专题拓展：三角恒等变换的解题策略（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题拓展：三角恒等变换的解题策略 01 题型导航 给角求值侧 三角恒等变换的解题策略 房给值求值 务给值求角 02 题型剖析 类型一：给角求值 【例1-1】4sin40°-tan40°=() A.1 B.2 C.2 D.3 【答案】D 【详解】原式=4sin40° sin40°-4sin40°cos40°-sin40°= 2sin80°-sin40 c0s40° c0s40° cos40° 2c0s10°-sim40° 2cos10°-sin30°+10° 2c0s10° 2c0s10+ -sin 10 C0s40° 2 C0s40° C0s40° c0s10°- 3 in10° 393 2 os10°-1 sin10° 3c0s40° 2 1 =3 c0s40° c0s40° C0s40° 【例12】若c+p=-年则1-tama1-tamB=(） 1/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.3 C.-2 D.-3 【答案】A 【详解】根据题意，由a+B=-牙，可得anc+B=-1,即1 tangtan tang+tanβ =-1 化简整理得tanc+tanβ=tana·tanB-1, 又1-tanc1-tanβ=1-tan-tanβ+tanatanβ =1-tana+tanβ+tanatanβ， 将tana+tanβ=tana·tanβ-l代入， 得1-tanc1-tanβ=1-tanatanβ-1+tanc:tanβ =1-tanatanβ+1+tanatanβ=2. 故选：A 【方法总结】 给角求值问题的一般步骤： (1)化简条件式子或待求式子； (2)观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值， 【变式1-1】三国时期的数学家刘徽在对《九章算术》作注时，给出了“割圆术”求圆周率的方法；魏晋 355 南北朝时期，祖冲之利用割圆术求出圆周率π约为113， 这一数值与π的误差小于八亿分之一现已知π的近 似值还可表示为4sin52,则产y16-元-4sin44 3-23sin22的值为(） A.-4V3 B.-4 C.4 D.43 【答案】C 【详解】由题意，将4sin52代入 /16-元-4sin44° 93-2V3sin222° 4sin 5216-(4sin52)2-4sin 444sin52(4cos52)2-4sin44 可得 V3-2V3sin222 9/3-2V3sin222° 16sin52°cos52°-4sin44°_8sin104°-4sin44°_8sin60°+44-4sin44° 9/3-2V3sin222° V3-2V3sin222° V3-2V3sin222° 2/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 （4/3cos44°+4sin44°)-4sin44° 4V3cos44° 43(1-2sin222） =4 V3-2V3sin222° V/3-2/3sin222°9V3(1-2sin222° 【变式1-2】下列等式成立的有() A.sin2亚-1_3 1224 B.tan80°-tan35°-tan80°tan35°=1 C.c0s20°cos40°cos60cos80°= 2cos10°-sin20=3 8 D. cos 20 【答案】BD 【详解】对于A选项，9加是方 1-2sin2n月 12 -co- 6 ,A错： 对于B选项，因为an45=an80-35=an80二an35=1, 1+tan80°tan35 所以，tan80°-tan35°-tan80°tan35°=tan80°tan35°+1-tan80°tan35°=1，B对： 于C选项，cos20cns40c0s60cos80E5sn20o20cos40os8 sin 20 sin40°cos40°cos80° 1 sin80°cos80° 8 1 sin 160' 1 =1,C错： sin 20" sin180°-20°） sin160°16 对于D选项， 2cos10°-sin20°_2cos30°-20°-sin20 C0s20 C0s20 2cos30°cos20°+sin30°sin20°-sin20° cos 20+sin 20'-sin 20=,D. cos 20 c0s20° 故选：BD 类型二：给值求值 )已知cosa-B三cos&cosB=,则cos2a+2B三 23 23 A.25 B. 25 C. D.-25 【答案】D 3/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 【详解】由cosa-B=cos B+sin asinB,可得亏 2+sininB,解得sin asin B=-是 由西a*g=-月sna5nB.可得osa+B号-号 1=3 所s2a+2=opa+=2aa+f-1=2刘 -1=2×9-1=18-25-7 25 252525 【倒21nla*写引-手es2a+ 3() 7 24 7 A.- 25 B.25 C.25 【答案】A 【详解】cos 【方法总结】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征三角函数式的化简要注意 观察条件中角之间的联系和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点 [陵式2-】已蜘知osa-p=子sinasin=日则cos2a+2pl=() 1 A.-4 B.4 c D.2 【答案】C 【详解】因为cosc-B=cos&cosB+sinasin=,】 sinasinB=1 8 所以B=-8 5 所osa+fA=em.a.om-月dneds含产君-合产号 i所以os2a+20l=cosl2a+Bj=2cosa+®-1=2×41=-号 4/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式22】已知a,B均为锐角，且sin(a-B)=, cos(a+B)-5 tanβ_ tana 【路案1目 【详解】因为a,B均为锐角，即0<a<受，0<B<受所以-a-B<受，0<a+B<元 cosa+8)50,0=a+B号则：5n(a+p)-25 5, in(+B)sin co5+c 5 in(aB)=in(B)-sinacos B-cosasiB= 10 101 所以2 snB=-25+5_5 510 2,即sin=5 2cosasin B-2V5-5_3V5 5 10-10, 即osinB=3VS 20 sinβ 3V5 所以 tan BcosB=sin Bcosa= 20=3 tana sina sina cosβ V55 cOS a 4 类型三：结值求角 【例31】已知a∈ ππ 4’2 且4cosa-t an -a=3,则a=() 5π 4π A. 18 B.3 c.5 D .9 【答案】A π 5π2π 【详解】a∈ 4’2 →2a∈ 2,π Q+ +6∈2,3 R/3=4 cosa- cosa=2sin 2a-cos a2sin2a=3sina+cosa=2sina+ sin a sin a 6 所以2a=a++2k或2a+a+=π+2km,k∈Z, 6 6 取-治+2a或a=沿+导ke乙 6 5/16 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由于c∈ ππ 4’2 放as5n 18 【例32】已知C,B∈0，π且cosa= 5 5 esia+号 则a-B=() A 3π B.4 c. D.-3 4 【答案】A 【详解】因为a∈(0，π)且cosa= 51 52 c0s 行，函数y=c0sx在0，π止单调递减， aci)2ac(2) 3'2 叉a,B∈0，m.s+B=2 0, 所以a+B∈(o,2. si(a+B)=1-cos2(&+B=72 10 0s2a=2cos2a-1=2×3)-1=-3,sin2a=1-cos22a 5 sin(a-B)=sin[2a-(a+B)]=sin2acos(a+B)-cos2asin(a+B) 102 又a∈32，&+Be(0,2,所以B=a+p-a受号=吾结合P>0,可得8∈0 6 所以a-B∈哈2，所8a-B-异 故选：A. 【方法总结】 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为x)=Asin(ox +9)+的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问 题 6/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1-sinβ 【变式31】已知tana= cosβ 则下列选项正确的是() A. a+B-I B.2a-B- c.2a+B-号 D.2a+B=n 【答案】C 【详解】解法l:由tana 1-sinBincosB=cosa-cosasin B.sin(cos cosβ 又因为，B∈0,2所以0<a+B<,则a+B+a=2或a+B-a=2 整理得2a+B= 或B=- 2 (舍去) 故选：C 解法2：因为β∈0，) ,所以 1-sinβ -sin B2 2/ B-sin CO 1-tan tan a= =tan cosβ cosB-sin 1+tan 42 2 cosg+sin巳 2 2 2 又因为a,B∈0，乃 所以0<-E卫 424 则a=”-B 42 整理得2a+β= 故选：C 【变式32】若cos2a=- 2V5 sin(B-a= 10 且a∈ 42 、Be元，号● 则a+β= π 【答案】4 【详解】由c∈ 4’2 可得2a∈ 2n 因C0s2a=- 2V5 2525 5, 则sin2a=1-cos22=1- 5 5 则lB-c∈,5 2’4 因sin(B-a= 3V10 10, Wcos(B-a)=-1-sin2(B-a)=-9 11 V102 10 10 7/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 cos a+B)=cos 2a+B-a=cos2a cos(B-a-sin2a sin B-a) 25 3V10 5×0-2 10 5102 ππ 因为c∈ 3 B∈，2 所以45a+Bs2,版a+月-7买 03 过关检测 一、单选题 1.sin22-sin27() 12 12 3 A. 2 1-2 B. c D.、3 2 【答案】D 【详21中题意可得：s1n12,122sn+刀人 ssin2灭-os212=-cos7= 3 12 212 12 6 2 故选：D 2.已知tan Q+n 4 =2,则sin2a+2sin2a的值为() A. 8 13 10 B.13 c.8 D. 13 【答案】A 【详解】tana+亚 amat-2,解得ana 1-tana 3 sin'a4sina cosa 2 4x1 原式 sin'a+4sinacosacos'a cos a tan a+4tana 1-3 3 13 sin a+cos a sin'a cos a tan a+1 1 10 +1 cos'a cos2a 3 3.已知C,β都是锐角， sina=10 10 cosla+j=5 ,则A=() T 5π A.6 B.4 C.3 D. 12 8/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【详解】因为Q,B都是锐角， 10cosa+=5 10 所以0<a+阝<π，又因为sina= 所以cosa=/1-sina=1- 10_3/10 10010 snla+gl=1-cosa+0l-1-元=25， 5_25 因此cosB=cosa+β-a=cos|a+Bcosa+sina+βsina 5×310+25×10_2 5 10 51021 因为β是锐角， 所以B=星 故选：B 4.已知0∈ 0, 9 则 1+ sin'a cos2a 取得最小值时的的值为() 5π π A.12 B.3 c D.6 【答案】D 【详解】由0<a受，得sina>0,co5a≥0. 1 _=(1_+-9-)(sin'a+cos'a) sin2a cosa sin'a cos'a =10+c9sin10+o9sin=16 sina cosa sin a cos a cos a_9sina 当且仅当 sin a cosa 即tana=3 即ar 6时，等号成立 故选：D 5.设tana,tanB是方程x2+63x+7=0的两根，且a,B∈2,2 _ππ 则a+B=() A.3 B.2n 3 . 2π 9/16 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【详解】因为tana,tanβ是方程x2+63x+7=0的两根， 所以tana+tanB=-63,tan a tan B=7, 所以tana<0,tanB<0, 因为a,阝∈ 22,所以a,B∈ 号0小，所以a+Be,0 则tana+Bl=tanc+tanB_ -63-3. 1-tana tanB 1-7 所以a+B=- 2 3 故选：B 6、已知0<a<B<2,函数fx=5sinx- 6 若far=fB=1,则cosB-a=() A. 器 23 B.- 25 【答案】B 【样解】解：fx=5mx君-0,0<x2,则x君我x=7召 6 f(x)=Ssinx=5.0<x<2m. 6 3 又0<a<B<2n,fa=fβ=1， a引ml引 3,3 因为0<a-日受乃<p-君≤n, 622 所以cosa- 6 ,cosB-=-2/6 -2 6 5 厅以cosB-a=cosB-刀 6 sna- 6 26×26 ,1123 +5×5=-25 故选：B 10116 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、多选题 7.下列等式正确的是() A.1+tan 181+tan 27=2 B.1+cos 4=2cos 2 1 3 C.4sin18°cos36°=1 D.sini0cos10。l 【答案】AC 【详解】对于A,1+tan181+tan27=1+tan45°-271+tan27 1+1=tam27l1+an27=1+an27+1am271+an27=2,故A正确： 1+tan27° 1+tan27° 对于B,因为2T<2<兀，所以1+c0s4=2cos2=-/2cos2,故B错误： 对于C,4sin18°cos36°=4sin18cos18os36°=2sin36cos36°=sin729-sin90°-189=1 cos18° c0s18° cos18° c0s18° 故C正确： 1 2/3=cos10°-/3sin10°_2sin30°-10 2=4 对于D,sin10°cos10° sin10°cos10° in20。 1 故D错误： 故选：AC &.若sin2a=5 sin(B-a)= 且a∈ π 10 B∈m,2 则以下说法正确的是() A. C0s2=- 25 B.cos2a= 5 C.a+B-7n 4 D.@+B=5n 4 【答案】AC 【详解】因为a∈[牙，n小，所以2a∈[受，2πl,且因为0<sin2a= 52 52 π<2a<元，则cos2a<0, 所以 则cos2a=-】 1-5 2V5 所以A正确： 3亚<2<π可得8 3π 由 又因为Be,1 <a<I 11/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 利用不等式的性质可有B-口∈（号紧.a+pe告，2。 2’8 所以cos(B-a) 10 310 10 10 c(+B)-cos2+B-alj-c0s2@cos(B-)-sin2asin(B-aj- 又因为+Be(,2.所ua+p=妥.所以C正路 故选：AC 三、填空题 3 9 cos280° cos10° c0s200= 【答案】32 1 3 1 1 3 1 【详解】由 =cos210°-3sin210°，1 cos280°cos210cos20°sin210°c0s210cos20° sin210°cos210cos20 =4×1-4sin210° 1 =8×1-21-cos20=16 2c0s20-1 sin20 c0s20 sin20·sin40 c0s20°-40°-c0s20°+40° =16×2cos20-1=32×2os20-1=32 C0s20°- 2c0s20°-1 10.若a,B∈ cosβ 且tana= 1+sinB' 则2a+B= π 【答案】2 cos'B-sin'cosf-si cosβ 2 1-tan 2 【详解】tana= 2 1+sinβ cos Btsin B +sin 1+tan =tan 42 2 2 因为Q,B∈ ，所好号e 所以Q=π+亚、-】 4 得2a+B=5n 2 12116 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.已知c∈兀， 3 2 2 且Isina+B=-7 tan(a-B)=-3 则 1」 na&anB的值为 4 【答案】24或31 【详解】 1=cosc-cosE=sinβcosa-cosβsina=-sina-B tan a tanβsina sinβ sin a sinβ sina sinβ 由角范围得：a+B∈(m,2m,a-B∈仍，3凯 22 由tan(a-Bj=-是 所以ua-Be受n 利sna-B1-号osa-B时-号 由sin(a+B)=- 4a+B∈（元，2m,得cosa+B)=±3 皆cosa+B)=物 sinasinβ=- sa+gsa-g-+-00 245 3 sina-β)_ 代入目标式： =24 sin a sinβ 、.1 40 若osa+g-星 sin a sinβ=- os+B-as1a-B=-程+=-引= 5 24 220 40 3 sin(a-B】 24 代入目标式： sinasinβ 3131 40 1 1 1 =24域an& 1 24 综上所述，tan&tan tanβ31 四、解答题 13116 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.已知函数fx=cos4-2 sincos 2 sx-sin 2 (1)求fx的最小正周期： 5.tan B=3 2若f1a=3 c,B均为锐角，求a+B. 【答案】1)2π e呀 【详解1（①+sincos登sin-snx=s-snx=-吃sn- 所以T=2亚=2元 1 2fia-2nu-22,则nla-引-g 4 因为ae0,,所以a-∈牙 4 4'4又sina- 40, 所a-e,0小则eosa- 所以sinc sin 引-sin'+ 3×2+4x 2_2 525210 所以cosa=1-sin'a=7R2 10 曲tanB=3 4sinβ=3cosβ sinB-5 B为锐角，所以 sin2B+cos2B=1 解得 COs B= 5 由a,B均为锐角，则a+β∈|0，π， cos a+pl-cosacos sin sim 0. 1051052 所以a+B=子 13.如图，函数f(x)=Asin(ox+p)(A>0,⊙>0，Ip<π)的图象经过点M(1,2)和N o.wy 轴交于点P. 14116 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求P的坐标： (②)设∠PMN=a,∠MON=B,求a-2B. 【答案】1) 0,1 e4 【详解】(1)由题意，最高点M(1,2),A>0,得A=2; 最高点M到下-个零点N的水平距离为号1 _3 即42则T=6,因此w=2亚= T_3 T3: 将M(1,2)代入fx=2sin 3x+相n+o)1, 3+p=号+2knk∈Z,又p<,则0-君 6 π 因此函数解析式为fx=2sin 3x+ 6/ 令x=0,得f0=2sn合=1，所以P的坐标为0,1 2)已知a=∠PMN,M12.P(01,N3,0 设直线MP,MN的倾斜角分别为0，p 则k加=tan0=2-L=L,kw=tanp=2-0-4 1-0 3 4-1 则tana=tanp-0= tano-tan0 =7 1+tanφtan0 1+1×-3 15116 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 又B=∠MON,OM斜率为=2，故tanB=2 则tan2B= 2tan B4 4 1-tan2g1-43 7 3 所以an(c-2B1+an&ian2p1+7x-4- =-1 0<a<号年B2,因此-<a-2B<0, 所以a-2B=一是 16116 专题拓展：三角恒等变换的解题策略 类型一：给角求值 【例1-1】（    ） A． B． C． D． 【例1-2】若，则（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 给角求值问题的一般步骤： (1)化简条件式子或待求式子； (2)观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值.. 【变式1-1】三国时期的数学家刘徽在对《九章算术》作注时，给出了“割圆术”求圆周率的方法；魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术求出圆周率约为，这一数值与的误差小于八亿分之一.现已知的近似值还可表示为，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【变式1-2】下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 类型二：给值求值 【例2-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【例2-2】，则（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点. 【变式2-1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知均为锐角，且，，则________. 类型三：结值求角 【例3-1】已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【例3-2】已知且，，则（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题. 【变式3-1】已知，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若，，且，，则______ 一、单选题 1．（    ）． A． B． C． D． 2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则取得最小值时的的值为（    ） A． B． C． D． 5．设是方程的两根，且，则（    ） A． B． C．或 D． 6．已知，函数，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 8．若，，且，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．=________. 10．若，，且，则________. 11．已知，，且，，则的值为_______． 四、解答题 12．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若，，，均为锐角，求． 13．如图，函数（，，）的图象经过点和，且与y轴交于点P． (1)求P的坐标； (2)设，，求． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $