17.2第2课时运用完全平方公式分解因式培优课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“运用完全平方公式分解因式”，通过回顾提公因式法和平方差公式，以问题链引导学生观察多项式特点，从整式乘法公式逆向构建因式分解公式，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以探究活动为主线，结合“观察-推理-应用”环节，通过判断完全平方式、分解复杂多项式等实例培养学生抽象能力和推理意识，小结强调“先提公因式再套公式”的步骤，帮助学生形成结构化思维，既提升运算能力，又为教师提供系统教学资源。

17.2 第2课时 运用完全平方公式分解因式 第十七章 因式分解 学习目标 1. 理解完全平方公式的特点． 2. 能较熟练地运用完全平方公式分解因式． 3. 能综合运用提公因式、完全平方公式分解因式这两种方法进行求值和证明． 重点：完全平方公式的特点 难点：提公因式、完全平方公式分解因式这两种方法 整式乘法 因式分解 ma + mb + mc m(a + b + c) 整式乘法 因式分解 (a + b)(a - b) a2 - b2 问题1：我们已经学过哪些因式分解的方法？ 提公因式法： 公式法： 1. 完全平方公式用字母如何来表示？ (a±b)2＝a2±2ab＋b2 2. 完全平方公式有何特点？ 公式的左边是两个数的和(或差)的平方，右边是这两个数的平方和，加上(或减去)它们的积的 2 倍. 3. 完全平方公式能帮助简便运算因式分解吗？ 探究与应用 问题1　多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2有什么特点? 活动　了解完全平方式的概念,会判断完全平方式,会用完全 平方公式进行因式分解 问题情境 解:这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍. 问题2　这两个多项式能分解成什么?   问题3　你能用语言来表述这个公式吗? 解:a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2. 解:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方. 感悟新知 知识点1 完全平方公式分解因式 我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫作完全平方式. (2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ a2+2ab+b2 a2–2ab+b2 观察这两个多项式： (1)每个多项式有几项？ (3)中间项和第一项，第三项有什么关系？ 三项. 这两项都是数或式的平方，并且符号相同. 是第一项和第三项底数的积的±2倍. 7 感悟新知 知识点1 完全平方公式分解因式 把整式乘法的完全平方公式（a+b）2=a2＋2ab＋b2， （a-b）2=a2－2ab＋b2的等号两边互换，我们能得到什么呢？ a2＋2ab＋b2=（a+b）2 a2－2ab＋b2=（a-b）2. 两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方 8 依据：完全平方公式： 解：(1) (m－4n)2＝m2－8mn＋16n2； (2) (m＋4n)2＝m2＋8mn＋16n2. 思考：这样计算的依据是什么？ (a±b)2＝a2±2ab＋b2. 问题1：计算：(1)(m－4n)2； (2)(m＋4n)2. 探究点一： 完全平方式 问题2：根据上面两道题，请大家试着分解因式： 观察有什么规律？ 把等号两边互换位置就可以得到因式分解的结果. (2) m2＋8mn＋16n2 ＝(m＋4n)2. 解：(1) m2－8mn＋16n2 ＝(m－4n)2； (1) m2－8mn＋16n2； (2) m2＋8mn＋16n2. 探究点一： 完全平方式 完全平方式:多项式a2+2ab+b2,a2-2ab+b2是两个数的　　　　加上或减去　　　　　　　　　 ,我们把这样的式子叫作完全平方式.  概括新知 平方和 这两个数的积的2倍 (教材补充例题)下列各式是完全平方式的是 (　　) A.x2-x+ 　　　 B.1+4x2 C.a2+ab+b2 　　　 D.x2+2x-1 理解应用 例 1 A 针对训练 3.a²-4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² 2.m²–6m+9=( )² + 2· ( ) ·( )+( )² =( )² 1. x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )² x 2 x + 2 a a -2b a - 2b -2b 1.对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： m m – 3 -3 x 2 m -3 针对训练 2.下列各式是不是完全平方式？如果是，请分解因式. (1)a2–4a+4; (2)1+4a²; (3)4b2+4b–1; (4)a2+ab+b2; (5)x2+x+0.25. 是，(a-2)2 只有两项； 不是 4b²与–1的符号不统一； 不是 不是 是，(x+0.5)2 ab不是a与b的积的2倍. 问题3：我们把这些式子推广到一般式： 两式的共同特点是：它们都是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的 2 倍． 观察一下这两个多项式有什么特点？ a2＋2ab＋b2 与 a2－2ab＋b2， 我们把 a2＋2ab＋b2 与 a2－2ab＋b2 这样的式子叫作完全平方式． 探究点一： 完全平方式 完全平方式的特点： 1. 必须是三项式(或可以看成三项的)； 2. 有两个数或式的平方和； 3. 有这两个数或式之积的 ±2 倍. 探究点一： 完全平方式 完全平方式的特点 (1)必须是三项式(或可以看成三项的); (2)有两个数或式的平方和; (3)有这两个数或式的积的2倍. 记 重点 (1)若x2-6x+k是完全平方式,则k的值为　　;  (2)若x2+kx+4是完全平方式,则k的值为　　　.  变式 9 ±4 针对训练 3.把下列各式分解因式. (1)-m2-4+4m; (2)4x2-20x+25; (3)4a2+4ab+b2; (4)(x-1)2+6(1-x)+9; (5)(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2. 解:原式=-(m-2)2. 解:原式=(2x-5)2. 解:原式=(2a+b)2. 解:原式=(x-4)2. 解:原式=4y2. 典例解析 题型2 灵活应用 例2 如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( ) A . 11 B. 9 C. –11 D. –9 B 4.如果x2–mx+16是一个完全平方式，那么m的值为________. 针对训练 ±8 例1 若 x2 - 6x + N 是一个完全平方式，则 N = ( ) A . 11 B. 9 C. - 11 D. - 9 B 【变式训练】如果 x2 - mx + 16 是一个完全平方式，那么常数 m 的值为_______. ±8 解析：根据完全平方式的特征，中间项 -6x = -2×x×3，故可知 N = 32 = 9. 探究点一： 完全平方式 【练一练】1.下列各式是不是完全平方式？ （1）a2 - 4a + 4； （2）1 + 4a²； （3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2； （5）x2 + x + 0.25. 是 （2）因为它只有两项. 不是 （3）4b² 与 -1 的符号不统一. 不是 分析： 不是 是 （4）因为 ab 不是 a 与 b 的积的 2 倍. 探究点一： 完全平方式 (教材典题)分解因式: (1)(a+b)2-12(a+b)+36; 　　　(2)-x2+4xy-4y2. 例 3 解:(1)(a+b)2-12(a+b)+36 =(a+b)2-2·(a+b)·6+62 =(a+b-6)2. (2)-x2+4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-[x2-2·x·2y+(2y)2] =-(x-2y)2. 分解因式: (1)16x2-8x(x+2y)+(x+2y)2; 　　　　(2)-4x2-12xy-9y2. 变式 解:(1)原式=(4x)2-2·4x·(x+2y)+(x+2y)2=[4x-(x+2y)]2=(4x-x-2y)2=(3x-2y)2. (2)原式=-(4x2+12xy+9y2)=-[(2x)2+2·2x·3y+(3y)2]=-(2x+3y)2. 针对训练 5.已知x,y为实数,求下列式子的最小值: 2x2+4xy+5y2-4x+2y+13. 解:原式=(x2+4xy+4y2)+(x2-4x+4)+(y2+2y+1)+8 =(x+2y)2+(x-2)2+(y+1)2+8. ∵(x+2y)2≥0,(x-2)2≥0,(y+1)2≥0, ∴当x=2,y=-1时,原式有最小值,且最小值为8. 针对训练 6.已知a= 2 024x+2 023,b=2 024x+2 024,c=2 024x+2 025, 那么a2+b2+c2-ab-bc-ac的值等于　 　.  3 7.已知a2+b2=2a-b-2,则3a - b的值为　 　.  4 探究点二：利用完全平方公式分解因式 问题4：你能将多项式 a2＋2ab＋b2 与 a2－2ab＋b2分解因式吗？ a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2， a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 的等号两边互换位置，就得到： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝a2－2ab＋b2 把整式乘法的完全平方公式： 例3 分解因式： (1) (a＋b)2－12(a＋b)＋36； (2) －x2＋4xy－4y2. (2) 原式＝－( x2－4xy＋4y2 ) 解：(1) 原式＝(a＋b)2－2(a＋b)·6＋62 ＝(a＋b－6)2. 分析：在 (1) 中，将 a＋b 看作一个整体，设 a＋b＝m，则原式化为完全平方式 m²－12m＋36； 对于 (2) ，可通过添括号将原式写成－(x²－4xy＋4y²)，括号内的式子为完全平方式. ＝－( x－2y )2. ＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2] 探究点二：利用完全平方公式分解因式 【练一练】1. 分解因式： (1) x2 - 12x + 36； (2) 4(2a + b)2 - 4(2a + b) + 1； 解：(1) 原式 = x2 - 2 · x · 6 + 62 = (x - 6)2. (2) 原式 = [2(2a + b)]² - 2×2(2a + b) · 1 + 1² = (4a + 2b - 1)2. 公式法:把乘法公式的等号两边　　　,就可以得到把某些特殊形式的多项式　　　　　的公式.运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法.  概括新知 互换 分解因式 典例解析 题型2 复合计算 例5 因式分解： (1)–3a2x2＋24a2x–48a2；(2)(a2＋4)2–16a2. 解：(1)原式＝–3a2(x2–8x＋16) ＝–3a2(x–4)2； ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4–4a) (2)原式＝(a2＋4)2–(4a)2 ＝(a＋2)2(a–2)2. 有公因式要先提公因式. 要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解． 针对训练 10.把下列各式分解因式. (1)(a2-2a)2+2(a2-2a)+1; (2)3a4-6a2+3; (3)(x2+y2)2-4x2y2; (4)a4-8a2b2+16b4. 解(1)原式=(a2-2a+1)2=(a-1)4. 解(2)原式=3(a4-2a2+1) =3(a2-1)2 =3(a-1)2(a+1)2. 解(3)原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy) =(x+y)2(x-y)2. 解(4)原式= =[(a+2b)(a-2b)]2 =(a+2b)2(a-2b)2. 【归纳总结】 分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | $