第15讲 对数（知识详解+6典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（人教A版必修第一册）

本高中数学讲义聚焦对数核心知识，以学习支架形式系统梳理从对数概念、与指数的互化，到对数性质、运算性质及换底公式的完整脉络，构建层层递进的知识体系。 资料通过6大题型典例精讲与举一反三变式训练，培养学生数学思维中的推理能力，结合易错点总结强化数学眼光下的抽象能力。课后作业题型多样，助力学生用数学语言表达解决问题，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺巩固知识。

第15讲 对数（知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：对数的概念 知识点02：对数与指数的互相转化 知识点03：对数的相关性质 知识点04：对数的运算性质 知识点05：对数的换底公式 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：对数的概念判断与求值 题型02：指数式与对数式的互化 题型03：对数的运算 题型04：对数的运算性质的应用 题型05：运用换底公式化简计算 题型06：运用换底公式证明恒等式 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】对数的概念 对数的定义：一般地，如果＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 注意点： (1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换． (2)logaN的读法：以a为底N的对数． 【例1】判断下列各式是否有意义，有意义的求出结果：(1)；(2)；(3) 解:(1) 式子有意义，底数，真数。 因为，所以。 (2) 式子无意义，对数真数必须大于0，0没有对数。 (3) 式子为常用对数，有意义。 因为，所以。 答案：(1) ；(2) 无意义；(3) 【知识点02】对数与指数的互相转化 两类特殊对数 (1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N. (2)以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N. 【例2】完成互化：(1)将化为对数式；(2)将化为指数式 解析:(1) 由指数式对应，此处， 可得对数式：。 (2) 由对数式对应，此处， 可得指数式：。 答案：(1) ；(2) 【知识点03】对数的相关性质 对数的性质 (1)loga1＝0(a>0，且a≠1)． (2)logaa＝1(a>0，且a≠1)． (3)负数和0没有对数． (4)对数恒等式： ＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)． 【例3】利用对数性质化简求值： 解析:根据对数基础性质逐项化简： ，，， 原式 答案： 【知识点04】对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN. (2)loga＝logaM－logaN. (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 注意点： (1)性质的逆运算仍然成立． (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而 log2(－2)与log2(－3)都没有意义． (3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*. 【例4】已知，求的值。 解析:步骤1：拆分真数为积、幂形式 步骤2：利用对数运算公式展开 步骤3：代入数值计算 答案： 【知识点05】对数的换底公式 1．对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论 (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)． (2) ＝logab(a>0，且a≠1，b>0)． (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 特别地logab·logba＝1. 注意点： (1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义． (2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝ 【例5】利用换底公式化简求值： 解析:步骤1：套用换底公式统一为常用对数 步骤2：相乘约分 步骤3：化简计算 答案： 【题型01】对数的概念判断与求值 【典例1-1】对数式中的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据题意，由条件列出不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 【变式1-1】（2026高一·全国·专题练习）在中，实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】由对数的定义，真数大于，底数大于且不等于，得到关于的不等式组，求解不等式即可. 【详解】由对数的定义可知， 解得，且， 故选：B． 【变式1-2】（24-25高一上·全国·周测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式1-3】求各式的值：(1)；(2)； 【答案】(1)3(2)0 【分析】（1）（2）根据对数的定义运算求解即可； 【详解】（1）由题意可得：. （2）由题意可得：. 【题型02】指数式与对数式的互化 【典例2-1】（25-26高一上·福建厦门·期中）已知，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据指对互化关系直接求解即可. 【详解】由指对互化关系得. 故选：C 【变式2-1】（25-26高一上·云南昭通·期中）若，则___________． 【答案】6 【分析】根据指数与对数的相互转化求解即可. 【详解】由，则，即. 故答案为：6. 【变式2-2】（多选）（24-25高一上·四川南充·阶段检测）下列指数式与对数式互化正确的有（    ） A．与ln1=0 B．与 C．与 D．与 【答案】ABD 【分析】用指数式与对数式互化关系，逐项确定答案. 【详解】A选项，化为，A选项正确； B选项，化为，B选项正确； C选项，化为，C选项错误； D选项，化为，D选项正确； 故选：ABD. 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）将下列指数式化为对数式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】直接利用指数和对数的关系实现指对互化. 【详解】（1）由，得. （2）由，得. （3）由，得. 【题型03】对数的运算 【典例3-1】（25-26高一上·广西钦州·期末）（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】依据对数运算法则即可求解. 【详解】. 故选：D. 【变式3-1】（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）计算：______. 【答案】/ 【详解】原式 . 【变式3-2】（多选）（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，其中，且，，则下列关系式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据已知条件以及对数运算对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，，其中，且，， A选项，，A选项正确. B选项，，B选项正确. C选项，，C选项错误. D选项，，D选项正确. 故选：ABD 【变式3-3】（25-26高一下·湖南常德·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】根据幂的运算法则和对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2） ； （3） . 【题型04】对数的运算性质的应用 【典例4-1】（25-26高一下·浙江绍兴·期末）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的幂运算性质化简求解. 【详解】根据对数的幂运算性质得:, 已知，代入得：, 两边除以，可得：. 【变式4-1】（25-26高一上·山西太原·期末）已知实数、满足，则（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】分析可知，利用对数的运算可得出，化简得出，即可求出的值. 【详解】因为实数、满足，则，可得， 由可得，所以， 即，等式两边同时除以可得， 解得（舍去）或. 故选：D. 【变式4-2】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知，记，，则正整数的值为________． 【答案】34 【分析】根据对数的运算，，结合即可求解． 【详解】，， 即， ，， ， ． 故答案为：． 【变式4-3】（25-26高一上·浙江杭州·期末）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由题设，，； （2）由题设，且，故， 所以，可得或（舍），故. 【题型05】运用换底公式化简计算 【典例5-1】（25-26高一上·河南南阳·期末）若，则______． 【答案】 【分析】利用换底公式以及对数的运算性质可得出关于的方程，解出的值，即可得出的值. 【详解】由换底公式可得， 整理可得，解得，故，符合题意. 故答案为：. 【变式5-1】（25-26高一上·广东深圳·期末）已知当时，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过换底公式可求，再由，可得，求得，，即可求解. 【详解】因为，所以或. 因为，所以，所以，即 ①. 所以，所以 ②. 由①②得：，. 所以. 故选：D. 【变式5-2】（多选）（25-26高一上·贵州安顺·阶段检测）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用对数运算法则和换底公式计算，得到答案. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：CD. 【变式5-3】（24-25高一上·全国·周测）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）1 【分析】先利用指对互化，再利用换底公式化简. 【详解】（1）由已知，， 所以. （2）因为，所以，解得， ，解得， 所以. 【题型06】运用换底公式证明恒等式 【典例6-1】设均为正数，且均不为1.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】运用换底公式证明即可. 【详解】由题意，根据换底公式，，命题得证. 【变式6-1】设，，，且，，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】利用换底公式，即可证明. 【详解】（1），所以等式成立； （2），所以等式成立. 【变式6-2】（24-25高一上·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】令，且，即可表示出、、，再由、换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】依题意、、均不为， 令，且， 则，，． 因为，所以， 即， 所以，即． 【变式6-3】（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)由，得，. 所以，， 则，故. 【分析】（1）将两边取对数化简即可得解； （2）由(1)解得，代入计算即可得解. 【详解】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以. （2）略 知识点01对数的概念 1. 定义 一般地，若（且），则称为以为底的对数，记作： 其中为对数底数，为对数真数。 2. 取值约束 底数满足：；真数满足：。 核心结论：零和负数没有对数。 3. 特殊对数 常用对数（底数为10）： 自然对数（底数为常数）： 知识点02对数与指数的互化 1. 等价互化关系 在的前提下，指数式与对数式等价： 2. 对应规则 指数底数对应对数底数、幂值对应真数、指数对应对数值，是对数运算的核心依据。 知识点03对数的基本性质 适用条件： 1. 1的对数恒为0： 2. 底数自身对数恒为1： 3. 对数恒等式（化简专用）： 4. 真数为底数幂的化简： 知识点04对数的运算性质 适用条件： 1. 积的对数： 2. 商的对数： 3. 幂的对数： 易错警示 对数不可以拆分真数的和与差： 知识点05对数换底公式及推论 1. 核心换底公式 若，则： 作用：统一对数底数，实现不同底数对数的化简、求值、比大小。 2. 常用推论 倒数推论： 链式推论： 幂次换底推论： 知识点06本节核心公式汇总 1. 互化公式： 2. 基础性质： 3. 运算性质： 4. 换底公式： 知识点07高频易错点总结 1. 对数解题优先判定真数范围，负数和零无对数； 2. 对数运算仅拆分真数的积、商、幂，不可拆分和、差； 3. 指数嵌套对数的式子优先使用对数恒等式化简； 4. 不同底数对数运算、连乘约分，优先使用换底公式； 5. 严格区分常用对数与自然对数。 一、单选题 1．（25-26高一下·甘肃定西·期末）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的幂运算性质化简计算即可. 【详解】，故C正确. 2．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）若，则（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】将指数化为对数，再根据对数运算可得. 【详解】由可得， 可得 . 故选：C 3．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数和对数互化公式和运算性质直接计算即可得解. 【详解】由题可得，所以. 故选：D 4．（25-26高一上·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【答案】B 【分析】先处理指数幂 的值，再运用指数与对数的互化求出，最后根据指数幂的运算性质求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 5．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将对数式转化为指数式，再利用幂的运算法则计算即得. 【详解】因 ， 得 ，则 ，又， . 6．（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可． 【详解】由题. 故选：C. 7．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数与对数互化、对数的换底公式及运算法则变形可得． 【详解】由，得， 又，所以， 所以 . 故选：B. 8．（25-26高一上·河南·阶段检测）当把一个任意正整数表示成的时候，就可以得出正整数的位数是，如：，则625的位数是3．利用上述方法，判断的位数是（ ） （参考数据：，） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】设，，则，计算即可求出，从而得出结果． 【详解】设，其中， 两边取对数得， 因为， 所以， 因为，所以，即， 解得， 又因为，所以，所以的位数是， 故选：C 二、多选题 9．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】，选项正确； ，选项正确； ，选项错误； ，选项正确. 10．（25-26高一上·山东枣庄·期末）（多选）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据指数幂的运算法则，对数的运算法则以及换底公式逐项分析即可.. 【详解】由，故A选项不正确； 由，则 ，故B选项正确； 由， 故C选项正确； 选项 ，故D选项正确； 故选：BCD. 11．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）下列计算正确的有（   ） A． B． C．若，，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据对数运算判断A，应用指数对数运算化简求值判断B，应用换底公式及对数运算判断C，应用指数运算计算判断D. 【详解】A，，故A错误； B，，故B正确； C，，故C正确； D，，所以，故D正确. 三、填空题 12．（25-26高一下·浙江·期中）求值：__________. 【答案】 【分析】利用对数的恒等式、换底公式以及对数的运算性质化简可得所求代数式的值. 【详解】原式. 13．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知，，用含、的式子表示______． 【答案】 【分析】借助对数运算法则计算即可得. 【详解】，， 则，故，， 则. 故答案为：. 14．（25-26高一上·福建南平·阶段检测）已知正实数满足，则__________. 【答案】1 【分析】先通过构造函数分析与的关系，再代入计算的值. 【详解】设，则，， 又与均为上增函数，则为增函数， 故当时，必满足，则，则. 故答案为：1 四、解答题 15．（25-26高一上·广东茂名·阶段检测）（1）计算：； （2）计算： 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用对数的运算、换底公式化简可得所求代数式的值； （2）利用对数、指数幂的运算性质化简可得所求代数式的值. 【详解】（1）； （2） . 16．（25-26高一上·河南洛阳·期末）（1）若，求的值. （2）若，求的值. 【答案】（1）2；（2） 【分析】（1）将指数式转化为对数式，代入目标式，利用对数的运算性质计算即可； （2）求出，代入目标式，利用对数的运算性质计算即可. 【详解】（1）因为，所以，， 所以. （2）若，则，， 所以. 17．（25-26高一上·福建南平·阶段检测）计算下列各式值： (1) (2)已知，试求的值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据对数的定义结合对数的运算性质求解即可； （2）将指数式化为对数式，结合对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）因，则， 可得，， 则，， 所以. 18．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）设. (1)求的值； (2)在与这两个等式中，只有一个是正确的，请指出这个正确的等式是哪一个并加以证明. 【答案】(1)7 (2)正确的等式是，证明见解析 【分析】（1）根据对数的运算性质进行求解即可. （2）根据对数的运算性质验证等式是否相等即可. 【详解】（1）因为，所以 . （2）正确的等式是. 理由如下： . 19．设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接利用换底公式即可证明结果； （2）直接利用换底公式即可证明结果； （3）根据条件，利用换底公式得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以命题得证. （2）因为，所以命题得证. （3）因为，所以， 故，即的值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 对数（知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：对数的概念 知识点02：对数与指数的互相转化 知识点03：对数的相关性质 知识点04：对数的运算性质 知识点05：对数的换底公式 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：对数的概念判断与求值 题型02：指数式与对数式的互化 题型03：对数的运算 题型04：对数的运算性质的应用 题型05：运用换底公式化简计算 题型06：运用换底公式证明恒等式 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】对数的概念 对数的定义：一般地，如果＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 注意点： (1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换． (2)logaN的读法：以a为底N的对数． 【例1】判断下列各式是否有意义，有意义的求出结果：(1)；(2)；(3) 【知识点02】对数与指数的互相转化 两类特殊对数 (1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N. (2)以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N. 【例2】完成互化：(1)将化为对数式；(2)将化为指数式 【知识点03】对数的相关性质 对数的性质 (1)loga1＝0(a>0，且a≠1)． (2)logaa＝1(a>0，且a≠1)． (3)负数和0没有对数． (4)对数恒等式： ＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)． 【例3】利用对数性质化简求值： 【知识点04】对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN. (2)loga＝logaM－logaN. (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 注意点： (1)性质的逆运算仍然成立． (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而 log2(－2)与log2(－3)都没有意义． (3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*. 【例4】已知，求的值。 【知识点05】对数的换底公式 1．对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论 (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)． (2) ＝logab(a>0，且a≠1，b>0)． (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 特别地logab·logba＝1. 注意点： (1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义． (2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝ 【例5】利用换底公式化简求值： 【题型01】对数的概念判断与求值 【典例1-1】对数式中的取值范围为______． 【变式1-1】（2026高一·全国·专题练习）在中，实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·全国·周测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】求各式的值：(1)；(2)； 【题型02】指数式与对数式的互化 【典例2-1】（25-26高一上·福建厦门·期中）已知，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式2-1】（25-26高一上·云南昭通·期中）若，则___________． 【变式2-2】（多选）（24-25高一上·四川南充·阶段检测）下列指数式与对数式互化正确的有（    ） A．与ln1=0 B．与 C．与 D．与 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）将下列指数式化为对数式： (1)； (2)； (3)． 【题型03】对数的运算 【典例3-1】（25-26高一上·广西钦州·期末）（    ）． A．2 B．1 C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）计算：______. 【变式3-2】（多选）（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，其中，且，，则下列关系式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一下·湖南常德·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型04】对数的运算性质的应用 【典例4-1】（25-26高一下·浙江绍兴·期末）已知，则（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·山西太原·期末）已知实数、满足，则（   ） A．或 B． C．或 D． 【变式4-2】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知，记，，则正整数的值为________． 【变式4-3】（25-26高一上·浙江杭州·期末）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值. 【题型05】运用换底公式化简计算 【典例5-1】（25-26高一上·河南南阳·期末）若，则______． 【变式5-1】（25-26高一上·广东深圳·期末）已知当时，则 （    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（多选）（25-26高一上·贵州安顺·阶段检测）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·全国·周测）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【题型06】运用换底公式证明恒等式 【典例6-1】设均为正数，且均不为1.求证：. 【变式6-1】设，，，且，，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)． 【变式6-2】（24-25高一上·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 【变式6-3】（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 知识点01对数的概念 1. 定义 一般地，若（且），则称为以为底的对数，记作： 其中为对数底数，为对数真数。 2. 取值约束 底数满足：；真数满足：。 核心结论：零和负数没有对数。 3. 特殊对数 常用对数（底数为10）： 自然对数（底数为常数）： 知识点02对数与指数的互化 1. 等价互化关系 在的前提下，指数式与对数式等价： 2. 对应规则 指数底数对应对数底数、幂值对应真数、指数对应对数值，是对数运算的核心依据。 知识点03对数的基本性质 适用条件： 1. 1的对数恒为0： 2. 底数自身对数恒为1： 3. 对数恒等式（化简专用）： 4. 真数为底数幂的化简： 知识点04对数的运算性质 适用条件： 1. 积的对数： 2. 商的对数： 3. 幂的对数： 易错警示 对数不可以拆分真数的和与差： 知识点05对数换底公式及推论 1. 核心换底公式 若，则： 作用：统一对数底数，实现不同底数对数的化简、求值、比大小。 2. 常用推论 倒数推论： 链式推论： 幂次换底推论： 知识点06本节核心公式汇总 1. 互化公式： 2. 基础性质： 3. 运算性质： 4. 换底公式： 知识点07高频易错点总结 1. 对数解题优先判定真数范围，负数和零无对数； 2. 对数运算仅拆分真数的积、商、幂，不可拆分和、差； 3. 指数嵌套对数的式子优先使用对数恒等式化简； 4. 不同底数对数运算、连乘约分，优先使用换底公式； 5. 严格区分常用对数与自然对数。 一、单选题 1．（25-26高一下·甘肃定西·期末）（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）若，则（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 3．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 5．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·河南·阶段检测）当把一个任意正整数表示成的时候，就可以得出正整数的位数是，如：，则625的位数是3．利用上述方法，判断的位数是（ ） （参考数据：，） A．22 B．23 C．24 D．25 二、多选题 9．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·山东枣庄·期末）（多选）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）下列计算正确的有（   ） A． B． C．若，，则 D．若，则 三、填空题 12．（25-26高一下·浙江·期中）求值：__________. 13．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知，，用含、的式子表示______． 14．（25-26高一上·福建南平·阶段检测）已知正实数满足，则__________. 四、解答题 15．（25-26高一上·广东茂名·阶段检测）（1）计算：； （2）计算： 16．（25-26高一上·河南洛阳·期末）（1）若，求的值. （2）若，求的值. 17．（25-26高一上·福建南平·阶段检测）计算下列各式值： (1) (2)已知，试求的值. 18．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）设. (1)求的值； (2)在与这两个等式中，只有一个是正确的，请指出这个正确的等式是哪一个并加以证明. 19．设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $