17.2.2 用完全平方公式分解因式 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“用完全平方公式分解因式”，通过“思考”引导观察完全平方式结构，关联整式乘法与因式分解的互逆关系，练习题从基础填空到综合解答，构建梯度学习支架。 其亮点在于以实例（如整体换元分解(x+y)²-4(x+y)+4）培养运算能力和推理意识，辨析题强化抽象能力，课堂小结用数学语言规范步骤。学生能掌握分解方法，教师可利用梯度训练提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 八年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学八年级上册教学课件 第十七章 因式分解 17.2.2用完全平方公式分解因式 2026年7月31日 人教版八年级上册17.2.2用完全平方公式分解因式练习题（全文约1100字） 一、基础填空题（每空3分，共30分） 1. 完全平方和公式分解：$$a^2+2ab+b^2=$$__________。 2. 完全平方差公式分解：$$a^2-2ab+b^2=$$__________。 3. 能用完全平方公式分解的多项式是__________项式，首尾两项是平方项且符号__________，中间项是首尾底数乘积的__________。 4. $$x^2+6x+9=$$__________。 5. $$a^2-10a+25=$$__________。 6. $$4x^2+4x+1=$$__________。 7. $$9a^2-12ab+4b^2=$$__________。 8. 因式分解顺序：先__________，再用公式法，务必分解彻底。 二、单项选择题（每题4分，共20分） 1. 下列多项式是完全平方式的是（） A. $$x^2+2x-1$$ B. $$x^2-4x+4$$ C. $$x^2+xy+y^2$$ D. $$x^2-6x-9$$ 2. 分解因式$$x^2-8x+16$$的结果是（） A. $$(x-4)^2$$ B. $$(x+4)^2$$ C. $$(x-4)(x+4)$$ D. $$(x-8)^2$$ 3. 多项式$$4a^2+12ab+9b^2$$分解正确的是（） A. $$(2a+3b)^2$$ B. $$(2a-3b)^2$$ C. $$(4a+9b)^2$$ D. $$(2a+3b)(2a-3b)$$ 4. 若$$x^2+mx+9$$是完全平方式，则m的值为（） A. 6 B. -6 C. ±6 D. ±3 5. 分解因式$$2x^2-8x+8$$的最终结果是（） A. $$2(x^2-4x+4)$$ B. $$2(x-2)^2$$ C. $$(2x-4)^2$$ D. $$2(x-2)(x+2)$$ 三、判断题（对打√，错打×，每题2分，共10分） 1. 完全平方式一定是三项式。（） 2. $$x^2-2x+1=(x-1)^2$$。（） 3. $$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$$分解正确。（） 4. 首尾平方项符号相反也能使用完全平方公式。（） 5. 因式分解有公因式必须先提取公因式，再套用完全平方公式。（） 四、基础解答题（每题8分，共40分） 1. 因式分解：$$x^2+12x+36$$ 2. 因式分解：$$16a^2-24ab+9b^2$$ 3. 因式分解：$$3x^2-18x+27$$ 4. 因式分解：$$(x+y)^2-4(x+y)+4$$ 5. 简述完全平方式的判定条件和分解步骤。 参考答案 一、填空题 1. $$(a+b)^2$$ 2. $$(a-b)^2$$ 3. 三；相同；二倍 4. $$(x+3)^2$$ 5. $$(a-5)^2$$ 6. $$(2x+1)^2$$ 7. $$(3a-2b)^2$$ 8. 提取公因式 二、选择题 1.B 2.A 3.A 4.C 5.B 三、判断题 1.√ 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 四、解答题 1. 解：原式$$=(x+6)^2$$。 2. 解：原式$$=(4a-3b)^2$$。 3. 解：原式$$=3(x^2-6x+9)=3(x-3)^2$$。 4. 解：原式$$=[(x+y)-2]^2=(x+y-2)^2$$。 5. 判定条件：多项式为三项式，首尾项是同号平方项，中间项是首尾底数乘积的±2倍。分解步骤：①先观察多项式，判断是否为完全平方式；②有公因式先提取公因式；③匹配和或差的完全平方公式分解；④检查结果，确保分解彻底、无剩余因式。 习题考查总结 本节习题围绕完全平方公式因式分解核心考点设计，重点考查完全平方式判定、基础公式分解、提公因式与公式法混合运算、整体换元分解、参数求值等高频题型。精准攻克学生高频易错点：混淆平方差与完全平方公式、遗漏二倍项、首尾平方项符号判断错误、分解不彻底、整体结构不会换元分解。习题梯度循序渐进，题型覆盖概念识记、正误辨析、基础计算、综合分解、方法总结，贴合八年级因式分解核心重难点。通过练习，学生可熟练掌握完全平方式的结构特征与分解技巧，牢固掌握“先提公因式、再套公式”的通用因式分解思路，熟练区分两大公式法分解题型，夯实整式因式分解体系，适配课堂同步训练、课后巩固与单元复习。 （总字数：1098） 1. 理解完全平方公式进行因式分解的意义，掌握公式的特点. (重点) 2. 能综合运用提公因式法和公式法进行因式分解，发展学生的运算能力和推理能力. (难点) 3. 经历探索利用完全平方公式进行因式分解的推导过程，发展逆向思维，感受数学知识的完整性. 学习目标 探究新知 思 考 这两个式子有什么特点？ a2 + 2ab + b2 a2 – 2ab + b2 首平方 尾平方 2倍乘积放中央 完全平方式 注意：①平方项符号相同； ②中间项是积的2倍. 完全平方公式： 即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 等号两边互换： (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 利用完全平方公式可以将形如完全平方式的多项式分解因式. 例1 分解因式： (1) x2+4x+4； x2+4x+4=x2+2·x·2+22 a2+2·a·b+b2 解：x2+4x+4 =x2+2·x·2+22 =(x+2)2. 例1 分解因式： (2) 16x2-24x+9.　 解：(2)16x2-24x+9 =(4x)2-2·4x·3+32 =(4x-3)2. 知识点1 完全平方式 1.下列式子是完全平方式的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 7 2.（1）若是完全平方式，则 ___; （2）若是完全平方式，则 _____. 9 返回 举一反三 8 运用完全平方公式分解因式的步骤： 分析：在(1)中，将a+b看作一个整体，设a+b=m， 则原式可化为完全平方式m²-12m+36； 对于(2)，可通过添括号将原式写成-(x²-4xy+4y2)，括号内的式子为完全平方式. 例2 分解因式： (1) (a+b)²-12(a+b)+36; (2)-x²+4xy-4y². 例2 分解因式： (1) (a+b)²-12(a+b)+36; (2)-x²+4xy-4y². 解： (1)(a+b)²-12(a+b)+36 =(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2. 解：(2) -x2+4xy-4y2 = -(x2-4xy+4y2) = -[x2-2·x·2y+(2y)2] = -(x-2y)2. 把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式，运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法. 思考 x2+(p+q)x+pq 型式子是数学学习中常见的一类多项式， 如何将这种类型的式子进行因式分解呢？ 回顾题目 计算： （1）(x+2)(x+3)； （2）(x-4)(x+1)； （3）(x+4)(x-2)； （4）(x-5)(x-3). = x2+5x+6. = x2-3x-4. = x2+2x-8. = x2-8x+15. x x p q x2 qx px pq 由上面计算的结果找规律， 观察右图，填空： (x+p)(x+q)=( )2 + ( )x + ( ). x p+q pq 我们发现，(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq. 这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出: (x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq =x2+(p+q)x+pq. 因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 探究 将式子x2+3x+2分解因式. 因此这是一个x2+(p+q)x+pq型的式子. p=1，q=2. x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 1 1 1 2 1×2+1×1=3 x2+3x+2=(x+1)(x+2). 十字相乘法 探究 将式子x2+3x+2分解因式. x x 1 2 1x+2x =3x (x+1)(x+2). 知识点2 运用完全平方公式分解因式 3.多项式 分解因式的结果是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 18 4.［2025沧州期末］下列各式能用完全平方公式分解因式的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 19 5.把 分解因式，结果正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 20 跟踪训练 利用这种方法，你能把下列多项式分解因式吗？ (1)x2+7x+10; (2)x2-2x-8; x x 2 5 x5+x2=7x ∴x2+7x+10=(x+2)(x+5). x x -4 2 x2+ x(-4)=-2x ∴x2-2x-8=(x-4)(x+2). 跟踪训练 利用这种方法，你能把下列多项式分解因式吗？ (3)y2-7y+12; (4)x2+7x-18. y y -3 -4 y(-3)+y (-4)=-7y ∴y2-7y+12=(y-3)(y-4). x x -2 9 x9+ x(-2)=7x ∴x2+7x-18=(x-2)(x+9). 6.分解因式： （1） _________； （2） __________. 返回 举一反三 23 7. 如果多项式 加上一个单项式后，能够直接用完 全平方公式进行因式分解，则添加的单项式可以是__________________. （写出一个即可） （答案不唯一） 返回 举一反三 24 8.［教材P练习T 变式］分解因式： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 . （4） ； 解：原式 . 举一反三 25 （5） ； 解：原式 . （6） . 解：原式 . 返回 举一反三 26 9.将分解因式得到，其中，是常数，则 ( ) A A. B. C.3 D.4 返回 举一反三 27 10.无论,取何值，代数式 的值一定是( ) B A.非正数 B.负数 C.正数 D.非负数 返回 举一反三 28 11.［2025合肥月考］如图，这三种规格的卡片共有9张，其中边长为 的正方形卡片有4张，边长为的正方形卡片有1张，长、宽分别为， 的长方形卡片有4张.现要用这9张卡片拼成一个大正方形，则这个大正 方形的边长为________. 返回 举一反三 29 12.分解因式： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 返回 举一反三 30 13.利用因式分解计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 返回 举一反三 31 14.［2025淄博期末］【阅读材料】 分解因式： . 解：将“”看成一个整体，令 ，则原式 . 再将“”还原，原式 . 上述解题过程用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一 种思想方法. 【问题解决】 举一反三 32 （1）分解因式： ； 解：设，则原式 ， 还原，得原式 . 举一反三 33 （2）证明：若为正整数，则代数式 的 值一定是某个整数的平方. 证明：原式 . 设，则原式 ， 还原，得原式 . 为正整数， 为正整数. 代数式 的值一定是某个整数的平方. 返回 举一反三 用完全平方公式分解因式 a2+2ab+b2=(a+b)2 ，a2-2ab+b2=(a-b)2 . 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 能用完全平方公式分解因式的多项式的特点： 多项式是三项式; 其中首尾两项分别是两个数(或两个式子)的平方，且这两项符号相同; 中间一项是这两个数(或这两个式子)的积的2倍，符号正负都可以. 十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 课堂小结 谢谢观看 THANKS $