17.2.2用完全平方公式分解因式（课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦完全平方公式分解因式，通过复习整式乘法公式逆向变形，结合填空练习建立新旧知识联系，形成从公式理解、判定条件到解题步骤的学习支架。 其亮点在于结构化解题步骤与分层练习设计，以“提判定套查”步骤培养推理能力，整体思想例题（如分解(x-1)²+4(x-1)+4）渗透模型意识，高频易错总结帮助学生规范思维，教师可直接使用分层习题提升教学效率。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月30日 17.2.2用完全平方公式分解因式 第十七章 因式分解 17.2.2 用完全平方公式分解因式 练习题 【核心知识点回顾】 一、完全平方公式（因式分解逆用） 完全平方和：$$\boldsymbol{a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}$$ 完全平方差：$$\boldsymbol{a^2-2ab+b^2=(a-b)^2}$$ 二、完全平方式三大判定条件（必考） 1. 多项式一共三项； 2. 首尾两项是平方形式且符号为正； 3. 中间项是首尾底数乘积的2倍（可正可负）。 万能口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央 三、公式中a、b的含义 $$a、b$$可以是：数字、单个字母、单项式、整体多项式，和平方差公式中整体思想一致。 例：$$x^2-4x+4=x^2-2\cdot x\cdot2+2^2=(x-2)^2$$ 例：$$4x^2+12xy+9y^2=(2x)^2+2\cdot2x\cdot3y+(3y)^2=(2x+3y)^2$$ 四、标准解题步骤 1. 提：有公因式先提取公因式，化为最简三项式； 2. 判：判断是否满足完全平方式三大条件； 3. 定：确定首尾平方底数，找准中间项符号； 4. 套：套用完全平方公式写成平方形式； 5. 查：检查是否分解彻底。 五、常见完全平方式熟记 $$x^2+2x+1=(x+1)^2$$$$x^2-2x+1=(x-1)^2$$ $$x^2+6x+9=(x+3)^2$$$$x^2-8x+16=(x-4)^2$$ --- 【同步练习题】 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列式子是完全平方式的是（） A. $$x^2+2x-1$$ B. $$x^2-4x+4$$ C. $$x^2+x+1$$ D. $$x^2-2x-1$$ 2. 分解因式$$x^2-6x+9$$的结果是（） A. $$(x-3)^2$$ B. $$(x+3)^2$$ C. $$(x-3)(x+3)$$ D. $$x(x-6)+9$$ 3. $$4a^2+4a+1$$分解因式正确的是（） A. $$(2a+1)^2$$ B. $$(2a-1)^2$$ C. $$4(a+1)^2$$ D. $$(4a+1)^2$$ 4. 若$$x^2+mx+16$$是完全平方式，则m的值为（） A. 8 B. -8 C. ±8 D. ±4 5. 完全平方式的项数为（） A. 2项 B. 3项 C. 4项 D. 任意项 二、填空题（每题4分，共20分） 1. $$a^2+2ab+b^2=$$________。 2. $$a^2-2ab+b^2=$$________。 3. $$x^2+10x+25=$$________。 4. $$9x^2-12x+4=$$________。 5. 完全平方式首尾两项必须是________形式且同号。 三、解答题（共60分） 1.（36分）用完全平方公式分解下列因式： （1）$$x^2+2x+1$$ （2）$$x^2-12x+36$$ （3）$$a^2+8ab+16b^2$$ （4）$$25x^2-20xy+4y^2$$ （5）$$-x^2+2xy-y^2$$ （6）$$16a^2+8a+1$$ 2.（12分）先提公因式再用公式分解： （1）$$3x^2-6x+3$$ （2）$$2a^3-8a^2+8a$$ 3.（12分）整体思想分解因式：$$(x-1)^2+4(x-1)+4$$ --- 【参考答案与解析】 一、选择题答案：1.B 2.A 3.A 4.C 5.B 二、填空题答案 1. $$(a+b)^2$$ 2. $$(a-b)^2$$ 3. $$(x+5)^2$$ 4. $$(3x-2)^2$$ 5. 平方 三、解答题解析 1. 解： （1）原式$$=x^2+2\cdot x\cdot1+1^2=(x+1)^2$$ （2）原式$$=x^2-2\cdot x\cdot6+6^2=(x-6)^2$$ （3）原式$$=a^2+2\cdot a\cdot4b+(4b)^2=(a+4b)^2$$ （4）原式$$=(5x)^2-2\cdot5x\cdot2y+(2y)^2=(5x-2y)^2$$ （5）原式$$=-(x^2-2xy+y^2)=-(x-y)^2$$ （6）原式$$=(4a)^2+2\cdot4a\cdot1+1^2=(4a+1)^2$$ 2. 解： （1）原式$$=3(x^2-2x+1)=3(x-1)^2$$ （2）原式$$=2a(a^2-4a+4)=2a(a-2)^2$$ 3. 解：设$$a=x-1$$ 原式$$=a^2+4a+4=(a+2)^2$$ 回代得：原式$$=(x-1+2)^2=(x+1)^2$$ 【高频易错总结】 1. 公式混淆：平方差是两项、异号；完全平方是三项、首尾同号，切勿混用； 2. 中间项易错：必须是首尾底数乘积的2倍，容易漏乘2； 3. 首项为负必须先提负号，再套用公式，避免符号混乱； 4. 有公因式不先提取，导致分解不彻底； 5. 整体换元不会用，无法识别复杂的完全平方式。 经历通过乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的相反变形得出利用完全平方公式分解因式的过程. 理解公式法分解因式与乘法公式的联系与区别. 复习导入 在括号里填上适当的式子，使等式成立： (1) (a + b)2 = ________________； (2) (a – b)2 = ________________； (3) a2 + ______ + 1 = (a + 1)2； (4) a2 – ______ + 1 = (a – 1)2 . a2 + 2ab + b2 a2 – 2ab + b2 2a 2a 整式乘法 因式分解 思考 多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2有什么特点？你能将它分解因式吗？ 这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，这恰是两个数的和或差的平方，我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式. (a+b)2 =a2+2ab+b2， (a-b)2 =a2-2ab+b2 把整式乘法的完全平方公式 的等号两边互换，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2=(a-b)2 . 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍， 等于这两个数的和(或差)的平方. 能用完全平方公式分解因式的多项式的特点： 多项式是三项式，其中首尾两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项符号相同； 中间一项是这两个数（或这两个式子）的积的2倍，符号正负都可以. a2+2ab+b2=(a+b)2 ， a2-2ab+b2=(a-b)2 . 例1 分解因式： (1) x2+4x+4； x2+4x+4=x2+2·x·2+22 a2+2·a·b+b2 解：x2+4x+4 =x2+2·x·2+22 =(x+2)2. 例1 分解因式： (2) 16x2-24x+9.　 解：(2)16x2-24x+9 =(4x)2-2·4x·3+32 =(4x-3)2. 运用完全平方公式分解因式的步骤： 分析：在(1)中，将a+b看作一个整体，设a+b=m， 则原式可化为完全平方式m²-12m+36； 对于(2)，可通过添括号将原式写成-(x²-4xy+4y2)，括号内的式子为完全平方式. 例2 分解因式： (1) (a+b)²-12(a+b)+36; (2)-x²+4xy-4y². 例2 分解因式： (1) (a+b)²-12(a+b)+36; (2)-x²+4xy-4y². 解： (1)(a+b)-12(a+b)+36 =(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2. 解：(2) -x2+4xy-4y2 = -(x2-4xy+4y2) = -[x2-2·x·2y+(2y)2] = -(x-2y)2. 把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式，运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法. 思考 x2+(p+q)x+pq 型式子是数学学习中常见的一类多项式， 如何将这种类型的式子进行因式分解呢？ 回顾题目 计算： （1）(x+2)(x+3)； （2）(x-4)(x+1)； （3）(x+4)(x-2)； （4）(x-5)(x-3). = x2+5x+6. = x2-3x-4. = x2+2x-8. = x2-8x+15. x x p q x2 qx px pq 由上面计算的结果找规律， 观察右图，填空： (x+p)(x+q)=( )2 + ( )x + ( ). x p+q pq 我们发现，(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq. 这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出: (x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq =x2+(p+q)x+pq. 因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 探究 将式子x2+3x+2分解因式. 因此这是一个x2+(p+q)x+pq型的式子. p=1，q=2. x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 1 1 1 2 1×2+1×1=3 x2+3x+2=(x+1)(x+2). 十字相乘法 探究 将式子x2+3x+2分解因式. x x 1 2 1x+2x =3x (x+1)(x+2). 跟踪训练 利用这种方法，你能把下列多项式分解因式吗？ (1)x2+7x+10; (2)x2-2x-8; x x 2 5 x5+x2=7x ∴x2+7x+10=(x+2)(x+5). x x -4 2 x2+ x(-4)=-2x ∴x2-2x-8=(x-4)(x+2). 跟踪训练 利用这种方法，你能把下列多项式分解因式吗？ (3)y2-7y+12; (4)x2+7x-18. y y -3 -4 y(-3)+y (-4)=-7y ∴y2-7y+12=(y-3)(y-4). x x -2 9 x9+ x(-2)=7x ∴x2+7x-18=(x-2)(x+9). 1. 下列各式：； ； ； ，其中不能用完全平方公式因 式分解的式子有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 已知，为任意有理数，记，，则 与 的大小关系为( ) B A. B. C. D. 不能确定 返回 中考考法 20 3. ［2025漳州期中］一个大正方形被分割成四部分，面积分 别为,,, ，则大正方形的边长为( ) D A. B. C. D. 4. 若有理数，满足，则 的 值为( ) A A. 2 B. C. 1 D. 返回 中考考法 21 5. 整式 可以写成( ) A. B. C. D. B 返回 中考考法 6. 若多项式 能用完全平 方公式因式分解，则 的值是_____. 【点拨】 多项式 能用完全平方公式因式 分解，， . 7.利用因式分解计算： ____. 16 返回 中考考法 23 8.母题教材P130例3 把下列各式因式分解： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . （3） . 原式 . 返回 中考考法 24 9. 给出三个多项式： ; ; . （1）请任意选择两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解； 【解】选择 （答案不唯一）. . （2）当, 时，求第（1）问所得的代数式的值. 当，时，原式 . 返回 中考考法 25 10. 将多项式加上一项，使它能化成 的形式， 以下是四名学生所加的项，其中错误的是( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 26 11. ［2025泰安期中］无论， 为何值， 的值都是( ) A A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 非负数 【点拨】， ， ， ，即 无论, 为何值， 的值都是正数. 返回 中考考法 27 12. 已知实数，，，其中且满足 ， ，下列结论：， ， ，其中正确的是( ) B A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 中考考法 28 用完全平方公式分解因式 a2+2ab+b2=(a+b)2 ，a2-2ab+b2=(a-b)2 . 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 能用完全平方公式分解因式的多项式的特点： 多项式是三项式; 其中首尾两项分别是两个数(或两个式子)的平方，且这两项符号相同; 中间一项是这两个数(或这两个式子)的积的2倍，符号正负都可以. 十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). $