案． 【小问1详解】 解： 点的坐标为，抛物线的对称轴为直线， 解得： 经检验符合题意， 所以抛物线的解析式为： 【小问2详解】 解：如图，连接OD，设， 令 则 即 而 解得： 或 【小问3详解】 解：如图，过作轴交于 过作于 点作，垂足为点，则轴， 当时， 设的解析式为： 由可得： 解得 所以BC为： 设， 解得： （不符合题意，舍去） 当∠CDE=2∠ABC时，作C关于OB的对称点F，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，如图所示． 点N关于BC的对称点为点P， 设 整理得： 即 解得： 或 即 而 则的解析式为： 解得： 所以 ∵点C（0，2）， 同理可得直线CP的解析式为． 将代入， 整理，得：， 解得：（舍去），， ∴点D的横坐标为． 综上所述：存在点D，使得△CDE的某个角恰好等于∠ABC的2倍，点D的横坐标为2或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了勾股定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、待定系数法求函数的表达式等知识，解题的关键是根据题意综合运用以上知识点，注意分类讨论思想的运用. 2. 如图，抛物线经过点和点，且与轴交于点． （1）分别求抛物线和直线的解析式； （2）在轴上有一动点，抛物线上有一动点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点为抛物线上位于直线上方的一点，过点作轴交直线于点，点为对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值． 【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为 （2）存在，的坐标为或或 （3） 【解析】 【分析】（1）将点A（3，2）和点B（4，−）代入y＝ax2＋bx＋得 ，可解得抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋，令x＝0得y＝，得C（0，），设直线BC的解析式为y＝kx＋，将B（4，−）代入可得直线BC的解析式为y＝−x＋； （2）设G（m，0），，又O（0，0），A（3，2），分三种情况：①若GH、OA为对角线，则GH、OA的中点重合，有，可解得H（−1，2），②若GO、HA为对角线，则GO、HA的中点重合，有，可解得或；③若GA、OH为对角线，则GA、OH的中点重合，有，解得H（−1，2）； （3）作A关于抛物线对称轴的对称点，连接交抛物线对称轴于，设，则，即知t＝2时，DE取最小值2，D（2，），抛物线的对称轴为直线，得A（3，2）关于对称轴直线x＝1的对称点，有，当D、P、共线时，最小，即最小，的最小值为的长，的最小值为． 【小问1详解】 解：把点A（3，2）和点B（4，−）代入y＝ax2＋bx＋得 解得， 抛物线的解析式为， 在中，令得， ∴， 设直线的解析式为，将代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 答：抛物线的解析式为，直线的解析式为． 【小问2详解】 存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设，，又，， 若、为对角线，则、的中点重合， ∴， 解得此时与重合，舍去或， ∴； 若、为对角线，则、的中点重合， ∴， 解得或， ∴或； 若、为对角线，则、的中点重合， ∴， 解得舍去或， ∴， 综上所述，的坐标为或或． 【小问3详解】 作A关于抛物线对称轴的对称点，连接交抛物线对称轴于，如图： 设，则， ∴ ， 时，取最小值，此时， 抛物线的对称轴为直线， ∴关于对称轴直线的对称点， ∴ ∴， 又、、共线， 此时最小，即最小，的最小值为的长， ∵，， ， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法、平行四边形性质及应用、“将军饮马”问题等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标及相关线段的长度． 3. 二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）． （1）求此二次函数的表达式； （2）①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标； ②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标； （3）已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标． 【答案】（1）y＝−x²＋3x＋4 （2）①点N的坐标为（，）或（，2）；②（4，0） （3）T（，0）、T（，）、T（，﹣） 【解析】 【分析】（1）先求得点C的坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x−4），将点C的坐标代入求得a的值，从而得到抛物线的解析式； （2）①先求得抛物线的对称轴，然后求得CD，EF的长，设点N的坐标为（0，a）则ND＝4−a，NE＝a，然后依据相似三角形的性质列出关于a的方程，然后可求得a的值； ②过点A作轴，过点M作轴，交点为D，过点A作AE⊥AM，取AE＝AM，作EF⊥x轴，垂足为F，连接EM交抛物线于点P，则△AME为等腰直角三角形，然后再求得点M的坐标，从而可得到MD＝2，AD＝6，然后证明△ADM≌△AFE，于是可得到点E的坐标，然后求得EM的解析式为y＝−2x＋8，最后求得直线EM与抛物线的交点坐标即可； （3）当点T在x轴上时，为等腰直角三角形，此时Q恰好有2个；当为等边三角形时，Q恰好有2个；分别求出此时T点的坐标即可． 【小问1详解】 解：当x＝0时，y＝4， ∴C（0，4）． 设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x-4），将点C的坐标代入得：-4a＝4，解得a＝-1， ∴抛物线的解析式为y＝-x²+3x+4． 【小问2详解】 ①抛物线的对称轴为直线x＝＝， ∵点， ∴CD＝，EF＝， 设点N的坐标为（，a）则ND＝4-a，NE＝a， 当△CDN∽△FEN时，＝， 即＝， 解得a＝， ∴点N的坐标为（，）； 当△CDN∽△NEF时，＝， 即， 解得：a＝2． ∴点N的坐标为（，2）； 综上所述，点N的坐标为（，）或（，2）． ②过点A作轴，过点M作轴，交点为D，过点A作AE⊥AM，取AE＝AM，作EF⊥x轴，垂足为F，连接EM交抛物线于点P，如图所示： ∵AM＝AE，∠MAE＝90°， ∴∠AMP＝45°， 将x＝1代入抛物线的解析式得：y＝6， ∴点M的坐标为（1，6）， ∴MD＝2，AD＝6， ∵∠DAM＋∠MAF＝90°，∠MAF＋∠FAE＝90°， ∴∠DAM＝∠FAE． 在△ADM和△AFE中， ∠D＝∠AFE＝90° ∠DAM＝∠FAE AM＝AE， ∴△ADM≌△AFE， ∴EF＝DM＝2，AF＝AD＝6， ∴E（5，−2）， 设EM的解析式为y＝kx＋b， 将点M和点E的坐标代入得：， 解得k＝−2，b＝8， ∴直线EM的解析式为y＝−2x＋8， 联立，解得：x＝1或x＝4， 将x＝4代入y＝−2x＋8得：y＝0， ∴点P的坐标为（4，0）． 【小问3详解】 抛物线的对称轴为直线x＝， 当点T在x轴上时，为等腰直角三角形，此时Q恰好有2个，则点T的坐标为（，0）； 当为等边三角形时，Q恰好有2个，设点，， ∵为等边三角形， ， ∵，，， ∴， 解得：， ∴此时T点的坐标为：（，）、（，﹣）； 综上分析可知，T点坐标为（，0）、（，）、（，﹣）． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质，通过作辅助线构造等腰直角三角形、全等三角形求得点E的坐标是解题的关键． 4. 如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线经过A，两点，且与直线DC交于另一点E． （1）求抛物线的解析式： （2）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求的最小值； （3）N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，，，，， 【解析】 【分析】（1）求出A点坐标，把A、C坐标代入解析式计算即可； （2）连接OC，交对称于点Q，证明四边形AOQP是平行四边形，即可说明若使的值为最小，其为量小，最小值为线段OC长； （3）由于N是任意一点，要使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形只要说明△AME是等腰三角形即可． 【小问1详解】 ∵四边形ABCD为正方形，， ∴，， ∴， ∴， 将点A，C坐标代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 连接OC，交对称于点Q ∵轴， ∴， ∵， ∴四边形AOQP是平行四边形， ∴， ∴ 若使的值为最小，其为量小． ∵E，C关于对称轴对称， ∴， ∴， 此时的值最小，最小值为线段OC长． ∵， ∴， ∴的最小值为， 即的最小值为． 【小问3详解】 设 ∵E，C关于对称轴对称，， ∴， ∵ ∴ ∵由于N是任意一点，要使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形 ∴△AME是等腰三角形 当时，， 解得， 此时M点坐标为， 当时，， 解得， 此时M点坐标为， 当时，， 解得， 此时M点坐标为 综上所述，存在点M，，，， ，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式、线段和最值问题、二次函数的性质、菱形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．其中第（3）问把菱形转换成等腰三角形是解题的关键，需要注意分析题意分情况进行讨论，否则容易漏解． 5. 如图，直线与抛物线相交于点和点，抛物线与轴的交点分别为、（点在点的左侧），点在线段上运动（不与点A、重合），过点作直线轴于点，交抛物线于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，连接，是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点作于点，当的周长最大时，求点坐标，并求出此时的面积． 【答案】（1） （2）存在或 （3）； 【解析】 【分析】（1）将点B代入一次函数求n，再将A、B代入二次函数表达式即可求解； （2）根据题意，可求，分情况讨论求出点P即可； （3）由（2）知，从而表示的周长，求出最值，进而求面积； 【小问1详解】 解：将代入中 ∴ 将、代入中 解得： ∴ 【小问2详解】 设，则、 令y=0代入中得，x=-2 ∴与x轴的交点坐标为： ∴ ∴ 如图： 当时， 则 解得：（舍去） ∴ 当时， 解得：（舍去） 综上，或 【小问3详解】 由（2）知 ∴的周长 当时，最大， ∴ 【点睛】本题主要考查二次函数和一次函数的综合应用、锐角三角函数值，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 6. 如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于点A，B（4，0），与y轴相交于点C，直线y=-x+3经过点C，与x轴相交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为第一象限抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点E，PE与线段CD相交于点G，过点G作y轴的垂线，垂足为点F，连接EF，过点G作EF的垂线，与y轴相交于点M，连接ME，MD，设△MDE的面积为S，点P的横坐标为t，求S与t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，过点B作直线GM的垂线，垂足为点K，若BK=OD，求：t值及点P到抛物线对称轴的距离． 【答案】（1） （2）S= （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）分如图1，当0＜t＜时，如图2，当＜t＜3时两种情况讨论求解即可； （3）如图2中，过点C作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两直线交于点Q，延长MK与CQ交于点N，延长KM与x轴交于点Z，证明Rt△KBN≌Rt△QBN推出∠KNB=∠QNB，由NQ∥OB，得到∠QNB=∠NBO=∠KNB，则ZN=ZB，证明△HNG≌△GEF推出CH=OE=t=GH，HN=GE=3-t，则CN=3-t+3=3，NQ=BD=1=NK，设ZK=m，则ZB=ZN=m+1，在Rt△KZB中，（m+1）2=m2+32，得到m=4，则ZB=5，得到tan∠GEF=，据此求解即可． 【小问1详解】 解：对于直线y=-x+3，令x=0得y=3， ∴C（0，3）， 把B（4，0），C（0，3）的坐标代入y=-x2+bx+c得， 解得， ∴抛物线的解析式为y=-x2+x+3． 【小问2详解】 解： ∵点D是直线y=-x+3与x轴的交点， ∴点D的坐标为（3，0）， ∴OD=3， ∴DE=3-t， 如图1中，当0＜t＜时，P（t，-t+t+3）， ∵FG⊥OC，GE⊥OD，CO⊥OD， ∴四边形FOGE是矩形， ∴OE=FG=t，GE=OF=3-t， ∵MG⊥FE，FG⊥GE， ∴∠GEF+∠GFE=90°，∠GFE+∠FGM=90°， ∴∠GEF=∠FGM， 在Rt△FGE中，tan∠FEG==， ∴在Rt△FGM中，tan∠FGM==， ∴FM=， ∴OM=FO-FM=（3-t）-=， ∴S=•DE•OM=×（3-t）×=， 如图2，当＜t＜3时，S=•DE•OM=•DE•（FM-OF）=． 综上所述，S=． 【小问3详解】 解：如图3中，过点C作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两直线交于点Q，延长MK与CQ交于点N，延长KM与x轴交于点Z， ∵CQ∥BO，BQ∥CO， ∴四边形COBQ是平行四边形， ∵∠COB=90°， ∴四边形COBQ是矩形， ∴∠CQB=90°=∠BKN，CO=BQ=3， ∴OD=OC=BQ=3， ∵BK=OD， ∴BK=BQ， ∵BN=BN， ∴Rt△KBN≌Rt△QBN（HL）， ∴∠KNB=∠QNB， ∵NQ∥OB， ∴∠QNB=∠NBO=∠KNB， ∴ZN=ZB， 设EG交CQ于H， ∵OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC， ∵CQ∥OB， ∴∠QHG=∠HEO=90°，∠HCD=∠CDO， ∴∠OCD=∠HCD， ∵GF⊥OC，GH⊥CH， ∴GH=GF， ∵GM⊥EF，GH⊥HN， ∴∠GEF+∠MGE=90°，∠HGN+∠HNG=90°， ∵∠HGN=∠MGE， ∴∠GEF=∠HNG， ∵∠GFO=∠FOE=∠OEG=90°， ∴∠FGF=90°=∠GHN， ∴△HNG≌△GEF（AAS）， ∴CH=OE=t=GH，HN=GE=3-t， ∴CN=3-t+3=3， ∴NQ=BD=1=NK，设ZK=m，则ZB=ZN=m+1， 在Rt△KZB中，（m+1）2=m2+32， ∴m=4， ∴ZB=5， ∴tan∠GZB=， ∵∠HNG=∠BZK=∠GEF， ∴tan∠GEF=， ∴=， ∴t=， ∵抛物线的对称轴x=， ∴点P到抛物线的对称轴的距离为-=． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，一次函数与几何综合，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 7. 抛物线的顶点A在x轴上，与y轴交于点B． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，直线交抛物线于C，D两点，若，求的面积； （3）如图2，已知（2）中C点坐标，点P是第二象限抛物线上一点，是否存在点P，使得，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据△=0即可求出m的值，故可求解； （2）分别过点C、D，作轴，交于点E，直线DC交y轴于F点，得到，根据相似三角形对应线段成比例求出CE，DE的长，设，表示出 ，代入二次函数求出t，得到C，D的坐标，故可求出直线CD的解析式，求出F点坐标，进而求出△COD的面积； （3）过点C作轴于点N，直线PC交y轴于Q点，根据三角函数的特点与平行的性质求出，得到，表示出Q点坐标，故可求出n的值，再求出PC的解析式，联立求出交点即可求出P点坐标． 【小问1详解】 由题知， ∴， ∴； 【小问2详解】 分别过点C、D，作轴，交于点E，直线DC交y轴于F点， 则， ∵，, ∴， ∴， ∴， ∴， 令， 得， ∴， ∴． 当时，， ∴， ∴， ∴，， 设，则， 又∵D为抛物线上， 解得， ∴，， 设直线，代入C、D得， ∴， ∴， 令x=0，y=3， 则, ∴； 【小问3详解】 过点C作轴于点N，直线PC交y轴于Q点， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， 设直线为，代入得， ∴， 令得：（舍）， ∴． 【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键熟知二次函数的图象与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的方法． 8. 如图，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作轴于点H，与BC交于点M． ①求线段PM长度的最大值． ②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求的最小值． 【答案】（1）y＝x2－2x－3 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）将，代入，待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）①根据的解析式和抛物线的解析式，设，则，表示的长，根据二次函数的最值可得：当时，的最大值； ②当取最大值时，，确定的位置：在轴的负半轴取点，使，过作于，当、、三点共线时，如图2， 最小，即的值最小，根据的直角三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 解：把，点代入抛物线中 得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：①如图， 令，即，解得或， ， ， 设的解析式为：， 则， 解得：， 的解析式为：， 设，则， ， 当时，有最大值为； ②当有最大值，， 在轴的负半轴上取一点，使，过作于， 当、、三点共线时，最小，即的值最小， 中，， ， ， ， 中，， ， ， 的最小值是． 【点睛】本题主要考查利用待定系数法求一次函数，二次函数的解析式，二次函数的综合应用，解题的关键是画出正确的图． 9. 如图所示，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点H，连接． （1）求点D的坐标； （2）点N在y轴上，点M在平面直角坐标系中，若点A、C、N、M构成菱形，求点M的坐标； （3）点P在抛物线上且位于x轴下方，若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或或或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式，然后化为顶点式即可得出结果； （2）根据题意作出相应图象，分三种情况讨论：①当为菱形的对角线；②当为菱形对角线；③当为菱形对角线时，然后由菱形的性质及线段的中点坐标求解即可得； （3）根据题意可得：点P只能在第三象限，过点P作轴，设（，），在Rt中，，在Rt中，，，利用等角得正切值相同得出，将y代入求解即可确定点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线过点C， ∴， 对称轴为， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：，顶点坐标D； 【小问2详解】 解：由（1）可得， 当时， 解得：，， ∴，， 设，， ①当为菱形的对角线时，， ∴，解得 ∴ ②当为菱形对角线时，， ∴，解得或 ∴或 ③当为菱形对角线时，， ∴，解得（舍）或 ∴ 综上可得：或或或； 【小问3详解】 解：根据题意可得：点P只能在第三象限， 如图所示，过点P作轴，设（，）， 在Rt中，，， ∴， 在Rt中，， ∴， 整理得：， ∵点P在抛物线上， ∴ 代入得：， 解得：，（舍去）， 当时，y＝， ∴． 【点睛】题目主要考查二次函数与三角形、四边形综合问题，包括利用待定系数法确定函数解析式，求顶点坐标，菱形的性质，解直角三角形等，理解题意，作出相应图象进行分类讨论求解是解题关键． 10. 如图，直线与轴，轴交于，两点，抛物线经过，两点，是射线上一动点，轴交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，点在线段上，若，求此时点的坐标； （3）点从点出发，沿射线方向以每秒5个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为秒，当为何值时，，请直接写出所有符合条件的值． 【答案】（1） （2）的坐标为或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出直线与坐标轴的交点，再利用待定系数法求得即可； （2）延长交轴于点，设设点，则， 再由割补法用表示三角形的面积，利用函数解析式可得； （3）当在点上方或下方两种情况表示出和点坐标，根据位置不同分别表示出，由列方程求解即可． 【小问1详解】 ∵直线与轴，轴交于，两点， ∴当时，， ∴， ∴． ∴当时，， ∴． ∵抛物线经过，两点， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 如图1，延长交轴于点， ∵，， ∴，， ∴． 设点，则， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，， 的坐标为或． 【小问3详解】 如图2，当在点上方时，过点作轴，垂足为点，则有， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 当时，有， 解得，， ∴； 如图3，当在点下方时，过点作轴，垂足为点， ∴，， ∴， 当时，， ∴，， 综上所述，符合条件的值为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式，割补法求三角形的面积，二次函数的性质及解一元二次方程的能力是解本题的关键． 11. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求a，b的值； （2）点P是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）点Q是直线上方抛物线上一动点，过点作轴于点E，是否存在点Q．使以点B、Q、E为顶点的三角形与相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点 （3）存在，点或 【解析】 【分析】（1）把A、B两点坐标代入解析式，得出关于a、b的二元一次方程求解即可； （2）先求出抛物线与y轴交点C的坐标，利用待定系数法求直线AC的解析式，由三角形的面积可知，平行于的直线与二次函数图象只有一个交点时的面积最大，设过点P的直线为，与抛物线的解析式联立，然后利用一元二次方程根的判别式列式求出n值，最后求三角形面积即可； （3）设点E的横坐标为c，则点Q的坐标为，， 分两种情况讨论，即①和是对应边时，，②和是对应边时，，分别根据相似三角形的性质列比例式，建立关于c的方程求解，即可求出结果． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与轴交于，两点， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：令，则， ∴点， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 则， 解得：， 由三角形的面积可知，平行于的直线与二次函数图象只有一个交点时的面积最大． 此时设过点P的直线为，联立， 消掉y得，， 整理得，， ， 解得， 此时，， ∴点时，的面积最大； 【小问3详解】 存在点或使以点B、Q、E为顶点的三角形与相似，理由如下： 设点E的横坐标为c，则点Q的坐标为，， ①和是对应边时， ∵， ∴，即， 整理得，， 解得，（舍去）， 此时，，点； ②和是对应边时， ∵， ∴，即， 整理得，，解得，（舍去）， 此时，， ∴点， 综上所述，存在点或使以点B、Q、E为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了一次函数图象与二次函数的图象的相交问题，待定系数求二次函数解析式、二次函数的最值问题以及相似三角形的性质．掌握分类讨论思想的应用是解答本题的关键． 12. 抛物线与x轴交于点．其中是一元二次方程的两个根，与y轴交于点．点P是线段上方的抛物线上的一个动点（点P异于B，C两点）． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，过点P作垂直于于点H，连结、，问：是否存在点P，使四边形为平行四边形？若存在，请求出平行四边形的面积；若不存在，请说明理由． （3）如图2，设抛物线的对称轴交x轴于点D，半径为的上有一动点M，当M运动到某一位置时的值最小，请求出最小值，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：不存在点P，使四边形为平行四边形，理由如下， 如下图所示，过点P作PG⊥x轴，交x轴于G，交BC于F， 假设存在点P，使四边形为平行四边形，设，设直线BC的解析式为y=mx+n， 把点B和点C坐标代入直线BC解析式得， 解得， ∴直线BC解析式为． ∵PG⊥x轴，交BC于F， ∴． ∴． ∵，，， ∴OA=1，OB=4，OC=2． ∴，，． ∵， ∴． ∴∠ACB=90°． ∵四边形ACPH是平行四边形， ∴，． ∴∠PHC=∠ACB=90°． ∴∠PHF=180°-∠PHC=90°，∠HPF+∠HFP=90°． ∵∠BOC=90°，PG⊥x轴，∠HFP和∠GFB是对顶角， ∴∠PHF=∠BOC，∠OBC+∠GFB=90°，∠HFP=∠GFB， ∴∠HPF=∠OBC， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴无解， ∴不存在点P，使四边形为平行四边形； （3） 解：如下图所示，在y轴上取一点标为J，设与y轴正半轴交于点K，与y轴负半轴交于点L，连接JD交于N，连接OM，MJ，KD，LD， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴，， ∵，∠KOD=90°，∠LOD=90°， ∴OC=2，，， ∴，， 当点M与点K重合时， ∴，， ∴， 当点M与点L重合时， ∴，， ∴， 当点M在上，且不与点K或点L重合时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵∠MOJ=∠COM， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值， ∴当点M与点N重合时，取得最小值，即取得最小值为JD， ∴， ∵，， ∴的最小值是． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的解求出点A，B坐标，再应用待定系数法即可求解； （2）过点P作PG⊥x轴，交x轴于G，交BC于F，假设存在点P，使四边形为平行四边形，设．根据点B和点C坐标应用待定系数法求出直线BC解析式，进而求出PF的长度，根据勾股定理和勾股定理逆定理确定∠ACB=90°，根据平行四边形的性质，平行线的性质确定∠PHF=∠BOC，根据三角形外角的性质，对顶角相等，直角三角形两个锐角互余和等价代换思想确定∠HPF=∠OBC，根据相似三角形的判定定理和性质得到一元二次方程，进而通过判别式确定该方程无解，再据此判断不存在点P，使四边形为平行四边形； （3）在y轴上取一点标为J，设与y轴正半轴交于点K，与y轴负半轴交于点L，连接JD交于N，连接OM，MJ，KD，LD．根据抛物线解析式求出点D坐标，根据圆的定义，线段的和差关系，勾股定理求出KD，LD，CK，CL的长度，然后根据点M的位置进行分类讨论．当点M与点K或点L重合时，求出的值；当点M在上，且不与点K或点L重合时，根据相似三角形的判定定理和性质确定，进而确定当点M与点N重合时，取得最小值为JD，根据勾股定理求出JD的值，最后在以上3个值中选出最小值即可． 【小问1详解】 解：∵是一元二次方程的两个根，且， ∴解一元二次方程得，， ∴，， 把点A，B，C坐标代入抛物线解析式得， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查解一元二次方程、待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理、勾股定理逆定理、平行四边形的性质、相似三角形的判定定理和性质、两点之间线段最短，正确构造线段是解题关键． 13. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中A（－2，0），点D（4，3）为该抛物线上一点． （1）B点坐标为______； （2）直线x=n交直线AD于点K，交抛物线于点P，且点P在点K上方，连接PA、PD． ①请直接写出线段PK长（用含n的代数式表示） ②求△PAD面积的最大值； （3）将直线AD绕点A逆时针旋转90°得到直线l，若点Q是直线l上的点，且∠ADQ=45°，请直接写出点Q坐标______． 【答案】（1）（6，0） （2）①；②，详见解析 （3）（1，－6）或（－5，6） 【解析】 【分析】（1）将A、D坐标代入，由待定系数法求出函数解析式，令y=0即可求解； （2）①先利用待定系数法求出直线AD的解析式，再将x=n代入直线AD和抛物线解析式得K、P纵坐标，根据P、K两点的位置关系，纵坐标相减即得结果； ②利用三角形面积公式求出△PAD面积与n的二次函数关系式，配方求最大值； （3）分两种情况讨论，先求出第四象限内的Q点坐标，再利用对称性得第二象限内Q点的坐标；第四象限内点Q坐标求法：根据旋转性质及∠ADQ=45°知AD=AQ，过D、Q作x轴垂线，垂足分别为M、N，则三角形ADM≌三角形QAN，得AN=DM，根据D点坐标代入求解即可． 【小问1详解】 解：将A（－2，0），D（4，3）代入得： ， 解得：， 即抛物线解析式为：， 令y=0得：， 解得：x=－2，或x=6， ∴B（6，0）． 【小问2详解】 解：①设直线x=n交x轴于H，如图所示， 设直线AD的解析式为：y=kx+m， 则， 解得：， 即直线AD的解析式为：， 则P（n，），K（n，）， ∵P在K上方， ∴PK=－（） =； ②过D作DE⊥直线x=n于E，如上图所示， = = = = =， ∴当n=1时，三角形PAD面积取最大值，最大值为． 【小问3详解】 解：分两种情况讨论，如图所示，当Q在第四象限时， 根据旋转性质及∠ADQ=45°知AD=AQ，∠DAQ=90°， 过D、Q作x轴垂线，垂足分别为M、N， 则∠DAM+∠QAN=90°，∠DAM+∠ADM=90°， ∴∠QAN=∠ADM， ∴△ANQ≌△DMA， ∴AN=DM=3，AM=QN=6， 故Q（1，－6）， 根据对称性知，位于第二象限内Q点坐标为：（－5，6）， 综上所述，点Q坐标为（1，－6）或（－5，6）． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数中面积问题、旋转的性质、全等三角形的判定及性质等知识点，综合性强．解题关键是利用函数上点的坐标特点将三角形面积问题转化为线段问题以及构造全等三角形是解题关键． 14. 综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且A，B两点的坐标分别是．点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作直线轴，交直线于点G，交直线于点H． （1）求抛物线的函数表达式及点C的坐标． （2）如果点D是抛物线的顶点，点P在点C和点D之间运动时，试判断在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得是等腰直角三角形，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． （3）试探究在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）存在，点N的坐标为或或； （3）存在，点P的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）将A，B两点的坐标代入解析式，得到关于b，c的二元一次方程组，求出函数解析式，再求出C点坐标； （2）用待定系数法分别求出BC，AC的解析式，由P点的横坐标为m，易知．是等腰直角三角形，分三种情况：当，且时；当，且时；当，且时分别求出点N的坐标； （3）以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形分三种情况：PQ为对角线；PB为对角线；PC为对角线写出点P坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴； 【小问2详解】 设直线的函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 设直线的函数表达式为， 将代入得，解得， ∴直线的函数表达式为， 根据题意可知，点H与点G的坐标分别为， 抛物线的对称轴为直线， 分三种情况： ①当，且时， ，解得， 把代入中，得， ∴点N的坐标为； ②当，且时， ，解得， 把代入中，得， ∴点N的坐标为； ③当，且时， ∴ ， 解得， 此时点N的纵坐标为， ∴点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或或； 【小问3详解】 存在，点P的坐标为或或. 【点睛】本题考查二次函数的综合，等腰三角形存在性问题，平行四边形存在性问题，解题关键是学会分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AC，BC，点D是线段AC上一点，过点D作交线段AC上方的抛物线于点E，过点E作轴交直线AC于点M，过点D作于点N，求阴影部分面积S的最大值和此时点E的坐标． （3）将该抛物线沿着射线AC方向平移个单位长度得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点M，点F是新抛物线对称轴上一点，当以A、F、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标；并任选其中一个N点，写出求N点的坐标的过程． 【答案】（1） （2）的最大值为， （3），，；过程见解析 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入抛物线解析式得，求解的值，进而可得抛物线的解析式； （2）令，求点坐标，待定系数法求直线的解析式为，同理求得直线的解析式为，设，则点横坐标为，由，设直线的解析式为，将点坐标代入求的值，进而可得解析式为，联立，求解点横坐标为，有，根据，计算求解最值，求坐标即可； （3）根据抛物线沿着射线AC方向平移个单位，可知抛物线沿着轴向右平移个单位，沿着轴向上平移个单位，进而可得平移后的抛物线的解析式为，可知对称轴为直线，联立两个抛物线解析式求解交点，根据A、F、M、N为顶点的四边形是菱形，分两种情况求解：如图①当为边长时，，设，根据即，求解值，进而得到的坐标，根据，有相同的中点坐标，，有相同的中点坐标，分别求解对应的的坐标即可；②当为对角线时，，中点坐标为，设，根据，计算求解值，进而可得的坐标． 【小问1详解】 解：将点坐标代入抛物线解析式得 解得： ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：令，则， ∴ ∴ 设直线的解析式为，将点坐标代入得 解得 ∴直线的解析式为 同理求得直线的解析式为 设，则点横坐标为 ∵ 设直线的解析式为 将点坐标代入得 解得 ∴解析式为 联立直线的解析式得 解得 ∴点横坐标为 ∴ ∴ ∵ ∴当时，有最大值，最大值为，此时． 【小问3详解】 解：抛物线沿着射线AC方向平移个单位 ∵ ∴抛物线沿着轴向右平移个单位，沿着轴向上平移 ∵ ∴平移后新的抛物线的解析式为 ∴对称轴为直线 联立抛物线解析式得 解得 ∴ ∵A、F、M、N为顶点的四边形是菱形，分两种情况求解：如图， ①当为边长时，， 设，则即 解得 ∴ ∵，有相同的中点坐标 ∴； ∵，有相同的中点坐标 ∴； ②当为对角线时， ，中点坐标为 设，则即 解得 ∴ ∴； 综上所述，所有符合条件的点坐标为，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，二次函数与面积的综合，二次函数与特殊的平行四边形的综合，菱形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为N． （1）若此抛物线过点A（，1），求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接AB，C为抛物线上一点，且满足CA=CB，求点C的坐标； （3）已知点M（，0），且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当∠MHN=60°时，求抛物线的解析式． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）把A（−3，1）代入y＝−x2＋kx−2k即可求解； （2）根据题意作图，求出直线AB的解析式，再表示出M点坐标，求出CM的关系式，与抛物线的关系式联立方程组，即可求解； （3）先求出定点H，过H点做HI⊥x轴，根据题意求出∠MHI＝30°，再根据题意分情况即可求解． 【小问1详解】 解：把A（，1）代入，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 把代入得：， ∴点B的坐标为（0，4）， 设直线AB的解析式为，把A、B两个点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线AB的解析式为， ∵CA=CB， ∴点C在AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分线，交AB于点M，与抛物线的交点即为点C，如图所示： ∵点M为AB的中点， ∴点M的坐标为，即， 设CM的解析式为：，把代入得： ，解得：， ∴CM的解析式为：， 联立， 解得：，， ∴点C的坐标为或； 【小问3详解】 由y＝−x2＋kx−2k＝k（x−2）−x2， 当x−2＝0时，x＝2，y＝−4， ∴无论k取何值，抛物线都经过定点H（2，−4）， 二次函数的顶点N， ①如图所示，过点H作HI⊥x轴于I，分别过H，N作y轴，x轴的垂线交于点G，连接HN，若时，则k＞4， ，H（2，−4）， ，， ， ∴∠MHI＝30°， ∵∠MHN＝60°， ∴∠NHI＝30°， 即∠GNH＝30°， 由图可知，， 解得：或（不合题意舍去）； ②如图所示，过点H作HI⊥x轴于I，分别过H，N作y轴，x轴的垂线交于点G，若时，则k＜4， 同理可得，∠MHI＝30°， ∵∠MHN＝60°， ∴NH⊥HI， 即， 解得k＝4（不符合题意舍弃）； ③若＝2，则N，H重合，不符合题意舍弃， 综上所述，抛物线的解析式为：． 【点睛】本题考查二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，垂直平分线的性质，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 17. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，点E，F均在斜边AB上，点E到AC的距离为n，点F到AC的距离大于n，在△EFH中，点H在AB的上方，若EH⊥AC，FH⊥BC，则称△EFH为点E，F的“相依三角形”． （1）若BC=8，且n=4，则点E，B的“相依三角形”的面积为________； （2）如图2，以C为坐标原点建立平面直角坐标系，当点E，F的“相依三角形”是等腰三角形时，作过C，E，B三点的抛物线． ①若H点必为抛物线上一点，求点E，F的“相依三角形”面积S与n之间的函数关系式，并写出自变量n的取值范围； ②当点E，F的“相依三角形”面积为3，且抛物线与点E，F的“相依三角形”恰有两个交点时，求n的取值范围． 【答案】（1）6 （2）①（）；②或 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，设EH⊥AC的垂足为点M．根据勾股定理求出AB的长度，根据矩形的判定定理和性质求出EH的长度，根据相似三角形的判定定理和性质求出BH的长度，即可求出面积； （2）延长HE交AC于点M．根据EH⊥AC，FH⊥BC，AC⊥BC确定∠EHF=90°，进而得到HE=HF，根据二次函数图象的对称性求出抛物线对称轴，进而求出点H的坐标，根据点E和点H的坐标用n来表示HE的长度，再根据三角形面积公式即可求出S与n的函数关系式，根据线段HE和EM的长度都为正数可求出n的取值范围 （3）根据抛物线与“相依三角形”的交点情况进行分类讨论：第一种为当抛物线与△EFH相交于点E，H时，此时根据①中解析式求解即可；第二种为当抛物线与△EFH相交于点E和线段FH上一点时，此时当点E恰好为抛物线顶点时，n取得最小值，这时根据二次函数的对称性求解即可．当点F与点B重合时，n取得最大值，这时根据矩形的判定定理和性质求解即可． 【小问1详解】 解：如下图所示，点E，B的“相依三角形”为△EBH，设EH⊥AC的垂足为点M． ∵∠C=90°，AC=6，BC=8， ∴． ∵EH⊥AC，BH⊥BC， ∴∠HMC=90°，∠HBC=90°． ∵∠ACB=90°， ∴四边形HBCM是矩形． ∴HM=BC=8，，∠H=90°． ∴∠HEB=∠CBA，∠H=∠ACB=90°． ∴． ∴． ∵n=4，即EM=4， ∴EH=HM-EM=4． ∴． ∴BH=3． ∴． 故答案为：6． 【小问2详解】 解：①如下图所示，延长HE交AC于点M． ∵EH⊥AC， ∴∠HMC=90°． ∵FH⊥BC，AC⊥BC， ∴． ∴∠FHE+∠HMC=180°，∠BAC=∠HFE． ∴∠FHE=180°-∠HMC=90°． ∵点E，F的“相依三角形”是等腰三角形，即△EFH是等腰三角形， ∴HF=HE． ∴． ∴∠BAC=45°． ∵∠ACB=90°， ∴∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=45°． ∴BC=AC． ∵AC=6， ∴BC=6． ∴． ∵点B，点C都在抛物线上，且点B，点C都在x轴上， ∴过点C，E，B的抛物线的对称轴是直线． ∵EM=n， ∴． ∵点H必为抛物线上一点， ∴点H与点E关于直线x=-3对称． ∴． ∴． ∴HF=-2n+6． ∴． ∵EM=n，HE=-2n+6． ∴n>0，-2n+6>0． ∴0<n<3． ∴点E，F的“相依三角形”面积S与n的函数关系式为，自变量n的取值范围是0<n<3． ②当抛物线与△EFH相交于点E，H时，即为①中情形． ∵点E，F的“相依三角形”面积为3， ∴． 解得（舍），． 当抛物线与△EFH相交于点E和线段FH上一点时， 当点E恰好为抛物线顶点时，n取得最小值．如下图所示，延长HE交AC于点M． ∵抛物线的对称轴是直线x=-3，且E为抛物线的顶点， ∴EM=3． ∴． 当点F与点B重合时，n取得最大值．如下图所示，延长HE交AC于点M． ∵点E，F的“相依三角形”面积为3， ∴． ∵EH⊥AC，FH⊥BC，AC⊥BC， ∴∠BHM=∠HBC=∠BCM=90°． ∴四边形HBCM是矩形． ∴HM=BC=6． ∴． ∴． ∴． ∴n的取值范围是或． 【点睛】本题考查矩形的判定定理和性质，相似三角形的判定定理和性质，二次函数的对称性，正确应用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键． 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半圆⊙O′与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半圆⊙O′的切线，AD⊥CD于点D． （1）求证：∠CAD =∠CAB； （2）已知抛物线y = ax2 + bx + c过A、B、C三点，AB = 10，tan∠CAD =： ① 求抛物线的解析式； ② 判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由； （3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）①y=x2x+4；②抛物线顶点E在直线CD上，理由见解析 （3）存在，P1（-10，-6），P2（10，-36），理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接O′C，CD是⊙O′的切线，得O′C⊥CD，进而证得O′CAD，再结合O′A=O′C，即得∠CAD=∠CAB； （2）①根据条件得△CAO∽△BCO，由相似比得OC2=OA•OB，根据tan∠CAO=tan∠CAD=，可得、、长，求出坐标，利用待定系数法求解析式即可；②根据条件得△FO′C∽△FAD，由相似比可得，求出线段长即可得出点坐标，利用待定系数法求出直线表达式，最后将顶点坐标代入检验即可； （3）根据题意分别从与两个方面去分析求解即可． 【小问1详解】 证明：连接O′C，如图所示： ∵CD是⊙O′的切线， ∴O′C⊥CD， ∵AD⊥CD， ∴O′CAD， ∴∠O′CA=∠CAD， ∵O′A=O′C， ∴∠CAB=∠O′CA， ∴∠CAD=∠CAB； 【小问2详解】 解：①∵AB是⊙O′的直径， ∴∠ACB=90°， ∵OC⊥AB， ∴∠CAB=∠OCB， ∴△CAO∽△BCO， ∴，即OC2=OA•OB， ∵tan∠CAO=tan∠CAD=， ∴AO=2CO， 又∵AB=10， ∴OC2=2CO（10-2CO），解得CO1=4，CO2=0（舍去）， ∴CO=4，AO=8，BO=2 ∵CO＞0， ∴CO=4，AO=8，BO=2， ∴A（-8，0），B（2，0），C（0，4）， ∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点， ∴c=4， 由题意得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：； ②设直线DC交x轴于点F，如图所示： ∴△AOC≌△ADC， ∴AD=AO=8， ∵O′C//AD， ∴△FO′C∽△FAD， ∴， ∴O′F•AD=O′C•AF， ∴8（BF+5）=5（BF+10）， ∴BF=，F（，0）； 设直线DC的解析式为y=kx+m， 则，解得：， ∴直线DC的解析式为y=-x+4， 由得顶点E的坐标为（-3，）， 将E（-3，）代入直线DC的解析式y=-x+4中， 右边= -×（-3）+4==左边， ∴抛物线顶点E在直线CD上； 【小问3详解】 解：存在，P1（-10，-6），P2（10，-36）． ①∵A（-8，0），C（0，4）， ∴过A、C两点的直线解析式为， 设过点B且与直线AC平行的直线解析式为：，把B（2，0）代入得， ∴直线PB的解析式为， ∴，解得或（舍去）， ∴P1（-10，-6）． ②∵B（2，0），C（0，4）， ∴过B、C两点的直线解析式为， 设过点A且与直线BC平行的直线解析式为：，把A（-8，0）代入得， ∴直线PA的解析式为， ∴，解得（舍去）或， ∴P2（10，-36）． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及到圆的性质、待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、点与函数的关系等知识点，此题综合性强、难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的运用． 19. 如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求出抛物线解析式； （2）如图1，在x轴存在一个动点E，当CE+DE的长有最小值时，求点E的坐标； （3）如图2，点P为抛物线上一个动点，直线AC上的有一动点F，点M为坐标平面上一个动点，若A，P，F，M四点构成的四边形为正方形时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3 （2）E （3）点P(1，0)或(2，﹣5) 【解析】 【分析】(1)将A(−3,0)，B(1,0)代入抛物线解析式即可； (2)作点D关于x轴的对称点D′(−1,−4)，则CE+DE的最小值为D′C的长，根据两点之间，线段最短得：连接CD′交x轴即为点E； (3)由题意知∠OAC=45°，若A，P，F，M四点构成的四边形为正方形时，则△APF为等腰直角三角形，分AF为正方形的对角线和边两种情况，分别画图计算即可求得． 【小问1详解】 解：∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3； 【小问2详解】 解：如图1，顶点D的坐标为（﹣1，4），点C的坐标为（0，3）， 作点D关于x轴的对称点D'（﹣1，﹣4），连接CD'与x轴交点即为点E， ∴CE+DE的最小值为D'C的长， 设CD'的解析式为：y＝kx+b， ∴， ∴， ∴y＝7x+3， 当y＝0时，x＝﹣， ∴E； 【小问3详解】 解：∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴OA＝OC＝3， ∴△OAC是等腰直角三角形， ∴∠OAC＝45°， 若A，P，F，M四点构成的四边形为正方形时，则△APF为等腰直角三角形， 当AF为正方形对角线时，即AF为等腰直角三角形的斜边时，如图，此时点P'与B重合，P'（1，0）； 当AF为正方形的边时，即AF为等腰直角三角形的直角边时，如图， ∴∠FAP＝90°， ∴∠OAC'＝45°， ∴OA＝OC'， ∴C'（0，﹣3）， ∴直线AC'的函数解析式为：y＝﹣x﹣3， ∴﹣x﹣3＝﹣x2﹣2x+3， 解得x1＝2，x2＝﹣3（舍）， ∴P（2，﹣5）， 综上：点P（1，0）或（2，﹣5）． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，轴对称−−最短路线问题，正方形的存在性等知识，运用分类思想、数形结合思想是解题的关键． 20. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴于点C，连接AC，且． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点P在第三象限的抛物线上，连接BP交y轴于点D，设点P横坐标为t，线段CD的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，点E在线段OB上，且，连接DE，F在y轴正半轴上，连接BF交抛物线于点G，，若，求点G的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件可推出，，再由求出，，将A点坐标代入即可求出函数关系式． （2）令求出B点坐标为，过点P作于点N，设，可得到，，，然后在和中利用的正切值相等可列出等式，得到，然后得到． （3）在OB上取一点M，连接DM，使，则，可得到，由条件可推出，设，在和中，利用、的正切值相等可求出，从而得到，由B、F点坐标可求出直线BF的函数关系式，联立一次函数和二次函数关系式即可求出G点坐标． 【小问1详解】 解：令，得： ∴， 在中，，即： ∴， 将代入，得： ∴ 【小问2详解】 令，即： 解得：， ∴ 过点P作作于点N 设 则，， 在中， 在中， 即： ∴ ∴ 【小问3详解】 在OE上取一点M，连接DM，使 则 ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 设 则 在中， 设，则 在中，由勾股定理可得： 即： 解得： 即： 在中， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 设直线BF的函数关系式为： 则，解得： ∴ 令 解得：， 当时， ∴ 【点睛】本题是二次函数的综合运用，主要考查了用待定系数法求二次函数、一次函数的关系式，同时也考查了二次函数与三角函数的综合运用，解决此题的关键是具有很强的计算能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年中考数学复习：二次函数综合压轴题 1. 如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，点是上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当的面积为时，求点的坐标； （3）过点作，垂足为点，是否存在点，使得中的某个角等于的2倍？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 2. 如图，抛物线经过点和点，且与轴交于点． （1）分别求抛物线和直线的解析式； （2）在轴上有一动点，抛物线上有一动点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点为抛物线上位于直线上方的一点，过点作轴交直线于点，点为对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值． 3. 二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）． （1）求此二次函数的表达式； （2）①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标； ②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标； （3）已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标． 4. 如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线经过A，两点，且与直线DC交于另一点E． （1）求抛物线的解析式： （2）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求的最小值； （3）N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5. 如图，直线与抛物线相交于点和点，抛物线与轴的交点分别为、（点在点的左侧），点在线段上运动（不与点A、重合），过点作直线轴于点，交抛物线于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，连接，是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点作于点，当的周长最大时，求点坐标，并求出此时的面积． 6. 如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于点A，B（4，0），与y轴相交于点C，直线y=-x+3经过点C，与x轴相交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为第一象限抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点E，PE与线段CD相交于点G，过点G作y轴的垂线，垂足为点F，连接EF，过点G作EF的垂线，与y轴相交于点M，连接ME，MD，设△MDE的面积为S，点P的横坐标为t，求S与t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，过点B作直线GM的垂线，垂足为点K，若BK=OD，求：t值及点P到抛物线对称轴的距离． 7. 抛物线的顶点A在x轴上，与y轴交于点B． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，直线交抛物线于C，D两点，若，求的面积； （3）如图2，已知（2）中C点坐标，点P是第二象限抛物线上一点，是否存在点P，使得，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 8. 如图，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作轴于点H，与BC交于点M． ①求线段PM长度的最大值． ②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求的最小值． 9. 如图所示，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点H，连接． （1）求点D的坐标； （2）点N在y轴上，点M在平面直角坐标系中，若点A、C、N、M构成菱形，求点M的坐标； （3）点P在抛物线上且位于x轴下方，若，求点P的坐标． 10. 如图，直线与轴，轴交于，两点，抛物线经过，两点，是射线上一动点，轴交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，点在线段上，若，求此时点的坐标； （3）点从点出发，沿射线方向以每秒5个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为秒，当为何值时，，请直接写出所有符合条件的值． 11. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求a，b的值； （2）点P是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）点Q是直线上方抛物线上一动点，过点作轴于点E，是否存在点Q．使以点B、Q、E为顶点的三角形与相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由． 12. 抛物线与x轴交于点．其中是一元二次方程的两个根，与y轴交于点．点P是线段上方的抛物线上的一个动点（点P异于B，C两点）． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，过点P作垂直于于点H，连结、，问：是否存在点P，使四边形为平行四边形？若存在，请求出平行四边形的面积；若不存在，请说明理由． （3）如图2，设抛物线的对称轴交x轴于点D，半径为的上有一动点M，当M运动到某一位置时的值最小，请求出最小值，并说明理由． 13. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中A（－2，0），点D（4，3）为该抛物线上一点． （1）B点坐标为______； （2）直线x=n交直线AD于点K，交抛物线于点P，且点P在点K上方，连接PA、PD． ①请直接写出线段PK长（用含n的代数式表示） ②求△PAD面积的最大值； （3）将直线AD绕点A逆时针旋转90°得到直线l，若点Q是直线l上的点，且∠ADQ=45°，请直接写出点Q坐标______． 14. 综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且A，B两点的坐标分别是．点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作直线轴，交直线于点G，交直线于点H． （1）求抛物线的函数表达式及点C的坐标． （2）如果点D是抛物线的顶点，点P在点C和点D之间运动时，试判断在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得是等腰直角三角形，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． （3）试探究在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AC，BC，点D是线段AC上一点，过点D作交线段AC上方的抛物线于点E，过点E作轴交直线AC于点M，过点D作于点N，求阴影部分面积S的最大值和此时点E的坐标． （3）将该抛物线沿着射线AC方向平移个单位长度得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点M，点F是新抛物线对称轴上一点，当以A、F、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标；并任选其中一个N点，写出求N点的坐标的过程． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为N． （1）若此抛物线过点A（，1），求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接AB，C为抛物线上一点，且满足CA=CB，求点C的坐标； （3）已知点M（，0），且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当∠MHN=60°时，求抛物线的解析式． 17. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，点E，F均在斜边AB上，点E到AC的距离为n，点F到AC的距离大于n，在△EFH中，点H在AB的上方，若EH⊥AC，FH⊥BC，则称△EFH为点E，F的“相依三角形”． （1）若BC=8，且n=4，则点E，B的“相依三角形”的面积为________； （2）如图2，以C为坐标原点建立平面直角坐标系，当点E，F的“相依三角形”是等腰三角形时，作过C，E，B三点的抛物线． ①若H点必为抛物线上一点，求点E，F的“相依三角形”面积S与n之间的函数关系式，并写出自变量n的取值范围； ②当点E，F的“相依三角形”面积为3，且抛物线与点E，F的“相依三角形”恰有两个交点时，求n的取值范围． 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半圆⊙O′与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半圆⊙O′的切线，AD⊥CD于点D． （1）求证：∠CAD =∠CAB； （2）已知抛物线y = ax2 + bx + c过A、B、C三点，AB = 10，tan∠CAD =： ① 求抛物线的解析式； ② 判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由； （3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形，请说明理由． 19. 如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求出抛物线解析式； （2）如图1，在x轴存在一个动点E，当CE+DE的长有最小值时，求点E的坐标； （3）如图2，点P为抛物线上一个动点，直线AC上的有一动点F，点M为坐标平面上一个动点，若A，P，F，M四点构成的四边形为正方形时，请直接写出点P的坐标． 20. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴于点C，连接AC，且． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点P在第三象限的抛物线上，连接BP交y轴于点D，设点P横坐标为t，线段CD的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，点E在线段OB上，且，连接DE，F在y轴正半轴上，连接BF交抛物线于点G，，若，求点G的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $